Aula Teórica Nº 011

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS 
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO 
ENGENHARIA CIVIL 
 
Av: Dom José Gaspar, 500 Coração Eucarístico 
Belo Horizonte - MG - CEP 30535-901 
Tel.: (0**31) 3319-4444 – Fax: (0**31) 3319-4225 
- 1 - 
FUNÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
ÁREA DE CONHEC.: INFRA-ESTRUTURA VIÁRIA 
AULAS Nº: 11 – TEÓRICA 
PROF.: HENRIQUE J. RAAD (henriquejraad@yahoo.com.br) 
 
1. TEÓRICA: Concordância em Curvas Horizontais de Transição 
 
Quando um veículo em movimento por uma via passa de um trecho em tangente (raio infinito) para um trecho curvo 
(raio finito), surge uma força aplicada no automóvel que tende a conduzi-lo perpendicularmente à tangente da curva no ponto 
instantâneo, conhecida como força centrífuga. Considerando este fenômeno, o desenvolvimento de projetos viários deve 
observar critérios de conforto e segurança para os usuários na execução das curvas do eixo viário, visando reduzir incômodos 
gerados por uma criação brusca de força centrífuga sobre o veículo no momento de entrada do mesmo na curva. Para tanto 
utiliza-se nas curvas o elemento denominado “transição”, que se caracteriza como um trecho onde o raio vai variar 
gradativamente do valor do trecho em tangente (raio infinito) para o valor do trecho em curva mais acentuada (ou vice-versa). 
 
Segundo PONTES FILHO (1998), a curva de transição exerce três funções principais: 
• Proporcionar o crescimento gradual da força centrífuga que incide sobre o veículo quando de sua passagem 
do trecho em tangente para o trecho curvo; 
• Garantir intervalo suficiente e adequado para o giro da pista no sentido transversal para que a mesma atinja 
gradualmente o valor da superelevação máxima no ponto ode a curva possui menor raio; 
• Garante visibilidade satisfatória ao veículo e possibilita mudanças de direção com a constância da velocidade 
de operação. 
 
Diversos são os tipos de curvas de transição. Neste estudo, porém nos ateremos ao uso das curvas denominadas 
“Clotóides” ou “Espirais de Cornu”. Nestas curvas, o produto do raio de curvatura “R” pelo seu comprimento “L” desde a 
origem é igual a uma constante K2. A magnitude K é denominada parâmetro da clotóide. Quanto maior o parâmetro, mais lenta 
é a mudança da curvatura, o que garante a adoção de maiores velocidades diretrizes (Figura 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Parâmetros da Clotóide de Transição [sic PONTES FILHO, 1998] 
 
As curvas de transição podem ser do tipo simétricas, quando a curva interna de raio constante é separada das 
tangentes por trechos de transição de parâmetros iguais, ou assimétricas, quando tais trechos não possuem parâmetros iguais. 
 
Dentre os diversos métodos de cálculo para as curvas de transição, estudaremos aqui o mais utilizado, denominado 
método do raio conservado. O uso de curvas de transição, segundo o DNER, deve ser observada a velocidade diretriz da via 
para definição do uso ou não da transição. A Tabela 1 indica a dispensa ou não da curva de transição. Na tabela, observa-se 
que, por exemplo, para uma velocidade de projeto de 70 km/h, quando adotar-se raio superior a 950 metros pode ser 
dispensada a transição nas curvas. 
 
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Tabela 1: Valores limites dos raios R acima dos quais podem ser dispensadas curvas de transição [sic PONTES FILHO, 1998] 
Vp (km/h) 30 40 50 60 70 80 90 100 
R (m) 170 300 500 700 950 1200 1550 1900 
 
A seguir serão apresentadas as metodologias de cálculo para cada um destes dois tipos. 
 
Curva horizontal com transição simétrica 
 
A Figura 2 mostra a representação de uma curva horizontal de transição simétrica com seus elementos constituintes, 
incluindo curvatura interna e espirais de transição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Curva horizontal com espirais de transição simétrica [sic PONTES FILHO, 1998] 
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A Clotóide, por definição, possui o raio de curvatura, em qualquer ponto, inversamente proporcional aos 
desenvolvimentos de seus respectivos arcos. Sendo L o comprimento do arco e R o raio de curvatura no extremo deste mesmo 
arco, a lei de curvatura da Clotóide é dada pela expressão: 
2KLR =⋅ , Equação 001 
onde K é o parâmetro da Clotóide. 
 
