Frações - Operações com números decimais

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Apostila 01 – Prof. Anselmo Matos 1/14 
 
Disciplina: Ciência Aplicada 
Professor: Anselmo Araujo Matos 
 
APOSTILA 01 
I – Operações com Frações 
Frações são números escritos da seguinte forma: 
b
a
 onde 
a
 é o numerador da fração 
e 
b
, que é diferente de 0 (zero), é o denominador da fração e ambos são números 
inteiros. 
As frações podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas e divididas, e veremos como 
se faz cada uma dessas operações. Existem também potenciação e radiciação de 
frações. 
 
Adição: Quando as frações a serem somadas possuírem os denominadores iguais, 
basta repetir o denominador e somar os numeradores. Ex: 
3
5
3
4
3
1

. Quando as 
frações a serem somadas possuírem os denominadores diferentes, basta igualar os 
denominares e proceder como no exemplo anterior. (Obs: Para igualar os 
denominadores utilizamos mmc (mínimo múltiplo comum, que é o menor 
múltiplo comum entre os denominadores). Ex: 
6
7
6
4
6
3
3
2
2
1

. 
Subtração: Procede de forma igual à adição, mas com a operação subtração. 
 
Multiplicação: Para multiplicar duas ou mais frações, multiplicamos numeradores por 
numeradores e denominadores por denominadores. Ex: 
15
8
5
4
*
3
2

 
 
Divisão: Para realizarmos a divisão de frações, devemos transformar a divisão em 
multiplicação. Procedemos da seguinte maneira: mantemos a fração que está no 
numerador, invertemos a operação e invertemos a fração que está no denominador. 
Ex: 
6
5
3
5
*
2
1
5
3
2
1
 . 
Apostila 01 – Prof. Anselmo Matos 2/14 
Pratique: 
a) 
4
3
3
2

 b) 
4
3
3
2

 c) 
4
1
*
2
3
 d) 
5
1
2
3
 e) 
5
1
3
2

 f) 
2
3
*
4
5
 
g) 
4
5
3
4

 h) 
2
5
3

 
 
Resolva as expressões: 
a) 22
3
4
2
3
2
3
2





 







 b) 
3
1
7
3
*
4
5

 c) 2
4
5
5
3
3
2
 
d) 
4
5
5
7
3
7
4
7
2
3
2
2














 
PS: O símbolo * possui o significado de multiplicação 
 
II – Operações com Números Decimais 
Números Decimais: Notação Decimal. 
. 
Basicamente o que diferencia um número decimal de um número natural é a 
existência da virgula. 
. 
Por exemplo: Entre os números 9 e 10 não existe nenhum número natural, para 
resolver este problema foram criados os números decimais, que neste caso poderia 
ser 9,5 ou outro número qualquer com virgula entre 9 e 10. 
. 
Exemplos de ordens do sistema de numeração decimal maiores que a unidade: 
dezena, centena, milhar e assim por diante. 
. 
Exemplos de ordens decimais menores que a unidade: décimos, centésimos, 
milésimos, décimos de milésimos e assim por diante. 
 
Apostila 01 – Prof. Anselmo Matos 3/14 
 
Operações Matemáticas Com Números Decimais: 
. 
Adição: 
. 
Nas operações de adição com números decimais é necessário organizar os números 
de modo que as unidades de mesma ordem se correspondam, colocando a virgula no 
lugar correto. 
Resumindo: As vírgulas devem ficar uma exatamente em baixo da outra. 
. 
Exemplo Prático: 12,50 + 2525,36 + 1,30 = 
. 
 
