ANPEC AULA 1.Preferencias e Utilidade

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AULA 1 : PREFERENCIAS E UTILIDADE 
 
 
 
1. Origem da Teoria Microeconômica; 
2. Preferências e os axiomas da escolha racional; 
3. Axiomas Adicionais; 
 4. Utilidade; 
 5. Regiões e Curvas de Indiferença; 
 6. Caso 2 bens. Taxa marginal de Substituição; 
 7. Exemplos. 
 8. Bibliografia e Exercícios sugeridos 
 
 
1. Origem da Teoria Microeconômica 
 
 
 Discussões de natureza microeconômica 
remontam à Teoria do Valor da escola clássica, 
A.Smith (1723-1790) e D.Ricardo (1772-1823). Na 
valoração econômica de um bem, o primeiro autor 
distinguia seu valor de uso, do seu valor de troca. O 
segundo autor também distinguia o valor essencial do 
bem do seu preço, e desenvolveu uma teoria do valor 
de troca dos bens baseada no tempo de trabalho 
necessário à sua produção. 
 
O valor de uso de um bem está relacionado à 
utilidade que o seu consumo proporciona ao agente, 
podendo esta utilidade ser de natureza intrínseca 
(funcionalidade do bem) ou de natureza extrínseca, 
associada às preferências do consumidor. Se estou 
disposto a pagar mais para ter um carro vermelho, 
este valor adicional está associado à minha 
preferência, pois a utilidade intrínseca do carro 
vermelho é a mesma que a do carro prata. 
 
O valor de troca é o que torna o bem valorável vis à 
vis de outros bens isto é, aquele valor que pode ser 
expresso em uma medida monetária, comum a todos 
os bens. Este está diretamente associado ao preço 
monetário do bem. 
 
 2
Em princípio, se poderia pensar que os valores de uso 
e de troca devessem ser comonotônicos, isto é, 
aumentarem ou diminuírem conjuntamente. Tal não é 
o caso entretanto, e os clássicos usaram o famoso 
paradoxo da água e do diamante para ilustrar como 
os valores de uso e de troca poderiam divergir entre 
si. A água, com elevado valor de uso, tinha valor de 
troca quase nulo, enquanto que o diamante, com 
baixo valor de uso, tinha elevado valor de troca no 
mercado. 
 
Deixando de lado a questão filosófica do valor 
“essencial” ou valor de uso, os economistas se voltam 
para a explicação do valor de troca, isto é, do preço 
relativo dos bens. 
 
Uma explicação óbvia é a que associa ao valor de 
troca de um bem o seu custo de produção. No século 
XIX, boa parte do custo total da produção era 
constituído pelo uso do fator trabalho. Desenvolve-se 
assim uma teoria do valor-trabalho para explicar o 
valor de troca dos bens. 
 
Se a pesca de 1 kg de atum requer um tempo de 
trabalho 3 vezes maior do que a pesca de 1 kg de 
sardinha, então o preço do atum deveria ser o triplo 
do preço da sardinha. Similarmente, o diamante teria 
um valor de troca elevadíssimo em razão do 
considerável tempo de trabalho requerido para sua 
extração e lapidação. 
 
Se o valor-trabalho é suficiente para explicar o preço 
de um bem, como então explicar a variação dos 
preços em períodos em que não há mudanças 
significativas nas técnicas de produção ? 
 
Smith e Ricardo reconhecem o papel dos 
deslocamentos da demanda nas variações dos preços, 
mas eles viam a divergência dos preços de mercado 
com relação ao valor-trabalho como sendo de 
natureza ocasional e temporária. No longo prazo, o 
preço seria inteiramente determinado pelo custo do 
trabalho (salário) associado à produção do bem. 
 
 3
Os economistas clássicos relegaram a demanda à um 
papel apenas secundário na determinação do preço 
porque, de fato, não desenvolveram uma teoria 
adequada para o valor de uso dos bens. 
 
