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ME´TODOS ESTATI´STICOS I EXERCI´CIO PROGRAMADO 8 2o Semestre de 2016 Prof. Moise´s Lima de Menezes Versa˜o Tutor 1. Se P (A) = 1 2 , P (B) = 1 3 e P (A ∩B) = 1 4 , enta˜o determine: a) P (A ∪B) ; b) P (A ∪B) ; c) P (A ∩B) . 2. Se P (A) = 1 2 , P (B) = 1 4 e A e B sa˜o mutuamente exclusivos, determine: a) P (A) ; b) P (B) ; c) P (A ∩B) ; d) P (A ∪B) ; e) P (A ∩B) . 3. Determine a probabilidade de cada evento: a) um nu´mero par aparece no lanc¸amento de um dado na˜o viciado; b) um rei aparece na extrac¸a˜o de uma carta de um baralho; c) pelo menos uma cara aparece no lanc¸amento de treˆs moedas; d) pelo menos uma cara aparece no lanc¸amento de “n” moedas; e) duas copas aparecem ao retirarem-se duas cartas de um baralho; f) uma carta de copas e uma de ouros aparecem ao extra´ırem-se duas cartas de um baralho. 4. Um nu´mero inteiro e´ escolhido aleatoriamente dentre os nu´meros 1, 2, 3, ..., 50. Qual a probabilidade de: a) o nu´mero ser divis´ıvel por 5; b) terminar em 3; c) ser menor ou igual a` 20. 5. Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de copas ao retirarmos uma carta de um baralho? 6. Numa urna sa˜o misturadas 10 bolas numerads de 1 a 10. Duas bolas sa˜o retiradas (a, b) sem reposic¸a˜o. Qual a probabilidade de a + b = 10 ? 7. Uma urna conte´m 5 bolas brancas e 6 pretas. Treˆs bolas sa˜o retiradas. Determine a probabilidade de: a) todas serem pretas; b) exatamente uma seja branca; c) ao menos uma seja preta. 8. Numa classe existem 5 alunos do 4o ano, 4 do 2o 3 do 3o ano. Qual a probabilidade de serem sorteados 2 alunos do 2o ano, 3 do 4o e 2 do 3o ? 9. (AD2 - Questa˜o 1)* - (2,5 pontos) Dois dados honestos sa˜o lanc¸ados simultaneamente e suas faces voltadas para cima sa˜o observadas. Detemine a probabilidade de: a) A soma das faces ser menor que 4; b) A soma das faces ser igual a` 9; c) A soma das faces ser maior ou igual a` 5. 1 Soluc¸o˜es: 1. a) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 1 2 + 1 3 − 1 4 = 6 + 4− 3 12 = 7 12 . b) P (A ∪B) = P (A ∩B) = 1− P (A ∩B) = 1− 1 4 = 3 4 . c) P (A ∩B) = P (A ∪B) = 1− P (A ∪B) = 1− 7 12 = 5 12 . 2. a) P (A) = 1− P (A) = 1− 1 2 = 1 2 . b) P (B) = 1− P (B) = 1− 1 4 = 3 4 . c) Como A e B sa˜o mutuamente exclusivos, enta˜o: P (A ∩B) = 0. d) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 1 2 + 1 4 − 0 = 2 + 1 4 = 3 4 . e) P (A ∩B) = 1− P (A ∩B) = 1− 0 = 1. 3. a) O espac¸o amostral de um lanc¸amento de um dado na˜o viciado e´: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Seja A o evento: “os nu´meros extra´ıdos sa˜o pares”, enta˜o: A = {2, 4, 6} 2 P (A) = #A #Ω = 3 6 = 1 2 . b) Um baralho tem 52 cartas assim dividido: A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K ♣ A♣ 2♣ 3♣ 4♣ 5♣ 6♣ 7♣ 8♣ 9♣ 10♣ J♣ Q♣ K♣ ♦ A♦ 2♦ 3♦ 4♦ 5♦ 6♦ 7♦ 8♦ 9♦ 10♦ J♦ Q♦ K♦ ♥ A♥ 2♥ 3♥ 4♥ 5♥ 6♥ 7♥ 8♥ 9♥ 10♥ J♥ Q♥ K♥ ♠ A♠ 2♠ 3♠ 4♠ 5♠ 6♠ 7♠ 8♠ 9♠ 10♠ J♠ Q♠ K♠ Assim, se Ω e´ o espac¸o amostral