Probabilidade e Estatística Aplicada à Engenharia Seção 04

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Probabilidade e Estatística Aplicada 
à Engenharia
Prof. Me. Aragão Júnior
Seção 4
Conteúdo da Seção
• Introduzir o conceito de variável aleatória.
• Definir e aplicar o conceito de função de 
probabilidade.
• Definir e aplicar o conceito de função de 
distribuição de probabilidade.
• Apresentar o valor esperado e a variância de uma 
variável aleatória.
• Apresentar as funções de probabilidade mais 
importantes dos casos discreto e contínuo.
2
Variáveis Aleatórias
• Definimos como variável aleatória qualquer regra 
que associa um número a cada resultado eventual 
de um experimento aleatório.
• Uma variável é dita aleatória quando não 
pudermos antecipar, com certeza absoluta, o 
resultado que ocorrerá quando da realização de um 
experimento aleatório.
3
Variáveis Aleatórias
• Exemplo 1: 
• Considere a experiência que consiste na seleção de um 
gerente de RH de uma empresa para verificar o sexo. Se 
associarmos o número 1 para o sexo feminino e 0 para o 
masculino, temos uma regra estabelecida de modo que 
X = 1 representa um gerente do sexo feminino e X = 0 
um gerente do sexo masculino. De acordo com essa 
regra de associação de um número a cada resultado, X é 
definida como variável aleatória.
Note que não podemos antecipar, com certeza 
absoluta, o sexo do gerente antes da seleção.
4
Variáveis Aleatórias
• Exemplo 2: 
• Considere a experiência que consiste no lançamento de 
duas moedas para observarmos a face voltada para cima 
em cada uma delas.
• O Espaço Amostra associado a essa experiência é o 
conjunto dos pares:
S = {(coroa coroa), (cara coroa), (coroa cara), (cara cara)}
• Chamando de X a variável aleatória associada ao objeto 
da observação (número de caras observadas), obtemos 
uma nova forma, mais simples, para o Espaço Amostra:
S = {0, 1, 2}.
5
Variáveis Aleatórias
• Esquematicamente a relação se faz por meio da 
figura:
6
(Co Co)
(Co Ca)
(Ca Co)
(Ca Ca)
. 0
. 1
. 2
S x
(Co,Co)
(Co,Ca)
(Ca,Co)
(Ca,Ca)
. 0
. 1
. 2
. 1/4
. 2/4
S x P(X=x)
Variáveis Aleatórias
• Podemos associar a este quadro de valores uma nova 
função que levará cada valor x da variável aleatória X à sua 
respectiva probabilidade P(X = x).
7
Variáveis Aleatórias
8
Discretas
Variáveis
Aleatórias
Contínuas
Variável Aleatória Discreta
• Dizemos que uma variável aleatória é DISCRETA
quando ela assume um número finito, ou no 
máximo infinito enumerável, de valores em seu 
domínio, RX.
• Toda variável aleatória discreta, de domínio RX, será 
associada a uma imagem P(X=x) por meio de uma 
função de probabilidade p(x).
9
Exemplos 
Variável Aleatória Discreta
Experimento
Variável 
Aleatória
Possíveis 
Valores
Realizar 100 ligações de 
telemarketing
nº vendas 0, 1, 2, ..., 100
Inspecionar 20 lâmpadas nº defeituosas 0, 1, 2, ..., 20
Responder 10 Questões nº corretas 0, 1, 2, ..., 10
Carros que passam no 
Pedágio entre 11:00 e 
21:00 h
nº carros 0, 1, 2, ..., N
10
RX RA
1
.5
0
Tipos de Variáveis 
Aleatórias
• Dizemos que uma variável aleatória é CONTÍNUA quando ela 
assume um número infinito de valores em seu domínio.