 
A Revolução Marginalista 
 
Entre 1850 e 1870 crescia entre os economistas a 
percepção de que, para complementar a teoria do 
valor-trabalho, era necessário construir uma teoria 
alternativa para o valor de uso. 
 
A escola filosófica Utilitarista de J.Bentham (1848) 
já lançara anos antes os fundamentos da escolha 
racional dos indivíduos, baseada no principio 
maximizador da utilidade total. 
 
Nos anos 1870 os economistas perceberam no entanto 
que não era a utilidade total do bem que determinava 
o seu valor de troca. Antes, a utilidade da última 
unidade consumida era o fator determinante do preço 
relativo do bem. 
 
Assim, apesar de extremamente útil para a vida e 
abundante na natureza, a água apresentava um valor 
de troca quase nulo porque o consumo de um copo 
adicional de água tinha um valor de uso 
extremamente baixo para as pessoas. 
 
Deste modo, os economistas “marginalistas” definem 
o valor de uso não mais à partir da utilidade total do 
bem, mas à partir da utilidade incremental ou 
“marginal” obtida no consumo deste bem. 
 
O conceito de demanda por unidades adicionais do 
bem dos economistas marginalistas será então 
confrontado com a análise dos custos baseada no 
valor-trabalho da produção, de modo a obter uma 
descrição completa da determinação do valor de 
troca do bem. 
 
 
 
 
 4
A Síntese Marshalliana 
 
Foi o economista inglês Alfred Marshall (1824-1924) 
que formalizou por primeiro o princípio marginalista, 
no seu livro Principles of Economics de 1890. Nele 
ele mostra que a demanda e a oferta cooperam 
simultäneamente para determinar o preço do produto. 
 
Assim como não se pode determinar qual das laminas 
de uma tesoura efetua o corte do tecido, argumentava 
Marshall, assim também não se poderia dizer que só 
a demanda ou só a oferta determinaria o valor do 
produto. 
 
Tal conclusão é ilustrada pela famoso diagrama das 
curvas de oferta (S) e demanda (D) que se cruzam no 
plano das quantidades X preços, como ilustrado na 
Figura 1 abaixo. 
 
 
 
 Fig.1 Formação do Preço: Oferta e Demanda 
 
 
S 
D 
Preco 
Quantidadesq* 
p* 
 
 
 
 5
 
A curva de Demanda (D) é negativamente inclinada 
refletindo o principio marginalista de que o 
consumidor é propenso a pagar cada vez menos pela 
última unidade adquirida, à medida que aumentam as 
quantidades previamente demandadas. O valor fixado 
na margem para esta última unidade estabelece o 
preço a ser pago por todas as unidades adquiridas. 
 
A curva de Oferta (S) é positivamente inclinada 
refletindo o aumento dos custos de produção, à 
medida que mais unidades são produzidas. A 
convexidade da curva indica custos marginais 
crescentes na produção. 
 
As duas curvas intersectam no ponto (q*, p*), que é o 
ponto de equilíbrio do mercado. Ao preço p*, as 
quantidades demandadas igualam as quantidades 
ofertadas: D*=S*=q*. 
 
 Se uma das curvas se deslocar, para cima ou para 
baixo, o novo ponto de equilíbrio também deslocar-
se-á correspondentemente, para cima ou para baixo. 
 
Como vemos, o preço p* do bem será determinado 
pela operação conjunta e simultânea das quantidades 
ofertadas e demandas. 
 
 
Exemplo Numérico: 
 
Demanda: ppD /4)( =
 
Oferta: 222)( ppS +=
 
Igualando a oferta e a demanda obtemos: 
 
 . 1*2)1(2/4 32 =→+=→+= ppppp
 
O preço de equilíbrio será 1 e 4)1()1( == DS unidades 
serão demandadas e ofertadas ao preço de 1 unidade 
monetária por unidade transacionada. 
 