1 2 , 5 0 
+ 
2 5 2 5 , 3 6 
 
1 , 3 0 
 
 
 
2 5 3 9 , 1 6 
 
. 
Subtração: 
. 
O procedimento é semelhante ao da adição, onde o minuendo deverá ser colocado 
embaixo do subtraendo, de modo que as unidades de mesma ordem se 
correspondam. 
Resumindo: As vírgulas devem ficar uma exatamente em baixo da outra. 
. 
Exemplo Prático: 1234,45 - 925,30 = 
. 
_ 
1 2 3 4 , 4 5 
 
9 2 5 , 3 0 
 
 
 
3 0 9 , 1 5 
 
. 
Multiplicação: 
. 
Para multiplicar números decimais devemos agir como se fossem números inteiros, 
desconsiderando a virgula em um primeiro momento. Depois de concluída a 
operação, separamos com vírgula, a partir da direita do resultado final, tantas casas 
decimais quantas tenham o multiplicando e o multiplicador juntos. 
. 
Exemplo Prático: 253,66 x 2,34 = 
. 
x 
2 5 3, 6 6 
 
2, 3 4 
 
 
 
+ 
1 0 1 4 6 4 
 
7 6 0 9 8 
 
 
5 0 7 3 2 
 
 
 
5 9 3 5 6 4 4 
 
. 
Colocando a virgula no local correto temos o número: 593,5644 
. 
Divisão: 
. 
Apostila 01 – Prof. Anselmo Matos 4/14 
Ao dividirmos dois números decimais devemos igualar o número de casas decimais 
do dividendo e do divisor, acrescentando zeros à direita do que tiver menor número 
de casas decimais. Depois as virgulas devem ser eliminadas e efetuamos a divisão 
como se fossem números inteiros. 
. 
Exemplo Prático: 15,048 : 0,26 = 
 . 
 1 5 0 4 8 260 
 2 0 4 8 5 7, 8 7 6 9 
 2 2 8 0 
 2 0 0 0 
 1 8 0 0 
 2 4 0 0 
 0 6 0 
 
 
. 
Exercícios: 
 
1) João tem R$ 84,30. Pedro tem R$ 31,50 a mais que João, e José tem R$ 54,25 a 
mais que Pedro. Quanto têm os três juntos? 
 
2) Calcule as expressões: 
a) 17,352 – 15,2 + 8,3 
b) 35,25 – (4,85 – 1,23 + 17,9) 
c) 15 – (3,25 + 2,7 – 4,08) – 10 
d) 20,3 – [4,75 – (1,2 + 2,38)] + 5,1 
 
3) Calcule o valor das expressões: 
a) 1 – 0,25 . 0,15 
b) 7,5 . 3,8 + 3,5 . 0,5 
c) 5,75 . 2,05 – 3,01 . 2,04 
d) 2 . (3,15 – 2,08) + 4 . (2,04 . 3,05) 
 
4) Calcule: 
Apostila 01 – Prof. Anselmo Matos 5/14 
a) 5,237 . 10 
b) 4,169 . 100 
c) 8,63 . 1 000 
d) 0,287 . 100 
e) 1 000 . 0,9 
f) 10 . 0,3 
g) 1 000 . 5,4 
 
5) Calcule: 
a) 4,83 : 10 
b) 674,9 : 100 
c) 0,08 : 10 
d) 7 814,9 : 1 000 
e) 0,017 : 100 
f) 6 312,4 : 1 000 
 
6) Descubra os números que deveriam estar no lugar dos espaços: 
a) 18,71 . ________ = 187,1 
b) 0,0596 . ________ = 59,6 
c) 227,8 : ________ = 22,78 
d) 4 512 : ________ = 0,4512 
 