• Toda variável aleatória contínua assume valores em intervalos, 
RA, e é associada a uma imagem P(X  RA) por meio de uma 
função de densidade de probabilidade f(x).
11
Exemplos 
Variável Aleatória Contínua
Experimento Variável Aleatória Possíveis Valores
Medir a altura de 100 
pessoas
Altura (cm) ]100 , 250[
Observar a carga de 
trabalho diário de 5 
pessoas
Horas (h) ]0 , 60[
Medir o salário por
hora de 10 trabalhadores
Salário (R$/h) ]3 , 100[
Medir o tempo de espera
de 25 pessoas na fila da 
caixa de um banco
Tempo (m) ]0 , 100[
12
P X x
x
x
( |
!
= l
l
le
-
Funções de Probabilidade
1. Modelo Teórico
• Representação de algum 
fenômeno
2. Fórmula Matemática 
3. Representa Variáveis 
Aleatórias
4. Usada para obter 
probabilidades
13
Função 
de Probabilidade Discreta
1. Listar todos os pares possíveis [xi ; P(xi)]
X é a variável aleatória do tipo discreto
xi é o i-ésimo valor da variável aleatória (resultado)
P(xi) é a Probabilidade associada a esse valor
2. 0  P(xi)  1
3. S P(xi) = 1
14
Função 
de Probabilidade Discreta
Distribuição de Probabilidade
• 0 1/4 = 0,25
• 1 2/4 = 0,50
• 2 1/4 = 0,25 
15
Exemplo: Lançamento de 2 moedas para verificar 
o número de caras.
1,00
Valores, xi Probabilidades, P(X = xi)
Função
de Probabilidade Discreta
{(0; 0,25), (1; 0,50), (2; 0,25)}
16
Listagem
Gráfico
0
0.25
0.50
0 1 2
X
P(x) Equação
P x
n
x n x
p px n x( )
!
! ( ) !
( )=
-
- -1
[xi ; P(xi)]
Tabela
0,2512
0,5021
0,2510
P(x)f(x)Nº Caras
RX
(Área sob a curva definida por f(x)
em todo o domínio de X)
Função 
de Probabilidade Contínua
• Listar todos os pares possíveis [Rx ; f(x)], domínio e 
imagem da variável aleatória.
Rx é a região de definição da variável aleatória.
f(x) é a função de densidade de probabilidade
• Para que f(x) seja uma função de densidade é 
necessário que:
1. f(x)  0
2.  f(x) dx =1 
17
Função 
de Probabilidade Contínua
• Graficamente
18
f(x) não é probabilidade!!!
f(x)
xxo
f(xo)
Função 
de Probabilidade Contínua
• Graficamente
19
f(x)
a b x
=
b
a
dxxfbXaP )()(
Área sob a curva definida por f(x) 
entre os pontos a e b, em RX
0 … x  0 ou x  20
1/20 … 0 < x < 20
f(x) =
Função 
de Probabilidade Contínua
• Exemplo: 
Suponha que o tempo de espera por um ônibus seja uma 
variável aleatória com função de densidade de 
probabilidade definida por:
20
Função 
de Probabilidade Contínua
 A probabilidade de uma pessoa esperar um ônibus de 5 a 10 
minutos é expressa por:
 Logo a probabilidade de uma pessoa esperar um ônibus 
entre 5 e 10 minutos é de 25%.
21
25,0
20
510
20
1
)()105(
10
5
10
5
=
-
===  dxdxxfXP
Função de Distribuição
• Para que serve uma função de distribuição?
• Suponha que uma prova com 100 itens do tipo múltipla 
escolha com cinco alternativas e apenas uma correta 
seja administrada a uma amostra de alunos. 
• Para se calcular a probabilidade de que um aluno acerte
ao acaso a no máximo 60 questões seria necessário 
fazer 61 cálculos e somar os resultados. 
• A tabela das probabilidades acumuladas (função de 
distribuição) permite se obter diretamente a 
probabilidade desejada.
22
Função de Distribuição
• Definimos a função de distribuição de uma variável 
aleatória como:
23





