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Probabilidade e Estatística Aplicada à Engenharia Prof. Me. Aragão Júnior Seção 5 Distribuições Discretas de Probabilidade Bernoulli Binomial Poisson Outras Distribuições Discretas de Probabilidade 2 Distribuição de Bernoulli (p) • Resultados possíveis: • Sucesso ou fracasso • X = 1, se ocorrer sucesso • X = 0, se ocorrer fracasso • Se ocorrer sucesso, X = 1 a probabilidade é P(X=1) = p. • Se ocorrer fracasso, X = 0, com P(X=0) = 1 – p = q. • A probabilidade de sucesso (p) é a mesma toda a vez que se realizar o experimento. 3 Distribuição de Bernoulli (p) Exemplo • Você está fazendo uma prova com questões de múltipla escolha. • Cada questão possui 4 alternativas. • Com dúvida em uma questão, você decide ‘chutar’. • Qual é a probabilidade de você acertar? P(X=1) = P(sucesso) = P(acertar a questão) P(X=1) = ¼ = 0,25 4 Distribuição de Bernoulli (p) 5 Listagem Gráfico 0 0.25 0.75 0 1 X P(x) [xi ; P(xi)] Tabela Acertar Questão P(x i) 0 0,75 1 0,25 Equação 1,0R p1p)xX(P x x1x {(0; 1-p), (1; p)} Média Variância Distribuição Bernoulli (p) Parâmetros p1p2x p)X(Ex 6 Distribuições Discretas de Probabilidade Bernoulli Binomial Poisson Outras Distribuições Discretas de Probabilidade 7 Distribuição Binomial (n , p) • P(X = x | n,p) é a probabilidade de ocorrer x sucessos em n provas independentes de Bernoulli • n é o número de provas independentes de Bernoulli • p é a probabilidade de ‘sucesso’ • x é o número de ‘sucessos’ em n provas (x = 0, 1, 2,…, n) 8 xnx pp xnx n pnxXP )1( )!(! ! ),|( Distribuição Binomial (n , p) X é o número de ‘sucessos’ em n provas independentes de Bernoulli. • Exemplos: • Número de peças defeituosas em uma amostra de 5 peças; • Número de questões corretas em uma prova com 30 questões. 9 Distribuição Binomial (n , p) X é o número de ‘sucessos’ em n provas independentes de Bernoulli. Exemplo 1. Qual é a probabilidade de se observar 3 peças defeituosas em um lote de 5 peças oriundo de uma produção que trabalha com 10% de peças defeituosas? • Nesse caso, x = 3, n = 5 e p = 0,10. Logo 10 0162,0)90,0()10,0( )!35(!3 !5 )10,0,5|3X(P 353 Distribuição Binomial (n , p) X é o número de ‘sucessos’ em n provas independentes de Bernoulli. Exemplo 2. Acertar a 20 questões de múltipla escolha com 5 alternativas, mas apenas uma correta, todas respondidas ao acaso, em uma prova com 30 questões. Nesse caso, x = 20, n = 30 e p = 0,20. Então: 11 123,0)80,0()20,0( )!2030(!20 !30 )20,0,30|20X(P 203020 Distribuição Binomial (n , p) 12 Listagem Gráfico 0 0.25 0.50 0 1 2 X P(x) Equação P x n x n x p px n x( ) ! ! ( ) ! ( ) 1 [xi ; P(xi)] Tabela # Caras freqüência 0 1 0,25 1 2 0,50 2 1 0,25 )( ixf )( ixP {(0; 0,25), (1; 0,50), (2; 0,25)} Rx= {0, 1, 2, …, n} n = 5 e p = 0,1 Média Variância .0 .2 .4 .6 0 1 2 3 4 5 X P(X) .0 .2 .4 .6 0 1 2 3 4 5 X P(X) Distribuição Binomial (n , p) Características pnpx 1 2 13 npXEx )( n = 5 e p = 0,5 Distribuição Binomial (n , p) Exemplo • Em 4 lançamentos de uma moeda, qual é a probabilidade de se obter 3 coroas? • Note que x = 3 n = 4 e p = 0,5. Então 14 25,0)5,01(5,0 )!34(!3 !4 )5,0,4|3( )1( )!