7) O preço à vista de um automóvel é R$ 21 335,00. O mesmo automóvel a prazo 
custa R$ 4 740,50 de entrada, mais 6 prestações de R$ 3 567,75. Qual a diferença 
entre o valor total da compra à vista e a prazo? 
Apostila 01 – Prof. Anselmo Matos 6/14 
8) Calcule e responda: 
a) Em 1º de março de 2005, um dólar valia R$ 2,66. Se nessa época você 
comprasse 75 dólares, quantos reais você gastaria? 
b) Em 13 de outubro de 2007, um dólar valia R$ 1,72. Quanto estaria valendo os 
75 dólares que você comprou 1 ano e sete meses atrás? 
c) Se você tivesse comprado os 75 dólares como investimento, você teria ganhado 
ou perdido dinheiro? Quanto? 
9) Um certo número de caixas foi colocado em uma balança. Todas as caixas têm o 
mesmo peso: 1,5 quilograma. Se a balança marcou 24 quilogramas, quantas caixas 
foram colocadas na balança? 
10) Um número A é tal que expressa o resultado da divisão de 45 por 0,36. Qual é o 
número A? 
11) Vamos calcular? 
a) 5 : 0,4 c) 7 : 0,35 e) 8 : 3,2 
b) 9 : 0,06 d) 4 : 0,16 f) 1 : 2,5 
12) Efetue as divisões: 
a) 2,08 : 0,8 c) 1,2 : 0,24 e) 9,81 : 0,9 
b) 7,44 : 0,6 d) 5,4 : 2,7 f) 0,063 : 0,09 
13) Escreva a representação decimal das frações, identificando se são decimais 
exatos ou dízimas periódicas: 
a) 
4
21
 = c) 
20
77
 = e) 
6
11
 = 
b) 2
8
1
 = d) 
9
31
 = f) 
90
29
 = 
14) O candidato vencedor de uma eleição teve 52% dos votos válidos. Se houve 3500 
votos válidos, quantos foram os votos do candidato vencedor? 
15) Segundo especialistas, em média, 25% do consumo de energia elétrica de uma 
residência deve-seao chuveiro elétrico. A última conta de energia elétrica da casa 
de Bia deu R$ 120,25. Bia resolveu instalar equipamentos de capitação de energia 
solar para alimentar o chuveiro. Com isso, não teria ônus com o consumo de 
energia, apesar do custo inicial da instalação. Qual a economia financeira que Bia 
vai ter na sua conta de energia elétrica? 
Apostila 01 – Prof. Anselmo Matos 7/14 
 
III – Operações com Ângulos 
ADIÇÂO 
Dado os ângulos de 6º 25’ 36” e 4º 40’ 30”, a soma entre eles é: 
 
O resultado da soma é 10º 65’ 66”, porém podemos apresentar o resultado de uma 
outra forma. Acompanhe a demonstração: 
No ângulo de medida 10º 65’ 66”, temos que 65’ = 60’ + 5’ = 1º + 5’ e 66” = 60” + 6” = 
1’ + 6”. Dessa forma, 10º 65’ 66” = 11º 6’ 6”. 
 
SUBTRAÇÂO 
Dados os ângulos 54º 16’ 32” e 27º 18’ 40”, a subtração entre eles é: 
 
Observe que existem valores no minuendo que são menores dos que os valores do 
subtraendo, quando isso acontece na subtração temos que tirar do valor da esquerda 
completando o que está menor. 
Ao retirarmos 1’ de 16’ ficaremos com 15’, sendo que 1’ = 60” o qual deve ser somado 
a 32” resultando em 92”. 
 
Agora devemos retirar 1º de 54º que será igual à 53º, considerando que 1º = 60’, 
temos 60’ + 15’ = 75’. Portanto: 
Apostila 01 – Prof. Anselmo Matos 8/14 
 
O resultado da subtração é igual a 26º 57’ 52”. 
MUTPLICAÇÂO 
Para multiplicar graficamente um número natural por um ângulo, soma-se este ângulo 
a ele mesmo quantas vezes o número natural indicar 
Para multiplicar numericamente um número por um ângulo, multiplica-se o número 
pelos segundos, minutos e graus, respectivamente. 
Exemplo: 
11° 23' 31' X 6 = 66° 138' 186' 
Como o número de segundos e o de minutos são maiores do que 60, temos de 
transformá-los na unidade superior. 186'/ 60 = 3' e sobram 6'. Somamos os 3' aos 138' 
que tínhamos, obtemos 141'. 141' / 60 = 2° e sobram 21'. Somamos os 2° aos 66° que 
tínhamos e obtemos 68°. O resultado final é: 68° 21' 6'. 
DIVISÂO 
Esta operação nem sempre pode ser feita graficamente. Não é possível, por exemplo, 
dividir um ângulo em três outros iguais com a ajuda de régua e compasso. Portanto, 
esta operação sempre terá de ser feita numericamente. Para isto, dividimos os graus, 
os minutos e os segundos pelo número. Devemos considerar que os diferentes restos 
obtidos terão de ser previamente transformados na unidade inferior. 
Exemplo: 
Realizar a divisão de 356° 13' 38' por 12: O resultado final será: 29° 41' 8' e 2' de 
resto. 
Se o número de graus for menor que o número pelo qual estamos dividindo, 
transformamos os graus em minutos e damos início à divisão. 
Exercícios: 
1 - (UFSC) Dados os ângulos: 
^A=22º32'15" 
^B=17º49'47" 
^C=75º01'52" 
^D=32º44'20" 
Calcular o valor, em graus, o valor da expressão: (A+C)-(B+D) 
 
