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Probabilidade e Estatística Aplicada à Engenharia Seção 05

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Probabilidade e Estatística Aplicada 
à Engenharia
Prof. Me. Aragão Júnior
Seção 5
Distribuições
Discretas de
Probabilidade
Bernoulli Binomial Poisson Outras
Distribuições Discretas 
de Probabilidade
2
Distribuição de Bernoulli (p)
• Resultados possíveis: 
• Sucesso ou fracasso
• X = 1, se ocorrer sucesso
• X = 0, se ocorrer fracasso
• Se ocorrer sucesso, X = 1 a probabilidade é P(X=1) = p.
• Se ocorrer fracasso, X = 0, com P(X=0) = 1 – p = q.
• A probabilidade de sucesso (p) é a mesma toda a vez que se 
realizar o experimento.
3
Distribuição de Bernoulli (p) 
Exemplo
• Você está fazendo uma prova com questões de múltipla 
escolha. 
• Cada questão possui 4 alternativas. 
• Com dúvida em uma questão, você decide ‘chutar’.
• Qual é a probabilidade de você acertar?
P(X=1) = P(sucesso) = P(acertar a questão)
P(X=1) = ¼ = 0,25
4
Distribuição de Bernoulli (p)
5
Listagem
Gráfico
0
0.25
0.75
0 1
X
P(x)
[xi ; P(xi)]
Tabela
Acertar 
Questão P(x i)
0 0,75
1 0,25
Equação
 
 1,0R
p1p)xX(P
x
x1x



{(0; 1-p), (1; p)}
Média
Variância
Distribuição Bernoulli (p) 
Parâmetros
 p1p2x 
p)X(Ex 
6
Distribuições
Discretas de
Probabilidade
Bernoulli Binomial Poisson Outras
Distribuições Discretas 
de Probabilidade
7
Distribuição Binomial (n , p)
• P(X = x | n,p) é a probabilidade de ocorrer x sucessos 
em n provas independentes de Bernoulli
• n é o número de provas independentes de Bernoulli
• p é a probabilidade de ‘sucesso’
• x é o número de ‘sucessos’ em n provas 
(x = 0, 1, 2,…, n)
8
xnx pp
xnx
n
pnxXP 

 )1(
)!(!
!
),|(
Distribuição Binomial (n , p)
X é o número de ‘sucessos’ em n provas 
independentes de Bernoulli.
• Exemplos:
• Número de peças defeituosas em uma 
amostra de 5 peças;
• Número de questões corretas em uma prova 
com 30 questões.
9
Distribuição Binomial (n , p)
X é o número de ‘sucessos’ em n provas 
independentes de Bernoulli.
Exemplo 
1. Qual é a probabilidade de se observar 3 peças defeituosas 
em um lote de 5 peças oriundo de uma produção que 
trabalha com 10% de peças defeituosas?
• Nesse caso, x = 3, n = 5 e p = 0,10. Logo
10
0162,0)90,0()10,0(
)!35(!3
!5
)10,0,5|3X(P 353 

 
Distribuição Binomial (n , p)
X é o número de ‘sucessos’ em n provas 
independentes de Bernoulli.
Exemplo
2. Acertar a 20 questões de múltipla escolha com 5 alternativas, 
mas apenas uma correta, todas respondidas ao acaso, em 
uma prova com 30 questões.
Nesse caso, x = 20, n = 30 e p = 0,20. Então:
11
123,0)80,0()20,0(
)!2030(!20
!30
)20,0,30|20X(P 203020 

 
Distribuição Binomial (n , p)
12
Listagem
Gráfico
0
0.25
0.50
0 1 2
X
P(x)
Equação
P x
n
x n x
p px n x( )
!
! ( ) !
( )

 1
[xi ; P(xi)]
Tabela
# Caras
freqüência
0 1 0,25
1 2 0,50
2 1 0,25
)( ixf
)( ixP
{(0; 0,25), (1; 0,50), (2; 0,25)}
Rx= {0, 1, 2, …, n}
n = 5 e p = 0,1
Média
Variância
.0
.2
.4
.6
0 1 2 3 4 5
X
P(X)
.0
.2
.4
.6
0 1 2 3 4 5
X
P(X)
Distribuição Binomial (n , p) 
Características
 pnpx  1
2
13
npXEx  )(
n = 5 e p = 0,5
Distribuição Binomial (n , p)
Exemplo
• Em 4 lançamentos de uma moeda, qual é a probabilidade de se 
obter 3 coroas?
• Note que x = 3 n = 4 e p = 0,5. Então
14
25,0)5,01(5,0
)!34(!3
!4
)5,0,4|3(
)1(
)!(!
!
),|(
343 







