Projeto de eixo rotativo por tensão, deformação e velocidade critica

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ELEMENTOS
DE 
MÁQUINAS
keyway
R.
R.R.
R.
 keyway
R.
x
F
B
A
y
O
z
B
D
450mm
2250N
225mm
450mm
1200rpm
270
0N
z
y
x
B
x
720
0N
6750N
R2
R1
Dimensionamento de 
Eixo Rotativo via 
Critério de Tensão, 
Deformação e 
Velocidade Critíca
BRUNO FERREIRA COUTO
brunofcouto1@gmail.com
FELIPE ARANTES LOBO
lobo.flp@gmail.com
MIGUEL LEONARDO DE A. ALMEIDA
miguelmecanico@gmail.com
PABLO SHINEYDR LUIZ DE M. BRITO
pabloshineydr@gmail.com
PROF. DR. MARLIPE GARCIA
Escola de Engenharia Elétrica, Mecânica e de 
Computação - Universidade Federal de Goiás
Universidade Federal de Goias
Escola de Engenharia Eletrica, Mecânica e de
Computação - EMC
Bacharelado em Engenharia Mecânica
Disciplina: Elementos de Máquinas 1
Prof. Dr. Marlipe Garcia
Goiânia, 16 de novembro de 2016
Títulos, subtítulos e legendas: fonte Times 
New Roman small caps.
Corpo do texto: fonte Arial.
Equações digitadas com o auxlio do software
MATHTYPE®.
Diagramas de momento e torque gerados via 
MD SOLIDS®
Cálculos efetuados com o software MATH-
CAD®.
Alterações gráficas de matiz/saturação, curvas 
e tonalidade realizadas com ADOBE PHOTO-
SHOP®.
Vetores editados com ADOBE ILLUSTRA-
TOR®. 
Agradecimentos: 
Danilo Veiga.
Johnathan Batista;
Matheus Gama;
Sigeo Kitatani.
Editorado via ADOBE INDESIGN®.
Lista de Símbolos
Se Limite de resistência à fadiga para vida infinita
Se’ Limite de resistência à fadiga de corpo de prova
Sy Limite de escoamento
Sut Limite de resistência à tração
Sf Limite de resistência à fadiga para vida finita
n Coeficiente de segurança
KT Constante de mola torcional
Ka Fator acabamento
Kb Fator geometria
Kc Fator esforço atuante
Kt Fator de concentração de tensão flexional
Kts Fator de concentração de tensão torcional
Kf Fator de concentração de tensão em fadiga flexional
Kfs Fator de concentração de tensão em fadiga torcional
σa Tensão normal alternada
σm Tensão normal média
τa Tensão cisalhante alternada
τm Tensão cisalhante média
σ’ , τ’ Tensão equivalente de Von Mises
Ø Diâmetro de seção
ρ Densidade
q Sensibilidade ao entalhe
L,l Comprimento de chaveta ou eixo ou seção
W,Wn Largura ou frequência crítica
ω,ωn Frequência (velocidade) angular crítica ou de trabalho
H Altura
J Momento de inércia polar
I Momento de inércia de massa
G Módulo de elasticidade torcional
E Módulo de elasticidade
F Força
g Aceleração da gravidade
A Área de seção
d,di Diâmetro interno
D,de Diâmetro externo
M,m Massa ou momento
N Número de ciclos repetidos de tensão
t Espessura
a Coeficiente angular
b Coeficiente linear
f Fração de resistência
T Torque
R,r Raio de seção ou filete
y,δ Deflexão estática
Lista de Tabelas
Tabela 3.1 - Dados do projeto ....................................................................................................................................................14
Tabela 3.2 - Dados das polias.....................................................................................................................................................14
Tabela 3.3 - Deflexão nas polias ................................................................................................................................................23
Tabela 3.4 - Ângulo de inclinação .............................................................................................................................................23
Tabela 5.1 - Velocidades limite. .................................................................................................................................................33
Tabela 5.2 - Comparação entre a simulação FEA e os resultados analiticos. ............................................................................33
Lista de Figuras
Figura 1.1 - Exemplos de eixos. ..................................................................................................................................................7
Figura 1.2 - Ressaltos de eixos. ..................................................................................................................................................8
Figura 1.3 - Exemplos de chavetas: (a) chaveta woodruff; (b) chaveta paralela. .......................................................................8
Figura 1.4 - Representação de anéis de retenção. .......................................................................................................................8
Figura 1.5 - Ilustração de uma chaveta do tipo paralela (vermelho) acoplada entre um eixo e um cubo. ..................................9
Figura 1.6 - Ilustração de uma chaveta do tipo cunha (esquerda) e quilha (direita). ..................................................................9
Figura 2.1 - Representação de um componente elástico sofrendo deflexão fletora. .................................................................12
Figura 2.2 - Representação de um componente elástico sofrendo deflexão torsional. .............................................................12
Figura 2.3 - Representação de um eixo sofrendo vibração lateral. ...........................................................................................13
Figura 2.4 - Eixo sofrendo rodopio. ..........................................................................................................................................13
Figura 3.1 - Representação esquemática do eixo a ser projetado. ............................................................................................14
Figura 3.2 - Diagrama de momento fletor no plano (x,y). ........................................................................................................14
Figura 3.3 - Diagrama de momento fletor no plano (x,z). ........................................................................................................15
Figura 3.4 - Diagrama de momento torsor. ...............................................................................................................................15
Figura 3.5 - Anel retentor DSH-63 ............................................................................................................................................15
Figura 3.6 - Ilustração da geometria do eixo ............................................................................................................................19
Figura 3.7 - Chaveta DIN 6885/ABNT A. Vista do acomplamento ao eixo (acima) e em perspectiva (abaixo) .....................19
Figura 3.8 - Vista em corte da polia selecionada ......................................................................................................................20
Figura 3.9 - Representação técnica dos mancais. .....................................................................................................................21
Figura 3.10 - Deformação total do eixo sob carregamento de trabalho obtida via elementos finitos (escala ampliada). .........22
Figura 3.11 - Eixo com ‘n‘ massas discretizadas. .....................................................................................................................23
Figura 4.1 - Propriedades do material simulado. ......................................................................................................................27
Figura 4.2 - Parâmetros da simulação. ......................................................................................................................................27
Figura 4.3 - Condições de contorno. .........................................................................................................................................27
Figura 4.4 - Picos de tensão nos concentradores de tensão ......................................................................................................28
Figura 4.5 - Malha nodal. ..........................................................................................................................................................28Figura 4.6 - Detalhe da linha neutra de flexão no centro da seção do eixo. .............................................................................28
Figura 4.7 - Tensão equivalente. ...............................................................................................................................................28
Figura 4.8 - Vista deformada no plano XY. ..............................................................................................................................29
Figura 4.9 - Tensão máxima principal. .....................................................................................................................................29
Figura 4.10 - Vista deformada no plano XZ. ............................................................................................................................29
Figura 4.11 - Deformação torsional. .........................................................................................................................................29
Figura 4.12 - Tensão média equivalente torsional. ...................................................................................................................30
Figura 5.1 - Número de ciclos para cargas pulsadas. ................................................................................................................31
Figura 5.2 - Localização das tensões nas curvas de critérios de falhas. ...................................................................................31
Figura 5.3 - Elemento de tensão (alternada axial e cisalhante média). .....................................................................................31
Sumário
1 Introdução ..........................................................................................7
1.1 Definição de eixo ............................................................................................... 7
1.2 Considerações sobre materiais de eixo ......................................................... 7