IV - Razão e proporção 
Propriedade fundamental da proporção 
Apostila 01 – Prof. Anselmo Matos 9/14 
Quando fazemos a proporção de duas razões iremos ter os termos dos meios e dos 
extremos. 
5 = 10 ou 5 : 8 = 10 : 16 
8 16 
Os números 5, 8, 10 e 16 são os termos dessa proporção sendo que 5 e 16 são os 
termos dos extremos e 8 e 10 são os termos dos meios. 
 
Essa propriedade diz: 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos 
Portanto, se pegarmos a proporção acima e aplicarmos essa propriedade iremos obter 
o seguinte resultado: 
Produto dos termos dos meios: 8 x 10 = 80 
Produto dos termos dos extremos: 5 x 16 = 80 
Assim, verificamos que a propriedade é verdadeira. 
Propriedades da soma dos termos em uma proporção 
Uma proporção é composta por duas razões, ou seja, por quatro termos, pois cada 
razão possui 2 termos, veja: 
 
Essa propriedade diz: 
Se somar os dois termos da primeira razão e dividir pelo primeiro ou pelo segundo 
termo irá obter uma razão igual à soma dos dois termos da segunda razão dividida 
pelo terceiro ou quarto termo. 
Veja o exemplo abaixo: 
 
Dada a seguinte proporção: 
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Formando duas outras proporções iguais entre si. 
Exercícios: 
1) Qual a razão que é igual a 2/7 e cujo antecedente seja igual a 8. 
2) Almejando desenhar uma representação de um objeto plano de 5m de 
comprimento, usando uma escala de 1:20, qual será o comprimento no desenho: 
3) Em uma sala de aula, a razão de moças para o número de rapazes é de 5/4. Se o 
número total de alunos desta turma é de 45 pessoas, caso exista uma festa quantas 
moças ficariam sem par ? 
4) (FEDF-95 / Professor Nível 1) Um copo de suco corresponde a 250 ml. Uma 
professora fez suco para 48 copos, o que corresponde em litros, a: 
5) (FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Um disco gira a 45 rotações por minuto. Em 4 
segundos, o disco dá: 
a) 3 voltas b) 5 voltas c) 6 voltas d) 9 voltas e) 12 voltas 
 
6) Do meu salário líquido dedico: 
25% ao aluguel, 
30% à alimentação, 
5% à compra de medicamento, 
15% pagamento de mensalidades. 
O resto que me sobre é R$ 550,00 para lazer. Desta forma pode-se afirmar que meu 
salário é no valor de : 
a) R$ 1.200,00 
b) R$ 785,00 
c) R$ 2.200,00 
d) R$ 2.250,00 
e) R$ 650,00 
7) (FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Em uma loja, o metro de um determinado tecido 
teve seu preço reduzido de R$ 5,52 para R$ 4.60. Com R$ 126,96, a porcentagem de 
tecido que se pode comprar a mais é de : 
a) 19,5 % b) 20% c) 20,5% d) 21% e) 21,5% 
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8) (UNISC) Considere quatro municípios W, X, Y e Z, cujas áreas, representadas nas 
escalas abaixo, têm, respectivamente, 440cm2, 100cm2, 320cm2 e 500cm2. Sabendo-
se que a população de cada um é de 25.000 habitantes, qual desses municípios tem a 
maior densidade demográfica? 
 