(! ! ),|( 343 XP pp xnx n pnxXP xnx Distribuição Binomial Exercício 0687,0)2,01(2,0 )!012(!0 !12 )2,0,12|0( )1( )!(! ! ),|( 0120 XP pp xnx n pnxXP xnx a) Nenhuma Venda b) Exatamente Duas Vendas 16 2835,0)2,01(2,0 )!212(!2 !12 )2,0,12|2( )1( )!(! ! ),|( 2122 XP pp xnx n pnxXP xnx Distribuição Binomial Exercício 5584,02835,02062,00687,0)( 2835,0)2,01(2,0 )!212(!2 !12 )2,0,12|2( 2062,0)2,01(2,0 )!112(!1 !12 )2,0,12|1( 0687,0)2,01(2,0 )!012(!0 !12 )2,0,12|0( )2()1()0()2()( 2122 1121 0120 duasmáximonoP XP XP XP PPPXPduasmáximonoP c) No Máximo Duas Vendas 17 Distribuição Binomial Exercício 7251,02062,00687,01)1(1)2()( 2062,0)2,01(2,0 )!112(!1 !12 )2,0,12|1( 0687,0)2,01(2,0 )!012(!0 !12 )2,0,12|0( )1()0(1)12(...)3()2()2()( 1121 0120 XPXPduasmínimonoP XP XP PPPPPXPduasmínimonoP d) No Mínimo Duas Vendas 18 Distribuições Discretas de Probabilidade Bernoulli Binomial Poisson Outras Distribuições Discretas de Probabilidade 19 Distribuição de Poisson X é o número de eventos que ocorrem em um certo intervalo de tempo ou espaço. • Exemplos: • Número de clientes que chegam a cada 10 minutos em um supermercado; • Número de defeitos de acabamento em uma prancha de surf de 1 m2. 20 Distribuição de Poisson • Probabilidade constante do evento; • Exemplo: Três vendas por hora; • Eventos independentes; • Exemplo: a chegada de 1 pessoa a um caixa não afeta a chegada da outra. 21 Função de Distribuição de Probabilidade Poisson P(X= x | l) é a probabilidade de X = x dado l l é o nº esperado de eventos (média). e = 2,71828... x é o número de eventos 22 ! )|( x e xXP xl l l Gráfico l = 0,5 0 0.2 0.4 0.6 0 1 2 3 4 5 X P(X) Distribuição de Poisson 23 Média l N i iix x XPX XE 1 )( )( Variância l2x Equação P X x x x ( | ) ! l lle - Rx = {0, 1, 2, …} Distribuição de Poisson Exemplo • Clientes chegam a um caixa de supermercado à taxa de 72 clientes por hora. A fim de determinar o número de atendentes que se deve contratar, deseja-se saber qual é a probabilidade de que 4 clientes cheguem nos próximos 3 minutos. 24 Logo, a probabilidade de chegarem 4 clientes nos próximos 3 minutos é 19,12%. P X x x P X x ( | ) ! ( | ) , ! l l le e = 0,1912 - -3,6 4 3,6 3 6 4 4 Distribuição de Poisson Exemplo • 72 clientes por hora = 1,2 por m = 3,6 clientes em 3 m, logo l = 3,6. 25 Distribuição de Poisson Tabela X l 3,1 ... 3,6 ... 4,0 0 0,0450 ... 0,0273 ... 0,0183 1 0,1397 ... 0,0984 ... 0,0733 2 0,2165 ... 0,1771 ... 0,1465 3 0,2237 ... 0,2125 ... 0,1954 4 0,1734 ... 0,1912 ... 