1.3 Considerações geométricas do eixo .............................................................. 8
1.4 Elementos de fixação e transmissão de torque .......................................... 9
2 Dimensionamento do Eixo ..............................................................10
2.1 Dimensionamento por tensão ......................................................................... 10
2.2 Dimensionamento por deflexão ..................................................................... 12
2.3 Dimensionamento por velocidade crítica ..................................................... 12
3 Definição do Problema ..................................................................14
3.1 Análise por tensão ........................................................................................... 15
3.2 Análise por deflexão ....................................................................................... 22
3.3 Análise por velocidade crítica ....................................................................... 23
4 Análise pelo Método dos Elementos Finitos .............................26
5 Considerações Analíticas .............................................................31
6 Considerações Finais .....................................................................33
Referências Técnicas ........................................................................34
Apêndice A ............................................................................................35
Apêndice B ............................................................................................37
Apêndice C ............................................................................................39
Apêndice D ............................................................................................40
7
Um eixo, figura 1.1, pode ser compreendido como sendo 
um elemento capaz de transmitir potência ou movimento a um 
ou mais componentes, como engrenagens, rodas, polias, etc. 
Usualmente, possuem seção transversal circular e são relativa-
mente grandes longitudinalmente, se comparados ao diâmetro 
de sua seção.
O eixo pode rotacionar juntamente com os seus com-
ponentes durante a transmissão de movimento ou permanecer 
fixo, enquanto determinado componente rotaciona, sendo nesse 
caso chamado de eixo fixo.
As considerações a serem pensadas no processo de 
projeto de um eixo são, essencialmente, as máximas tensões, 
máximas deflexões, velocidades críticas, concentradores de 
tensão e a característica das solicitações. Solicitações variáveis 
exigem do eixo um dimensionamento pautado em se evitar a 
falha por fadiga.
A geometria do eixo pode variar conforme as solicitações 
exijam. Uma boa alternativa, nesses casos, é alterar o diâmetro 
do eixo de modo a manter um bom coeficiente de segurança 
para cada seção solicitada. Os eixos elaborados dessa maneira 
são conhecidos como eixos escalonados.
De modo geral, não há nada no projeto de um eixo além 
dos métodos básicos relacionados ao dimensionamento de uma 
viga bi-apoiada suportando cargas transversais, e dos métodos 
de análise de tensões cíclicas em um componente mecânico 
(BUDYNAS; NISBETT, 2011).
1.2 Considerações sobre materiais de eixo
A resistência mecânica do material de um eixo influi ati-
vamente na resistência à fadiga e na resistência às tensões do 
carregamento. Entretanto, influi muito pouco quando se trata da 
deflexão ou da velocidade crítica. Em contrapartida, a geometria 
da seção do eixo é o fator decisivo na análise da deflexão, sendo 
uma variável a ser muito bem pensada pelo projetista. 
Materiais para eixos incluem aços de baixo carbono tra-
balhados a frio ou a quente, estendendo-se para aços tratados 
termicamente e aços liga. Quando as condições de resistência 
forem determinantes no projeto, é necessário o uso de um aço 
com elevada resistência mecânica; quando as considerações de 
1.1 Definição de eixo
1 Introdução
Figura 1.1 - Exemplos de eixos.
8
deflexão forem determinantes, a rigidez do eixo é a variável de 
atenção sendo necessário uma análise da geometria da seção. 
Nesse caso, usa-se um aço menos resistente.
A procedência do material do eixo influi diretamente no 
custo do componente. É preferível começar a análise conside-
rando aços de baixo carbono (mais baratos) e, se a resistência 
for insuficiente, tentar aços tratados ou aços liga (mais caros).
Segundo Budynas (2011), aços trabalhados a frio são 
ideais para diâmetros de eixo abaixo de três polegadas. Aços 
trabalhados a quente devem ser usinados completamente. As 
tensões residuais devem ser de compressão para melhorar a 
resistência à fadiga. Em ambientes corrosivos, aços inoxidáveis 
podem ser uma boa opção.
Condições locais de carregamento no eixo podem jus-
tificar tratamentos térmicos superficiais ou processos de usina-
gem, de modo a melhorar a resistência mecânica, de fadiga e o 
acabamento superficial para a acoplagem dos elementos auxi-
liares ao eixo.
Outro fator a ser ponderado é a quantidade de elemen-
tos a serem produzidos: um eixo produzido em grandes quan-
tidades, ainda que com um material mais caro, tende a ter um 
custo reduzido unitariamente. Uma grande produção também 
pode justificar tratamentos térmicos e outros processos de oti-
mização do material.
1.3 Considerações geométricas do eixo
De maneira geral, é preferível que os elementos trans-
missores de cargas transversais no eixo sejam dispostos o mais 
próximo possível dos mancais, e entre eles, reduzindo assim o 
momento fletor no eixo. Deve, se possível, evitar extremidades 
do eixo em balanço, ainda mais se houver componentes de car-
ga nessas extremidades.
Ressaltos no diâmetro do eixo, figura 1.2, são úteis para 
se acomodar componentes que gerem esforços axiais. É acon-
selhável que as cargas axiais sejam suportadas por apenas um 
dosmancais.
O eixo deve ter o menor comprimento possível, para di-
minuir o momento fletor, e dois mancais. Números maiores de 
mancais são indicados somente para eixos extremamente lon-
gos. Os componentes devem ser posicionados de maneira pre-
cisa para evitar desalinhamentos durante a rotação e deflexão.
É interessante destacar que a montagem e a desmon-
tagem do eixo e de seus componentes deve ser a mais simples 
possível. Assim, os ressaltos devem diminuir progressivamente 
do centro do eixo em direção as suas extremidades. Elementos 
como polias ou rodas dentadas podem exigir uma extremidade 
em balanço, para facilitar sua remoção.
Sulco de alívio
de ressalto
Sulco de alívio de
raio grande
Figura 1.2 - Ressaltos de eixos.
Raio pontudo
Inferior de raio grande
Fluxo de tensão
Mancal
Eixo
9
1.4 Elementos de fixação e transmissão de torque
Um elemento de transmissão de torque simples, barato 
e de fácil uso e projeto é a chaveta paralela, figura 1.3. Elas 
são usualmente feitas de aço dúctil, dimensionadas de modo 
a falhar quando o torque exceder certos limites. Sua seção é 
tabelada pelos fabricantes de acordo com o diâmetro do eixo. 
As considerações de projeto relacionadas as chavetas paralelas 
são baseadas em sua área de seção transversal, comprimento, 
resistência ao esmagamento e ao cisalhamento.
A fixação axial dos componentes do eixo pode ser facil-
mente realizada com anéis de retenção, figura 1.4. Os anéis de 
retenção possuem uma função semelhante a do ressalto no di-
âmetro do eixo, porem com uma concentração de tensão maior 
devido ao sulco que o eixo deve possuir para a acomodação do 
anel. As variáveis de escolha do anel de retenção são facilmente 
encontradas nos catálogos de fabricantes.
Uma observação importante sobre os elementos fixado-
res e transmissores de torque é que eles geram concentradores 
de tensão e por isso devem ser colocados, na medida do possí-
vel, longe das regiões de maior esforço. Se isso não for possí-
vel, o dimensionamento deve ocorrer considerando as tensões 
máximas corrigidas com os fatores de concentração de tensão 
desses elementos.
Figura 1.5 - Ilustração de uma chaveta do tipo paralela (vermelho) acoplada entre um eixo e 
um cubo.
Figura 1.6 - Ilustração de uma chaveta do tipo cunha (esquerda) e quilha (direita).
Ø
L W
T
W
Ø
r
W
H
B
T
L
Figura 1.3 - Exemplos de chavetas: (a) 
chaveta woodruff; (b) chaveta paralela.
Figura 1.4 - Representação de anéis de 
retenção.
L w
H
L w
H
(a)
(b)
10
O dimensionamento de um eixo demanda o estudo dos 
pontos considerados críticos, ou seja, onde ocorrem os maio-
res momentos fletores, torsores, eventualmente alguma tensão 
axial e na localidade dos concentradores de tensão.
A análise começa identificando as maiores cargas e seu 
ponto de aplicação no eixo. Uma vez determinadas as cargas, 
diagramas de momento fletor e torsor podem ser traçados com 
o auxílio de algum software apropriado. Note que, devido a ca-
racterística de transmissão de movimento de alguns componen-
tes, como engrenagens, tem-se em um eixo deflexões em dois 
planos geométricos, sendo um relacionado ao esforço radial dos 
elementos e outro ao esforço tangencial.
Localidades com concentradores de tensão como ras-
gos de chaveta, ressaltos e anéis de retenção devem ter sua 
tensão máxima devidamente corrigida por fatores de correção 
de tensão apropriados.
As tensões imprimidas ao eixo devido ao torque tendem 
a ser constantes, assim como alguma eventual carga axial trans-
mitida por elementos acoplados. Entretanto, cargas de momen-
to são alternadas com a rotação do eixo, necessitando de uma 
análise adequada da resistência à fadiga (BUDYNAS; NISBETT, 
2011).
O pressuposto geral do qual parte o dimensionamento 
de um eixo é que se o ponto mais crítico do eixo estiver dimen-
sionado para o esforço máximo, então todos os demais pontos 
(que são menos solicitados, naturalmente) também estarão di-
mensionados.
2.1 Dimensionamento por tensão
Assumindo um eixo como sólido, de seção transversal 
circular, sujeito a esforços cíclicos, tem-se as seguintes tensões 
atuando:
2 Dimensionamento do 
Eixo
Eq.(2.1)
Eq.(2.2)
Eq.(2.3)
3
3
3
32
16
16
f m
m
fs a
a
fs m
m
K M
d
K T
d
K T
d
3
32 f a
a
K M
d




