Calculo-2-Lista2

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Ca´lculo 2 - Lista 2
1. Determine e fac¸a o esborc¸o do domı´nio da func¸a˜o.
a) f(x, y) =
√
x+y+1
y−1 ; b) f(x, y) =
√
x ln(y2 − x); c) f(x, y) =√x− y2; d) f(x, y) = √x√y;
e) f(x, y) = 1
x2+y2
; f) f(x, y, z) = ln(z − y) + xy sin z; g) f(x, y) = y√
x2+y2−1
; h) f(x, y) = x
2y2
x2y2+(x−y)2 ;
i) f(x, y) = ln(36− 4x2 − 9y2); j) f(x, y) = ex+y
x2−y2 ; k) f(x, y) =
√
1− x2 + y2;
2. Determine e fac¸a o esborc¸o das curvas de n´ıvel da func¸a˜o.
a) z = 6− 3x− 2y; b) z =√9− x2 − y2; c) z = 2x2 + y2; d) z = xy; e) f(x, y) = y; f) z = y
x2
;
g) f(x, y) = x− 1; h) z = 1
x2+y2
; i) z = y
x−1 ; j) z =
2xy2
x2+y4
; k) z = x2 − y2; l) z = 100− x2 − y2;
3. Determine e fac¸a o esborc¸o das superf´ıcies de n´ıvel da func¸a˜o.
a) u = x2 + y2 + z2; b) u =
√
4− x2 − y2 − z2; c) f(x, y, z) = x2 + y2; d) u = x2 + y2 − z2;
e) u = x2 +4y2 + z2; f) u = x+3y+5z; h) u = x2 − y2 + z2; g) f(x, y, z) = x2 + y2; i) f(x, y, z) = z;
j) f(x, y, z) = x2− y2; k) u = x2+ y2− z2; l) u = x2− y2− z2; m) u = x2+ y2− z; n) u = x2− y2− z;
4. Determine, se existir, o limite lim(x,y)→(0,0) f(x, y).
a) f(x, y) = x
2−y2
x2+y2
; b) f(x, y) = xy
x2+y2
; c) f(x, y) =
(
x+ 1
x
)
y; d) f(x, y) = xy
2
x2+y4
; e) f(x, y) = yx
2
x2+y2
;
f) f(x, y) = x
2y2
x2y2+(x−y)2 ; g) f(x, y) =
x2−xy√
x−√y ; h) f(x, y) = (x+ y) sin(1/x); i) f(x, y) =
sin(x2+y2)
x2+y2
;
j) f(x, y) = x
3+y3
x2+y2
; k) f(x, y) = (x2 + y2) ln(x2 + y2); l) f(x, y) = x−y
x+y
; m) f(x, y) = sin(xy)√
x2+y2
;
5. Determine o maior conjunto na qual a func¸a˜o e´ cont´ınua.
a) f(x, y) =
{
xy√
x2+y2
se (x, y) 6= 0
0 se (x, y) = (0, 0)
; b)f(x, y) =
{
x2−y2
x2+y2
se (x, y) 6= 0
0 se (x, y) = (0, 0)
;
c) f(x, y) =
√
1− x2 − y2; d) f(x, y) = ex/y; e) f(x, y) = ax2+bxy+cy2
y−x2 ; f) f(x, y) = ln(xy − 1);
g) f(x, y) =
{
yx2
x4+y2
se (x, y) 6= 0
0 se (x, y) = (0, 0)
; h) f(x, y) =
{
x3−y2
x2+y2
se (x, y) 6= 0
0 se (x, y) = (0, 0)
i) f(x, y) =

yx2
x2 + y2
se (x, y) 6= 0
0 se (x, y) = (0, 0)
; j) f(x, y) =
{
x2 + y2 se x2 + y2 ≤ 1
0 se x2 + y2 > 1
;
k) f(x, y) =
{
sin(x2+y2)
1−cos
√
x2+y2
se (x, y) 6= 0
2 se (x, y) = (0, 0)
; l) f(x, y) =
{
x sin(1/y) se y 6= 0
0 se y = 0
6. Determine fx(0, 0) e fy(0, 0).
a) f(x, y) =
{
yx(x2−y2)
x2+y2
se (x, y) 6= 0
0 se (x, y) = (0, 0)
; b) f(x, y) =
{
0 se xy 6= 0
1 se xy = 0
.
7. Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
a) z = ax2 + bxy + cy2; b) u = sin(ax+ by + cz); c) u = xy/z; d) f(x, y) = x3 − x2y + sin(xy2);
e) f(x, y) = 2y
y+sinx
; f) z = ex ln y; g) f(x, y) = x2+x2y−y2x+y2; h) f(x, y) = ex sin y; i) u = exy ln z;
i) z = sin (x− y); j) f(x, y) = xy + ey
y2+1
; k) u = x sin(y + 3z); l) z = x cos y + yex; m) z = tan−1 y
x
.
8. Determine zx e zy.
a) x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1; b) yz − ln z = x+ y; c) x− z = tan−1(yz); d) xy + z3x− 2yz = 0;
9. Calcule fx e fy.
a) f(x, y) =
∫ x2+y2
0
e−t
2
dt; b) f(x, y) =
∫ y2
x2
e−t
2
dt; c) f(x, y) =
∫ y
x
cos(t2)dt; d) f(x, y) = xy;
10. Determine, se existir, uma func¸a˜o f(x, y) tal que
a) fx(x, y) = 3 + 2xy e fy(x, y) = x
2 − 3y2; b) fx(x, y) = x− y e fy(x, y) = x− 2;
c) fx(x, y) = 6x+ 5y e fy(x, y) = 3x+ 4y; d) fx(x, y) = x
3 + 4xy e fy(x, y) = 4xy − y3;
11. Determine uma func¸a˜o f(x, y, z) tal que fx = y
2, fy = 2xy + e
3x e fz = 3ye
3z.
12. Seja φ : R→ R diferencia´vel. Mostre que
a) u(x, y) = cxayb satisfaz a equac¸a˜o xux + yuy = (a+ b)u;
b) z = x sin x
y
satisfaz a equac¸a˜o xzx + yzy = z;
c) z = eyφ(x− y) satisfaz a equac¸a˜o zx + zy = z;
d) u = φ(x
y
) satisfaz a equac¸a˜o xux + yuy = 0;
e) u = φ(ax+ by) satisfaz a equac¸a˜o bux − auy = 0;
f) z = φ(x2 − y2) satisfaz a equac¸a˜o yzx + xzy = 0;
13. Determine quais das func¸o˜es dadas satisfaz a equac¸a˜o uxx + uyy = 0.
a) u = x3 + 3xy2; b) u = x2 − y2; c) u = ln(x2 + y2); d) u = ax+ by; e) u = e−x cos y − e−y cos x.
f) u = ex sin y; g) u = ex cos y; h) u = x
x2+y2
; i) y
x2+y2
; j) u = tan−1 y
x
; k) z = x3 − 3xy2;
14. Mostre que a func¸a˜o dada satisfaz a equac¸a˜o utt = a
2uxx.
a) u = sin(x− at); b) u = sin(x− at) + ln(x+ at); c) u = t
a2t2−x2 ; d) u = 5 cos(3x+ 3ct) + e
x+ct;
15. Mostre que u(x, y) = e−a
2t sin(kx) e u = e−x
2/4kt/
√
t resolvem ut − a2uxx = 0
16. Determine quais das func¸o˜es dadas satisfaz a equac¸a˜o uxx + uyy + uzz = 0.
a) u = 1√
x2+y2+z2
; b) u = e3x+4y cos 5z; c) u = ln(x2 + y2 + z2); d) u = 2z3 − 3(x2 + y2)z;
e) u = x2 + y2 − 2z2.
17. A energia cine´tica de um corpo com massa m e velocidade v e´ K = 1
2
mv2. Mostre que
∂K
∂m
∂2K
∂v2
= K.
18. Os seguintes exerc´ıcios do livro Stewart, James - Ca´lculo. Volume 1, Thomson Learning.
a) exerc´ıcios (4n− 1), com 1 ≤ n ≤ 15, Sec¸a˜o 14.1;
b) exerc´ıcios (2n+ 1), com 0 ≤ n ≤ 20, Sec¸a˜o 14.2;
c) exerc´ıcios (4n− 1), com 1 ≤ n ≤ 22, Sec¸a˜o 14.3;
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