Lista 3 de Cálculo II - prof. Marcelo José Dias Nascimento

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089206 - E - Ca´lculo 2
Terceira lista de exerc´ıcios
Prof. Marcelo Jose´ Dias Nascimento 8 de novembro de 2016
1. Em cada um dos itens abaixo, fac¸a um esboc¸o e identifique a superf´ıcie:
(a) 4x2 + 9y2 = 36− z2 (b) x
2
36
= 4− y
2
25
(c) x2 = y2 + z2
(d) x2 − y2 + z2 = 1 (e) x2 + 4z2 − y = 0 (f) 4z2 − x2 − y2 = 1
2. Determine o domı´nio de f nos seguintes casos:
(a) f(x, y) =
xy
x− 2y (b) f(u, v) =
√
1− u− eu/v (c) f(x, y) = xy
x2 − y3
3. Represente graficamente o domı´nio e a imagem de cada uma das func¸o˜es z = f(x, y) abaixo:
(a) x+ y − 1 + z2 = 0, z > 0
(b) f(x, y) =
x− y√
1− x2 − y2
(c) z = ln(2x2 + y2 − 1)
(d) z2 + 4 = x2 + y2, z > 0
(e) z =
√|x| − |y|
(f) 4x2 + y2 + z2 = 1, z 6 0
4. Seja f(x, y) = x2 + 2xy.
(a) Encontre as curvas de n´ıvel c da func¸a˜o f , para c = 0 e c 6= 0.
(b) Encontre a intersecc¸a˜o da superf´ıcie definida por f com o plano y = mx, m ∈ R.
(c) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .
5. Fac¸a um esboc¸o das curvas de n´ıvel das func¸o˜es abaixo.
(a) f(x, y) = x− y (b)f(x, y) = e
x
2y
(c) f(x, y) =
√
x2 + y
2
4
(d) f(x, y) =
√
x+ y (e) f(x, y) = x2 + y2 (f) f(x, y) =
1
x2 + y2
(g) f(x, y) = x2, −1 ≤ x ≤ 0 e y ≥ 0 (h) f(x, y) = 1− x2, x > 0, y > 0 e x+ y 6 1 (i) f(x, y) = xy.
6. Fac¸a um esboc¸o das superf´ıcies de n´ıvel das func¸o˜es abaixo nos n´ıveis indicados.
(a) f(x, y, z) = x, c = 1 (b) f(x, y, z) = y, c = 1
(c) f(x, y, z) = x2 + y2, c = 1 (d) f(x, y, z) = x2 + 4y2 + z2, c = 1
(e) f(x, y, z) = x− y, c = 0, 1, 2 (f) f(x, y, z) =
√
x2 +
y2
4
+
z2
9
, c = 0, 1, 2
7. Represente as curvas de n´ıvel e o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
(a) z = 4x2 + y2 (b) z = 1−
√
x2 + y2, x2 + y2 6 1
(c) z = 1− x2 − y2 (d) f(x, y) = x+ 3y
(e) f(x, y) = senx, x ∈ [0, pi], y 6 0 (f) f(x, y) =
√
1− x2 − y2
(g) z = x+ y + 1
1