Tomando-se, na Figura 3, o raio do ponto SC como sendo RC e o desenvolvimento do arco TS a SC como sendo Ls, e 
considerando que o raio Rc é também o raio da curva circular central, temos, de acordo com a Equação 001: 
2KLR sc =⋅ , Equação 002 
e 
2KLRLR sc =⋅=⋅ . Equação 003 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3: Elementos da espiral [sic PONTES FILHO, 1998] 
 
Pela análise da Figura 3, à curva de ângulo infinitesimal dθ (θ medido em radianos) e raio R existe um 
correspondente comprimento de arco dL. Com o uso da Equação 003 temos: 
∴=⋅= θθ d
L
KdRdL
2
 
2K
dLLd ⋅=θ . Equação 004 
 
Por integração, temos: 
∴
⋅
= ∫∫ 2K
dLLdθ 
2
2
2K
L
=θ , Equação 005 
e, substituindo o termo K2, conforme a Equação 003, temos: 
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- 4 - 
sc LR
L
⋅⋅
=
2
2
θ . Equação 006 
 
Por outra análise da Figura 3, podemos ainda afirmar que: 
∴=
dL
dxθcos 
dLdx ⋅= θcos . Equação 007 
 
Desenvolvendo a Equação 007 com a utilização de séries de potência (Taylor), obtemos: 
dLdx ⋅





+−+−= ...
!6!4!2
1
642 θθθ
. Equação 008 
 
Por integração da Equação 008, teremos: 
∴⋅





+−+−= ∫∫ dLdx ...!6!4!2
1
642 θθθ
 
∴⋅














+






−






+






−= ∫∫ dL
K
L
K
L
K
L
dx ...
!6
2
!4
2
!2
2
1
6
2
24
2
22
2
2
 
( ) ( ) ( ) ∴⋅





+
⋅
−
⋅
+
⋅
−= ∫ dL
K
L
K
L
K
L
x ...
!62!42!22
1 62
12
42
8
22
4
 
( ) ( ) ( ) ∴+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−= ...!6132!492!252 62
13
42
9
22
5
K
L
K
L
K
LLx 
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ∴





+
⋅⋅
−
⋅⋅
+
⋅⋅
−⋅= ...
!6132!492!252
1 62
62
42
42
22
22
K
L
K
L
K
LLx 
∴





+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅= ...
!613!49!25!01
6420 θθθθLx 






+−+−⋅= ...
936021610
1
642 θθθLx . Equação 009 
 
Analogamente, para o seno do ângulo θ temos: 
∴=
dL
dy
senθ 
dLsendy ⋅= θ . Equação 010 
 
Desenvolvendo a Equação 010 com a utilização de séries de potência (Taylor), obtemos: 
dLdy ⋅





+−+−= ...
!7!5!3
753 θθθθ . Equação 011 
 
Por integração, teremos: 
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- 5- 
∴⋅





+−+−= ∫∫ dLdy ...!7!5!3
753 θθθθ 
∴⋅














+






−






+






−





= ∫∫ dL
K
L
K
L
K
L
K
Ldy ...
!7
2
!5
2
!3
2
2
7
2
25
2
23
2
2
2
2
 
( ) ( ) ( ) ∴⋅





+
⋅
−
⋅
+
⋅
−= ∫ dLK
L
K
L
K
L
K
Ly ...
!72!52!322 72
14
52
10
32
6
2
2
 
( ) ( ) ( ) ∴+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅= ...!7215!5211!32723 72
15
52
11
32
7
2
3
K
L
K
L
K
L
K
Ly 
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ∴





+
⋅⋅
−
⋅⋅
+
⋅⋅
−
⋅
⋅= ...
!7152!5112!37223 72
72
52
52
32
32
2
2
K
L
K
L
K
L
K
LLy 
∴





+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅= ...
!715!511!37!13
7531 θθθθLy 






