AP2 MetDet1 2016 2 gabarito

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AP2 - Me´todos Determin´ısticos I - 2016-2
ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE
Orientac¸o˜es gerais
I
1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador um Caderno com a Folha de Questo˜es e as Folhas de
Respostas personalizadas para o registro das suas respostas.
2. Confira se a Folha de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova
e se nas Folhas de Respostas constam corretamente o seu nome e nu´mero de matr´ıcula.
Caso contra´rio, verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel.
3. Voceˆ recebera´ o total de Folhas de Respostas de acordo com o indicado no canto superior
direito.
4. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine todas as Folhas de Respostas no local
indicado para este fim.
5. E´ expressamente proibido o uso de aparelho celular dentro da sala de aplicac¸a˜o de prova.
6. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas devidamente
assinadas e a Folha de Questo˜es.
Orientac¸o˜es para o preenchimento das Folhas de Respostas
I
1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das
resoluc¸o˜es das questo˜es nas Folhas de Respostas.
2. Apresente a resoluc¸a˜o de cada questa˜o no espac¸o previsto para ela nas Folhas de Res-
postas.
3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o.
Portanto, quaisquer anotac¸o˜es feitas fora delas, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o
ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. E´ proibido o uso de corretivo nas respostas.
6. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar
a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Orientac¸o˜es espec´ıficas para esta disciplina:
I1. E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo assimcomo de qualquer material que sirva de consulta.
ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua
avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade.
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Me´todos Determin´ısticos I – 12/11/2016
Nome: Matr´ıcula:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando nome e matr´ıcula. • Sua prova sera´ corrigida online. Siga as
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha ou no rascunho na˜o sera˜o corrigidas. instruc¸o˜es na capa deste caderno.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 1, 2 e 3 a` seguir.)
Uma pesquisa de mercado buscou identificar os gastos mensais dos consumidores com sau´de e ali-
mentac¸a˜o, em uma certa populac¸a˜o. Depois de processados os dados, estimou-se que a me´dia do
gasto mensal com sau´de era de R$210,00, e o gasto me´dio mensal com alimentac¸a˜o era de R$352,00.
Estes dados, pore´m, possuem uma margem de erro!
Questa˜o 1 (1.0 pt) A margem de erro e de uma pesquisa e´ o valor ma´ximo, em mo´dulo, da
diferenc¸a entre o valor obtido pela pesquisa e o valor real. Assim, se mc e´ o valor correto e mp e´ o
valor obtido na pesquisa, tem-se sempre que
|mc −mp| 6 e.
Se a margem de erro do gasto me´dio em sau´de e´ de R$ 20,00 e a margem de erro dos gastos com
alimentac¸a˜o e´ de R$ 30,00, determine o intervalo ao qual pode pertencer o gasto me´dio real
com sau´de e o intervalo ao qual pode pertencer o gasto me´dio real com alimentac¸a˜o.
Soluc¸a˜o: Se o gasto me´dio com sau´de obtido pela pesquisa foi mp = 210, 00 e a margem de erro e´
de 20, 00, o gasto me´dio real com sau´de, que chamaremos de mr, satisfaz
|mr − 210| 6 20.
Com isso, temos
−20 6 mr − 210 6 20.
A primeira desigualdade pode ser reescrita
−20 6 mr − 210⇔ mr − 210 > −20⇔ mr > −20 + 210⇔ mr > 190.
A segunda pode ser reescrita
mr − 210 6 20⇔ mr 6 20 + 210⇔ mr 6 230.
Com isso, 190 6 mr 6 230 ou, ainda, mr ∈ [190, 230].
Me´todos Determin´ısticos I AP2 3
Se o gasto me´dio com alimentac¸a˜o obtido pela pesquisa foi m′p = 352, 00 e a margem de erro e´ de
30, 00, o gasto me´dio real com alimentac¸a˜o, que chamaremos de m′r, satisfaz
|m′r − 352| 6 30.
Com isso, temos
−30 6 m′r − 352 6 30.
A primeira desigualdade pode ser reescrita
−30 6 m′r − 352⇔ m′r − 352 > −30⇔ m′r > −30 + 352⇔ m′r > 322.
A segunda pode ser reescrita
m′r − 352 6 30⇔ m′r 6 30 + 352⇔ m′r 6 382.
Com isso, 322 6 m′r 6 382 ou, ainda, m′r ∈ [322, 382].
