EP11 MetEstI Tutor

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ME´TODOS ESTATI´STICOS I
EXERCI´CIO PROGRAMADO 11
2o Semestre de 2016
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Versa˜o Tutor
1. No lanc¸amento de dois dados, considere as seguintes varia´veis aleato´rias:
X : nu´mero de pontos obtidos no primeiro dado;
Y : nu´mero de pontos obtidos no segundo dado.
a) Cosntrua a distribuic¸a˜o de probabilidade das seguintes varia´veis:
I) W = X − Y ; II) A = 2Y ; III) Z = XY ; IV) B = ma´ximo de (X, Y ) .
b) Cosntrua a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada das varia´veis W , Z e B ;
c) Calcule as segunites probabilidades:
I) P (−3 < W ≤ 3) ; II) P (0 ≤ W ≤ 4, 5) ; III) P (A > 6) ; IV) P (Z ≤ 5, 5) ;
V) P (Z = 3) ; VI) P (1 ≤ B ≤ 4) ; VII) P (W ≤ −8) ; VIII) P (A ≥ 11) ;
IX) P (20 ≤ Z ≤ 35) ; X) P (B = 8) ; XI) P (−1 < A < 8) ; XII) P (3, 5 < Z < 34) .
2. Uma varia´vel aleato´ria discreta tem a distribuic¸a˜o de probabilidade dada por: fX(x) =
K
x
, para
x = 1, 3, 5, 7 .
a) Determine K ;
b) Determine P (x = 5) .
3. Seja Z a varia´vel aleato´ria que corresponde ao nu´mero de pontos de domino´.
a) Cosntrua a distribuic¸a˜o de probabilidades de Z ;
b) Determine a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de Z , FZ(z) ;
c) Calcular P (2 ≤ Z < 6) ;
d) Calcular FZ(8) .
4. (AD2 - Questa˜o 4) - (2,5 pontos)* Uma empresa que fornece computadores pelos correios tem
6 linhas telefoˆnicas. Seja X o nu´mero de linhas em uso em determinado hora´rio. Suponha que a
distribuic¸a˜o de X seja a seguinte:
X 0 1 2 3 4 5 6
p(x) 0,10 0,15 0,20 0,25 0,20 0,06 0,04
Calcule a probabilidade de:
a) No ma´ximo 3 linhas estarem em uso;
b) Menos de 3 linhas estarem em uso;
c) Pelo menos 3 linhas estarem em uso;
d) Entre 2 e 5 linhas, inclusive, estarem em uso;
e) No mı´nimo 4 linhas estarem em uso.
1
Soluc¸o˜es:
1.
O espac¸o amostral do lanc¸amento de dois dados e´:
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
Ω= (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
a)
I) O espac¸o amostral de X − Y e´:
0 -1 -2 -3 -4 -5
1 0 -1 -2 -3 -4
W = X − Y = 2 1 0 -1 -2 -3
3 2 1 0 -1 -2
4 3 2 1 0 -1
5 4 3 2 1 0
Logo:
W = w -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
fW (w)
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
II) O espac¸o amostral de 2Y e´:
2 4 6 8 10 12
2 4 6 8 10 12
A = 2Y = 2 4 6 8 10 12
2 4 6 8 10 12
2 4 6 8 10 12
2 4 6 8 10 12
Logo:
A = a 2 4 6 8 10 12
fA(a)
6
36
6
36
6
36
6
36
6
36
6
36
III) O espac¸o amostral de XY e´:
1 2 3 4 5 6
2 4 6 8 10 12
Z = XY = 3 6 9 12 15 18
4 8 12 16 20 24
5 10 15 20 25 30
6 12 18 24 30 36
2
Logo:
Z = z 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 16 18 20 24 25 30 36
fZ(z)
1
36
2
36
2
36
3
36
2
36
4
36
2
36
1
36
2
36
4
36
2
36
1
36
2
36
2
36
2
36
1
36
2
36
1
36
IV) O espac¸o amostral de ma´ximo de (X, Y ) e´:
1 2 3 4 5 6
2 2 3 4 5 6
B = ma´ximo de (X, Y ) = 3 3 3 4 5 6
4 4 4 4 5 6
5 5 5 5 5 6
6 6 6 6 6 6
Logo:
B = b 1 2 3 4 5 6
fB(b)
1
36
3
36
5
36
7
36
9
36
11
36
b)
FW (w) =