==


-

o
o
x
xx
oo
contínuaxpara,dx)x(f
discretaxpara),x(P
)xX(P)x(F
Funções de Distribuição
Exemplo 1
• Considere a função de probabilidade da variável 
aleatória discreta X definida por:
24



=
=
=
0 se,6/5
1 se,6/1
)(
x
x
xp
Funções de Distribuição
Exemplo 1
• A função de distribuição acumulada desta variável
aleatória será:
• X assume apenas 2 valores
25








=
1x se1
1x0 se6/5
0x se0
)x(F
Funções de Distribuição
Exemplo 2
• Considere a função de densidade de probabilidade 
da variável aleatória contínua X definida por:
26





=
4x2 se 2/1
4xou2x se 0
)x(f
Funções de Distribuição
Exemplo 2







-

=
4x se , 1
4x2 se , 
2
2x
2x se , 0
)x(F
• A função de distribuição acumulada desta variável
aleatória será:
Logo, F(3) = P(X  3) = (3 – 2)/2 = ½.
27Valor Esperado 
e Variância
1. Valor Esperado
• Média da Distribuição de Probabilidade
• Média ponderada de todos os possíveis valores
28







==


XR
ii
x
contínuaXpara,dx)x(fx
discretaXpara,)x(px
)X(Eμ
2. Variância
- Variância de uma distribuição de probabilidade.
- Mede a variação dos resultados em torno da média.
Valor Esperado 
e Variância







-
-
=-=


XR
2
x
2
2
xi
2
i
2
xi
2
x
contínuaXpara,dx)x(fx
discretaXpara,)x(px
])X[(Eσ
29
Valor Esperado e Variância
Caso Discreto
Tabela de Cálculo
Soma
30
Xi P(Xi) XiP(Xi) Sx
2
i
P(X )i
Sx iP(Xi) Sx2 P(X )i i
-x[Sx2 P(X )]i i
VARIÂNCIA
MÉDIA x
sx
2
2
Valor Esperado e Variância
Exemplo
• Você lança 2 moedas e está interessado no número 
de Caras. Qual é o valor esperado e a variância da 
variável aleatória “número de Caras”?
31
Valor Esperado 
e Variância
Solução
0 0,25 0,00 0,00
1 0,50 0,50 0,50
2 0,25 0,50 1,00
1,00 1,50
Média
32
Soma
x
Xi
5,0)1(5,1 22 =-=sx
)x(P i )X(Px ii
)X(Px i
2
i
Distribuições
Discretas de
Probabilidade
Bernoulli Binomial Poisson Outras
Distribuições Discretas 
de Probabilidade
33
Distribuição de Bernoulli (p)
• Resultados possíveis: 
• Sucesso ou fracasso
• X = 1, se ocorrer sucesso
• X = 0, se ocorrer fracasso
• Se ocorrer sucesso, X = 1 a probabilidade é P(X=1) = p.
• Se ocorrer fracasso, X = 0, com P(X=0) = 1 – p = q.
• A probabilidade de sucesso (p) é a mesma toda a vez que se 
realizar o experimento.
34
Distribuição de Bernoulli (p) 
Exemplo
• Você está fazendo uma prova com questões de múltipla 
escolha. 
• Cada questão possui 4 alternativas. 
• Com dúvida em uma questão, você decide ‘chutar’.
• Qual é a probabilidade de você acertar?
P(X=1) = P(sucesso) = P(acertar a questão)
P(X=1) = ¼ = 0,25
35
Distribuição de Bernoulli (p)
36
Listagem
Gráfico
0
0.25
0.75
0 1
X
P(x)
[xi ; P(xi)]
Tabela
Acertar 
Questão P(x i)
0 0,75
1 0,25
Equação
 