11
Em que os subíndices m e a indicam tensões médias e 
alternadas, respectivamente; Kf é o coeficiente de concentração 
de tensão para momento fletor, e Kfs para momento torsor.
Combinando essas tensões na teoria de falha de Von 
Mises para eixos rotativos:
Aplicando as tensões equivalentes de Von Mises ao cri-
tério de Goodman, para resistência à fadiga:
Onde, Se é o limite de resistência a fadiga corrigido do 
material, Sut é o limite de resistência a tração última do material 
e n é o coeficiente de segurança.
Substituindo as tensões equivalentes de Von Mises no 
critério de Goodman e isolando a equação para encontrar o diâ-
metro do eixo tem-se:
A equação 2.8 é de grande utilidade no dimensionamen-
to por tensão do eixo. Através dela podemos relacionar os esfor-
ços alternados e médios sofridos pelo eixo, seus concentradores 
de tensão e seu coeficiente de segurança diretamente com o 
diâmetro aceitável.
O procedimento de dimensionamento do eixo vai con-
sistir em uma primeira etapa, onde se calcula um diâmetro bruto 
da sessão mais crítica, considerando uma resistência à fadiga 
não totalmente corrigida e fatores de concentração de tensão 
superiores aos reais.
Uma vez obtido o diâmetro bruto da seção crítica, fato-
res de concentração de tensão mais exatos podem ser obtidos 
dos gráficos geométricos (Apêndice A). O limite de resistência 
à fadiga pode também ser corrigido. Após a correção dessas 
variáveis, o passo seguinte é recalcular as equações 2.5 e 2.6 e 
aplicar esses resultados na equação 2.7 verificando, assim, se o 
diâmetro obtido atende ao critério de resistência à fadiga.
Se o projetista considerar o diâmetro bruto ideal, o eixo 
estará dimensionado por tensão. Mas se o projetista decidir refi-
nar o projeto, o processo deve ser repetido para cada ponto crí-
tico no eixo, de modo a obter novos diâmetros para cada região, 
Eq.(2.4)
Eq.(2.6)
Eq.(2.7)
Eq.(2.8)
Eq.(2.5)' 2 2
' 2 2
' '
1
1 1 3
2 2 2 22 2
3
3
1
16 1 14 3 4 3
a a a
m m m
a m
e ut
f a fs a f m fs m
e ut
n S S
nd K M K T K M K T
S S
 
 
 
                      
' 2 2
' 2 2
' '
1
1 1 3
2 2 2 22 2
3
3
1
16 1 14 3 4 3
a a a
m m m
a m
e ut
f a fs a f m fs m
e ut
n S S
nd K M K T K M K T
S S
 
 
 
                      
' 2 2
' 2 2
' '
1
1 1 3
2 2 2 22 2
3
3
1
16 1 14 3 4 3
a a a
m m m
a m
e ut
f a fs a f m fs m
e ut
n S S
nd K M K T K M K T
S S
 
 
 
                      
3
3
3
32
16
16
f m
m
fs a
a
fs m
m
K M
d
K T
d
K T
d
3
32 f a
a
K M
d




12
tornando o eixo escalonado conforme a necessidade.
2.2 Dimensionamento por deflexão
A análise de deflexão realizada no eixo segue-se logo 
após a análise por tensões dado que, para se realizar a análise 
em um ponto específico, deve-se ter informações acerca de toda 
a geometria do eixo (BUDYNAS; NISBETT, 2011).
Existem pontos de interesse onde as deflexões devem 
ser verificadas, sendo estes: elementos sobre o eixo (engrena-
gens, polias e etc.) e os mancais. No cálculo das deflexões, con-
centradores de tensão (rasgos de chaveta, ressaltos, ranhura 
de anel retentor) não vão influenciar de modosignificativo o pro-
cesso.
As deflexões, ambas lineares e angulares, devem ser 
verificadas tendo como parâmetro deflexões admissíveis pró-
prias para cada elemento no eixo como engrenagens, por exem-
plo, e nos mancais. Deve-se levar em consideração que, para 
cada escolha diferente de mancal, por exemplo, haverá um valor 
limite diferente para a deflexão, e isso se estende para as engre-
nagens ou qualquer outro elemento sobre o eixo.
2.3 Dimensionamento por velocidade crítica
Além da análise de tensões e deflexões, também é ne-
cessário a verificação das velocidades críticas as quais o eixo 
possa estar submetido. Essas velocidades críticas deixam o 
eixo instável, causando um aumento sem limite das deflexões. 
Segundo Norton (2013), deve-se evitar excitar um sistema ao 
ponto de sua frequência crítica ou próximo a ela, já que as de-
flexões resultantes frequentemente causarão tensões grandes o 
suficiente para rapidamente romper a peça.
Os tipos de vibrações mais preocupantes em eixos são: 
a vibração lateral, figura 2.3, o rodopio do eixo, figura 2.4, e a 
vibração torcional, sendo que a vibração lateral e o rodopio do 
eixo envolvem deflexões de flexão, vibração torcional e a defle-
xão torcional do eixo.
Estimar as velocidades críticas geradoras de vibrações 
potencialmente destrutivas pode ser uma tarefa um tanto quanto 
trabalhosa, principalmente quando a geometria do eixo é com-
plexa. O uso de programas computacionais pode ser uma saída 
para minimizar as dificuldades. Entretanto, para uma primeira 
estimativa em um projeto, o método de Rayleigh pode ser muito 
útil. Em um sistema de qualquer complexidade e para massas 
discretizadas, o método de Rayleigh é dado pela seguinte equa-
ção:
onde wi é o peso na i-ésima posição e Yi é a deflexão na i-ésima 
posição e ωn é a velocidade angular crítica.
Figura 2.1 - Representação de um compo-
nente elástico sofrendo deflexão fletora.
2
1 2
1 2
1
2
1
2
i i
i
n
i i
i
n t
t
ef n
i
i i
g w y
w y
I IK
I I
GJK
I
J I
J
mrI










Eq.(2.9)
y
A
C
B
x
M M
A B
Figura 2.2 - Representação de um compo-
nente elástico sofrendo deflexão torsional.
13
Segundo Northon (2013), a frequência crítica para um 
eixo rodopiar é a mesma para a vibração lateral e pode ser en-
contrada usando o método de Rayleigh, ou qualquer outra téc-
nica conveniente. Entretanto, deve-se preocupar com as vibra-
ções torcionais geradas pelas frequências torcionais naturais. 
Para o cálculo da velocidade crítica para vibração torcional em 
um eixo com dois discos, a seguinte equação é utilizada:
em que Kt é a constante torcional de mola, dada pela seguinte 
equação:
onde G é o módulo de rigidez do material, l é o comprimento do 
eixo e Jef é o segundo momento polar de área equivalente,dado 
por:
Onde o momento de inercia de massa, I, é dado pela 
seguinte equação:
Para um eixo de diâmetro uniforme d, comprimento L, módulo de 
elasticidade E e peso específico gama, com elementos contidos 
entre mancais, a primeira frequência natural é dada por:
Eq.(2.11)
Eq.(2.13)
2
1 2
1 2
1
2
1
2
i i
i
n
i i
i
n t
t
ef n
i
i i
g w y
w y
I IK
I I
GJK
I
J I
J
mrI










2
1 2
1 2
1
2
1
2
i i
i
n
i i
i
n t
t
ef n
i
i i
g w y
w y
I IK
I I
GJK
I
J I
J
mrI










Eq.(2.10)
2
1 2
1 2
1
2
1
2
i i
i
n
i i
i
n t
t
ef n
i
i i
g w y
w y
I IK
I I
GJK
I
J I
J
mrI










Eq.(2.12)
Figura 2.3 - Representação de um eixo 
sofrendo vibração lateral.
m m31
vibração
1 2 3
em
k
k 
m( e) 2
Figura 2.4 - Eixo sofrendo rodopio.
4
32
dJ 
2
4
d gE
L
   
   
   
4
32
dJ 
2
4
d gE
L
   
   
   
Eq.(2.14)
14
O projeto do eixo consiste em se determinar os diâme-
tros das seções de modo a acomodar duas polias.
As características geométricas, de carregamento e de 
rotação do eixo são apresentadas na figura 3.1. A tabela 3.1 
apresenta os dados do projeto; a tabela 3.2, os dados das polias.
Através de análises elementares de estática os diagra-
mas de momento fletor, momento torsor e os esforços em ambos 
os planos, (x,y) e (x,z), são obtidos, conforme as figuras 3.2, 3.3 
e 3.4. Ambos os diagramas foram conferidos com o auxílio do 
software MD Solids.
 
