Lista 1 de Cálculo II - prof. Marcelo José Dias Nascimento

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089206 - Ca´lculo 2 - Turmas D e H
Primeira lista de exerc´ıcios
Prof. Marcelo Jose´ Dias Nascimento 19 de outubro de 2016
1. Desenhe a trajeto´ria (imagem) de cada uma das seguintes func¸o˜es vetoriais:
(a) r(t) = (1, t), t ∈ R;
(b) γ(t) = (2 cos t, sen t), t ∈ [0, 2pi].
(c) γ(t) = (t, t, t2), t > 0.
(d) F (t) = ( sen t, t), t ∈ [0, pi].
2. Determine o domı´nio das seguintes func¸o˜es:
(a) f(t) =
(
t,
√
t− 2
t+ 1
, ln(5− t2), e−t
)
(b) g(t) =
(
2 ,
1
t
,
4
√
2− t2 , arctg t
)
(c) h(t) = t2 i +
√
t− 1 j +√5− tk
3. Em cada um dos itens abaixo, determine a equac¸a˜o da reta tangente a` trajeto´ria da func¸a˜o dada,
no ponto dado.
(a) F (t) = (3t2, e−t, ln (t2 + 1)), no ponto F (0);
(b) F (t) = ( sen 5t, cos 4t,−e−2t), no ponto F (pi);
(c) G(t) =
(
1
t
,
1
t
, t2
)
, no ponto F (2);
(d) F (t) = (t, t2, t, t2), no ponto F (1).
4. Calcule lim
t→t0
F (t), lim
t→t0
G(t), lim
t→t0
F (t) ·G(t), lim
t→t0
F (t) ∧G(t), em cada um dos itens abaixo:
(a) F (t) =
(
t3 + 3t2 − t+ 1
5t2 + 4t− 1 , sen (t) + cos(t
2)− 1, e2t+1
)
,
G(t) =
(
t2 + 4t+ 5, et − 1, tg (t) + (t− 1)) ; t0 = 0.
(b) F (t) =
(
t2, e2t−2 + sen 2(t− 1), cos(1− t3)),
G(t) =
(
t5 − 3t2 + t+ 1
3t2 − 4t− 15 , tg (1− t
4), cos(1− t5) + (1− t)
)
; t0 = 0.
5. Em cada um dos itens do exerc´ıcio anterior, determine:
(a) os domı´nios das func¸o˜es F,G, F ·G e F ∧G;
(b) os conjuntos de pontos em que cada uma das func¸o˜es F,G, F ·G e F ∧G e´ cont´ınua;
(c) os conjuntos de pontos em que cada uma das func¸o˜es F,G, F ·G e F ∧G e´ diferencia´vel.
1
(d) as expresso˜es das derivadas de cada uma das func¸o˜es F,G, F · G e F ∧ G nos conjuntos
obtidos no item anterior.
6. Considere h : R→ R dada por h(s) = sen (s2) cos(s+ 1) + es2−1, s ∈ R. Utilizando a Regra da
Cadeia para func¸o˜es vetoriais, encontre as derivadas
d
ds
(F ◦ h)(s) e encontre d
ds
(G ◦ h)(s), onde
F e G sa˜o dadas pelos itens do Exerc´ıcio 4.
7. Em cada um dos itens abaixo, calcule
∫ b
a
F (t)dt:
(a) F (t) =
(
3t3 − 2t2 + t− 15, e2t−2 + sen (t− 1), cos2(1− t)); a = 0 e b = 1.
(b) F (t) =
(
tg (t+ 1), sen 2(1− t) + t2 − 1, cos(t+ 1)); a = 0 e b = 2.
8. Suponha que F : R→ R3 seja deriva´vel ate´ 2a ordem e que, para todo t > 0, tenha-se ‖F (t)‖ =
√
t. Mostre que F ′(t) · F ′(t) = −F (t) · F ′′(t) em [0,∞).
9. Sejam F : A→ R3 e G : A→ R3. Suponha que lim
t→t0
F (t) = (0, 0, 0) e que ‖G(t)‖ 6M para todo
t ∈ A, onde M > 0 e´ um real fixo. Mostre que lim
t→t0
F (t) · G(t) = 0 e que lim
t→t0
F (t) ∧ G(t) = 0.
[Sugesta˜o: Use o Corola´rio do Teorema do Confronto que voceˆ aprendeu em Ca´lculo 1.]
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