Questa˜o 2 (1.0 pt) Considere um sistema de coordenadas no plano que tenha os gastos com
sau´de no eixo horizontal e os gastos com alimentac¸a˜o no eixo vertical. Como exemplo, um gasto de
R$100,00 com sau´de e R$200,00 com alimentac¸a˜o estaria representado no ponto (100, 200).
Verifique se os pontos a seguir podem representar gastos me´dios reais. Justifique sua
resposta.
a) (200, 380) b) (240, 30)
Soluc¸a˜o: O ponto (200, 380) representa que o gasto me´dio real com sau´de e´ R$200,00 e com ali-
mentac¸a˜o e´ R$380,00. Este ponto pode representar os gastos me´dios reais, pois 200 ∈ [190, 230]
e 380 ∈ [322, 382].
O ponto (240, 30) na˜o pode representar os gastos me´dios reais, pois R$30,00 na˜o pode representar
o gasto me´dio real com alimentac¸a˜o, dado que 30 /∈ [322, 382].
Questa˜o 3 (1.0 pt) Considere o sistema de coordenadas no plano especificado na Questa˜o 2. Isto
e´, o eixo horizontal representa os gastos com sau´de e o o eixo vertical representa os gastos com
alimentac¸a˜o. Represente o ponto correspondente aos gastos me´dios obtidos na pesquisa
no sistema de eixos fornecido no caderno de resposta. Neste mesmo sistema de eixos, esboce
a regia˜o onde pode estar o ponto correspondente aos gastos me´dios reais, de acordo com
o que voceˆ respondeu na Questa˜o 1. (Por esboc¸ar a regia˜o, entenda que voceˆ devera´ delimitar
claramente a regia˜o e hachurar a parte a` qual seus pontos pertencem, como feito em EPs e/ou
questo˜es da AD.)
Soluc¸a˜o: No sistema abaixo, representamos o ponto (210, 352), obtido pela pesquisa como sendo os
gastos me´dios. O gasto me´dio real com sau´de (eixo horizontal) deve pertencer ao intervalo [190, 230]
e o gasto me´dio real com alimentac¸a˜o (eixo vertical) deve pertencer ao intervalo [322, 382]. Assim, a
regia˜o onde podem estar os gastos me´dios reais e´ dada por [190, 230]× [322, 382], esboc¸ada abaixo:
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 4
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 4 a 8 a` seguir.)
A distribuidora do raro vinho portugueˆs Mula da Quinta sabe que a exclusividade da marca exerce
efeito importante sobre o consumidor. Uma pesquisa de mercado revela que o consumidor esta´
disposto a pagar, por garrafa, o prec¸o em reais dado por
p(q) = 60− 3q,
onde q e´ a quantidade de garrafas vendidas. O custo de importac¸a˜o e distribuic¸a˜o deste vinho e´
dado, em reais, por
c(q) = 30q + 63.
Lembrando que o lucro da venda e´ a diferenc¸a entre receita e custo, isto e´, o total apurado com a
venda do vinho menos o custo de sua fabricac¸a˜o e, considerando que todos os fatores envolvidos na
distribuic¸a˜o do vinho ja´ esta˜o refletidos nas func¸o˜es acima, resolva as questo˜es abaixo.
Questa˜o 4 (1.0 pts) : Denote por r(q) e l(q), respectivamente, a receita e o lucro oriundos da
venda de q garrafas do Mula da Quinta. Determine r(q) e l(q).
Soluc¸a˜o: A receita obtida com a venda e´ dada, em func¸a˜o de q, por
r(q) = q(60− 3q) = −3q2 + 60q,
isto e´, o prec¸o p(q) = 60−3q por garrafa multiplicado pela quantidade q de garrafas vendidas. Como
o custo e´ dado por c(q) = 30q + 63, temos, como lucro,
l(q) = r(q)− c(q) = −3q2 + 60q − (30q + 63) = −3q2 + 30q − 63.
Questa˜o 5 (1.0 pts) : Determine o intervalo no qual deve estar a quantidade q de garrafas, para
que a venda do vinho resulte em lucro para a distribuidora.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 5
Soluc¸a˜o:Queremos l(q) > 0, ou, equivalentemente, −3q2 + 30q − 63 > 0. Resolvendo −3q2 +
30q − 63 = 0, temos
q =
−30±
√
302 − 4(−3)(−63)
2(−3) =
−30±√144
−6 =
−30± 12
−6 ,
logo
q = −42−6 = 7 ou q =
−18
−6 = 3.
Assim,
−3q2 + 30q − 63 > 0⇔ −3(q − 3)(q − 7) > 0.
