PROVA 2 - 2012.2 (Graça Luzia)

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Instituto de Matemática. - Departamento de Matemática. 
MATA03 – Cálculo B Prova da 2a Unidade Data: 20/02/2013 
Semestre – 2012.2 Turma: 01 Profa: Graça Luzia Dominguez Santos 
Nome do Aluno___________________________________________________ 
Assinatura_______________________________________________________ 
 
Observações: Não é permitido o uso de calculadoras. Todas as respostas devem ser justificadas. 
1
a
 QUESTÃO: Dada as curvas C1: 
 
)cos(1
2

r
e C2: 
))cos(1(4 r
 
(0,5) a) Verifique se o ponto P







3
,
3
4 
 pertence à curva C1. 
(1,8) c) Determine o conjunto dos pontos de interseção das curvas pelo método analítico. 
 
2
a
 QUESTÃO: As curvas C3: e C4: , se intersectam nos pontos: polo, 






4
,2

A
 e 






4
3
,2

B
. 
(1,2) a) Identifique as curvas. Esboce as curvas em um mesmo sistema de coordenadas, destacando os pontos 
de interseção. 
(2,0) b) Determine a expressão, através de integral, que permite calcular, a área da região: 
i) Exterior a C4 e interior a C3. 
ii) Limitada simultaneamente pelas curvas C3 e C4. 
(Não é necessário resolver as integrais do item 2b) 
3
a
 QUESTÃO: 
(1,6) a) Determine o domínio; determine e trace as interseções do gráfico com os planos x = 0 e y = 0; 
determine, identifique e trace as curvas de nível; e esboce o gráfico da função 
 
 
 . 
(1,0) b) Mostre que o limite 
3
)2()1( 3
)2,1(),(
lim


 yx
yx
yx
 não existe. 
4
a
 QUESTÃO 
(1,2) a) Para função real de duas variáveis reais, definida a seguir, calcule se possível, 
)1,1( 


x
f
 e 
)0,0(
y
f


 










 (0,0) y)(x, se , 0
 (0,0)y)(x, se ,
),( 22
23
yx
yx
yxf
 
(0,8) b) Calcule 
),(
2
yx
yx
f

 , sendo 
 .