2016 2 AP 01 IEM Gabarito (1)

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – INFORMA´TICA NO ENSINO DA MATEMA´TICA – 2/2016
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativas.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 [2 pontos] Considere a construc¸a˜o definida pelos seguintes passos no GeoGebra 5.x:
Passo 1. Trac¸a-se um segmento AB e, nesse segmento, marca-se um ponto C.
Passo 2. Constro´i-se um ponto D diferente de C e, em seguida, trac¸a-se o segmento CD.
Passo 3. Constroem-se as bissetrizes dos aˆngulos ÂCD e B̂CD.
A
B
C
D
(a) Caso existam, quais sa˜o os pontos livres, semilivres e fixos da construc¸a˜o?
(b) Se voceˆ apagar o ponto C, o que ficara´ desenhado na Janela de Visualizac¸a˜o do GeoGebra 5.x?
Soluc¸a˜o.
(a) Os pontos livres sa˜o A, B e D. C e´ o u´nico ponto semilivre. Na˜o existem pontos fixos.
(b) Ao se apagar o ponto C, ficara˜o desenhados na Janela de Visualizac¸a˜o os pontos A, B e D e
o segmento AB.
Questa˜o 2 [2 pontos]
Considere a construc¸a˜o dada no enunciado da Questa˜o 1.
(a) Demonstre a afirmac¸a˜o “as bissetrizes dos aˆngulos ÂCD e B̂CD sa˜o perpendiculares”.
INFORMA´TICA NO ENSINO DA MATEMA´TICA AP1 2
(b) Por que podemos considerar a afirmac¸a˜o “as bissetrizes dos aˆngulos ÂCD e B̂CD sa˜o perpen-
diculares” como um invariante geome´trico para a construc¸a˜o?
Soluc¸a˜o.
(a) Sejam α o aˆngulo formado pela bissetriz de ÂCD com o segmento AC e β o aˆngulo formado
pela bissetriz de B̂CD com o segmento CB. Temos enta˜o que 2α + 2β = 180◦ e, sendo assim,
a medida do aˆngulo entre as bissetrizes dos aˆngulos ÂCD e B̂CD e´ igual α + β = 90◦, o que
demonstra que elas sa˜o perpendiculares.
A BC
D
β
β
α
α
(b) Um invariante geome´trico e´ uma propriedade geome´trica (concorreˆncia, colinearidade, compri-
mento, medida de aˆngulo, etc) que permanece constante (invariante!) para qualquer confi-
gurac¸a˜o satisfazendo certas propriedades pre´-estabelecidas. Como a propriedade geome´trica das
bissetrizes dos aˆngulos ÂCD e B̂CD serem perpendiculares ocorre para qualquer escolha dos
pontos livres A, B e D e do ponto semilivre C, podemos considerar a afirmac¸a˜o “as bisse-
trizes dos aˆngulos ÂCD e B̂CD sa˜o perpendiculares” como um invariante geome´trico para
a construc¸a˜o.
Questa˜o 3 [2 pontos]
Diga o que faz cada um dos ı´cones do GeoGebra 5.x apresentados a seguir.
(a) (b) (c) (d) ABC
Soluc¸a˜o.
(a) Ferramenta do GeoGebra 5.x para construir pontos me´dios de segmentos de reta.
(b) Ferramenta do GeoGebra 5.x para construir mediatrizes de segmentos de reta.
(c) Ferramenta do GeoGebra 5.x para construir lugares geome´tricos.
(d) Ferramenta do GeoGebra 5.x para construir textos.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
INFORMA´TICA NO ENSINO DA MATEMA´TICA AP1 3
Questa˜o 4 [2 pontos]
Descreva com detalhes (onde clicar, o que digitar, etc.) para renomear, no GeoGebra 5.x, um ponto
de nome A para um ponto de nome B.
Soluc¸a˜o. Existem va´rias maneiras de se fazer isto. A mais ra´pida e´ a seguinte: coloca-se o apontador
do mouse sobre o ponto de nome A. Em seguida, clica-se com o bota˜o direito do mouse. Um menu
aparecera´. Neste menu, deve-se selecionar a opc¸a˜o “Renomear”. Uma janela aparecera´.
Nesta janela, deve-se digitar B e, enta˜o, dar um ENTER ou clicar no bota˜o OK.
Questa˜o 5 [2 pontos]
No EP-02, voceˆ estudou o Teorema de Varignon: os pontos me´dios X, Y , W e Z dos lados AB, BC,
CD e DA de um quadrila´tero ABCD formam sempre um paralelogramo (possivelmente degenerado).
Um aluno tentou dar a seguinte demonstrac¸a˜o para o teorema: “No GeoGebra 5.x, eu construo uma
reta paralela ao lado ZW passando pelo ponto X. Percebo enta˜o que o segmento XY esta´ contido
nessa reta paralela. Do mesmo modo, eu construo uma reta paralela ao lado XZ passando pelo
ponto W . Observo enta˜o que o segmento Y W esta´ contido nessa reta paralela. Concluo enta˜o que
XY e´ paralelo a ZW e que Y W e´ paralelo a XZ. Dessa maneira, o quadrila´tero XY ZW e´ um
paralelogramo!”.
A
C
B
Y
X
D
Z
W
A
C
B
Y
X
D
Z
W
A demonstrac¸a˜o do aluno esta´ correta? Justifique sua resposta!
Soluc¸a˜o. A justificativa do aluno na˜o esta´ correta pois, apenas visualmente, na˜o e´ poss´ıvel garantir,
por exemplo, que o segmento XY esta´ de fato contido na reta paralela a ZW passando por X (uma
diferenc¸a de 0,0001 mm na˜o seria percebida). Mais ainda: as imagens geradas pelo GeoGebra 5.x
sa˜o apenas modelos dos objetos matema´ticos (segmentos, pontos, retas) que sa˜o, em u´ltima ana´lise,
abstratos. Pontos, segmentos e retas na˜o possuem espessura e, no GeoGebra 5.x, estes objetos sa˜o
representados com uma espessura. Modelos sa˜o o´timos para acessar e entender objetos abstratos,
mas estes modelos na˜o substituem uma demonstrac¸a˜o matema´tica.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