 6
Na figura abaixo estão representadas a demanda e 
oferta inversas: 
 
Demanda: (Vermelho) qPD /4=
 
Oferta: 12/ −= qpS (Preto) 
 
 
 
Fig.2 Equilibrio do mercado 
 
2 3 4 5 6
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
q (quantidades)
p (preço)
 
 
Solução do paradoxo: O método Marshalliano 
permite resolver o paradoxo da água e do diamante, 
uma vez os preços refletem, ao mesmo tempo, a 
valoração marginal feita pelos consumidores e os 
custos marginais incorridos pelos produtores. 
 
Deste modo, não há paradoxo: o preço da água é 
baixo porque esta apresenta conjuntamente, baixa 
valoração no consumo marginal e baixo custo na 
produção de uma unidade adicional. 
 
Por outro lado, o diamante tem preço elevado porque 
a valoração de uma pepita adicional é elevada,assim 
como o seu custo de extração e lapidação. 
 
 7
 
 
2. Preferências e os Axiomas da Escolha 
 Racional 
 
 
A teoria do consumidor, formulada na sua versão 
mais geral e axiomática, é devida a G.Debreu (1959), 
 
Na teoria do consumidor racional, as preferências 
portam sobre cestas de consumo situadas no espaço 
dos bens disponíveis no mercado. 
 
Supondo que a economia possua n bens, uma cesta de 
bens x é definida pela n-upla: x=(x1,...,xn) onde xi 
designa a quantidade do bem i=1,...,n presente na 
cesta x. 
 
Vamos supor que estas quantidades sejam não 
negativas, e definiremos então o conjunto das 
cestas de bens X como um subconjunto dos números 
reais n-dimensionais não negativos: . 
0≥x
nRX +⊂
 
Por exemplo, se a economia possui três bens, maça 
(i=1), laranja (i=2) e banana (i=3) x=(3,5,0) é uma 
cesta contendo três maças e cinco laranjas, enquanto 
que a cesta y=(1,4,3) é uma outra cesta contendo uma 
maça, quatro laranjas e três bananas. 
 
 
Relação de Preferências 
 
 Vamos dotar o conjunto das cestas disponíveis de 
uma relação de preferências binária que definirá, 
para cada par de cestas de aquela que o 
consumidor prefere: 
X
≥
X
 
Assim, se x e são duas cestas de , a notação y X yx ≥ 
indicará que o consumidor prefere a cesta x à cesta 
. Obviamente, esta relação de preferência é y ≥
 8
pessoal, cada consumidor possuirá a sua relação, de 
acordo com os seus gostos e interesses. 
 
A relação é uma relação de preferências fraca, no 
sentido de que ela não exclui a possibilidade das 
duas cestas conterem todos os bens em quantidades 
tais que o consumidor esteja indiferente entre elas. 
≥
 
No exemplo acima, se o consumidor é indiferente 
entre 2 laranjas e 3 bananas, mas prefere quantidades 
crescentes de maça, a cesta )0,2,4(=x é fracamente 
preferível à cesta )3,0,4(=y e escrevo yx ≥ . Na 
verdade, ele é indiferente entre as cestas “derivadas” 
(retirando-se as maças), e . Mas como as 
cestas acima contém o mesmo número de maças, isto 
o deixa indiferente entre ambas. 
)0,2,0( )3,0,0(
 
Por isso, a expressão yx ≥ significará que o 
consumidor considera a cesta x pelo menos tão boa 
quanto a cesta , não excluindo, portanto, a 
indiferença entre ambas. 
y
 
 
A preferência forte notada f , também denominada 
preferência estrita, ocorre quando a indiferença está 
excluída: a cesta x é estritamente preferível à cesta 
, isto è y yx f se e somente se yx ≥ ocorre mas xy ≥ 
não ocorre. 
 