 1,0R
p1p)xX(P
x
x1x
=
-==
-
{(0; 1-p), (1; p)}
Média
Variância
Distribuição Bernoulli (p) 
Parâmetros
 p1p2x -=s
p)X(Ex ==
37
Distribuições
Discretas de
Probabilidade
Bernoulli Binomial Poisson Outras
Distribuições Discretas 
de Probabilidade
38
Distribuição Binomial (n , p)
• P(X = x | n,p) é a probabilidade de ocorrer x sucessos 
em n provas independentes de Bernoulli
• n é o número de provas independentes de Bernoulli
• p é a probabilidade de ‘sucesso’
• x é o número de ‘sucessos’ em n provas 
(x = 0, 1, 2,…, n)
39
xnx pp
xnx
n
pnxXP --
-
== )1(
)!(!
!
),|(
Distribuição Binomial (n , p)
X é o número de ‘sucessos’ em n provas 
independentes de Bernoulli.
• Exemplos:
• Número de peças defeituosas em uma 
amostra de 5 peças;
• Número de questões corretas em uma prova 
com 30 questões.
40
Distribuição Binomial (n , p)
X é o número de ‘sucessos’ em n provas 
independentes de Bernoulli.
Exemplo 
1. Qual é a probabilidade de se observar 3 peças defeituosas 
em um lote de 5 peças oriundo de uma produção que 
trabalha com 10% de peças defeituosas?
• Nesse caso, x = 3, n = 5 e p = 0,10. Logo
41
0162,0)90,0()10,0(
)!35(!3
!5
)10,0,5|3X(P 353 =
-
== -
Distribuição Binomial (n , p)
X é o número de ‘sucessos’ em n provas 
independentes de Bernoulli.
Exemplo
2. Acertar a 20 questões de múltipla escolha com 5 alternativas, 
mas apenas uma correta, todas respondidas ao acaso, em 
uma prova com 30 questões.
Nesse caso, x = 20, n = 30 e p = 0,20. Então:
42
123,0)80,0()20,0(
)!2030(!20
!30
)20,0,30|20X(P 203020 =
-
== -
Distribuição Binomial (n , p)
43
Listagem
Gráfico
0
0.25
0.50
0 1 2
X
P(x)
Equação
P x
n
x n x
p px n x( )
!
! ( ) !
( )=
-
- -1
[xi ; P(xi)]
Tabela
# Caras
freqüência
0 1 0,25
1 2 0,50
2 1 0,25
)( ixf
)( ixP
{(0; 0,25), (1; 0,50), (2; 0,25)}
Rx= {0, 1, 2, …, n}
n = 5 e p = 0,1
Média
Variância
.0
.2
.4
.6
0 1 2 3 4 5
X
P(X)
.0
.2
.4
.6
0 1 2 3 4 5
X
P(X)
Distribuição Binomial (n , p) 
Características
 pnpx -=s 1
2
44
npXEx == )(
n = 5 e p = 0,5
Distribuição Binomial (n , p)
Exemplo
• Em 4 lançamentos de uma moeda, qual é a probabilidade de se 
obter 3 coroas?
• Note que x = 3 n = 4 e p = 0,5. Então
45
25,0)5,01(5,0
)!34(!3
!4
)5,0,4|3(
)1(
)!(!
!
),|(
343 =-
-
==
-
-
==
-
-
XP
pp
xnx
n
pnxXP xnx
Distribuição Binomial 
Exercício
0687,0)2,01(2,0
)!012(!0
!12
)2,0,12|0(
)1(
)!(!
!
),|(
0120 =-
-
==
-
-
==
-
-
XP
pp
xnx
n
pnxXP xnx
a) Nenhuma Venda
b) Exatamente Duas Vendas
47
2835,0)2,01(2,0
)!212(!2
!12
)2,0,12|2(
)1(
)!(!
!
),|(
2122 =-
-
==
-
-
==
-
-
XP
pp
xnx
n
pnxXP xnx
Distribuição Binomial 
Exercício
5584,02835,02062,00687,0)(
2835,0)2,01(2,0
)!212(!2
!12
)2,0,12|2(
2062,0)2,01(2,0
)!112(!1
!12
)2,0,12|1(
0687,0)2,01(2,0
)!012(!0
!12
)2,0,12|0(
)2()1()0()2()(
2122
1121
0120
==
=-
-
==
=-
-
==
=-
-
==
==
-
-
-
duasmáximonoP
XP
XP
XP
PPPXPduasmáximonoP
c) No Máximo Duas Vendas
48
Distribuição Binomial 
Exercício
7251,02062,00687,01)1(1)2()(
2062,0)2,01(2,0
)!112(!1
!12
)2,0,12|1(
0687,0)2,01(2,0
)!012(!0
!12
)2,0,12|0(
)1()0(1)12(...)3()2()2()(
1121
0120
=--=-==
=-
-
==
=-
-
==
--===
-
-
XPXPduasmínimonoP
XP
XP
PPPPPXPduasmínimonoP
d) No Mínimo Duas Vendas
49
Distribuições
Discretas de
Probabilidade
Bernoulli Binomial Poisson Outras
Distribuições Discretas 
de Probabilidade
50
Distribuição de Poisson
X é o número de eventos que ocorrem em um certo 
intervalo de tempo ou espaço.
• Exemplos:
• Número de clientes que chegam a cada 10 minutos em um 
supermercado;
• Número de defeitos de acabamento em uma prancha de surf 
de 1 m2.
51
Distribuição de Poisson
• Probabilidade constante do evento;
• Exemplo: Três vendas por hora;
• Eventos independentes;
• Exemplo: a chegada de 1 pessoa a um caixa não afeta a 
chegada da outra.
52
Função de Distribuição de 
Probabilidade Poisson
P(X= x | l) é a probabilidade de X = x dado l
l é o nº esperado de eventos (média).
e = 2,71828...
x é o número de eventos
53
!
)|(
x
e
xXP
xl
=l=
l-
Gráfico
l = 0,5
0
0.2
0.4
0.6
0 1 2 3 4 5
X
P(X)
Distribuição de Poisson
54
Média