a) W 
b) X 
c) Y 
d) Z 
e) A densidade demográfica é a mesma em todas as alternativas. 
9) (UNIFEI) Em um mapa rodoviário de escala não definida, a distância entre duas 
cidades é de 10 cm. Considerando que a distância real entre ambas é 150 km, a 
escala do mapa é de: 
a) 1: 150.000 
b) 1: 15.000 
c) 1: 1.500.000 
d) 1: 1.500 
55- (UNIVALE) 
Em um mapa de escala 1: 3.000.000, quantos centímetros serão necessários para 
representar uma reta de 150 km reais? Assinale: 
a) 20 
b) 2 
c) 50 
d) 5 
e) 0,2 
 
V – Porcentagem 
Razão centesimal 
Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão 
centesimal. Alguns exemplos: 
 
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: 
Apostila 01 – Prof. Anselmo Matos 12/14 
 
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas 
percentuais. 
Considere o seguinte problema: 
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? 
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total 
de cavalos. 
 
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. 
Portanto, chegamos a seguinte definição: 
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um 
determinado valor. 
 
Exemplos: 
Calcular 10% de 300. 
 
Calcular 25% de 200kg. 
 
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada. 
Exemplos: 
1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, 
transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? 
 
Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 
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2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual 
a taxa percentual de lucro obtida? 
Montamos uma equação, onde somando os R$250,00iniciais com a porcentagem que 
aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00. 
 
Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%. 
 
Exercícios: 
1. Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1.500,00. Obteve-se um desconto de 5%. 
Qual foi ovalor pago em reais? 
2. Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 0,12% 
sobre o seupreço. Quanto ele passou a custar? 
3. Uma impressora a laser custou R$ 2.000,00 para uma gráfica. No período de um 
mês, ela apresentou um lucro de R$ 100,00. De quanto porcento foi o lucro sobre o 
preço de compra? 
4. Um determinado produto teve um acréscimo de 10%, sobre o seu preço de tabela. 
Após certo período, teve um decréscimo também de 5% sobre o preço que foi 
aumentado, obtendo assim o preço atual. Qual é o percentual que o preço atual 
corresponde em relação ao primeiro valor (preço de tabela)? 
5. De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se 
que a taxa percentual de reprovação foi de 15%. Calcule o número de aprovados. 
6. Uma bolsa é vendida por R$32,00. Se seu preço fosse aumentado em 20%, quanto 
passaria a custar? 
7. Certa mercadoria, que custava R$24,00, passou a custar R$30,00. Calcule a taxa 
percentual do aumento. 
8. Qual o preço de uma mercadoria que custa R$50,00 após dois aumentos 
sucessivos de 25% e 20%, respectivamente? 
9. Qual o preço da mercadoria que custa R$100,00 após dois descontos sucessivos, 
de 30% e de 20%. 
10. Um comerciante aumenta o preço original P de certa mercadoria em 80%. Em 
seguida anuncia essa mercadoria com desconto de 20%, resultando um preço final de 
R$ 72,00. Calcule o valor do preço original P. 
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11. Um investidor comprou um lote de ações por R$ 1.500,00 e as revendeu um mês 
depois, por R$ 2.100,00. Qual foi o percentual de lucro por ele obtido? 
12. (FGV) Em 01/03/06, um artigo que custava R$ 250,00 teve seu preço diminuído 
em p% do seu valor. Em 01/04/06, o novo preço foi novamente diminuído em p% do 
seu valor, passando a custar R$ 211,60. O preço desse artigo em 31/03/06 era: 
a) 225,80 b) 228,00 c) 228,60 d) 230,00 e) 230,80 
13. (PUC) Em uma corrida de cavalos, o cavalo vencedor pagou aos seus apostadores 
R$ 9,00 por cada R$ 1,00 apostado. O rendimento de alguém que apostou no cavalo 
vencedor foi de: 
a) 800% b) 90% c) 80% d) 900% e) 9% 
14. (FUVEST) O salário de Antônio é 90% do de Pedro. A diferença entre os salários é 
de R$ 500,00. O salário de Antônio é: 
a) R$ 5500,00 b) R$ 4500,00 c) R$ 4000,00 d) R$ 5000,00 e) R$ 3500,00