3 Definição do Problema
B
D
450mm
2250N
225mm
450mm
1200rpm
270
0N
z
y
xC
B
A
x
720
0N
6750N
R2
R1
Figura 3.1 - Representação esquemática do 
eixo a ser projetado.
Figura 3.2 - Diagrama de momento fletor no plano (x,y).
Rotação (rad/s) 126 
Torque (N.m) 1575 
Potência (kW) 198 
Polia Raio (mm) Força radial (N) 
 1 350 9900 (-z)
 2 350 9000 (-y)
Tabela 3.1 - Dados do projeto
Tabela 3.2 - Dados das polias
D
B
C
C
2,0 kN.m
B
y 900mm
9 kN
11,2 kN2,2 kN
225mm
x
D
A
y
x
A
DMF
15
Os dados aqui apresentados são suficientes para a aná-
lise por tensão. Note que, pelo fato de serem pequenas em rela-
ção aos esforços que transmitem, as forças peso das polias não 
são consideradas na análise das solicitações estáticas.
3.1 Análise por tensão
Após a análise dos diagramas de esforços, é possível 
identificar os pontos críticos do eixo. É notável que o ponto B é o 
ponto sugeito às maiores tensões de momento e o maior torque. 
Assim sendo, ele será o ponto a partir do qual o diâmetro bruto 
deverá ser calculado.
Uma vez encontrado o diâmetro bruto, um novo fator de 
geometria, Kb, é calculado e um novo limite de resistência à fadi-
ga é obtido; os critérios de falha de Goodman e Langer são apli-
cados para verificar se o diâmetro bruto satisfaz as condições 
de resitência. Caso satisfaça, o diâmetro bruto será refinado a 
partir das considerações a respeito do entalhe da chaveta e do 
raio do filete.
No cálculo do diâmetro bruto é assumido Kf = Kfm e Kfs = 
Kfms, pois as tensões máximas corrigidas não excedem o limite 
de resistência ao escoamento do material. Kt e Kts são escolhi-
dos para um rasgo de chaveta fresado (Apêndice C).
O acabamento superfícial do eixo é usinado e o material 
é o aço 1045 laminado a frio. As polias são fixadas axialmente 
(em uma das extremidades) com o auxílio de um anel de reten-
ção modelo DSH-63 da DSH Shaft Rings, figura 3.5.
Uma boa escolha de material para chaveta é o aço 1020 
laminado, por ser barato e possuir grande ductilidade, atuando 
ainda como um fusível mecânico. O projeto da chaveta requer 
um dimensionamento prevenindo a falha por cisalhamento e a 
falha por esmagamento, via critérios de falha estáticos, sendo 
adotado o maior comprimento obtido através das duas análises. 
CB
D
Figura 3.3 - Diagrama de momento fletor 
no plano (x,z).
Figura 3.4 - Diagrama de momento torsor.
Figura 3.5 - Anel retentor DSH-63
1,57 kN.m
x
DBA
DMT
C
450mm 450mm
9,9 kN
4,95 kN
2,22 kN.m
4,95 kN
z
x
z
x
B
D
CA
A
DMF
16
B
x
DCA
DIÂMETRO	NO	PONTO	'B'
Sut 627 	(MPa) 	aço	AISI	1045
laminado	a	frioSy 531 MPa
1)	Momento	máximo	resultante
Mxz 2220 N m Mxy 990 N m Tm 1575 N m
Ma Mxz2 Mxy2 explicit Mxz Mxy 2220 N m( )2 990 N m( )2 2.431 103 N m
2)	Limite	de	resistência	à	fadiga
Ka 4.51 Sut 0.265 0.818 	material		laminado	a	frio	e	usinado
Kb 1
Kc 1esforços	multiaxiais
Sut 627 MPa
Se Ka Kb Kc 0.5 Sut( ) 256.53MPa 	para	Sut<1400	MPa
3)	Estimativa	do	diâmetro	bruto
fatores	de	concentração	de	tensão	para
sulco	de	chaveta	fresadoKt 2.14 Kts 3
Kf Kt Kfs Kts
n 1.2 fator	de	projeto
d
16 n
π
1
Se
4 Kf Ma( )2 
1
2 1
Sut
3 Kfs Tm( )2 
1
2









1
3
0.069m
d 0.07 m
4)	Conferindo	pelos	critérios	de	Goodman	e	Langer
Kb 1.51 70( ) 0.157 0.775 fator	de	forma	corrigido
Se Ka Kb Kc 0.5 Sut( ) 198.8 MPa
σa 32 Kf Ma
π d3
154.5 MPa
tensões	equivalentes
τm 3 16 Kfs Tm
π d3
 121.5 MPa
n
σa
Se
τm
Sut


1
1.03 	Goodman
Langern
Sy
σa τm 1.924
17
5)	Re�inando	o	diâmetro
D 1.2 d 0.084m diâmetro	de	ressalto	padrão
r d 0.02 1.4mm raio	do	�ilete
q 0.79 qs 0.95 das	curvas	de	sensibilidade	ao	entalhe
Kf 1 q Kt 1( ) 1.9
Kfs 1 qs Kts 1( ) 2.9
σa 32 Kf Ma
π d3
137.2MPa
tensões	equivalentes
τm 3 16 Kfs Tm
π d3
 117.5 MPa
n
σa
Se
τm
Sut


1
1.14 	Goodman
Langern
Sy
σa τm 2.085
n 1.2 fator	de	projeto	original
d
16 n
π
1
Se
4 Kf Ma( )2 
1
2 1
Sut
3 Kfs Tm( )2 
1
2









1
3
0.071m
6)	Análise	do	anel	retentor
t 1.5 mm W 2.15 mm 	dados	do	fabricante
r 0.12 mm r
t
0.08 Ma 2.431 103 N m
fator	de	concentração	de	tensão
para	sulco	de	anel	retentorKt 5 q 0.39
Kf 1 q Kt 1( ) 2.56
σa 32 Kf Ma
π d3
175.5MPa
n
Se
σa 1.133
	(OBS.:	A	VELOCIDADE	ANGULAR	MÁXIMA	DO	EIXO	É	LIMITADA	PELO
FABRICANTE	DO	ANEL	RETENTOR	EM	7000	RPM)
r
t
W
18
W
F H
F
r
7)	Análise	da	chaveta
Sy 210 MPa aço	AISI	1020	laminado	à	frio
W 20 mm H 12 mm dimensões	tabeladas	em	função
do	diâmetro	do	eixo
n 1.2
Tm 1.575 103 N m r d
2
0.036m
F
Tm
r
4.423 104 N
dimensionamento	por	cisalhamento	(critério	de	Tresca)
Acis W L τ F
Acis
=
τ Sy
2 n explicit Sy n
210 MPa
2 1.2 87.5 MPa
F
W L τ= L
F
W τ 0.025m
dimensionamento	por	esmagamento	
σ F
Aesm
=Aesm H L
2