No exemplo acima, se o consumidor prefere mais 
maças do que menos maças, haverá preferência 
estrita entre as cestas )0,2,5(=z e )0,2,4(=y : . yz f
 
A relação de indiferença notada ≈ ocorre quando o 
consumidor é indiferente entre as duas cestas: a 
situação yx ≈ ocorre se e somente se temos, 
simultaneamente yx ≥ e xy ≥ . 
 
 
 9
De acordo com estas definições, quando o 
consumidor compara duas cestas quaisquer x e 
disponíveis no mercado, um dos três eventos ocorre 
exclusivamente: ou 
y
yx f , ou xy f ou yx ≈ . Isto é, ele 
prefere fortemente a primeira, ou prefere fortemente 
a segunda, ou então ele é indiferente entre ambas. 
 
Para que uma relação de preferências reflita as 
escolhas de um consumidor racional, são estipulados 
dois axiomas fundamentais: 
 
 
(A1) Completude 
 
 Por este axioma, presume-se que o consumidor 
saiba comparar qualquer par de cestas de X . 
 
Formalmente, yxouxyouyxouXyx ≈≥≥∈∀ ,,, . 
 
Assim, supõe-se que o consumidor está perfeitamente 
informado sobre as características relevantes de todas 
as cestas disponíveis no mercado e está apto a efetuar 
comparações binárias entre cada par de cestas (duas 
a duas). 
 
(A2) Transitividade 
 
 Este axioma requer que o consumidor saiba dar 
às suas escolhas binárias um encadeamento coerente, 
no seguinte sentido: 
 
zxentaozyeyxseXzyx ≥≥≥∈∀ ,,,, 
 
Em outras palavras, este axioma exige que as 
escolhas do consumidor sejam consistentes. 
 
Por exemplo, se o consumidor prefere uma cesta (x) 
contendo duas maças à uma cesta (y) contendo 4 
laranjas e se ele prefere esta última à uma cesta (z) 
contendo uma dúzia de bananas, a consistência das 
preferências deste consumidor requererá que ele 
prefira a cesta com duas maças à cesta com uma 
dúzia de bananas. 
 10
 
OBS: A transitividade é uma das propriedades mais 
contestáveis da teoria. Estudos experimentais 
revelam que ela é freqüentemente violada na prática. 
Particularmente, quando o consumidor não conhece 
perfeitamente as conseqüências das suas escolhas 
(situação de incerteza). 
 
Por exemplo, baseado no histórico do turfe, ele pode 
comprar uma aposta no cavalo A em um páreo com o 
cavalo B, apostar em B no páreo com o cavalo C, e 
ter razoes suficientes para achar que este último 
cavalo ganhará a corrida contra A. 
 
Entretanto, o axioma (A1) pressupõe informação 
perfeita do consumidor, de modo que a transitividade 
é uma hipótese inteiramente aceitável neste contexto. 
 
Os axiomas (A1) e (A2) definem o que seriam as 
preferências de um consumidor racional. 
 
Antes de introduzir outras propriedades desejáveis 
para uma construção mais completa da teoria 
axiomática do consumidor, dada uma cesta Xx ∈0 
definiremos abaixo os seguintes subconjuntos: 
 
a) que é o conjunto das cestas que 
são fracamente preferíveis à 
}:{)( 00 xxXxx ≥∈≡≥
0x ; 
 
b) é o conjunto das cestas que são 
fortemente preferíveis à 
}:{)( 00 xxXxx ff ∈≡
0x ; 
 
c) é o conjunto das cestas que o 
consumidor considera indiferentes a 
}:{)( 00 xxXxx ≈∈≡≈
0x . 
 
Analogamente, define-se os conjuntos )( 0x≤ e 
das cestas fracamente e fortemente menos preferidas 
que 
)( 0xp
0x . 
 
Observe que, de acordo com as definições temos: 
 
 )()()( 00 xxx ≤∩≥=≈ = 
 11
 
 
Isto é, o conjunto das cestas que o consumidor 
considera indiferentes à cesta 0x é a interseção dos 
conjuntos das cestas fracamente preferíveis e 
fracamente menos preferidas que aquela cesta. 
 