das cartas do baralho, enta˜o #Ω = 52. Se B e´ o evento “sair rei”, enta˜o B = {K♣, K♦, K♥, K♠} e #B = 4 . Assim, a probabilidade de retirar uma carta de reis de um baralho e´: P (B) = #B #Ω = 4 52 = 1 13 . c) Ao lanc¸armos uma moeda, temos duas possibilidades (cara ou coroa). Como estamos lanc¸ando treˆs moedas, temos estas duas possibilidades para cada uma ds treˆs moedas independentemente uma das outras. Assim, o nu´mero de possibilidades sera´: Moeda1 Moeda2 Moeda3 2 2 2 #Ω = 2n = 23 = 8. Mais precisamente, Ω = {(ccc), (cck), (ckc), (kcc), (kkk), (kkc), (kck), (ckk)} , onde c = cara e k =coroa. Seja A o evento “aparecer pelo menos uma cara nos treˆs lanc¸amentos”. Assim, A e´ o evento “na˜o aparece nenhuma cara nos treˆs lanc¸amentos”. Ou seja, A e´ o evento “aparecem treˆs coroas nos treˆs lanc¸amentos”. A = {(kkk)}. Enta˜o: #A = 1. Segundo as propriedades da probabilidade, P (A) = 1− P (A) = 1− #A #Ω = 1− 1 23 = 1− 1 8 = 8− 1 8 = 7 8 . d) Para o lanc¸amento de n moedas temos o seguinte nu´mero de possibilidades: Moeda1 Moeda2 Moeda3 Moeda4 · · · Moeda“n” 2 2 2 2 2 3 Logo: #Ω = 2n. Analogamente ao caso anterior: Seja A o evento “aparecer pelo menos uma cara nos n lanc¸amentos”. Assim, A e´ o evento “na˜o aparece nenhuma cara nos n lanc¸amentos”. Ou seja, A e´ o evento “aparecem n coroas nos n lanc¸amentos”. A = {(kkkkkk · · · k)}. Enta˜o: #A = 1. Assim, P (A) = 1− P (A) = 1− #A #Ω = 1− 1 2n = 2n − 1 2n e) Ja´ sabemos quais sa˜o as cartas do baralho (mostrado no item b)). Assim, ao retirarmos duas cartas, sabendo que existem 13 cartas de copas de um total de 52 e que ao retirarmos a primeira, restam apenas 12 cartas de copas de um total de 51 cartas, teremos: ♥ carta1 × ♥ carta2 = 13 52 × 12 51 = 1 4 × 12 51 = 3 51 = 1 17 . f) Agora, temos duas possibilidades: copas seguida de ouros OU ouros seguido de copas. Pore´m, ao retirarmos a primeira das 13 carta de copas, ainda restam 13 cartas de ouros dentre as 51 cartas restantes. Analogamente, ao retirarmos a primeira das 13 carta de ouros, ainda restam 13 cartas de copas dentre as 51 cartas restantes. Assim, a probabilidade sera´: ♥ carta1 × ♦ carta2 ou ♦ carta1 × ♥ carta2 = ♥ carta1 × ♦ carta2 + ♦ carta1 × ♥ carta2 = 13 52 × 13 51 + 13 52 × 13 51 = 2× 1 4 × 13 51 = 13 2× 51 = 13 102 . 4. a) Ω = {1, 2, 3 . . . , 50} ⇒ #Ω = 50. Seja A o evento “mu´ltiplos de 5”. Assim: A = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50} ⇒ #A = 10. Assim: P (A) = #A #Ω = 10 50 = 1 5 . 4 b) Ω = {1, 2, 3 . . . , 50} ⇒ #Ω = 50. Seja B o evento “nu´meros que terminam em 3”. Assim: B = {3, 13, 23, 33, 43} ⇒ #A = 5. Assim: P (A) = #A #Ω = 5 50 = 1 10 . c) Ω = {1, 2, 3 . . . , 50} ⇒ #Ω = 50. Seja C o evento “nu´meros menores ou iguais a` 20”. Assim: C = {1, 2, 3, 4, 5 . . . , 20} ⇒ #A = 20. Assim: P (A) = #A #Ω = 20 50 = 2 5 . 