=
=
l==
N
i
iix
x
XPX
XE
1
)(
)(
Variância
l=s2x
Equação
P X x
x
x
( | )
!
= =l
lle -
Rx = {0, 1, 2, …}
Distribuição de Poisson 
Exemplo
• Clientes chegam a um caixa de supermercado à 
taxa de 72 clientes por hora. A fim de determinar o 
número de atendentes que se deve contratar, 
deseja-se saber qual é a probabilidade de que 4 
clientes cheguem nos próximos 3 minutos.
55
Logo, a probabilidade de chegarem 4 clientes nos
próximos 3 minutos é 19,12%. 
P X x
x
P X
x
( | )
!
( | )
,
!
= =
= =
l
l
le
e
= 0,1912
-
-3,6
4 3,6
3 6
4
4
Distribuição de Poisson 
Exemplo
• 72 clientes por hora = 1,2 por m = 3,6 clientes em 3 m, logo l = 
3,6.
56
Distribuição de Poisson
Tabela
X
l
3,1 ... 3,6... 4,0
0 0,0450 ... 0,0273 ... 0,0183
1 0,1397 ... 0,0984 ... 0,0733
2 0,2165 ... 0,1771 ... 0,1465
3 0,2237 ... 0,2125 ... 0,1954
4 0,1734 ... 0,1912 ... 0,1954
57
Distribuições Contínuas 
de Probabilidade
58
Distribuições Contínuas 
de Probabilidade
• Variáveis aleatórias contínuas assumem valores 
em intervalos
• As funções de densidade de probabilidades são 
definidas por:
a) f(x)  0
b) P(a  X  b) =
c)

b
a
dx)x(f
1dx)x(f
xR
=
59
Distribuições
Contínuas de 
Probabilidade
Uniforme Normal Outras
Distribuições Contínuas 
de Probabilidade
60
Distribuição Uniforme
U(a,b)
61
Função de Densidade e 
Domínio de X
1 / (b - a), se a < x < b
0, se x  a ou x  b
f(x) =
Função de Distribuição 
da Variável X
0, se x < a
(x–a) / (b–a), se a  x < b
1, se x  b
F(x)=
Valor Esperado e 
Variância
 = (a + b) / 2
s2 = (b – a)² / 12
Gráfico
1/(b-a)
0 a b
X
f(x)
Distribuição Uniforme 
Exemplo
• Se o volume de cerveja em uma lata de alumínio 
variar uniformemente entre 340 ml e 370 ml, qual é 
a probabilidade de uma lata conter mais de 360 
ml?
62
 