σ Sy
n
explicit Sy n 210 MPa
1.2
 175 MPa
L
2 F
H σ 0.042m
 Chavetas padronizadas Diâmetro doeixo (mm) Largura x altura (WxH) da chaveta (mm)3 × 38 < d 10 4 × 410 < d 12 5 × 512 < d 17 6 × 617< d 22 8 × 722 < d 30 10 × 830 < d 38 12 × 838 < d 44 14 × 944 < d 50 16 × 1050 < d 58 18 × 1158 < d 65 20 × 1265 < d 75 22 × 1475 < d 85 25 × 1485 < d 95
19
A largura e a altura da seção transversal da chaveta são 
tabeladas, e obtidas em função do diâmetro do eixo. O projeto 
da chaveta leva em conta, por simplicidade, uma análise estáti-
ca e baseada apenas na força tangencial gerada pelo momento 
torsor.
Concluída a análise de tensão, a geometria do eixo é 
obtida, como mostrado na figura 3.6. O diâmetro maior, de 84 
mm, é deixado como ressalto entre os pontos B e D; o diâmetro 
refinado, de 71 mm, é aplicado no assento das polias.
Por uma questão de padronização dos componentes, 
tanto rolamentos quanto mancais são fabricados em medidas 
múltiplas de 5; portanto, o diâmetro de ressalto é arredondado 
para 85 mm e o diâmetro de base para 70 mm.
O padrão de chaveta adotado é o DIN 6885/ABNT A. 
Vale ressaltar que o comprimento da chaveta, L, é o maior com-
primento obtido entre as análises por cisalhamento e esmaga-
mento. A figura 3.7 ilustra a referida chaveta. Nesse projeto, a 
chaveta deverá possuir, no mínimo, 42 mm (arredondado para 
65 mm).
Uma consideração importante no que tange a seleção 
dos anéis retentores e as aproximações referentes aos seus fa-
tores de concentração de tensão é que, por estarem imediata-
mente no lado oposto ao lado em que o torque é imposto, os 
anéis não sofrem o momento torsor. Já com relação à natureza 
dos esforços, é realista considerar o momento fletor como sendo 
alternado (devido à rotação do eixo) e o momento torsor como 
sendo médio (o torque é constante).
As polias selecionadas são do modelo PF.700.A.1 tipo 
R6, fabricadas pela Scpolias. Um modelo esquemático das mes-
mas é dado na figura 3.8. O diâmetro externo é de 700 mm; o 
comprimento é de 90 mm e o furo possui 75 mm de diâmetro. 
Isso implica que o acoplamento dessas polias no eixo exigirá um 
calço para suprir a diferença entre o diâmetro do eixo e o diâme-
tro da polia. O material utilizado na fabricação das mesmas é o 
ferro fundido.
Figura 3.6 - Ilustração da geometria do eixo
A B C D
Figura 3.7 - Chaveta DIN 6885/ABNT A. 
Vista do acomplamento ao eixo (acima) e 
em perspectiva (abaixo)
++
++
++
++
450mm 450mm 225mm
Ø85mm
Ø70mm
Ø70mm
20
Figura 3.8 - Vista em corte da polia selecionada
12
90
60
35
0
Ø75
18
12
Ø
12
0
Ø
70
0
90
X- X
Ø75
X
X
RASGO CHAVETA
Os mancais estão ilustrados na figura 3.10. São man-
cais padrão, com furo de lubrificação, para rolamentos de esfe-
ras simples.
21
Figura 3.9 - Representação técnica dos mancais.
C) Vistas e corte
B) Mancal menor
A) Mancal maior
20
20
200
35
5 185
FURO DE LUBRIFICAÇÃO A 90°
15
25
25
400
55
52135
FURO DE LUBRIFICAÇÃO A 90°
20
22
3.2 Análise por deflexão
A análise por deflexão consiste em se verificar, após a 
definição da geometria do eixo via critério de tensão, se as fle-
xas do eixo e seus respectivos ângulos de inclinação não es-
trapolam os limites estipulados pelos fabricantes de mancais, 
rolamentos, engrenagens e etc.
Analiticamente, o esforço reside em calcular a deflexão 
e o ângulo de inclinação nos dois planos de tensão e depois, 
por superposição, encontrar as resultantes totais: caso ela se-
jam menores que áquelas estipuladas pelos fabricantes dos 
componentes auxiliares do eixo, o projeto está completo; caso 
contrário, um novo diâmetro deve ser determinado, conforme a 
equação 3.1, para a deflexão, e equação 3.2, para o ângulo.
Onde o diâmetro novo, dnovo, é determinado a partir da 
razão entre a deflexão no ponto de análise, yvelho,e a deflexão má-
xima permitida, yperm,multiplicada pelo diâmetro antigo do eixo.
Como a razão entre o comprimento e o diâmetro do eixo 
é muito maior do que 10, a deflexão causada pelo cisalhamento 
transversal é desprezada.
Com o auxílio de um software de análise de elementos 
finitos, a deformação total do eixo nas condições de trabalho é 
calculada, como mostra a figura 3.10.
2
1 2
1 2
1
2
1
2
i i
i
n
i i
i
n t
t
ef n
i
i i
g w y
w y
I IK
I I
GJK
I
J I
J
mrI










1
4. velho
novo velho
perm
n yd d
y
 Eq.(3.1)
Eq.(3.2)
2
1 2
1 2
1
2
1
2
.( )
i i
i
n
i i
i
n t
t
ef n
i
i i
velho
novo velho
perm
g w y
w y
I IK
I I
GJK
I
J I
J
mrI
n dydxd d
inclinação











.( )velho
novo velho
perm
n dydxd d
inclinação

1/4
Figura 3.10 - Deformação total do eixo sob carregamento de trabalho obtida via elementos 
finitos (escala ampliada).
23
Como não há informações disponíveis acerca da má-
xima deflexão permitida para as polias, é adotado, de maneira 
conservadora e super dimensionada, que a deflexão máxima na 
seção das polias não deve ultrapassar 0,25 mm; essa é a de-
flexão crítica para engrenagens cilíndricas de dente reto com a 
razão entre o número de dentes e o diâmetro de passo menor do 
que 4 (BUDYNAS; NISBETT, 2011).
O ângulo máximo de inclinação é obtido através da aná-
lise dos catálogos de mancais. Vale ressaltarque o mancal no 
ponto C está sujeito a duas inclinções: a inclinação devido a 
polia em B, e a inclinação devido a polia em D. O primeiro caso 
tem o mesmo ângulo do mancal A; o segundo caso é dado na 
tabela 3.4.
Assim, conforme as tabelas 3.3 e 3.4, o eixo está corre-
tamente dimensionado para a deflexão e inclinação. A deflexão 
nos mancais é da ordem de 5.10-4 mm e, para fins práticos, é 
considerada nula e irrelevante. O apêndice C traz os dados de 
desalinhamento e deflexão máximos.
3.3 Análise por velocidade crítica
A análise por velocidade crítica se divide em três partes: 
a primeira, onde se busca a velocidade (frequência) crítica para 
a vibração torcional; a segunda, onde através do método de 
Rayleigh é buscada uma (e apenas uma) frequência natural de 
vibração lateral do eixo e a terceira, onde é estimada a primeira 
frequência natural do eixo.
Para o método de Rayleigh o eixo é modelado como um 
sistema de massas discretas, como mostrado na figura 3.11, 
onde o eixo é subdividido em n elementos de massa. As polias 
compõem, cada uma, uma elemento de massa individual. A se-
ção de diâmetro 70 mm e a seção de diâmetro 85 mm compõem, 
cada uma, mais dois elementos de massa individual. Entretanto, 
a seção de diâmetro 85 mm é considerada apenas no espaço 
entre a polia central e o mancal direito, pois o mancal limita o 
movimento e não permite deflexões. Para a vibração torcional, é 
considerado apenas a seção “B”, pois é a única sujeita à torsão. 
Para a primeira frequência natural, o eixo é modelado como ten-
do diâmetro uniforme (de 85 mm) e com as polias contidas no 
intervalo entre mancais.
As deflexões dinâmicas são estimadas, por simplifica-
ção, como sendo equivalentes às deflexões estáticas do eixo, 
considerando o seu peso e o peso das polias.
Fica registrado que o método de Rayleigh busca apenas 
uma das frequências críticas, sendo ela ligeiramente maior que 
o valor exato da frequência real.
A análise do rodopio do eixo não é realizada pois, se 
trantando de um projeto, não há como prever eventuais desba-
lanceamentos resultantes do processo de fabriação; visto que o 
eixo, por projeto, está perfeitamente balanceado.
É interessante, para efeito de projeto, que a velocidade 
crítica estimada esteja, pelo menos, três vezes acima da veloci-
dade de trabalho do eixo. Ou seja, n > 3.
Polia Deflexão (mm) Deflexão máxima (mm) 
 1* 0,19659 0,25
 2** 0,11253 0,25
Mancal Ângulo (rad) Ângulo máximo (rad)† 
 A 0,00013457 0,0013962
 C* 0,00024999 0,0020944
Tabela 3.3 - Deflexão nas polias
Tabela 3.4 - Ângulo de inclinação
* Ponto ‘B’ do eixo.
** Ponto ‘D’ do eixo.
† Limite para mancais de rolamento tipo ‘Conrad‘ 
(NORTON, 2013).
x
1 2 n........... ...........
y
Figura 3.11 - Eixo com ‘n‘ massas discre-
tizadas.
24
ANÁLISE	DA	VELOCIDADE	CRÍTICA	PARA	VIBRAÇÃO	TORCIONAL
M 24 kg massa	das	polias
Gt 80.8 109 Pa módulo	de	elasticidade	torcional	do	aço
ω 126 rad
s
 frequência	de	trabalho	do	eixo
R 0.35 m r 0.035 m
lB 0.675 m 	comprimento	da	seção	do	eixo
de 0.085 m diâmetro	da	seção	entre	polias
momento	de	inércia	de	massa	das	polias
IA M
R2 r2 
2
 explicit M R r 24 kg 0.35 m( )
2 0.035 m( )2
2
 1.455m2 kg
IC IA 1.455m2 kg
constante	elástica	torcional	do	eixo	(seção	entre	polias)
Kt Gt
π de4
32 lB 6.135 10
5 N m
Wm Kt
IA IC
IA IC