5. Sabemos que, em um baralho de 52 cartas, existem 4 cartas reis e que existem 13 cartas de copas e que apenas uma delas e´ o rei de copas (ver quadro da questa˜o 3, item b)). Assim, se definirmos os eventos: A =“sair uma carta de reis” e B =“sair uma carta de copas”, enta˜o: #A = 4 e #B = 13 . Como o rei de copas e´ a intersec¸a˜o entre reis e copas, enta˜o: #(A ∩B) = 1 . Estamos interessados em P (A ∪B) . P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = #A #Ω + #B #Ω − #(A ∩B) #Ω = 4 52 + 13 52 − 1 52 = 16 52 = 4 13 . 6. Ao retirarmos duas bolas de um conjunto de 10 bolas numeradas de 1 a 10, na˜o existe a possibilidade de duas bolas sa´ırem com a mesma numerac¸a˜o. O espac¸o amostral das poss´ıveis retiradas de duas bolas e´: (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,7) (1,8) (1,9) (1,10) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (2,7) (2,8) (2,9) (2,10) (3,4) (3,5) (3,6) (3,7) (3,8) (3,9) (3,10) (4,5) (4,6) (4,7) (4,8) (4,9) (4,10) Ω = (5,6) (5,7) (5,8) (5,9) (5,10) (6,7) (6,8) (6,9) (6,10) (7,8) (7,9) (7,10) (8,9) (8,10) (9,10) 5 Temos que #Ω = 45 Agora vejamos o espac¸o amostral da soma dos vlaores mostrado nas duas bolas: 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5 6 7 8 9 10 11 12 7 8 9 10 11 12 13 9 10 11 12 13 14 Ωsoma = 11 12 13 14 15 13 14 15 16 15 16 17 17 18 19 Seja A o evento “a soma dos valores e´ igual a` 10”. Assim: #A = 4 , como vemos acima. Logo: P (A) = #A #Ω = 4 45 . 7. a) Na urna ha´ 6 bolas pretas e 5 brancas. assim, ao retirarmos a primeira bola, ha´ 6 pretas de um total de 11 bolas. apo´s esta retirada, restam 5 bolas pretas de um total de 10 bolas e apo´s estas duas retiradas, restam 4 bolas pretas de um total de 9 bolas restantes. Sejam os eventos:P =“a bola retirada e´ preta” e B =“a bola retirada e´ branca”. Estamos interessados em treˆs bolas pretas retiradas. Logo: P (P ∩ P ∩ P ) = p× p× p = 6 11 × 5 10 × 4 9 = 120 990 = 4 33 . b) Agora sa˜o duas bolas pretas e uma branca. Mas isso pode ocorrer de treˆs formas poss´ıveis. pbp + bpp + ppb = 6 11 × 5 10 × 5 9 + 5 11 × 6 10 × 5 9 + 6 11 × 5 10 × 5 9 = 3× 6 11 × 5 10 × 5 9 = 3× 150 990 = 450 990 = 45 99 = 5 11 . c) Seja A o evento “pelo menos uma bola e´ preta”. Assim, A e´ o evento: “nenhuma bola e´ preta”. Ou seja: A e´ o evento: “todas bolas sa˜o brancas”. P (A) = 1− P (A) = 1− P (B ∩B ∩B) = 1− bbb = 1− [ 5 11 × 4 10 × 3 9 ] = 1− 120 990 = 1− 12 99 = 6 1− 4 33 = 33− 4 33 = 31 33 . 8. No 2o ano temos 2 pessoas a serem sorteadas de um total de 4; No 3o ano temos 2 pessoas a serem sorteadas de um total de 3; No 4o ano temos 3 pessoas a serem sorteadas de um total de 5; Ao todo temos 7 pessoas a serem sorteadas de um total de 12; Sejam: A , as formas de selecionar as 2 pessoas do 2o ano; B , as formas de selecionar as 2 pessoas do 3o ano; C , as formas de selecionar as 3 pessoas do 4o ano; e Ω as formas de selecionar as 7 pessoas do total das pessoas. P (A ∩B ∩ C) = n(A)× n(B)× n(C) n(Ω) = ( 4 2 ) × ( 3 2 ) × ( 5 3 ) ( 12 7 ) = 6× 3× 10 792 = 180 792 = 5 22 . 7
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