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Calculo-2-Lista4

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Ca´lculo 2 - Lista 4
1. Encontre a derivada direcional da func¸a˜o no ponto dado na direc¸a˜o do vetor v.
a) f(x, y) = x3 − 3x+ 2y + 4y2, (0, 0), v = 〈1, 1〉; b) f(x, y) = x2 + xy, (1, 2), v = 〈1, 1〉;
c) f(x, y) = xy(x+ y), (1, 1), v = 〈2,−3〉; d) f(x, y) = x2y3 − 4y, (2,−1), v = 〈2, 5〉;
e) f(x, y, z) = x sin(yz), (1, 3, 0), v = 〈1, 2,−1〉; d) f(x, y) = cos(xy) + xey, (2, 0), v = 〈3,−4〉;
2. Ache as direc¸o˜es em que f cresce e decresce mais rapidamente no ponto dado, bem como as correspondentes
taxas de variac¸a˜o ma´xima e mı´nima, respectivamente.
a) f(x, y, z) = 1/(1+x2 +2y2 +3z2), (1, 1,−2); b) f(x, y) = xey, (2, 0); c) f(x, y) = x2 +y2, (1, 1);
d) f(x, y, z) = x3 − xy2 − z, (1, 1, 0); e) f(x, y) = x2y, (1, 1); f) f(x, y) = x2 + 3y2, (2, 1/2);
3. Determine e classifique os pontos cr´ıticos da func¸a˜o. Calcule os extremos da func¸a˜o, quando estes existirem.
a) f(x, y) = x4 + y4 − 4xy; b) f(x, y) = 10x2y − 5x2 − 4y2 − x4 − 2y4;
c) f(x, y) = x3 + y3 − 3x− 3y; d) f(x, y) = x2 − 2xy + 2y;
e) f(x, y) = xy − x2 − y2 − 2x− 2y; f) f(x, y) = 2x+ 2y − x2 − y2;
g) f(x, y) = 1/x+ 1/y + xy; h) f(x, y) = xy(3− x− y);
i) f(x, y) = y sinx; j) f(x, y) = ex + ey − ex+y; k) f(x, y) = xy;
4. Determine os valores ma´ximo e mı´nimo absoluto de f no conjunto D, quando estes existirem.
a) f(x, y) = x2 − 2xy + 2y, D = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2};
b) f(x, y) = 2x+ 2y − x2 − y2, D e´ a regia˜o limitada pelas retas x = 0, y = 0 e y = 9− x;
c) f(x, y) = xy(3− x− y), D = {(x, y);x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y ≤ 3};
d) f(x, y) = ln(xy)− 2x− 3y, D = {(x, y);x > 0, y > 0};
e) f(x, y) = x2 + y2 − xy − y, D = {(x, y); |x| ≤ 1, |y| ≤ 1};
f) f(x, y) = x3 + y3 − 3x− 3y, D = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 2, |y| ≤ 2};
g) f(x, y) = xy, D = {(x, y);x2 + y2 ≤ 1};
h) f(x, y) = sinx+ sin y, D = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 2pi, 0 ≤ y ≤ 2pi};
5. Determine os valores ma´ximo e mı´nimo da func¸a˜o sujeita a` restric¸a˜o dada.
a) f(x, y) = x2 + 2y2, x2 + y2 = 1;
b) f(x, y, z) = x+ 2y + 3z, x− y + z = 1 e x2 + y2 = 1;
c) f(x, y) = xy, x2/8 + y2/2 = 1;
d) f(x, y, z) = ax+ by + cz (a2 + b2 + c2 6= 0), x2 + y2 + z2 = 1;
e) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, x+ y + z = 1 e x2 + y2 = 1;
f) f(x, y) = 3x+ 4y, x2 + y2 = 1;
g) f(x, y, z) = x+ 2y + 3z, x− y + z = 1 e x2 + y2 = 1;
h) f(x, y, z) = x+ y + z, x2 + y2 + z2 = 1;
6. Encontre uma aproximac¸a˜o quadra´tica de f no ponto dado.
a) f(x, y) = sin−1(x/y), (0, 1); b) f(x, y) = ln(1 + x+ y), (0, 0); c) f(x, y) = sinx sin y, (0, 0);
d) f(x, y) = e(xy, (1,−1); e) f(x, y) = x2 + cos(xy), (1, pi/2); f) f(x, y) = xy, (1, 0);
g) f(x, y) = cosx
cos y
, (0, 0); h) f(x, y) = tan−1 1+x
1−y , (0, 0); i) f(x, y) = e
x cos y, (0, 0);
7. Seja f(x, y) = xey. Em que direc¸a˜o f tem a maior taxa de variac¸a˜o em (2, 0)? Qual a´ ma´xima taxa de
variac¸a˜o? Qual e´ a mı´nima taxa de variac¸a˜o? Em que direc¸a˜o a derivada e´ zero? Existe uma direc¸a˜o em
que a derivada e´ 3?