Temos o seguinte quadro de sinais:
3 7
q − 3 − 0 + + +
q − 7 − − − 0 +
−3 − − − − −
−3(q − 3)(q − 7) − 0 + 0 −
Assim, temos
l(q) > 0⇔ −3q2 + 30q − 63 > 0⇔ 3 < q < 7⇔ q ∈ (3, 7).
Questa˜o 6 (1.0 pts) : Esboce, em um mesmo sistema de coordenadas, os gra´ficos das func¸o˜es r
e c, especificando os pontos de intersec¸a˜o dos gra´ficos com os eixos coordenados e deles entre si.
Soluc¸a˜o: Pelo que vimos no item anterior, a receita e´ dada por
r(q) = −3q2 + 60q.
Esta e´ uma func¸a˜o polinomial de grau 2, cujo gra´fico e´ uma para´bola com concavidade para baixo.
Vamos obter as ra´ızes:
r(q) = 0⇔ −3q2 + 60q = 0⇔ q(−3q + 60) = 0⇔ q = 0 ou − 3q + 60 = 0⇔ q = 0 ou q = 20.
O ve´rtice da para´bola e´ o ponto(
− 602(−3) ,−
602 − 4(−3)(0)
4(−3)
)
= (10, 300).
(para determinar o ve´rtice acima, calculamos
(
− b2a,−
∆
4a
)
para a func¸a˜o r(q) = −3q2 + 60q.
A func¸a˜o custo e´ dada por
c(q) = 30q + 63,
cujo gra´fico e´ uma reta passando por (0, c(0)) = (0, 63). Outro ponto da reta pode ser dado por
(1, c(1)) = −3 ·12+60 ·1 = −3+60 = 57 (escolhemos o 1 sem crite´rio, poderia ser qualquer outro).
Observe que na˜o escolhemos como segundo ponto da reta sua intersec¸a˜o com o eixo horizontal, pois
isto resultaria em um valor para q negativo. De fato, se fizermos c(q) = 30q+63 = 0, encontraremos
q = −6330 . Contudo, como q representa a quantidade de garrafas vendidas, q deve ser maior ou igual
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 6
a zero.
Para determinarmos os pontos de intersec¸a˜o entre os gra´ficos das func¸o˜es, fazemos
r(q) = c(q)⇔ r(q)− c(q) = 0⇔ −3q2 + 60q − (30q + 63) = 0⇔ −3q2 + 30q − 63 = 0
(repare que e´ a mesma conta feita acima para estudar o lucro!). Temos enta˜o q = 3 ou q = 7, e os
pontos de intersec¸a˜o sera˜o
(3, c(3)) = (3,−3 · 32 + 60 · 3) = (3, 153)
e
(7, c(7)) = (7,−3 · 72 + 60 · 7) = (7, 273).
Representado:
Questa˜o 7 (0.5 pts) : Determine a quantidade de garrafas de Mula da Quinta cuja venda resulta
no lucro ma´ximo para a distribuidora.
Soluc¸a˜o: Considerando a func¸a˜o lucro L obtida no item anterior, de expressa˜o
l(q) = −3q2 + 30q − 63,
o lucro ma´ximo ocorrera´ quando q = − b2a = −
30
2(−3) = 5.
Questa˜o 8 (0.5 pts) : Determine o lucro ma´ximo poss´ıvel com a venda do Mula da Quinta.
Soluc¸a˜o: Considerando a func¸a˜o lucro L, de expressa˜o
l(q) = −3q2 + 30q − 63,
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 7
o lucro sera´ dado por Lmax = −∆2a = −
302 − 4(−3)(−63)
2(−3) = 144.
Questa˜o 9 (3.0 pt) Resolva o sistema{
x2 + 2y2 = 8
−2x2 + y2 = −6.
Soluc¸a˜o:
Multiplicando a segunda equac¸a˜o por −2, temos{
x2 + 2y2 = 8
4x2 − 2y2 = 12.
Somando as equac¸o˜es, obtemos
5x2 = 20,
logo x2 = 4.
Com isso, substituindo x2 = 4 na primeira equac¸a˜o, temos
4 + 2y2 = 8 ∴ 2y2 = 4 ∴ y2 = 2.
Como x2 = 4 e y2 = 2, temos x = ±√4 = ±2 e y = ±√2. Assim, as soluc¸o˜es do sistema podem
ser os pontos
(−2,−√2), (−2,√2), (2,−√2), (2,√2).
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