+−+−⋅= ...
756001320423
753 θθθθLy . Equação 012 
 
Generalizando as Equações 011 e 012 temos: 
( )
( ) ( )∑
∞
=
⋅+
⋅−
⋅=
0
2
!214
1
n
nn
nn
Lx θ , e Equação 013 
( )
( ) ( )∑
∞
=
+
+⋅+
⋅−
⋅=
0
12
!1234
1
n
nn
nn
Ly θ . Equação 014 
 
Utilizando-se a Equação 005 nas Equações 009 e 012, obtém-se: 






+−+−⋅⋅= ...
936021610
12
642 θθθθKx , e Equação 015 






+−+−⋅⋅= ...
756001320423
2
753 θθθθθKy , Equação 016 
constituindo tais equações às da Clotóide com base em seu parâmetro K. 
 
Considerando que no ponto SC da curva de transição L = Ls, temos (conforme Equações 006, 009 e 012): 
∴
⋅⋅
=
sc
s
s LR
L
2
2
θ 
c
s
s R
L
⋅
=
2
θ , Equação 017 








+−+−⋅= ...
936021610
1
642
sss
ss LX
θθθ
, e Equação 018 
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- 6 - 








+−+−⋅= ...
756001320423
753
ssss
ss LY
θθθθ
. Equação 019 
 
A prática de projeto verificou, porém, que as equações 018 e 019 podem ser reduzidas sem perda em seus valores 
considerando limites de precisão necessários, uma vez que quanto mais elevado o termo, menor sua participação no valor final. 
Assim: 








+−⋅=
21610
1
42
ss
ss LX
θθ
, e Equação 020 








−⋅=
423
3
ss
ss LY
θθ
. Equação 021 
 
Com base na Figura 4 a seguir, podemos definir algumas relações entre componentes da curva de transição, a saber: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: Elementos da espiral de transição [sic PONTES FILHO, 1998] 
 
∴+= akX s 
aXk s −= ; Equação 022 
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∴+= bpYs 
bYp s −= ; Equação 023 
∴=
c
s R
a
senθ 
sc senRa θ⋅= ; Equação 024 
∴
−
=
c
c
s R
bRθcos 
( )scRb θcos1−⋅= ; Equação 025 
pR
kTT
c +
−
=




 ∆
2
tan ; Equação 026 
ER
pR
c
c
+
+
=




 ∆
2
cos . Equação 027 
 
Mesclando as Equações 022 a 027, obtemos as expressões para os cálculos da abscissa do centro O’ (k), do 
afastamento da curva circular (p), da tangente total (TT), e da distância do PI ao ponto médio da curva circular (E): 
scs senRXk θ⋅−= ; Equação 028 
( )scs RYp θcos1 −⋅−= ; Equação 029 
( ) 




 ∆
⋅++=
2
tanpRkTT c ; Equação 030 
c
c RpRE −





 ∆
+
=
2
cos
. Equação 031 
 
As estacas dos pontos notáveis são calculadas pelas equações a seguir: 
( ) ( ) [ ]TTPIETSE −= ; Equação 032 
( ) ( ) [ ]sLTSESCE += ; Equação 033 
( ) ( ) [ ]DSCECSE += ; Equação 034 
( ) ( ) [ ]sLCSESTE += . Equação 035 
 
O desenvolvimento da curva circular (D) para as curvas com transições simétricas é dado por: 
φ⋅= cRD , Equação 036 
sendo 
sθφ 2−∆= , Equação 037 
com D e Rc dados em metros e Ø em radianos. Na Equação 036 D deve ser não negativo, ou seja, D ≥ 0, e para isso, 
os valores máximos de Ls devem ser reduzidos possibilitando tal situação. 
 
Comprimentos mínimo e máximo de transição 
 
O cálculo do comprimento mínimo do trecho de transição deve ser feito de forma a considerar valores onde a força 
centrífuga é inserida no movimento do veículo gradualmente. 
 
