Pêndulo de Torção

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
Física Experimental-II
Professor: Iuri Pepe
Alunos:
Mariana Cunha Costa
Osvaldo Coimbra da Silva Filho
Pablo Ramon S. de Carvalho 
Pedro Antonio de Souza Matos 
PÊNDULO
de 
TORÇÃO
INTRODUÇÃO
 O pêndulo de torção é um sistema físico formado por um corpo suspenso por um fio preso a uma plataforma na base superior. Provocando uma rotação do corpo em torno do seu eixo vertical, ocorre uma deformação no fio, provocando a ação de um torque que tende a restabelecer a condição de equilíbrio do sistema (o torque restaurador). Sob a ação desse torque, o sistema passa a descrever um movimento oscilatório, com uma freqüência que, como iremos constatar no decorrer do experimento, depende das dimensões e material do fio e do momento de inércia do corpo.
PROCEDIMENTOS
 Foram montados dois tipos diferentes de pêndulo de torção. O primeiro modelo de pêndulo de torção foi montado com barras cilíndricas penduradas através de seus centros pelo fio de comprimento C=0,10 metros. Medimos inicialmente as massas e os comprimentos L de cada uma das seis barras. Montamos os sistemas e medimos seus períodos T com o auxílio de um cronômetro, considerando o tempo de dez oscilações e calculando o valor médio, para obtermos medidas mais precisas do período. A partir dos valores obtidos para os períodos e das medidas de massas e comprimentos feitas no início do processo experimental,calculamos os momentos de inércia I, em kg.m², por I=m.L²/12, e as freqüências das oscilações f=1/T, em hertz das barras. 
 O segundo foi constituído de uma haste de metal, de comprimento L= 0,50 metros e massa m= 0,154 quilogramas, dotada de furos e suspensa por um fio de comprimento C. Nos furos eqüidistante, cada um a uma distância d do centro de massa da régua, penduramos massas de valor total M=0,284 quilogramas. Variando seis vezes o comprimento C e mantendo uma distância d=0,40m entre as massas, medimos novamente o tempo de dez oscilações e fizemos a média para obter T. Estabelecido um comprimento do fio C=0,15m, variamos cinco vezes a distância d, e fizemos a medição do período T da mesma forma descrita acima. 
TRATAMENTO DE DADOS
TABELA DO PRIMEIRO PÊNDULO:
	Barra
	L(m)
	m(kg)
	mL² (kg.m²)
	f(Hz)
	T(s) 
	1
	0,40
	0,138
	0,02208
	0,28
	3,51
	2
	0,30
	0,103
	0,00927
	0,45
	2,23
	3
	0,20
	0,270
	0,0108
	0,47
	2,15
	4
	0,20
	0,109
	0,00436
	0,59
	1,69
	5
	0,20
	0,069
	0,00276
	0,76
	1,31
	6
	0,10
	0,033
	0,02208
	1,82
	0,55
GRÁFICO:
Sendo a equação da melhor reta, obtida pelo programa Microcal Origin 7.0, em vermelho no gráfico do quadrado do período pelo momento de inércia de cada barra metálica:
T2= B.m.L2+ A (equação I)
 Estão relacionados os valores abaixo:
	Parâmetro
	Valor
	 Erro
	A
	0,04964
	0,43335
	B
	534,12037
	39,64609
Através do valor encontrado para B, é possível encontrar o valor do módulo de torção k do fio, constante que depende das dimensões e do material do fio. A partir da equação de movimento do pêndulo de torção, obtém-se a igualdade:
T2= (4π2/12.k).m.L2 (equação II)
Observando que o valor de A, da equação I, é próximo de zero, podemos comparar as equações I e II :
T2= (4π2/12.k).m.L2 = B.m.L2+ A 
B= 4π2/12.k
k= 12.B/4π2 = 12x534,12037/4π2
k=0,006159413343 kg.m2/s2
TABELAS DO SEGUNDO PÊNDULO:
1-fixando C=10 cm
	d(m)
	I(kg.m²)
	f(Hz)
	T(s)
	0,023
	0,003783433333
	0,19
	5,23
	0,050
	0,006623433333
	0,18
	5,57
	0,090
	0,015825033
	0,14
	6,96
	0,140
	0,039381129
	0,11
	8,71
	0,200
	0,084821129
	0,08
	11,95
2-fixando d=0,40m ; momento de inércia do sistema: I=0,0486483334 kg.m2
	C(m)
	f(Hz)
	T(s)
	0,10
	0,110
	9,06
	0,15
	0,094
	10.60
	0,20
	0,081
	12,34
	0,25
	0,073
	13,67
	0,30
	0,069
	14,57
	0,40
	0,064
	15,53
GRÁFICO1.
A equação da melhor reta, fornecida pelo Microcal Origin 7.0, é:
T2= B.d2+ A (equação I) A equação da melhor reta, fornecida pelo Microcal Origin 7.0, é:
T2= B.d2+ A (equação I)
	Parametro
	Valor
	Erro
	A
	23,84099
	2,17886
	B
	2916,49858
	107,44148
Novamente, pela equação do movimento do pêndulo de torção, temos que:
T2= (4π2/12.k).m.L2 + (4π2/k).M.d2 (equação II)
Comparando a s equações I e II:
T2= B.d2+ A= (4π2/12.k).m.L2 + (4π2/k).M.d2
Desta forma:
B= (4π2/k).M
M=(2916,49858x0,006159413343)/ 4π2
M=0,455031416 kg
Comparamos o valor das massas M, calculado acima, com o valor obtido na balança através do desvio relativo:
D=(0,455031416 - 0,284)/0,284= 0,585613239 , que é um desvio de aproximadamente 60%.
O valor do momento de inércia dado pela expressão, utilizando o valor de M encontrado acima e escolhendo d=0,023, é:
I= (mL2)/12 + Md2
I= 0,003449044952 kg.m2
 