XP
pp
xnx
n
pnxXP xnx
Distribuição Binomial 
Exercício
0687,0)2,01(2,0
)!012(!0
!12
)2,0,12|0(
)1(
)!(!
!
),|(
0120 







XP
pp
xnx
n
pnxXP xnx
a) Nenhuma Venda
b) Exatamente Duas Vendas
16
2835,0)2,01(2,0
)!212(!2
!12
)2,0,12|2(
)1(
)!(!
!
),|(
2122 







XP
pp
xnx
n
pnxXP xnx
Distribuição Binomial 
Exercício
5584,02835,02062,00687,0)(
2835,0)2,01(2,0
)!212(!2
!12
)2,0,12|2(
2062,0)2,01(2,0
)!112(!1
!12
)2,0,12|1(
0687,0)2,01(2,0
)!012(!0
!12
)2,0,12|0(
)2()1()0()2()(
2122
1121
0120














duasmáximonoP
XP
XP
XP
PPPXPduasmáximonoP
c) No Máximo Duas Vendas
17
Distribuição Binomial 
Exercício
7251,02062,00687,01)1(1)2()(
2062,0)2,01(2,0
)!112(!1
!12
)2,0,12|1(
0687,0)2,01(2,0
)!012(!0
!12
)2,0,12|0(
)1()0(1)12(...)3()2()2()(
1121
0120










XPXPduasmínimonoP
XP
XP
PPPPPXPduasmínimonoP
d) No Mínimo Duas Vendas
18
Distribuições
Discretas de
Probabilidade
Bernoulli Binomial Poisson Outras
Distribuições Discretas 
de Probabilidade
19
Distribuição de Poisson
X é o número de eventos que ocorrem em um certo 
intervalo de tempo ou espaço.
• Exemplos:
• Número de clientes que chegam a cada 10 minutos em um 
supermercado;
• Número de defeitos de acabamento em uma prancha de surf 
de 1 m2.
20
Distribuição de Poisson
• Probabilidade constante do evento;
• Exemplo: Três vendas por hora;
• Eventos independentes;
• Exemplo: a chegada de 1 pessoa a um caixa não afeta a 
chegada da outra.
21
Função de Distribuição de 
Probabilidade Poisson
P(X= x | l) é a probabilidade de X = x dado l
l é o nº esperado de eventos (média).
e = 2,71828...
x é o número de eventos
22
!
)|(
x
e
xXP
xl
l
l
Gráfico
l = 0,5
0
0.2
0.4
0.6
0 1 2 3 4 5
X
P(X)
Distribuição de Poisson
23
Média



l
N
i
iix
x
XPX
XE
1
)(
)(
Variância
l2x
Equação
P X x
x
x
( | )
!
 l
lle -
Rx = {0, 1, 2, …}
Distribuição de Poisson 
Exemplo
• Clientes chegam a um caixa de supermercado à 
taxa de 72 clientes por hora. A fim de determinar o 
número de atendentes que se deve contratar, 
deseja-se saber qual é a probabilidade de que 4 
clientes cheguem nos próximos 3 minutos.
24
Logo, a probabilidade de chegarem 4 clientes nos
próximos 3 minutos é 19,12%. 
P X x
x
P X
x
( | )
!
( | )
,
!
 
 
l
l
le
e
= 0,1912
-
-3,6
4 3,6
3 6
4
4
Distribuição de Poisson 
Exemplo
• 72 clientes por hora = 1,2 por m = 3,6 clientes em 3 m, logo l = 
3,6.
25
Distribuição de Poisson
Tabela
X
l
3,1 ... 3,6 ... 4,0
0 0,0450 ... 0,0273 ... 0,0183
1 0,1397 ... 0,0984 ... 0,0733
2 0,2165 ... 0,1771 ... 0,1465
3 0,2237 ... 0,2125 ... 0,1954
4 0,1734 ... 0,1912 ... 0,1954
26
Distribuições Contínuas 
de Probabilidade
27
Distribuições Contínuas 
de Probabilidade
• Variáveis aleatórias contínuas assumem valores 
em intervalos
• As funções de densidade de probabilidades são 
definidas por:
a) f(x)  0
b) P(a  X  b) =
c)

b
a
dx)x(f
1dx)x(f
xR

28
Distribuições
Contínuas de 
Probabilidade
Uniforme Normal Outras
Distribuições Contínuas 
de Probabilidade
29
Distribuição Uniforme
U(a,b)
30
Função de Densidade e 
Domínio de X
1 / (b - a), se a < x < b
0, se x  a ou x  b
f(x) =
Função de Distribuição 
da Variável X
0, se x < a
(x–a) / (b–a), se a  x < b
1, se x  b
F(x)=
Valor Esperado e 
Variância
 = (a + b) / 2
2 = (b – a)² / 12
Gráfico
1/(b-a)
0 a b
X
f(x)
Distribuição Uniforme 
Exemplo
• Se o volume de cerveja em uma lata de alumínio 
variar uniformemente entre 340ml e 370 ml, qual é 
a probabilidade de uma lata conter mais de 360 
ml?
31
 