Analisando a Figura 2 nota-se que em qualquer ponto da Clotóide temos: 
cc LRLR ⋅=⋅ . Equação 038 
 
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Sendo a aceleração centrífuga dada por: 
R
v
ac
2
= , Equação 039 
v indicando a velocidade do veículo, temos (por substituição da Equação 038 em 039): 
sc
c LR
Lv
a
⋅
⋅
=
2
. Equação 040 
 
O comprimento de transição Ls pode também ser entendido como o produto da velocidade uniforme do veículo pelo 
tempo que o mesmo utiliza para percorrer Ls, ou seja: 
tvL ⋅= ; Equação 041 
com base nesta afirmação, temos então: 
∴
⋅
⋅⋅
=
sc
c LR
tvv
a
2
 
sc
c LR
tv
a
⋅
⋅
=
3
. Equação 042 
 
A variação da aceleração centrífuga deve ser constante, então: 
( ) J
dt
ad c
= , Equação 043 
sendo J a constante de aumento da reação radial sobre o veículo, temos então: 
sc LR
vJ
⋅
=
3
. Equação 044 
 
Estudos mostram que valores aceitáveis de J situam-se entre 0,3 e 0,8 m/s3. O DNIT adota como Jmax o valor de 0,6 
m/s3. Considerando, então, Jmax = 0,6 m/s3, Rc em metros e V em km/h, o comprimento mínimo do trecho de transição, em 
metros, será dado por: 
∴
⋅






=
⋅
=
cc
s R
V
RJ
vL
6,0
6,3
3
max
3
min 
c
s R
VL
3
min 036,0 ⋅= . Equação 045 
 
Devem ser adotados preferencialmente valores superiores ao Ls mínimo calculado, sendo usual considerar como valor 
a ser adotado (Ls min + Ls max)/2 ou 3Ls min desde que estes valores sejam menores que Ls max [PONTES FILHO, 1998]. 
 
O critério do tempo de percurso na transição define o comprimento mínimo da transição como sendo a distância 
mínima que o veículo deve percorrer à velocidade diretriz em 2 segundos. Sendo assim, por este critério temos: 
VLs ⋅= 556,0min . Equação 046 
 
O comprimento máximo da transição corresponde ao valor de desenvolvimento do trecho de transição onde o 
comprimento do trecho de curva circular é nulo, ou seja: 
∴⋅==∆∴=−∆=
c
s
ss R
L
2
2202 maxθθφ 
∆⋅= cs RL max , Equação 047 
com Ls max e Rc em metros e ∆ em radianos. 
 
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Exemplo 1: Numa curva de uma rodovia temos os seguintes elementos [sic PONTES FILHO, 1998]: V=80 km/h, ∆=35º, 
Rc=500 m e E(PI)=E228+17,00 m. Determinar Ls min, Ls max, θs,Xs, Ys, Ø, D, k, p, TT, E, E(TS), E(SC), E(CS), E(ST). 
 
Resolução: 
 
Cálculo de Ls min 
 
Da Equação 045 temos: 
 
mLL ss 86,36500
80036,0 min
3
min =∴⋅= 
 
Cálculo de Ls max 
 
Da Equação 047 temos: 
 
mLLRL sscs 43,305180
º35500
maxmaxmax =∴
⋅⋅
=∴∆⋅= pi 
 
Cálculo de θs 
 
Da Equação 017 temos, adotando-se Ls ≈ 3Ls min: 
 
radss 120,05002
120
=∴
⋅
= θθ 
 
Cálculo de Xs 
 
Da Equação 020 temos: 
 
mXX ss 83,119216
12,0
10
12,01120
42
=∴





+−⋅= 
 
Cálculo de Ys 
 
Da Equação 021 temos: 
 
mYY ss 80,442
12,0
3
12,0120
3
=∴





−⋅= 
 
Cálculo de Ø 
 
Da Equação 037 temos: 
 
rad370867,012,02
180
35 =∴⋅−⋅= φpiφ 
 
Cálculo de D 
 
Da Equação 036 temos: 
 
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mDD 43,185370867,0500 =∴⋅= 
 
Cálculo de k 
 
Da Equação 028 temos: 
 
( ) mkradk 98,5912,0sen50083,119 =∴⋅−= 
 
Cálculo de p 
 
Da Equação 029 temos: 
 
( )[ ] mpradp 20,112,0cos150080,4 =∴−⋅−= 
 
Cálculo de TT 
 
Da Equação 030 temos: 
 
( ) mTTTT 00,218
2
º35
tan20,150098,59 =∴





⋅++= 
 
Cálculo de E 
 
Da Equação 031 temos: 
 
mEE 52,25500
2
º35
cos
20,1500
=∴−






+
= 
 
Cálculo das estacas 
 
Das Equações 032 a 035 temos: 
 
( ) ( ) mETSEmETSE 00,19217)(00,21800,17228 +=∴−+=
, 
( ) ( ) ( ) mESCEmmESCE 00,1922300,12000,19217 +=∴++=
, 
( ) ( ) ( ) mECSEmmECSE 43,423343,18500,19223 +=∴++= , e 
( ) ( ) ( ) mESTEmmESTE 43,423900,12043,4233 +=∴++= . 
 