0,1954 26 Distribuições Contínuas de Probabilidade 27 Distribuições Contínuas de Probabilidade • Variáveis aleatórias contínuas assumem valores em intervalos • As funções de densidade de probabilidades são definidas por: a) f(x) 0 b) P(a X b) = c) b a dx)x(f 1dx)x(f xR 28 Distribuições Contínuas de Probabilidade Uniforme Normal Outras Distribuições Contínuas de Probabilidade 29 Distribuição Uniforme U(a,b) 30 Função de Densidade e Domínio de X 1 / (b - a), se a < x < b 0, se x a ou x b f(x) = Função de Distribuição da Variável X 0, se x < a (x–a) / (b–a), se a x < b 1, se x b F(x)= Valor Esperado e Variância = (a + b) / 2 2 = (b – a)² / 12 Gráfico 1/(b-a) 0 a b X f(x) Distribuição Uniforme Exemplo • Se o volume de cerveja em uma lata de alumínio variar uniformemente entre 340ml e 370 ml, qual é a probabilidade de uma lata conter mais de 360 ml? 31 %33,33 30 10 340370 360370 x 340370 1 dx 340370 1 )360X(P 370 360 370 360 a = 340 b = 370 Resolução pela função de densidade de probabilidade Distribuição Uniforme Exemplo • Se o volume de cerveja em uma lata de alumínio variar uniformemente entre 340 ml e 370 ml, qual é a probabilidade de uma lata conter mais de 360 ml? a = 340 b = 370 32 Resolução pela função de distribuição %33,33 30 10 340370 340360 1)360(F1 )360X(P1)360X(P Distribuição Uniforme Exercício • Admite-se que o atraso (em minutos) nas chegadas dos trens à estação de uma cidade segue uma distribuição U(0,12). • Qual é a probabilidade de ocorrer um atraso entre 5 e 10 minutos? 33 417,0 12 5 012 510 )10x5(P Distribuições Contínuas de Probabilidade Uniforme Normal Outras Distribuições Contínuas de Probabilidade 34 Distribuição Normal Caso Motivacional • Os valores retirados diariamente de um caixa eletrônico têm distribuição Normal com média de R$50.000 e desvio padrão de R$10.000. Quanto o caixa deverá ter, em espécie por dia (R$), para que a probabilidade de faltar dinheiro seja menor do que 5%? 35 Importância da Distribuição Normal 1. Descrição de vários processos e fenômenos 2. Pode ser usada para aproximar algumas distribuições discretas. Ex: Binomial 3. É a base da Inferência Estatística 36 Média Moda Mediana X f(x) Distribuição Normal • Forma de ‘Sino’ - Simétrica • Média = Moda = Mediana 37 Distribuição Normal Uma distribuição Normal fica perfeitamente caracterizada quando conhecemos a Média () e o Desvio Padrão () (ou a variância) Notações: N(,) ou N[, 2] 38 +- X Parêntesis: desvio padrão Colchete: variância Distribuição Normal Função de Densidade f (x) é a função de densidade da distribuição Normal = 3,14159... e = 2,71828... x é o desvio padrão de X na população; x é o valor da variável aleatória (- < x < ); e x é a média de X na população. 39 2 x xx 2 1 x e 2. 1 )x(f Efeito da Variação dos Parâmetros Média e Desvio Padrão (x e x) 40 x=100 x=20 x=100 x=40 Efeito da Variação dos Parâmetros Média e Desvio Padrão (x e x) 41 x=100 x=40 x=160 x=40 x=140 x=20 Efeito da Variação dos Parâmetros Média e Desvio Padrão (x e x) 42 x=100 x=40 Distribuição Normal • A probabilidade é a área sob a curva da função de densidade da Normal entre os dois pontos no eixo das abscissas. 43 d c dxxfdXcP )()( c d X f(x) Tabela da Distribuição Normal •As distribuições diferem para diferentes valores da média e do desvio padrão. •Seria necessário uma tabela para cada distribuição. 