%33,33
30
10
340370
360370
x
340370
1
dx
340370
1
)360X(P
370
360
370
360







 
a = 340
b = 370
Resolução pela função de densidade de probabilidade
Distribuição Uniforme 
Exemplo
• Se o volume de cerveja em uma lata de alumínio variar 
uniformemente entre 340 ml e 370 ml, qual é a 
probabilidade de uma lata conter mais de 360 ml?
a = 340
b = 370
32
Resolução pela função de distribuição
%33,33
30
10
340370
340360
1)360(F1
)360X(P1)360X(P





Distribuição Uniforme
Exercício
• Admite-se que o atraso (em minutos) nas chegadas 
dos trens à estação de uma cidade segue uma 
distribuição U(0,12).
• Qual é a probabilidade de ocorrer um atraso entre 5 e 
10 minutos?
33
417,0
12
5
012
510
)10x5(P 



Distribuições
Contínuas de
Probabilidade
Uniforme Normal Outras
Distribuições Contínuas
de Probabilidade
34
Distribuição Normal 
Caso Motivacional
• Os valores retirados diariamente de um caixa 
eletrônico têm distribuição Normal com média de 
R$50.000 e desvio padrão de R$10.000. Quanto o 
caixa deverá ter, em espécie por dia (R$), para que 
a probabilidade de faltar dinheiro seja menor do 
que 5%?
35
Importância da 
Distribuição Normal
1. Descrição de vários processos e fenômenos
2. Pode ser usada para aproximar algumas 
distribuições discretas. Ex: Binomial
3. É a base da Inferência Estatística
36
Média
Moda
Mediana
X
f(x)
Distribuição Normal
• Forma de ‘Sino’ -
Simétrica
• Média = Moda = Mediana
37
Distribuição Normal
Uma distribuição Normal fica perfeitamente 
caracterizada quando conhecemos a Média () e o Desvio 
Padrão () (ou a variância)
Notações: N(,) ou N[, 2]
38
+-  X

Parêntesis: 
desvio padrão
Colchete: 
variância
Distribuição Normal
Função de Densidade
f (x) é a função de densidade da distribuição Normal
 = 3,14159... e = 2,71828...
x é o desvio padrão de X na população;
x é o valor da variável aleatória (- < x < ); e
x é a média de X na população.
39
2
x
xx
2
1
x
e
2.
1
)x(f











Efeito da Variação dos Parâmetros
Média e Desvio Padrão (x e x)
40
x=100
x=20 
x=100
x=40 
Efeito da Variação dos Parâmetros
Média e Desvio Padrão (x e x)
41
x=100
x=40 
x=160
x=40 
x=140
x=20 
Efeito da Variação dos Parâmetros
Média e Desvio Padrão (x e x)
42
x=100
x=40 
Distribuição Normal
• A probabilidade é a área sob a curva da função de 
densidade da Normal entre os dois pontos no eixo 
das abscissas.
43

d
c
dxxfdXcP )()(
c d
X
f(x)
Tabela da Distribuição Normal
•As distribuições diferem 
para diferentes valores da 
média e do desvio padrão.
•Seria necessário uma tabela 
para cada distribuição.
44
Infinitas Tabelas!
X
f(x)

Z 
= 0
z = 1
Z
Só uma Tabela !
Distribuição 
Normal Padrão
Distribuição 
Normal (,)
X x
x
Z
x x
x

 

Distribuição Normal 
Padrão
45
ZZ= 0
Z = 1
0,12
Distribuição Normal
Padrão N(0 , 1)
Z
x x
x







6 2 5
10
12
,
0,
Exemplo 
de Padronização
46
Distribuição Normal N(5 , 10)
X
X
= 5
x = 10
6,2
Z
Z
= 0
Z = 1
0,12
Z .00 .01
0.0 .0000 .0040 .0080
.0398 .0438
0.2 .0793 .0832 .0871
0.3 .1179 .1217 .1255
0,0478
0.1 .0478
Tabela de Probabilidade 
Normal Padrão
Probabilidades
Usando a 
Tabela da Normal
47
.02
2ª. decimal de z