*** 
 
Curva circular com transições assimétricas 
 
Curvas circulares com transição assimétricas são as curvas onde as transições de entrada e saída da curva circular 
possuem comprimentos diferentes. Para tais curvas, conforme Figura 5, com excessão dos valores TT1 e TT2, todos os 
elementos são calculados de forma análoga às curvas simétricas. 
 
Para o cálculo de TT1 e TT2 temos, com base em análise da Figura 5: 
( ) ( ) 




 ∆
⋅+
2
tan1 1pRc , 
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PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO 
ENGENHARIA CIVIL 
 
Engenharia Civil – Infra-estrutura Viária 
Prof. Henrique J. Raad 
henriquejraad@yahoo.com.br 
 
- 11 - 
( ) ( ) 




 ∆
⋅+
2
tan2 2pRc , 
( )
∆
−
sen
3 12 pp , 
então 
( )
∆
−
+




 ∆
⋅++=
sen2
tan 12111
pppRkTT c Equação 048 
para a Espiral 1, e 
( )
∆
−
+




 ∆
⋅++=
sen2
tan 12222
pppRkTT c Equação 049 
para a Espiral 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5: Curva horizontal circular com transições assimétricas [sic PONTES FILHO, 1998] 
 
As demais relações podem ser conhecidas como 
c
s
s R
L
⋅
=
2
1
1θ , Equação 050 
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- 12 - 








+−+−⋅= ...
936021610
1
6
1
4
1
2
1
11
sss
ss LX
θθθ
, Equação 051 








+−+−⋅= ...
756001320423
7
1
5
1
3
11
11
ssss
ss LY
θθθθ
, Equação 052 
111 sen scs RXk θ⋅−= , e Equação 053 
( )111 cos1 scs RYp θ−⋅−= , Equação 054 
sendo estas equações (050 a 054) relacionadas à Espiral 1, e 
c
s
s R
L
⋅
=
2
2
2θ , Equação 055 








+−+−⋅= ...
936021610
1
6
2
4
2
2
2
22
sss
ss LX
θθθ
, Equação 056 








+−+−⋅= ...
756001320423
7
2
5
2
3
22
22
ssss
ss LY
θθθθ
, Equação 057 
222 sen scs RXk θ⋅−= , e Equação 058 
( )222 cos1 scs RYp θ−⋅−= , Equação 059 
estas equações (055 a 059) relacionadas à Espiral 2, valendo ainda a seguinte relação 
( ) 021 ≥+−∆= ss θθφ . Equação 060 
 
Os demais tipos de curvas horizontais são calculados através da soma dos procedimentos adotados para os cálculos 
vistos em curvas simples, compostas e de transição. 
 
Exemplo 2: Para a curva do Exemplo 1, considerando que a mesma é assimétrica e que Ls1 e Ls2 medem respectivamente 
120,0 m e 150,0 m, determine Ls min, Ls max, θs1, Xs1, Ys1, Ø, D, k1, p1, TT1, E, E(TS), E(SC), E(CS), E(ST), θs2, Xs2, Ys2, k2, p2, 
TT2. 
 