 918.2 Hz frequência	torcional	crítica
n
Wm
ω 7.287
PRIMEIRA	FREQUÊNCIA	NATURAL	ESTIMADA
L 1.125 m comprimento	do	eixo	 γ 75.6 kN
m3
 peso	especí�ico	do	aço	
E 210 GPa módulo	de	elasticidade	do	aço	
Wn
π
L


2 de
4


g E
γ

 explicit L de E γ
π
1.125 m


2 0.085 m
4
 g 210 GPa
75.6
kN
m3


Wn 864.9 Hz n Wnω 6.864
CA
B
675 mm
Ø85mm
25
MÉTODO	DE	RAYLEIGH	(VIBRAÇÃO	LATERAL)
ρa 7800 kg
m3
 ρf 6900 kg
m3
 densidade	do	aço	e	do	ferro
fundido	(das	polias) di 0.07 mg 9.807 m
s2

l1 0.45 m l2 0.45 m comprimento	das	seções	do	eixo	
peso	das	seções
F1
π di2  ρa l1 g
4
explicit l1 di ρa
π 0.07 m( )2 7800 kg
m3
 0.45 m g
4
 132.469N
F2
π de2  ρa l2 g
4
explicit l2 de ρa
π 0.085 m( )2 7800 kg
m3
 0.45 m g
4
 195.324N
F3 M g explicit M g 24 kg g 235.36N
peso	das	poliasF4 F3 235.36N
de�lexões	estátitcas	nas
seções	do	eixo	(causadas
pelo	seu	próprio	peso)
δ1 5.0 10 3 mm δ3 7.0 10 3 mm
δ2 3.5 10 3 mm δ4 2.5 10 3 mm
Wn g
F1 δ1 F2 δ2 F3 δ3 F4 δ4( )
F1 δ1( )2 F2 δ2( )2 F3 δ3( )2 F4 δ4( )2


 1.37 103 Hz
n
Wn
ω 10.875
43
21
Ø85mm
450mm 450mm 225mm
Ø70mm
Ø70mm
26
4 Análise pelo Método 
dos Elementos Finitos
A análise pelo método dos elementos finitos (FEA - Fini-
te elements analysis) tem como objetivo a complementação da 
análise dos métodos analíticos tornando-se, assim, apenas uma 
variante geral do projeto. O método FEA não é inferior e nem 
superior aos métodos clássicos de análise de tensão, mas sim 
complementar e coadjuvante: sua vantagem consiste na facili-
dade da análise em geometrias e condições de serviço que são 
demasiadamente onerosas para uma solução analítica elemen-
tar.
Neste trabalho, a análise foi feita baseada nas hipóteses 
mais simplórias e triviais possíveis, prezando a didática e a ex-
periência em detrimento da precisão.
Assim sendo, as hipóteses simplificadoras adotadas 
são: 
1 - Desconsideração do peso do elemento
Por considerar que a força peso do elemento é muito pequena 
em relação ao carregamento e sofrido e, dessa forma, causa 
deflexões ínfimas;
2 - Refinamento da malha apenas nas regiões de interesse
É necessário maior precisão apenas nos pontos críticos, ou 
seja, aqueles onde há concentradores de tensão e as maiores 
tensões do elemento. Nas demais localidades, uma malha mais 
“grosseira“ pode ser adotada sem grande perda de precisão;
3 - Desconsideração dos efeitos térmicos e não lineares
Essa hipótese é feita pela falta de informação à respeito das 
condições de temperatura de trabalho do elemento, bem como 
sobre o comportamento não linear do material. Além disso, a 
análise térmica e não linear foge ao escopo do trabalho.
4 - Omissão dos efeitos cinemáticos e dinâmicos
Por uma questão de simplificação, apenas deformações e ten-
sões estáticas são consideradas na análise das deflexões.
As figuras 4.1 e 4.2 mostram os parâmetros do material 
(Aço AISI 1045 laminado a frio) e da simulação, respectivamen-
te. A simulação foi realizada com o auxílio do software *Ansys®.
O processo se inicia com o desenho do eixo em 3D com 
o auxílido de algum software de CAD (computer aided design) 
qualquer. Esse desenho é, então, exportado para o Ansys no 
formato .iges.
Uma vez importado o desenho, o Ansys gera automati
* Ansys® é um software comercial.
27
camente a malha contendo os nós dos elementos. O material do 
eixo é definido e as condições de contorno são aplicadas.
As forças são aplicadas nos assentos das polias por 
meio da seleção das faces que estarão em contato com o cubo 
da polia e com o rasgo da chaveta. Os apoios são definidos nas 
regiões onde o eixo terá contato com os rolamentos. Ambos os 
apoios são do tipo que restringem o deslocamento do eixo nas 
direções Y e Z, mas mantém livre o deslocamento na direção X 
(para as análises estáticas). A figura 4.3 mostra as condições de 
contorno especificadas.
A figura 4.5 mostra a malha nodal gerada paraa simu-
lação.
Figura 4.1 - Propriedades do material simulado.
Figura 4.2 - Parâmetros da simulação.
Figura 4.3 - Condições de contorno.
28
Para se obter uma maior precisão, a malha noda é refi-
nada na região das chavetas e dos sulcos dos anéis retentores; 
nessas regiões a malha é três vezes mais densa que nas de-
mais partes do eixo.
A figura 4.7 mostra a tensão equivalente (Von Mises) 
atuando no eixo. A figura 4.4 mostra os detalhes da concentra-
ção de tensão no sulco do anel retentor e no rasgo da chaveta 
da polia central do eixo. É nitído que há picos de tensão nessas 
localidades.
Figura 4.4 - Picos de tensão nos concentra-
dores de tensão
Figura 4.6 - Detalhe da linha neutra de 
flexão no centro da seção do eixo.
Figura 4.5 - Malha nodal.
Figura 4.7 - Tensão equivalente.
29
É bastante nítido que a região da polia central do eixo 
sofre as maiores tensões e deformações. Isso já era esperado, 
uma vez que essa região está sujeita ao maior carregamento em 
todo o eixo.
As figuras 4.8 e 4.10 mostram as configurações defor-
madas do eixo segundo os planos. É interessante notar como a 
polia da extremidade em balanço do eixo tende a “puxar“ o eixo 
na direção -Y; já a polia central deflete o eixo tal como nos plo-
blemas clássicos de vigas biapoiadas.
Na figura 4.6 é possível ver a linha neutra de flexão do 
eixo, tendo ao seu redor picos de tensão em concentradores de 
tensão referentes ao chanfro na quina do eixo, próximo ao man-
cal esquerdo.
Figura 4.9 - Tensão máxima principal.
Figura 4.8 - Vista deformada no plano XY.
Figura 4.10 - Vista deformada no plano 
XZ.
Figura 4.11 - Deformação torsional.
30
As figuras 4.11 e 4.12 mostram a deformação e tensão 
torsional, respectivemente, sofrida pelo eixo nas condições de 
serviço. Note que os assentos das polias sofrem as maiores 
deformações torsionais, visto que é nessa região, através das 
chavetas, que o torque é imprimido ao eixo. Também é possível 
identifica a linha neutra de torcional.
Figura 4.12 - Tensão média equivalente torsional.
31
A análise das tensões alternadas e flutuantes mostra 
que o eixo está devidamente dimensionado para a vida infinita. 
Isso está ilustrado na figura 5.1, que mostra o limite de fadiga 
em função do número de ciclos; e na figura 5.2, onde é mostra-
do a localização da tensão alternada e média dentro das curvas 
dos critérios de falha.
Está claro, na figura 5.1, que tanto a componente alter-
nada, σa, quanto a componente média, τm, estão bem abaixo do 
limite de fadiga para vida infinita, Sf@ 106.
Note, ainda, que o estado de tensões no ponto crítico 
está bem abaixo de quaisquer curvas de falha, especialmente a 
de Soderberg, que é a estimativa mais conservadora de todas.
Portanto, através da análise desses gráficos, o dimen-
sionamento do eixo está pronto e pode ser considerado seguro, 
eficiente e com relativa boa margem para enventuais sobrecar-
gas no funcionamento.
O cálculo para a geração das curvas é dado a seguir.
5 Considerações 
Analíticas
Figura 5.1 - Número de ciclos para cargas pulsadas.
Figura 5.2 - Localização das tensões nas curvas de critérios de falhas.
Figura 5.3 - Elemento de tensão (alternada 
axial e cisalhante média).
m= 113 MP a
a = 138 MPaa = 138 MPa
x
z
y
Gerber
Soderberg
138
113
curva de escoamento
S = 199e 
para 
(MPa) 
(MPa) 
 Sy
S = 627utS = 531y
m0
Goodman 
a
539
199
138
113
627 Sut S f@103
S f@106
Se
(MPa)
(Ciclos)
Tm
a
100 103 105 108101 102 104 106 107 109
32
Diâmetro: D 0.07 m Momento	torsor: Tm 1575 N m
R D2
Sut 627 MPa Momento	�letor: Ma 2430.74 N m
Tensão	alternada	(momento	�letor):
σa Ma R 64
π D4
explicit Ma R D
2430.74 N m 0.07 m2 64
π 0.07 m( )4