44 Infinitas Tabelas! X f(x) Z = 0 z = 1 Z Só uma Tabela ! Distribuição Normal Padrão Distribuição Normal (,) X x x Z x x x Distribuição Normal Padrão 45 ZZ= 0 Z = 1 0,12 Distribuição Normal Padrão N(0 , 1) Z x x x 6 2 5 10 12 , 0, Exemplo de Padronização 46 Distribuição Normal N(5 , 10) X X = 5 x = 10 6,2 Z Z = 0 Z = 1 0,12 Z .00 .01 0.0 .0000 .0040 .0080 .0398 .0438 0.2 .0793 .0832 .0871 0.3 .1179 .1217 .1255 0,0478 0.1 .0478 Tabela de Probabilidade Normal Padrão Probabilidades Usando a Tabela da Normal 47 .02 2ª. decimal de z Distribuição Normal N(5 , 10) = 1 Z Z = 0 z -0,12 0,0478 Distribuição Normal Padronizada X X = 5 x = 10 3,8 Z x x x 3 8 5 10 12 , 0, Exemplo P(3,8 X 5) 48 Z = 1 0-0,21 Z0,21 0,1664 0,08320,0832 Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal (5 , 10) 5 X = 10 2,9 7,1 X Z x x x 71 5 10 0,21 , Z x x x 2 9 5 10 0,21 , Exemplo P(2,9 X 7,1) 49 Z x x x 8 5 10 0,30 Exemplo: P(X 8) 50 = 10 XX = 5 X 8 Distribuição Normal (5 , 10) Z Z = 0 Z = 1 0,30 ? Distribuição Normal Padrão Z Z= 0 Z = 1 0,30 Z ,00 ,01 0,0 ,0000 ,0040 ,0080 ,0398 ,0438 0,2 ,0793 ,0832 ,0871 0,3 ,1179 ,1217 ,1255 0,1 ,0478 Tabela de Probabilidade Normal Padrão Exemplo: P(X 8) 51 ,02 Exemplo: P(X 8) 52 Z0 0,5 Z0 0,30 0,1179 Z0 0,5 - = Z0 0,30 0,3821 z = 1 z = 0 0,30 Z0,21 Distribuição Normal Distribuição Normal Padronizada Z x Z x x x x x 71 5 10 0,21 8 5 10 0,30 , = 10 x = 5 x 87,1 X Exemplo: P(7,1 X 8) 53 Exemplo: P(7,1 X 8) 54 Z0 0,30 0,1179 0-0,21 Z0,21 0,0832 z = 0 0,30 Z0,21 0,0347 - = Distribuição Normal Exercício • Você é o responsável pelo setor de Controle de Qualidade de uma fabrica lâmpadas. A vida útil de uma lâmpada tem Distribuição Normal com x= 2.000 horas e x=200 horas. Qual é a probabilidade de uma lâmpada durar: a) entre 2.000 e 2.400 horas? b) menos de 1.470 horas? 55 Z Z = 0 Z = 1 0,31 0,1217 Qual é o valor de Z dado que P(Z) = 0,1217? Consultando a Tabela da Distribuição Normal 58 Z ,00 ,01 0,0 ,0000 ,0040 ,0080 ,0398 ,0438 0,2 ,0793 ,0832 ,0871 0,3 ,1179 ,1217 ,1255 0,1 ,0478 ,02 Tabela da distribuição Normal Padronizada Distribuição NormalDistribuição Normal Padronizada X X = 5 X = 10 ? 0,1217 Z Z = 0 Z = 1 0,31 0,1217 Obtendo ‘x’ para uma Probabilidade Conhecida 1,81031,05 X ZX X Z xx x x 59 0 0,1 0,2 0,3 2 4 6 8 10 X P(X) Probabilidade ‘adicionada’ pela curva Normal Probabilidade ‘perdida’ pela curva Normal Probabilidade Binomial: altura da Barra (frq relat) Probabilidade Normal: área sob a curva (entre 3,5 e 4,5) Aproximação Normal das Distribuições Discretas 60 Aproximação Normal para a Distribuição Binomial 1. Pré-requisitos: n·p 5 n·(1 - p) 5 2. Equação: 61 n = 10 p = 0,50 onde Xajustado = X + 0,5 ou X - 0,5Z x n p n p p ajustado ( )1 0 0,1 0,2 0,3 0 2 4 6 8 10 X P(X) p 0,50 0 0,1 0,2 0,3 0 2 4 6 8 10 X P(x) Aproximação Normal Exemplo • Qual é a aproximação da Normal de P(X = 4; n = 10, p = 0,50)? 62 n·p 5 n·(1 - p) 5 Z x n p n p p ajustado ( )1 3,5 10 0,5 10 0,5(1 0,5) 0,95 Z x n p n p p ajustado ( )1 10 0,32 4,5 10 0,5 0,5(1 0,5) x x x x Encontrando os Valores Padronizados (Z) 63
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