%33,33
30
10
340370
360370
x
340370
1
dx
340370
1
)360X(P
370
360
370
360
=
-
-
=
-
=
-
= 
a = 340
b = 370
Resolução pela função de densidade de probabilidade
Distribuição Uniforme 
Exemplo
• Se o volume de cerveja em uma lata de alumínio variar 
uniformemente entre 340 ml e 370 ml, qual é a 
probabilidade de uma lata conter mais de 360 ml?
a = 340
b = 370
63
Resolução pela função de distribuição
%33,33
30
10
340370
340360
1)360(F1
)360X(P1)360X(P
=
-
-
-=-=
-=
Distribuição Uniforme
Exercício
• Admite-se que o atraso (em minutos) nas chegadas 
dos trens à estação de uma cidade segue uma 
distribuição U(0,12).
• Qual é a probabilidade de ocorrer um atraso entre 5 e 
10 minutos?
64
417,0
12
5
012
510
)10x5(P ==
-
-
=
Distribuições
Contínuas de
Probabilidade
Uniforme Normal Outras
Distribuições Contínuas
de Probabilidade
65
Distribuição Normal 
Caso Motivacional
• Os valores retirados diariamente de um caixa 
eletrônico têm distribuição Normal com média de 
R$50.000 e desvio padrão de R$10.000. Quanto o 
caixa deverá ter, em espécie por dia (R$), para que 
a probabilidade de faltar dinheiro seja menor do 
que 5%?
66
Importância da 
Distribuição Normal
1. Descrição de vários processos e fenômenos
2. Pode ser usada para aproximar algumas 
distribuições discretas. Ex: Binomial
3. É a base da Inferência Estatística
67
Média
Moda
Mediana
X
f(x)
Distribuição Normal
• Forma de ‘Sino’ -
Simétrica
• Média = Moda = Mediana
68
Distribuição Normal
Uma distribuição Normal fica perfeitamente 
caracterizada quando conhecemos a Média () e o Desvio 
Padrão (s) (ou a variância)
Notações: N(,s) ou N[, s2]
69
+s-s  X
ss
Parêntesis: 
desvio padrão
Colchete: 
variância
Distribuição Normal
Função de Densidade
f (x) é a função de densidade da distribuição Normal
 = 3,14159... e = 2,71828...
sx é o desvio padrão de X na população;
x é o valor da variável aleatória (- < x < ); e
x é a média de X na população.
70
2
x
xx
2
1
x
e
2.
1
)x(f






s
-
-
s
=
Efeito da Variação dos Parâmetros
Média e Desvio Padrão (x e sx)
71
x=100
sx=20 
x=100
sx=40 
Efeito da Variação dos Parâmetros
Média e Desvio Padrão (x e sx)
72
x=100
sx=40 
x=160
sx=40 
x=140
sx=20 
Efeito da Variação dos Parâmetros
Média e Desvio Padrão (x e sx)
73
x=100
sx=40 
Distribuição Normal
• A probabilidade é a área sob a curva da função de 
densidade da Normal entre os dois pontos no eixo 
das abscissas.
74
=
d
c
dxxfdXcP )()(
c d
X
f(x)
Tabela da Distribuição Normal
•As distribuições diferem 
para diferentes valores da 
média e do desvio padrão.
•Seria necessário uma tabela 
para cada distribuição.
75
Infinitas Tabelas!
X
f(x)

Z 
= 0
sz = 1
Z
Só uma Tabela !
Distribuição 
Normal Padrão
Distribuição 
Normal (,s)
X x
sx
Z
x x
x
=
- 
s
Distribuição Normal 
Padrão
76
ZZ= 0
sZ = 1
0,12
Distribuição Normal
Padrão N(0 , 1)
Z
x x
x
=
-
=
-
=

s
6 2 5
10
12
,
0,
Exemplo 
de Padronização
77
Distribuição Normal N(5 , 10)
X
X
= 5
sx = 10
6,2
Z
Z
= 0
sZ = 1
0,12
Z .00 .01
0.0 .0000 .0040 .0080
.0398 .0438
0.2 .0793 .0832 .0871
0.3 .1179 .1217 .1255
0,0478
0.1 .0478
Tabela de Probabilidade 
Normal Padrão
Probabilidades
Usando a 
Tabela da Normal
78
.02
2ª. decimal de z
s
Distribuição Normal N(5 , 10)
= 1
Z
Z
= 0
z
-0,12
0,0478
Distribuição Normal 
Padronizada
X
X
= 5
s
x = 10
3,8
Z
x x
x
=
-
=
-
= -

s
3 8 5
10
12
,
0,
Exemplo
P(3,8  X  5)
79
s
Z
= 1
0-0,21 Z0,21
0,1664
0,08320,0832
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal (5 , 10)
5
s
X
= 10
2,9 7,1 X
Z
x x
x
=
-
=
-
=

s
71 5
10
0,21
,
Z
x x
x
=
-
=
-
= -

s
2 9 5
10
0,21
,
Exemplo
P(2,9  X  7,1)
80
Z
x x
x
=
-
=
-
=

s
8 5
10
0,30
Exemplo: P(X  8)
81
s = 10
XX = 5
X
8
Distribuição Normal (5 , 10)
Z
Z = 0
s
Z
= 1
0,30
?
Distribuição Normal Padrão