σa 72.185 MPa
Tensão	média	(momento	torsor):
τm Tm R 32
π D4
explicit Tm R D
1575 N m 0.07 m2 32
π 0.07 m( )4

τm 23.39 MPa
Fatores	de	concentração	de	tensão:
Kt 2.14 Kts 3 q 0.8 qs 0.9
Kf 1 q Kt 1( ) 1.9
Kfs 1 qs Kts 1( ) 2.8
σac Kf σa 138 MPa τmec τm Kfs 65 MPa
Tensões	equivalentes	de	Von	Mises:
σaeq σac2 138 MPa
τmeq 3 τmec2 113 MPa
Cálculo	do	limite	de	resistência	à	fadiga:
Resistência	corpo	de	prova See 0.5 Sut 314 MPa
Fator	de	super�ície Ka 4.51 627 0.265 0.818
Fator	de	geometria:
de 70
Kb 1.51 de 0.157 0.775
Resistência	à	fadiga:
Se Ka Kb See 199 MPa
Sf6 Se Fadiga	de	alto	ciclo
f 0.86
Sf3 f Sut 539 MPa Fadiga	de	baixo	ciclo
a f Sut( )
2
Se 1462.5 MPa Coe�iciente	linear
b
log f Sut( )Se


3 0.144 Coe�iciente	angular
33
 Velocidade Velocidade
 (rpm) (rad/s) 
 Mancal esq. 15000 1571
 Mancal dir. 5600 586
 Anel retent. 7000 733
 Freq. natural† ** 825
O dimensionamento do eixo prezou, desde o início, mé-
todos e abordagens conservativas, o que torna o eixo extrema-
mente seguro para as condições de trabalho especificadas e 
ainda abre uma margem de segurança para eventuais sobrecar-
gas que possam ocorrer durante a sua operação.
Com relação à tensão, há um coeficiente de segurança 
de 1,2, o que implica que o eixo pode razoavelmente suportar 
15% a mais de carregamento. Além disso, a opção pela escolha 
de um material dúctil (aço) para a fabricação do eixo fornece 
uma segurança a mais com relação aos concentradores de ten-
são, valendo do efeito do escoamento local e encruamento na 
zona crítica da trinca. Os resultados analíticos casaram com os 
resultados da simulação, como mostrado na tabela 5.2.
Já com relação à velocidade angular, esta pode ser ele-
vada até 586 rad/s, que é a velocidade limitante do rolamento do 
mancal direito. Estes dados são mostrados na tabela 5.1.
Sobre a construção do trabalho, o uso de ferramentas 
de engenharia assistida por computador (CAE) foi feito de ma-
neira intensiva, sendo o primeiro contato dos autores com análi-
ses pelo método dos elementos finitos (FEA), e com o auxílio de 
ferramentas computacionais de matemática algébrica simbólica. 
O objetivo foi facilitar o trabalho e incrementar a precisão, como 
recomenda Robert L. Norton.
A maior dificuldade se deu em encontrar, de maneira 
analítica, as velocidades críticas do eixo, uma vez que os mé-
todos são extremamente complexos, tendo, inclusive, divergi-
do razoavelmente do resultado da análise por elementos finitos 
(apesar de o método de Rayleigh, por concepção, já superesti-
mar a frequência). Isso ocorre pelo fato de não haverem, na lite-
ratura básica, métodos analíticos para eixos com componentes 
na extremidade em balanço; há apenas métodos para eixos com 
elementos entre mancais.
Com relação às polias, não foram encontradas nos ca-
tálogos padrão polias com raio igual a 380 mm. Dessa forma, 
foram adotadas polias com raio de 350 mm, que são as maiores 
disponíveis “de prateleira” no mercado.
O apêndice D traz a representação técnica do eixo.
6 Considerações Finais
Tabela 5.1 - Velocidades limite.
† primeira velocidade crítica.
Tabela 5.2 - Comparação entre a simulação FEA e os resultados analiticos.
 Máxima tensão equivalente Máxima tensão equivalente
 alternada (MPa) média (MPa)
 FEA 134 118 
Analítico 138 11334
Referências Técnicas
BUDYNAS, Richard; NISBETT, Keith. Elementos de Máquinas 
de Shigley. 8 ed. Porto Alegre: Editora Mc Graw Hill, 2011. cap. 
7.
NORTON, Robert L. Projeto de Máquinas Uma Abordagem 
Integrada. 4 ed. Porto Alegre: Editora Bookman, 2013. Cap. 10.
DSH SHAFT RINGS DIN 471. Axially Assembled, External, 
Metric. Catálogo. Disponível em: <www.globalspec.com>. Aces-
so em: 12 nov. 2016.
SC POLIAS. Catálogo de Polias 2015. Catálogo. Disponível 
em: <http://www.scpolias.com.br/files/catalogos/catalogo_26.
pdf >. Acesso em: 12 nov. 2016.
35
Fatores de concentração de tensão
Apêndice A
A.1 - Concentração de tensão em momento fletor.
A.2 - Concentração de tensão em momento torsor.
A.3 - Fração de resistência para fadiga 
de baixo ciclo em aço.
70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 200180 190
f
Sut , kpsi
0.76
0.78
0.8
0.82
0.84
0.86
0.88
0.9
K ts
r d
D d
r
TT
D d
Kt
0
r/d
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
1.02
1.5
D/d = 3
1.10
1.05
r
MD dM
36
A.4 - Concentração de tensão em sulco de anel retentor.
K t
d
r
a
r
D
M
F
t
M
F
r
t
Notch radius r , mm
Notch radius r , in
N
ot
ch
 se
ns
iti
vi
ty
 q
S ut
 = 
 kpsi 
Steels
Alum. alloy
Notch radius r , mm
Notch radius r , in
N
ot
ch
 se
ns
iti
vi
ty
 q
sh
ea
r
Steels
Alum. alloy
S ut
 = 
 kpsi . G
Pa 
A.5 - Sensibilidade ao entalhe para 
momento fletor com tensão completa-
mente reversa.
A.6 - Sensibilidade ao entalhe para 
momento torsor com tensão completa-
mente reversa.
37
Características dos componenetes selecionados