0, se w < −5
1/36, se −5 ≤ w < −4
3/36, se −4 ≤ w < −3
6/36, se −3 ≤ w < −2
10/36, se −2 ≤ w < −1
15/36, se −1 ≤ w < 0
21/36, se 0 ≤ w < 1
26/36, se 1 ≤ w < 2
30/36, se 2 ≤ w < 3
33/36, se 3 ≤ w < 4
35/36, se 4 ≤ w < 5
1, se w ≥ 5
FB(b) =

0, se b < 1
1/36, se 1 ≤ b < 2
4/36, se 2 ≤ b < 3
9/36, se 3 ≤ b < 4
16/36, se 4 ≤ b < 5
25/36, se 5 ≤ b < 6
1, se b ≥ 6
3
FZ(z) =

0, se z < 1
1/36, se 1 ≤ z < 2
3/36, se 2 ≤ z < 3
5/36, se 3 ≤ z < 4
8/36, se 4 ≤ z < 5
10/36, se 5 ≤ z < 6
14/36, se 6 ≤ z < 8
16/36, se 8 ≤ z < 9
17/36, se 9 ≤ z < 10
19/36, se 10 ≤ z < 12
23/36, se 12 ≤ z < 15
25/36, se 15 ≤ z < 16
26/36, se 16 ≤ z < 18
28/36, se 18 ≤ z < 20
30/36, se 20 ≤ z < 24
32/36, se 24 ≤ z < 25
33/36, se 25 ≤ z < 30
35/36, se 30 ≤ z < 36
1, se z ≥ 36
c)
I)
P (−3 < W ≤ 3) = FW (3)− FW (−3) = 33
36
− 6
36
=
27
36
=
3
4
.
II)
P (0 ≤ W ≤ 4, 5) = FW (4, 5)− FW (0) + fW (0) = 35
36
− 21
36
+
6
36
=
20
36
=
5
9
.
III)
P (A > 6) = fA(8) + fA(10) + fA(12) =
6
36
+
6
36
+
6
36
=
18
36
=
1
2
.
IV)
P (Z ≤ 5, 5) = FZ(5, 5) = 10
36
=
5
18
.
V)
P (Z = 3) =
2
36
=
1
18
.
VI)
4
P (1 ≤ B ≤ 4) = FB(4)− FB(1) + fB(1) = 16
36
− 1
36
+
1
36
=
16
36
=
4
9
.
VII)
P (W ≤ −8) = FW (−8) = 0.
VIII)
P (A ≥ 11) = fA(12) = 6
36
=
1
6
.
IX)
P (20 ≤ Z ≤ 35) = FZ(35)− FZ(20) + fZ(20) = 35
36
− 30
36
+
2
36
=
7
36
.
X)
P (B = 8) = fB(8) = 0.
XI)
P (−1 < A < 8) = FA(0) + fA(1) + fA(2) + fA(3) + fA(4) + fA(5) + fA(6) + fA(7)
= fA(2) + fA(4) + fA(6) =
6
36
+
6
36
+
6
36
=
18
36
=
1
2
.
XII)
P (3, 5 < Z < 34) = FZ(34)− FZ(3, 5)− fZ(34) = 35
36
− 5
36
− 0 = 30
36
=
5
6
.
2.
a)
Temos que
∑
fX(x) = 1. Assim,
K +
K
3
+
K
5
+
K
7
= 1⇒ 105K + 35K + 21K + 15K
105
= 1⇒ 176K = 105⇒ K = 105
176
.
b)
P (x = 5) =
105
176
× 1
5
=
21
176
.
5
3.
As pec¸as do domino´ sa˜o:
o nu´mero de pontos das pec¸as sa˜o:
0
1 2
2 3 4
3 4 5 6
4 5 6 7 8
5 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10 11 12
a)
A distribic¸a˜o de probabilidade de Z e´:
Z = z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
fZ(z)
1
28
1
28
2
28
2
28
3
28
3
28
4
28
3
28
3
28
2
28
2
28
1
28
1
28
6
b)
FZ(z) =

0, se z < 0
1/28, se 0 ≤ z < 1
2/28, se 1 ≤ z < 2
4/28, se 2 ≤ z < 3
6/28, se 3 ≤ z < 4
9/28, se 4 ≤ z < 5
12/28, se 5 ≤ z < 6
16/28, se 6 ≤ z < 7
19/28, se 7 ≤ z < 8
22/28, se 8 ≤ z < 9
24/28, se 9 ≤ z < 10
26/28, se 10 ≤ z < 11
27/28, se 11 ≤ z < 12
1, se z ≥ 12
c)
P (2 ≤ Z < 6) = fZ(2) + fZ(3) + fZ(4) + fZ(5) = 2
28
+
2
28
+
3
28
+
3
28
=
10
28
=
5
14
.
d)
FZ(8) =
22
28
=
11
14
.
7