Distribuição Normal N(5 , 10)
= 1
Z
Z
= 0
z
-0,12
0,0478
Distribuição Normal 
Padronizada
X
X
= 5

x = 10
3,8
Z
x x
x




 


3 8 5
10
12
,
0,
Exemplo
P(3,8  X  5)
48

Z
= 1
0-0,21 Z0,21
0,1664
0,08320,0832
Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal (5 , 10)
5

X
= 10
2,9 7,1 X
Z
x x
x







71 5
10
0,21
,
Z
x x
x




 


2 9 5
10
0,21
,
Exemplo
P(2,9  X  7,1)
49
Z
x x
x







8 5
10
0,30
Exemplo: P(X  8)
50
 = 10
XX = 5
X
8
Distribuição Normal (5 , 10)
Z
Z = 0

Z
= 1
0,30
?
Distribuição Normal Padrão

Z
Z= 0
Z = 1
0,30
Z ,00 ,01
0,0 ,0000 ,0040 ,0080
,0398 ,0438
0,2 ,0793 ,0832 ,0871
0,3 ,1179 ,1217 ,1255
0,1 ,0478
Tabela de Probabilidade 
Normal Padrão
Exemplo: P(X  8)
51
,02
Exemplo: P(X  8)
52
Z0
0,5
Z0 0,30
0,1179
Z0
0,5 -
=
Z0 0,30
0,3821
z = 1
 z = 0 0,30 Z0,21
Distribuição 
Normal
Distribuição 
Normal 
Padronizada
Z
x
Z
x
x
x
x
x














71 5
10
0,21
8 5
10
0,30
,
 = 10
 x = 5
x
87,1
X
Exemplo: P(7,1  X  8)
53
Exemplo: P(7,1  X  8)
54
Z0 0,30
0,1179
0-0,21 Z0,21
0,0832
z = 0 0,30 Z0,21
0,0347
-
=
Distribuição Normal
Exercício
• Você é o responsável pelo setor de Controle de 
Qualidade de uma fabrica lâmpadas. A vida útil de 
uma lâmpada tem Distribuição Normal com x= 
2.000 horas e x=200 horas. Qual é a 
probabilidade de uma lâmpada durar:
a) entre 2.000 e 2.400 horas?
b) menos de 1.470 horas?
55
Z
Z
= 0
Z = 1
0,31
0,1217
Qual é o valor 
de Z dado que 
P(Z) = 0,1217?
Consultando a 
Tabela da Distribuição Normal
58
Z ,00 ,01
0,0 ,0000 ,0040 ,0080
,0398 ,0438
0,2 ,0793 ,0832 ,0871
0,3 ,1179 ,1217 ,1255
0,1 ,0478
,02
Tabela da distribuição 
Normal Padronizada
Distribuição NormalDistribuição Normal 
Padronizada
X

X
= 5

X
= 10
?
0,1217
Z

Z
= 0

Z
= 1
0,31
0,1217
Obtendo ‘x’ para uma 
Probabilidade Conhecida
1,81031,05 




X
ZX
X
Z xx
x
x
59
0
0,1
0,2
0,3
2 4 6 8 10
X
P(X)
Probabilidade ‘adicionada’ 
pela curva Normal
Probabilidade 
‘perdida’ pela curva 
Normal
Probabilidade Binomial: 
altura da Barra (frq relat)
Probabilidade Normal: área sob a 
curva (entre 3,5 e 4,5)
Aproximação Normal 
das Distribuições Discretas
60
Aproximação Normal para 
a Distribuição Binomial
1. Pré-requisitos:
n·p  5
n·(1 - p)  5
2. Equação:
61
n = 10 p = 0,50
onde Xajustado = X + 0,5 ou X - 0,5Z
x n p
n p p

 
 
ajustado
( )1
0
0,1
0,2
0,3
0 2 4 6 8 10
X
P(X)
p 0,50 
0
0,1
0,2
0,3
0 2 4 6 8 10 X
P(x)
Aproximação Normal
Exemplo
• Qual é a aproximação da Normal de P(X = 4; n = 10, 
p = 0,50)?
62
n·p  5
n·(1 - p)  5

Z
x n p
n p p

 
 



 
ajustado
( )1
3,5 10 0,5
10 0,5(1 0,5)
0,95
Z
x n p
n p p

 
 
  
ajustado
( )1 10
0,32
4,5 10 0,5
0,5(1 0,5)
x
x
x
x
Encontrando os Valores 
Padronizados (Z)
63

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