Calculando o desvio relativo entre o momento de inércia encontrado através do cálculo acima e o momento de inércia calculado com as massas M obtidas na balança do laboratório:
D= (0,003783433333 - 0,003449044952)/ 0,003783433333= 0,088382258, que corresponde a um desvio de aproximadamente 9%.
GRÁFICO 2.
A partir da melhor reta, fornecida pelo Microcal 7.0,é possível obter a equação:
 T2/(I.4π2)= BxC + A (equação I)
	Parametro
	Valor
	 Erro
	A
	2,45488
	0,03507
	B
	0,81605
	0,04991
Pela equação do movimento do pêndulo de torção, encontra-se:
T2/(I.4π2)=1/k (equação II)
Comparando as equações I e II:
T2/(I.4π2)= BxC + A= 1/k
Assim, observamos uma dependência inversa entre C e k:
1/k = 0,81605xC + 2,45488
Obtendo a expressão para o período em função do comprimento do fio e do módulo de torção:
T2/(I.4π2)=1/k ( T2=(I.4π2)/k (1)
T2/(I.4π2)= 0,81605xC + 2,45488 ( T2=(I.4π2)( 0,81605xC + 2,45488) (2)
 
Somando (1) e (2):
2 T2=(I.4π2)[( 0,81605xC + 2,45488)+ 1/k ]
e, enfim:
T2=(I.2π2)[( 0,81605xC + 2,45488)+ 1/k ]
CONCLUSÃO
 
 Observamos que o desvio de 60% no valor das massas M está relacionado ao provável erro nas medições dos períodos de oscilação, visto que as medidas obtidas destoam das medidas esperadas para este tipo de movimento. Houve neste caso uma provável falha humana. Foi menor o desvio relativo do momento de inércia por este ser dependente de M de forma que seu valor não é muito alterado quando se dá uma alteração em M; no S.I., o valor do momento de inércia para esse sistema é pequeno, como visto na tabela 1do segundo pêndulo. 
Notemos no entanto que, apesar da ocorrência de erros nas medidas, foi possível obter a dependência entre C e k e a equação que relaciona o período T, o comprimento C do fio e o módulo de torção k do fio, embora as constantes apresentadas na equação não tenham valores muito confiáveis.
REFERÊNCIA:
NUSSENZVEIG, H.M. Curso de física básica. São Paulo: Edgard Blücher, c 1981. 2v.
 
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