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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA PEDRO CASALS FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Aula 1: CONJUNTOS. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Conceitos sobre conjuntos • O conceito de conjunto é primitivo, isto é, não definível. Conjunto nos traz a ideia de coleção de elementos. • Chamamos de elemento ao componente de um conjunto. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Representação de um conjunto Temos três diferentes formas para representar um conjunto • Representação tabular. • Representação por diagrama de Venn. • Representação por meio de uma propriedade FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Relação de pertinência • Considere os conjuntos A e B. • Veja que “i” é um elemento de B, mas não é elemento de A e representamos: • i B (i pertence a B) • i A (i não pertence a A) FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Tipos de Conjunto • Conjunto unitário. • Conjunto vazio. • Conjunto finito. • Conjunto infinito. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Conjuntos iguais • A = B • A C • B C FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Conjunto universo (U) O conjunto universo de um estudo é aquele ao qual pertencem todos os elementos desse estudo. • Considere, por exemplo, os números menores do que 6. • Se o conjunto universo é o conjunto dos números naturais. • Se o conjunto universo é o conjunto dos números naturais pares. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Aula 2: SUBCONJUNTOS, OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS, CONJUNTOS NUMÉRICOS, FORMAS DE REPRESENTAÇÃO. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Subconjunto Sendo A e B dois conjuntos, dizemos que A é subconjunto de B se, e somente se, todos os elementos de A pertencem a B. • A B (A está contido em B) ou • B A (B contém A) • O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. • Todo conjunto é subconjunto de si mesmo. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Operações com conjuntos: interseção Dados dois conjuntos A e B, chamamos de interseção de A com B ao conjunto formado pelos elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto B. • A B (A interseção B) ou • A B = {x| xA e xB} • Se B A; então, A B = B • A B = B A (propriedade comutativa). • (A B) C = A (B C) (propriedade associativa) FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Operações com conjuntos: união Dados dois conjuntos A e B, chamamos de união de A com B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. • A B (A união B) ou • A B = {x| xA ou xB} • Se B A; então, A B = A • A B = B A (propriedade comutativa). • (A B) C = A (B C) (propriedade associativa) FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Operações com conjuntos: Diferença Dados dois conjuntos A e B, chamamos de diferença entre A e B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e que não pertencem ao conjunto B. • A - B (A menos B) ou • A - B = {x| xA e xB} FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Conjuntos numéricos • Conjunto dos números naturais: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...} • Conjunto dos números naturais não nulos: N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,...} • Conjunto dos números inteiros: Z = {...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} • Inteiros negativos: Z- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0} • Inteiros positivos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...} • Inteiros negativos não nulos: Z*- = {..., -5, -4, -3, -2, -1} • Inteiros positivos não nulos: Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...} Conjuntos numéricos Conjuntos numéricos Conjunto dos números reais (R): corresponde à união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais. Formas de representação numérica e transformação: forma fracionária e forma decimal • Os números decimais originam-se nas frações decimais (aquelas cujo denominador é uma potência de 10): 1/10, 3/100, 25/1000, etc. • Por exemplo: a fração ½ equivale à fração 5/10 que, por sua vez, equivale ao número decimal 0,5. • Podemos representar uma fração decimal por um número decimal ou transformar um número decimal em fração decimal. • Exemplo: 25/100 = 0,25 e 7,345 = 7345/1000 Intervalos numéricos Podemos representar o conjunto dos números reais associando cada número a um ponto localizado sobre uma linha reta. Adotando uma unidade e um sentido para esta reta, teremos uma reta denominada de reta orientada. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Intervalos numéricos Considere dois números reais a e b (a < b); são subconjuntos de R os seguintes intervalos: • Intervalo fechado: conjunto dos números reais maiores ou iguais a a e menores ou iguais a b. • Intervalo aberto: conjunto dos números reais maiores do que a e menores do que b. • Intervalo fechado à esquerda: conjunto dos números reais maiores ou iguais a a e menores do que b. • Intervalo fechado à direita: conjunto dos números reais maiores do que a e menores ou iguais a b. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Intervalos numéricos Considere dois números reais a e b (a < b); são subconjuntos de R os seguintes intervalos: • Semi-reta esquerda, fechada, de origem em b. • Semi-reta esquerda, aberta, de origem em b. • Semi-reta direita, fechada, de origem em a. • Semi-reta direita, aberta, de origem em a. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Aula 3: Potenciação, radiciação, expressões algébricas, operações com expressões algébricas, fatoração e produtos notáveis. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Potenciação • A potência do expoente n (n N e n > 1) do número a equivale ao produto de n fatores iguais a a. • O número a é chamado de base e o número n de expoente. • Notação: na • Toda potência de base a (a 0) elevada a um expoente par é positiva. • Toda potência de base a (a 0) elevada a um expoente ímpar, tem o mesmo sinal da base. • Todo número elevado a 0 (zero) é igual a 1. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Operações com potências • Multiplicação de potências de mesma base: conserva-se a base e somam-se os expoentes. • Divisão de potências de mesma base: conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. • Potenciação do produto. • Potenciação do quociente. • Todo número a (a0) elevado a um expoente negativo é igual ao inverso desse número elevado ao simétrico do expoente. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Radiciação • A raiz de índice n de um número a é o número b quando . • O número a é chamado de base e o número n de expoente. • Notação: na • O índice n é um número inteiro maior do que 1. • O número a é chamado de radicando. • Quando o expoente é fracionário, podemos escrever: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Propriedades dos radicais • Raiz do produto: • Raiz de uma divisão: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Expressões algébricas • Termo algébrico (monômio) é o produto entre incógnitas ou entre números e incógnitas. Exemplo: 3.x.y.z • Grau de um monômio é a soma dos expoentes quando todos os expoentes são números inteiros. Exemplo: • Expressão algébrica é a soma ou subtração de termos algébricos. • Valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido quando atribuímos valores às incógnitas. Exemplo: Para x = 3 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Expressõesalgébricas • Monômios semelhantes têm mesma parte literal. • Adição ou subtração de monômios semelhantes: repetimos a parte literal e somamos ou subtraímos os coeficientes. • Multiplicação ou divisão de monômios semelhantes: multiplicamos ou dividimos tanto as partes literais quanto os coeficientes. • Expressões algébricas classificam-se em: • Racionais; • Racionais inteiras; • Racionais fracionárias; • Irracionais. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Polinômios • Polinômios são expressões algébricas racionais inteiras. • Adição ou subtração de polinômios: adicionamos ou subtraímos os termos semelhantes. • Multiplicação: multiplicamos cada termo de um polinômio por todos os termos do outro polinômio e, a seguir, reduzimos os termos semelhantes. • Divisão: dividimos cada termos de um polinômio por todos os termos do outro polinômio e, a seguir, reduzimos os termos. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Produtos notáveis • Quadrado da soma: • Quadrado da diferença: • Produto da soma pela diferença: • Quadrado da soma de três termos: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Produtos notáveis • Cubo de uma soma: • Cubo de uma diferença: • Soma do cubo de dois termos: • Diferença do cubo de dois termos: Produtos de Stevin • • Quando n for ímpar: • • Onde r1 e r2 são as raízes da equação. Fatoração • Fatorar é transformar a soma de uma ou mais parcelas em um produto de um ou mais fatores. • Fator comum (evidência): • Agrupamento: Aula 4: Razão e proporção, propriedades das proporções, regra de três simples e composta e percentagem. Razão • A razão entre dois números a e b é o quociente a/b. • A razão compara quantidades por meio do quociente entre elas e dizemos: a está para b. • O numerador a é o antecedente e o denominador b é o consequente da razão. • Duas ou mais razões são equivalentes quando as frações que as representam são equivalentes. Exemplo: 3/5 = 12/20 • Duas razões são inversas quando o antecedente de uma é igual ao consequente da outra. Proporção • Proporção é a igualdade entre razões. • K é a constante da proporção. • a e d são os extremos da proporção • b e c são os meios da proporção. Propriedades das proporções • Seja a proporção a/b = c/d. • O produto dos meios é igual ao produto dos extremos: a.d = b.c. • A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como cada antecedente está para seu consequente. Grandezas proporcionais • Duas grandezas são diretamente proporcionais quando multiplicando o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra também fica multiplicado por esse mesmo número positivo. • Exemplo: Se uma bala custa R$1,00; duas balas custarão R$2,00 e 5 balas custarão R$5,00; assim, o preço cobrado pelas balas é diretamente proporcional à quantidade comprada. • Duas grandezas são inversamente proporcionais quando multiplicando o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra é dividido por esse mesmo número positivo. • Exemplo: Se eu percorro uma distância de 100Km a 50Km/h, levarei duas horas; se eu percorro a mesma distância a 