Apêndice B
106 67,7 88 26 494R 6PF.700.A.4 140
90 22,7 75 58 24,53
700
1R 6PF.700.A.1 120
2R 6PF.700.A.2 120
3R 6PF.700.A.3 132 95 52,7 83 33 38
90 37,7 75 51 28,82
101 67,7 86 21 324R 6PF.650.A.4 138
65 37,7 66 30 23
65 22,7 66 45 19,23
650
1R 6PF.650.A.1 105
2R 6PF.650.A.2 105
3R 6PF.650.A.3 131
104 67,7 88 03 44R 6PF.600.A.4 140
90 52,7 59 28,3 31
94 52,7 82 33 30
65 37,7 60 22,5 17,39
74 22,7 58 49 18,67
600
1R 6PF.600.A.19 2
2R 6PF.600.A.29 6
3R 6PF.600.A.39 4
LW Furo 
Máx.
J Peso
(kg)
Ø D 
Exter.
Nº 
Canais
Código TIPO ØM
B.1 - Características da polia selecionada (PF.700.A.1) Scpolias.
B.2 - Características do anel retentor selecionado (DSH-70) DSH shaftrings.
Rotor Clip DSHRetainingRings: DIN471-Metric-
Axially Assembled, External RetainingRings
FreeDiameter &RingMeasurements
withSectionB-B MaximumCorner
Shaft Diameter &
Groove Dimensions
Radius &Chamfer
GrooveDetail Optional LugDesign
Chmax
Rmax
Dg Ds
d
B
B
Smax
R
Df
H
R
d
Once installed in thegrooveof ashaft, theshoulder holds
an assembly in place
Ring SHAFTG ROOVE SIZE RING SIZE & WEIGHT SUPPLEMENTARY DATA
No.D IA.D IAMETERW IDTH DEPTHT HICKNESS FREE LUGM AX.H OLEW EIGHTE DGET HRUSTTHRUST Allow-M ax.R PM
(mm) DIAMETER HT.S EC.D IA.M ARGINL OADL OADa bleL oadL imits
Ring Groove Rad/ w/Ch
Cham.M ax.
Ds Dg TOL. Wd TT ol.D fT ol.H SR Kg/Y Pr Pg R/Ch P'r
Min. Max. Ref. Min. 1000M in.K nK nM ax.K n
DSH-63 63 60,0 -0,302 ,151 ,502 ,00- 0,07 58,8 7,66 ,2 2,51 5,90 4,57 0,24 8,32 ,5 11,60 7000
DSH-65 65 62,0 2,65 1,50 2,50 60,8 7,86 ,3 3,01 8,20 4,5 135,0 49,8 2,52 2,70 7000
DSH-67 67 64,0 2,65 1,50 2,50 62,5 +0,467 ,9 6,43 ,0 20,304 ,5 136,0 51,3 2,52 3,00 7000
DSH-68 68 65,0 2,65 1,50 2,50 63,5 -1,108 ,0 6,53 ,0 21,804 ,5 135,0 52,2 2,52 3,10 7000
DSH-70 70 67,0 2,65 1,50 2,50 65,5 8,16 ,6 3,02 2,00 4,5 134,0 53,8 2,52 3,00 7000
38
B.4 - Rolamento do mancal direito (ponto C) 6217-Z SKF.
d7 0m m
D9 0m m
B1 0m m
d 1 76.6m m
D 1 83.4m m
r 1,2 min. 0.6m m
Dimensions
Calculation data
C 12.4k N
C 0 13.2k N
P u 0.56 kN
15000 r/min
9000 r/min
k r 0.015
f 0 17.2
Basic dynamic load rating
Basic static load rating
Fatigue load limit
Reference speed
Limiting speed
Calculation factor
Calculation factor
d8 5m m
D 150 mm
B2 8m m
d 1 106 mm
D 2 134.3m m
r 1,2 min. 2m m
Dimensions
Calculation data
C 87.1k N
C 0 64 kN
P u 2.5k N
9000 r/min
5600 r/min
k r 0.025
f 0 15
Basic dynamic load rating
Basic static load rating
Fatigue load limit
Reference speed
Limiting speed
Calculation factor
Calculation factor
B.3 - Rolamento do mancal esquerdo (ponto A) 61814 SKF.
39
Apêndice C
Desalinhamento máximo nos mancais e deflexões
0,1181
a
41,7323
0,3750
a
55,1181
0,6693
a
4,3307
1,5748
a
8,4646
1,00
0,3937
a
7,4803
1,0236
a
15,7480
1,00
0,70
0,3937
a
4,3307
1,1811
a
9,4488
0,70
1,00
0,1969
a
4,7244
0,7480
a
9,4488
Capacidade Velocidade
limite
MANCAIS
DE ESFERAS
INTERVALO DE
TAMANHO EM
POLEGADAS
Furo Diâmetroexterno
CLASSIFICAÇÃO RELATIVA MÉDIA
AxialRadial
Desalinha-
mento
permissível
Conrad é a
base de
comparação
1,00
TIPO
CONRAD
TIPO
MÁXIMO
CONTATO
ANGULAR
15° / 40°
AUTOALINHA-
MENTO
CONTATO
ANGULAR
35°
Aceitável
Boa
Excelente
Boa
Excelente
Aceitável
Boa
Boa
Aceitável
Boa
(15º)
Excelente
(40º)
± 0º 12'
C3 Livre
± 0º 3'
0º 
± 4º
TIPO
Folga radial
padrão
± 0º 8'
± 0º 2'
(NORTON, 2013)
(BUDYNAS; NISBETT, 2011)
(BUDYNAS; NISBETT, 2011)
Inclinações
Deflexões Transversais
 
 
Rolo cônico 
Rolo cilindrico 
Esfera de sulcoprofundo
Esfera 
Esfera autoalinhante 
Engrenagem reta sem coroa 
0,0005-0,00 l 2 rod 
0,0008-0,00 l 2 rod 
0,001-0,003 rad 
rod 
0,026-0,052 rod 
< 0,00050 rad 
Engrenagens retas com P < 4 dentes/cm 
Engrenagens retas com 5 < P < 8 
Engrenagens retas com 9 < P < 20 
0,25 mm 
0, 125 mm 
0,075 mm 
Flexional Torcional Axial
2.72 .2 3.0
1.71 .5 1.9
2.2— 3.0
—1.7—
5.03 .0 5.0
Filete de ressalto - pontudo (r/d = 0.02)
Filete de ressalto - bem arredondado (r/d = 0.1)
Assento de chaveta de extremidade fresada ( r/d = 0.02)
Assento de chaveta formato corredor de trenó
Sulco de anel retentor
Estimativa de primeira iteração para fatores de 
concentração de tensão (Kt) em eixos
40
Representação técnica do eixo
Apêndice D
1237,15
412,85
90
630
90
10
40
R1,2
R1,2
12
2,15
2,15
70
85
70
40
	1 Introdução
	1.1 Definição de eixo
	1.2 Considerações sobre materiais de eixo
	1.3 Considerações geométricas do eixo
	1.4 Elementos de fixação e transmissão de torque
	2 Dimensionamento do Eixo
	2.1 Dimensionamento por tensão
	2.2 Dimensionamento por deflexão
	2.3 Dimensionamento por velocidade crítica
	3 Definição do Problema
	3.1 Análise por tensão
	3.2 Análise por deflexão
	3.3 Análise por velocidade crítica
	4 Análise pelo Método dos Elementos Finitos
	5 Considerações Analíticas
	6 Considerações Finais
	Referências Técnicas
	Apêndice A
	Apêndice B
	Apêndice C
	Apêndice D