Lista 5 de Cálculo II - prof. Marcelo José Dias Nascimento

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089206 - Ca´lculo 2 - Turma E
Quinta lista de exerc´ıcios
Prof. Marcelo Jose´ Dias Nascimento 17 de novembro de 2016
1. Determine o conjunto dos pontos de continuidade das func¸o˜es abaixo.
(a) f(x, y) = 3x2y2 − 5xy + 6.
(b) f(x, y) =
√
6− 2x2 − 3y2.
(c) f(x, y) = ln
x− y
x2 + y2
.
(d) f(x, y) =
x− y√
1− x2 − y2 .
(e) f(x, y) =

x− 3y
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
(f) f(x, y) =

x2 + y2
sen (x2 + y2)
se (x, y) 6= (0, 0),
1 se (x, y) = (0, 0).
(g) f(x, y) =
 e
(
1
r2 − 1
)
se r < 1, onde r = ‖(x, y)‖,
0 se r > 1.
(h) f(x, y) =

xy2
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
(i) f(x, y) = ln(cosx+ sen y + 2)
(j) f(x, y) =

x4 − 81y4
x2 − 2xy − 3y2 , se (x, y) 6= (3, 1),
10, se (x, y) = (3, 1)
(k) f(x, y) =

3x5y3
x4 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0)
(l) f(x, y) =
√
xe
√
1−y2
(m) f(x, y, z) =
√
x− 2 ln(yz)
2. Determine h(x, y) = g(f(x, y)) e o conjunto no qual h e´ cont´ınua.
(a) g(t) = t2 +
√
t, f(x, y) = 2x+ 3y − 6
(b) g(t) =
√
t− 1√
t+ 1
, f(x, y) = x2 − y.
3. Mostre que se f e´ cont´ınua em (x0, y0) e se f(x0, y0) > 0, enta˜o existe r > 0 tal que f(x, y) > 0 para qualquer
(x, y) ∈ Df satisfazendo ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < r.
4. Seja A um subconjunto do R2 com a seguinte propriedade: quaisquer que sejam (x0, y0) e (x1, y1) em A, existe uma
curva cont´ınua γ : [a, b] → A tal que γ(a) = (x0, y0) e γ(b) = (x1, y1). Prove que se f for cont´ınua em A e se
f(x0, y0) < m < f(x1, y1), enta˜o existira´ (x, y) ∈ A tal que f(x, y) = m. [Sugesta˜o: aplique o Teorema do Valor
Intermedia´rio a` func¸a˜o cont´ınua g(t) = f(γ(t)), t ∈ [a, b].]
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