100Km/h eu levarei apenas uma hora; assim, velocidade e tempo gasto para percorrer uma distância são inversamente proporcionais. Regra de três simples • A regra de três simples serve para calcularmos o quarto termo de uma proporção quando conhecemos os outros três termos e há apenas duas grandezas envolvidas. • Para resolver uma regra de três simples basta que identifiquemos se as grandezas envolvidas são direta ou inversamente proporcionais. • Se as grandezas forem diretamente proporcionais, mantemos as razões e montamos a proporção entre essas razões. • Se as grandezas forem inversamente proporcionais, invertemos uma das razões e montamos a proporção entre essas razões. Regra de três simples: exemplo • Uma máquina fabrica três peças em 20 minutos. Quantas peças ela produzirá em oito horas de trabalho? • Solução: Primeiro, devemos transformar a unidade tempo para minutos; assim teremos uma única grandeza associada à variável tempo: 8 horas = 480 minutos. Se temos mais tempo, a máquina faz mais peças; logo, as grandezas são diretamente proporcionais e temos: Logo: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Regra de três composta • A regra de três composta envolve três ou mais grandezas. • O primeiro passo para resolver uma regra de três composta é organizar as grandezas em uma tabela, identificando se as grandezas envolvidas são direta ou inversamente proporcionais, relacionando cada grandeza com aquela cujo valor é desconhecido (x). Regra de três composta: exemplo • Um grupo de 10 trabalhadores descarrega 210 caixas em 3 horas. Quantas horas são necessárias para que 25 trabalhadores descarreguem 350 caixas? • Inicialmente, marcamos o valor conhecido na coluna do valor desconhecido (horas). • Se aumentamos os trabalhadores, diminui o número de horas; assim essas grandezas são inversamente proporcionais; logo marcamos o valor que está em oposto em linha ao valor desconhecido. • Se aumentarmos o número de caixas, aumenta o número de horas; logo, essas grandezas são diretamente proporcionais; assim, marcamos o valor que está em linha com o valor desconhecido. Trabalhadores Caixas Horas 10 210 3 25 350 x Regra de três composta: exemplo • Assim, montamos a seguinte equação: Trabalhadores Caixas Horas 10 210 3 25 350 x Percentagem • Considere uma pizza dividida em 100 pedaços. Cada pedaço dessa pizza corresponderá a um por cento ou 0,01, ou 1/100 ou, ainda, 1%. Aula 5: Relações e funções. Plano Cartesiano • O sistema cartesiano ortogonal de coordenadas auxilia na determinação de um ponto por meio de um conjunto de informações. • Para determinarmos um ponto de um plano, precisamos fixar nesse plano dois eixos reais x e y perpendiculares entre si. • O plano que contém este sistema é chamado de plano cartesiano. Coordenadas de um ponto no plano Cartesiano • Dado um ponto P no plano cartesiano, chamamos de projeção ortogonal de P sobre um dos eixos (x ou y) à interseção desse eixo com a perpendicular a ele traçada, por P. Par ordenado • Para indicar que um ponto possui abcissa a e ordenada b, representamos: • O símbolo P(a,b) é chamado de par ordenado. Produto cartesiano • Sejam A e B dois conjuntos, consideremos o conjunto AxB = {(x,y)| xA e yB}. • Chamamos ao conjunto AxB de produto cartesiano de A por B. Relações • Seja R um conjunto e supondo que todos os elementos de R sejam pares ordenados, podemos dizer que R é uma relação. • Se (x,y) R, então dizemos que x e y estão associados (ou relacionados) por meio de R. • Assim, o produto cartesiano AxB é uma relação de A em B dada por R = {(x,y)|xA e yB} . • Se R é uma relação de A em B, então chamamos A de conjunto de partida (domínio) e B de conjunto de chegada (imagem). • O plano que contém este sistema é chamado de plano cartesiano. Funções • Uma função é um tipo particular de relação entre conjuntos que possui uma propriedade especial. • Sejam A e B dois conjuntos e R uma relação de A em B, se a cada elemento xA corresponde um único elemento yB, podemos afirmarque R é uma função de A em B. • SejamA e B dois conjuntos não vazios, uma relação f de A em B é função se, e somente se, todo elemento de A estiver associado a um único elemento de B por meio de f. Aula 6: Funções e seus gráficos. Imagem de um elemento • Considere a função mostrada no diagrama abaixo. Se um elemento y de B estiver associado a um elemento x de A por meio da função f, podemos dizer que y é a imagem de x através de f. • Indicamos: y = f(x) Imagem de um elemento • Considere o gráfico da função y = f(x) abaixo. Cada ponto (x,y) do gráfico deve ser interpretado como (x, f(x)) ou, em outras palavras, a ordenada é a imagem ada abcissa por meio de f. Função crescente – Função decrescente • Uma função f(x) é considerada crescente em um intervalo numérico no qual é definida e, para dois valores quaisquer x1 e x2, dentro desse intervalo e com x1 < x2, f(x2) > f(x1). • Uma função f(x) é considerada decrescente em um intervalo numérico no qual é definida e, para dois valores quaisquer x1 e x2, dentro desse intervalo e com x1 < x2, f(x2) < f(x1). • Uma função f(x) é constante em um intervalo numérico no qual é definida e, para dois valores quaisquer x1 e x2, dentro desse intervalo e com x1 diferente de x2, f(x2) = f(x1).
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