Resolução: 
 
Cálculo de Ls min 
 
Da Equação 045 temos: 
 
mLL ss 86,36500
80036,0 min
3
min =∴⋅= 
 
Cálculo de Ls max 
 
Da Equação 047 temos: 
 
mLLRL sscs 43,305180
º35500
maxmaxmax =∴
⋅⋅
=∴∆⋅= pi 
 
Cálculo de θs1 
 
Da Equação 050 temos 
 
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PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO 
ENGENHARIA CIVIL 
 
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henriquejraad@yahoo.com.br 
 
- 13 - 
radss 120,05002
120
11 =∴
⋅
= θθ 
 
Cálculo de θs2 
 
Da Equação 055 temos 
 
radss 150,05002
150
22 =∴
⋅
= θθ 
 
Cálculo de Xs1 
 
Da Equação 051 temos: 
 
mXX ss 83,119216
12,0
10
12,01120 1
42
1 =∴





+−⋅= 
 
Cálculo de Xs2 
 
Da Equação 056 temos: 
 
mXX ss 66,149216
15,0
10
15,01150 2
42
2 =∴





+−⋅= 
 
Cálculo de Ys1 
 
Da Equação 052 temos: 
 
mYY ss 80,442
12,0
3
12,0120 1
3
1 =∴





−⋅= 
 
Cálculo de Ys2 
 
Da Equação 057 temos: 
 
mYY ss 49,742
15,0
3
15,0150 2
3
2 =∴





−⋅= 
 
Cálculo de Ø 
 
Da Equação 060 temos: 
 
( ) rad3409,0015,012,0
180
35 =∴≥+−⋅= φpiφ 
 
Cálculo de D 
 
Da Equação 036 temos: 
 
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- 14 - 
mDD 43,185370867,0500 =∴⋅= 
 
Cálculo de k1 
 
Da Equação 053 temos: 
 
( ) mkradk 98,5912,0sen50083,119 11 =∴⋅−= 
 
Cálculo de k2 
 
Da Equação 058 temos: 
 
( ) mkradk 94,7415,0sen50066,149 22 =∴⋅−= 
 
Cálculo de p1 
 
Da Equação 054 temos: 
 
( )[ ] mpradp 20,112,0cos150080,4 11 =∴−⋅−= 
 
Cálculo de p2 
 
Da Equação 059 temos: 
 
( )[ ] mpradp 88,115,0cos150049,7 22 =∴−⋅−= 
 
Cálculo de TT1 
 
Da Equação 048 temos: 
 
( ) mTTTT 16,219
º35sen
20,188,1
2
º35
tan20,150098,59 11 =∴
−
+





⋅++= 
 
Cálculo de TT2 
 
Da Equação 049 temos: 
 
( ) mTTTT 57,233
º35sen
20,188,1
2
º35
tan88,150094,74 22 =∴
−
+





⋅++= 
 
Cálculo de E 
 
Da Equação 031 temos: 
 
mEE 52,25500
2
º35
cos
20,1500
=∴−






+
= 
 
Cálculo das estacas 
 
Das Equações 032 a 035 temos: 
 
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- 15 - 
( ) ( ) mETSEmETSE 84,17217)(16,21900,17228 +=∴−+= , 
( ) ( ) ( ) mESCEmmESCE 84,1722300,12084,17217 +=∴++= , 
( ) ( ) ( ) mECSEmmECSE 27,323343,18584,17223 +=∴++= , e 
( ) ( ) ( ) mESTEmmESTE 27,1324000,15027,3233 +=∴++= .*** 
 
2. PRÁTICA: Exercícios extra-classe não pontuados 
 
1. Calcule as curvas com transição simétrica e assimétrica dadas pelos Exemplos 1 e 2 considerando ∆=40º. 
2. Exercícios de revisão sobre concordâncias em curvas simples e compostas desenvolvidos no Anexo I. 
 
3. BIBLIOGRAFIA 
 
DNER – Departamento Nacional de Estradas de Rodagem. Manual de Projeto Geométrico de Rodovias Rurais. 1999. 
LEE, Shu Han. Projeto Geométrico de Estradas. Apostila do Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal de 
São Carlos – UFSC. 2000. 
PONTES FILHO, Glauco. Estradas de Rodagem: Projeto Geométrico. São Carlos. 1998. 
SENÇO, Wlastermiler de. Estradas de Rodagem: Projeto. Universidade de São Paulo. 1980. 
CARVALHO1, M. Pacheco de. Curso de Estradas: Estudos, Projetos e Locação de Ferrovias e Rodovias. 2ª Edição. 
Rio De janeiro. Editora Científica. 1967. 
CARVALHO2, M. Pacheco de. Método Prático de Construção de Estradas de Rodagem. Rio De janeiro. Editora 
Rodovia. 1954.