Z
Z= 0
sZ = 1
0,30
Z ,00 ,01
0,0 ,0000 ,0040 ,0080
,0398 ,0438
0,2 ,0793 ,0832 ,0871
0,3 ,1179 ,1217 ,1255
0,1 ,0478
Tabela de Probabilidade 
Normal Padrão
Exemplo: P(X  8)
82
,02
Exemplo: P(X  8)
83
Z0
0,5
Z0 0,30
0,1179
Z0
0,5 -
=
Z0 0,30
0,3821
sz = 1
 z = 0 0,30 Z0,21
Distribuição 
Normal
Distribuição 
Normal 
Padronizada
Z
x
Z
x
x
x
x
x
=
-
=
-
=
=
-
=
-
=

s

s
71 5
10
0,21
8 5
10
0,30
,
s = 10
 x = 5
x
87,1
X
Exemplo: P(7,1  X  8)
84
Exemplo: P(7,1  X  8)
85
Z0 0,30
0,1179
0-0,21 Z0,21
0,0832
z = 0 0,30 Z0,21
0,0347
-
=
Distribuição Normal
Exercício
• Você é o responsável pelo setor de Controle de 
Qualidade de uma fabrica lâmpadas. A vida útil de 
uma lâmpada tem Distribuição Normal com x= 
2.000 horas e sx=200 horas. Qual é a 
probabilidade de uma lâmpada durar:
a) entre 2.000 e 2.400 horas?
b) menos de 1.470 horas?
86
Z
Z
= 0
sZ = 1
0,31
0,1217
Qual é o valor 
de Z dado que 
P(Z) = 0,1217?
Consultando a 
Tabela da Distribuição Normal
89
Z ,00 ,01
0,0 ,0000 ,0040 ,0080
,0398 ,0438
0,2 ,0793 ,0832 ,0871
0,3 ,1179 ,1217 ,1255
0,1 ,0478
,02
Tabela da distribuição 
Normal Padronizada
Distribuição NormalDistribuição Normal 
Padronizada
X

X
= 5
s
X
= 10
?
0,1217
Z

Z
= 0
s
Z
= 1
0,31
0,1217
Obtendo ‘x’ para uma 
Probabilidade Conhecida
1,81031,05 ==
s=
s
-
=
X
ZX
X
Z xx
x
x
90
0
0,1
0,2
0,3
2 4 6 8 10
X
P(X)
Probabilidade ‘adicionada’ 
pela curva Normal
Probabilidade 
‘perdida’ pela curva 
Normal
Probabilidade Binomial: 
altura da Barra (frq relat)
Probabilidade Normal: área sob a 
curva (entre 3,5 e 4,5)
Aproximação Normal 
das Distribuições Discretas91
Aproximação Normal para 
a Distribuição Binomial
1. Pré-requisitos:
n·p  5
n·(1 - p)  5
2. Equação:
92
n = 10 p = 0,50
onde Xajustado = X + 0,5 ou X - 0,5Z
x n p
n p p

- 
 -
ajustado
( )1
0
0,1
0,2
0,3
0 2 4 6 8 10
X
P(X)
p 0,50 
0
0,1
0,2
0,3
0 2 4 6 8 10 X
P(x)
Aproximação Normal
Exemplo
• Qual é a aproximação da Normal de P(X = 4; n = 10, 
p = 0,50)?
93
n·p  5
n·(1 - p)  5

Z
x n p
n p p

- 
 -
=
-
-
= -
ajustado
( )1
3,5 10 0,5
10 0,5(1 0,5)
0,95
Z
x n p
n p p

- 
 -
= = -
ajustado
( )1 10
0,32
-4,5 10 0,5
-0,5(1 0,5)
x
x
x
x
Encontrando os Valores 
Padronizados (Z)
94