Lista 4 de Cálculo II - prof. Marcelo José Dias Nascimento

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089206 - Ca´lculo 2 - Turma E
Quarta lista de exerc´ıcios
Prof. Marcelo Jose´ Dias Nascimento 8 de novembro de 2016
1. Use a definic¸a˜o de limite (com � e δ) para mostrar que:
(a) lim
(x,y)→(3,−2)
3y − 2 = −8 (b) lim
(x,y)→(1,−1)
5x− 2y = 7 (c) lim
(x,y)→(1,0)
2x2 + y = 2.
2. Verifique se os limites abaixo existem. Em caso afirmativo, calcule-os. Caso na˜o existam, justifique.
(a) lim
(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
(b) lim
(x,y)→(0,0)
x2√
x2 + y2
(c) lim
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
(d) lim
(x,y)→(0,0)
x√
x2 + y2
(e) lim
(x,y)→(0,0)
xy(x− y)
x4 + y4
(f) lim
(x,y)→(0,0)
xy
y − x3
(g) lim
(x,y)→(0,0)
x+ y
x− y (h) lim(x,y)→(0,0)
xy2
x2 − y2 (i) lim(x,y)→(0,0) e
−
1
x2 + y2
(j) lim
(x,y)→(0,0)
x2 − y2
1 + x2 + y2
(k) lim
(x,y)→(0,0)
x
x2 + y2
(l) lim
(x,y)→(0,0)
x2 sen
(y
x
)
(m) lim
(x,y)→(0,0)
(x2 + y2) sen
(
1
xy
)
(n) lim
(x,y)→(0,0)
x2y2
x2y2 + (x− y)2 (o) lim(x,y)→(0,0)
x− y
x2 + y2
(p) lim
(x,y)→(0,0)
(1 + y2)
sen (x)
x
(q) lim
(x,y)→(0,0)
4x− y − 3z
2x− 5y + 2z (r) lim(x,y)→(0,0)
x2y
x4 + y2
(s) lim
(x,y)→(0,0)
x3 + 2x2y − y2 + 2 (t) lim
(x,y)→(0,0)
ex + ey
cos(x) + sen (y)
(u) lim
(x,y)→(0,0)
xy√
x2 + y2
(v) lim
(x,y)→(0,0)
x4 + 3x2y2 + 2xy3
(x2 + y2)2
(w) lim
(x,y)→(0,0)
sen (x2 + y2)
x2 + y2
.
(Respostas: (a) @ (b) 0 (c) @ (d) @ (e) @ (f) @ (g) @ (h) @ (i) 0 (j) 0 (k) @ (l) 0 (m) 0 (n)
@ (o) @ (p) 1 (q)
−3
2
(r) @ (s) 2 (t) 2 (u) 0 (v) @ (w) 1).
3. Seja f(x, y) =
 e
(
1
x2+y2−1
)
se x2 + y2 < 1,
0 se x2 + y2 > 1.
Calcule lim
(x,y)→(
√
2
2 ,
√
2
2 )
f(x, y)
x2 + y2 − 1 .
4. Calcule, caso exista, lim
(h,k)→(0,0)
f(h, k)
‖(h, k)‖ , sendo f dada por f(x, y) =
x3
x2 + y2
.
5. Calcule lim
(h,k)→(0,0)
f(x+ h, y + k)− f(x, y)− 2xh− k
‖(h, k)‖ , onde f(x, y) = x
2 + y.
6. Mostre que se lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L e α ∈ R e´ constante, enta˜o lim
(x,y)→(x0,y0)
αf(x, y) = αL.
7. Mostre, usando a definic¸a˜o de limite, que lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = 0⇔ lim
(x,y)→(x0,y0)
|f(x, y)| = 0.
8. Use a definic¸a˜o de limite para mostrar que
(a) lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L⇔ lim
(x,y)→(x0,y0)
|f(x, y)− L| = 0.
(b) lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L⇔ lim
(h,k)→(0,0)
f(x0 + h, y0 + k) = L.
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9. Demonstre o Corola´rio do Teorema do Confronto dado em sala de aula: Suponha que lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = 0 e que
existam M > 0 e r > 0 satisfazendo |g(x, y)| 6M para 0 < ‖(x, y)−(x0, y0)‖ < r. Enta˜o lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x)g(x) = 0.
[Sugesta˜o: Use o Teorema do Confronto e o exerc´ıcio anterior.]
10. Demonstre o Teorema da Conservac¸a˜o do Sinal dado em sala de aula: Suponha que lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L. Se
L > 0, enta˜o existe r > 0 tal que 0 < ‖(x, y) − (x0, y0)‖ < r, (x, y) ∈ Df ⇒ f(x, y) > 0. Analogamente, se L < 0,
enta˜o existe r > 0 tal que 0 < ‖(x, y) − (x0, y0)‖ < r, (x, y) ∈ Df ⇒ f(x, y) < 0. [Sugesta˜o: Use a definic¸a˜o de
limite com � = L/2 no caso em que L > 0 e � = −L/2 no caso em que L < 0. ]
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