1
8. Seja f(x, y, z) = 1
1+x2+2y2+3z2
. Qual a direc¸a˜o f tem a maior taxa de variac¸a˜o no ponto (1, 1,−1)? Qual a´
ma´xima taxa de variac¸a˜o? Em que direc¸a˜o a derivada e´ zero?
9. Determine as direc¸o˜es em que a derivada direcioanal de f(x, y) = x2 + sinxy em (1, 0) tem valor 1.
10. Existe uma direc¸a˜o na qual a derivada direcional de f(x, y) = x2 − 3xy + 4y2 e´ igual a 14?
11. A derivada de f(x, y) em (1, 2) na direc¸a˜o de v = (1, 1) e´ 2
√
2 e na direc¸a˜o de w = (0,−2) e´ −3. Qual e´
a derivada na direc¸a˜o (−1,−2)?
12. A derivada de f(x, y, z) em P e´ maior na direc¸a˜o de v = (1, 1,−1). Nesse direc¸a˜o, o valo da derivada e´
2
√
3. Qual e´ o ∇f em P?
13. A superf´ıcie de certo lago e´ representada por uma regia˜o D ⊂ R2, e a profundidade (em metros) sob o
ponto (x, y) e´ f(x, y) = 300−2x2−3y2. Se um nadador esta´ no ponto (5, 9), em qual direc¸a˜o ele deve nadar
de modo que a profundidade decresc¸a mais rapidamente? Em qual direc¸a˜o a profundidade ira´ permanecer
a mesma?
14. Desejamos construir caixas sem tampa com volume de 12m2. O custo por metro quadrado, em Reais, do
material e´ de 4 para o fundo, 3 para dois lados opostos, e 2 para os outros dois lados opostos. Encontre
as dimenso˜es da caixa que minimize o custo.
15. Seja a > 0. Divida a em treˆs partes de forma que o produto seja ma´ximo.
16. Mostre que f(x, y) = −(x2 − 1)2 − (x2y− x− 1)2 tem exatamente dois pontos cr´ıticos, ambos de ma´ximo
local.
17. Mostre que f(x, y) = 3xey − x3 − e3y tem exatamente um ponto cr´ıtico, onde f tem um ma´ximo local,
pore´m este ma´ximo na˜o e´ absoluto.
18. Mostre que o ma´ximo de (ax+ by + c)2/(x2 + y2 + 1) e´ a2 + b2 + c2.
19. Uma caixa sem tampa deve ser feita com 12m2 de papela˜o. Determine o volume ma´ximo de tal caixa.
20. Determine os pontos da esfera x2 +y2 +z2 = 4 que esta˜o mais pro´ximo e mais distante do ponto (3, 1,−1).
21. Mostre que a distaˆncia entre o ponto (x0, y0) e a reta r : ax+ by + c = 0 e´ |ax0 + bx0 + c|/
√
a2 + b2.
22. Determine as dimenso˜es de uma caixa retaˆngular, sem tampa, tendo volume espec´ıfico, se queremos usar
a mı´nima quantidade de material em sua confecc¸a˜o.
23. Mostre que entre todos os triaˆngulos de per´ımetro 2p o de maior area e´ o equila´tero.
24. Mostre que entre todos os triaˆngulos de a´era A, o de menor per´ımetro e´ o equila´tero.
25. Mostre que entre todos os paralelep´ıpedos retaˆngulos de volume V , o de menor a´rea e´ o cubo.
26. Mostre que entre todos os paralelep´ıpedos retaˆngulos de a´rea A, o de maior volume e´ o cubo.
27. Determine os valores extremos de f(x, y) = x2 + 2y2 no disco x2 + y2 ≤ 1.
28. Determine o ponto da reta {
x+ 2y + z = 1
2x+ y + z = 4
que se encontra mais pro´ximo da origem.
29. Os seguintes exerc´ıcios do livro Stewart, James - Ca´lculo. Volume 2, Thomson Learning.
a) exerc´ıcios (2n+ 1), com 1 ≤ n ≤ 30, Sec¸a˜o 14.6;
b) exerc´ıcios (2n− 1), com 1 ≤ n ≤ 25, Sec¸a˜o 14.7;
c) exerc´ıcios (2n+ 1), com 0 ≤ n ≤ 20, Sec¸a˜o 14.8;
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