Calculo-2-Lista1

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Ca´lculo 2 - Lista 1
1. Identifique a curva definida pela func¸a˜o vetorial
a) r(t) = (1 + t, 2 + 5t,−1 + 6t); b) r(t) = (t2 − 2t, t+ 1);
c) r(t) = (2 cos t, sin t, 2); d) r(t) = (cos t, sin t, t);
e) r(t) = (sin t, sin2 t); f) r(t) = (sec t, tan t) com −pi/2 < t < pi/2;
g) r(t) = (
√
t, t); h) r(t) = (cos t, sin t, 1− cos t);
i) r(t) = (t, cos t); j) r(t) = (t3, 2t3, 3t3);
2. Calcule o comprimento das curvas:
a) r(t) = (sin t, cos t, 1), t ∈ [0, pi]; b) r(t) = (sin t, cos t, t), t ∈ [0, 2pi];
c) r(t) = (t, 2
3
t
3
2 ), t ∈ [0, 8]; d) c´ırculo de raio a;
e) r(t) = (
√
2t,
√
2t, 1− t2) de (0, 0, 1) a (√2,√2, 0);
3. Calcule a curvatura:
a) r(t) = (sin t, cos t, 1), t ∈ [0, pi]; b) r(t) = (sin t, cos t, t), t ∈ [0, 2pi];
c) c´ırculo de raio a; d) y = x2; e) r(t) = (t, sin t);
4. Determine a equac¸a˜o vetorial que representa a curva obtida pela intersecc¸a˜o das duas superf´ıcies.
a) x2 + y2 = 1 e y + z = 2; b) x2 + y2 = 4 e z = xy;
c) z =
√
x2 + y2 e z = 1 + y; d) z = 4x2 + y2 e y = x2.
5. Prove que se |r(t)| = c, enta˜o r′(t) · r(t) = 0.
6. Uma part´ıcula desloca-se no espac¸o. Sabe-se que
dx
dt
=
√
2,
dy
dt
=
√
2, e
d2z
dt2
= −2.
Sabe-se ainda que dz
dt
(0) = 2 e que no instante t = 0 a part´ıcula encontra-se na origem.
a) Qual a posic¸a˜o da part´ıcula no instante t?
b) Qual a velocidade da part´ıcula?
c) Determine o instante T que a part´ıcula volta para o plano xy.
d) Qual a distaˆncia percorrida entre os instantes 0 e T?
7. Os seguintes exerc´ıcios do livro Stewart, James - Ca´lculo. Volume 2, Thomson Learning.
a) exerc´ıcios (2n+ 1), com 0 ≤ n ≤ 10, Sec¸a˜o 13.1;
b) exerc´ıcios (4n+ 1), com 1 ≤ n ≤ 9, Sec¸a˜o 13.2;
c) exerc´ıcios (4n− 1), com 1 ≤ n ≤ 8, Sec¸a˜o 13.3;
d) exerc´ıcios (2n+ 1), com 1 ≤ n ≤ 9, Sec¸a˜o 13.4;
8. Revisa˜o de Geome´tria Ana´litica:
Os seguintes exerc´ıcios do livro Stewart, James - Ca´lculo. Volume 2, Thomson Learning.
a) exerc´ıcios (2n+ 1), com 0 ≤ n ≤ 20, Sec¸a˜o 10.6;
b) exerc´ıcios (4n+ 1), com 0 ≤ n ≤ 10, Sec¸a˜o 12.1;
c) exerc´ıcios (2n− 1), com 1 ≤ n ≤ 15, Sec¸a˜o 12.2;
d) exerc´ıcios (4n− 1), com 1 ≤ n ≤ 11, Sec¸a˜o 12.3;
e) exerc´ıcios (4n+ 1), com 0 ≤ n ≤ 11, Sec¸a˜o 12.4;
f) exerc´ıcios (4n+ 1), com 1 ≤ n ≤ 12, Sec¸a˜o 12.5;
g) exerc´ıcios (4n+ 1), com 0 ≤ n ≤ 11, Sec¸a˜o 12.6;