 
 
3. Axiomas Adicionais 
 
 
 Dentre os 4 axiomas adicionais apresentados a 
seguir, o primeiro deles, axioma (A3) tem a ver a 
representação matemática das preferências, 
requerendo das preferências um tipo de regularidade 
topológica cujo significado ficará mais claro no 
exemplo à frente. 
 
 
(A3) Continuidade 
 
Para toda cesta x , os conjuntos )(x≥ e )(x≤ , das cestas 
fracamente preferíveis à x e menos preferíveis que x , 
são ambos conjuntos fechados de X . 
 
Lembremos que o complemento de um conjunto 
fechado é aberto, de modo que se )(x≥ e )(x≤ forem 
fechados, seus complementos )(xp e )(xf 
respectivamente, serão ambos abertos. 
 
 
Lembremos também que podemos caracterizar um 
subconjunto fechado do pelo fato de que qualquer 
seqüência convergente de cestas do subconjunto tem 
seu limite de convergência dentro do próprio 
subconjunto, isto é: 
nR+
 
 
 12
)(x≥ fechado significa: se ,....2,1,)( =≥∈ nxyn com 
 então y=yn
n ∞→lim )(xy ≥∈ . 
 
A continuidade das preferências requer que o 
consumidor, nas suas escolhas, seja coerente “até o 
fim”. Isto significa que uma súbita reversão da sua 
preferência está excluída. 
 
 
Exemplo: Preferências Lexicográficas. 
 
O consumidor tem preferências lexicográficas, 
notada , quando ele lista os bens por ordem de 
preferência e, entre duas cestas, prefere aquela que 
possui quantidades maiores do bem mais preferido. 
L≥
 
Assim, se o índice 1 indica o bem mais preferido, o 
índice 2 o segundo bem mais preferido etc., digo 
que: 
yx L≥ isto é, o consumidor prefere a cesta x à cesta 
no sentido lexicográfico se: 
y
 
 ou se 
11 yx > 2211 yxeyx ≥= ou se 
etc.3322 yxeyxe ≥=11 yx =
 
Obs: O símbolo designa aqui a desigualdade “maior 
ou igual”. 
≥
 
Suponha que o consumidor faça escolhas entre cestas 
contendo chocolate e sorvete, e que ele tenha 
preferência lexicográfica pelo chocolate. 
 
Considere a seqüência de cestas )0,/11( nyn += que 
contém mais de um bombom e nada de sorvete e a 
cesta que contém um bombom e um sorvete. )1,1(=y
 
Como ele tem preferências lexicográficas, ele prefere 
qualquer cesta à cesta , isto é, , de modo 
que Todavia, lim
ny
,1=
y yy L
n ≥
)0,1(,...2,)(≥∈ nyy Ln =∞→ nn y . Ora, esta 
cesta contém a mesma quantidade de chocolate que a 
 13
cesta mas não contém sorvete. Assim, , de 
modo que , o que implica 
y yLp)0,1(
).(yL≥)()0,1( yLp∈ )0,1( ∉ 
 
Há no limite reversão da preferência do consumidor, 
e o conjunto não é fechado. )(yL≥
)x
 
Este exemplo mostra que a preferência lexicográfica 
não atende o axioma (A3) da continuidade. 
 
 
 
O axioma (A4) seguinte tem um significado 
econômico mais evidente, pois traduz o principio que 
os desejos do consumidor são essencialmente 
ilimitados, no sentido de que ele sempre pode 
modificar sua cesta de consumo de modo a torná-la 
mais atraente. 
 
Note a distancia entre a cesta ,0x(d x e a cesta 0x . 
Por exemplo, d pode ser a distancia Euclidiana: 
∑ = −ni ii xx1 20 )(= . xxd 0 ),(
 
Defina então uma bola aberta centrada em 0x e de 
raio 0>ε : 
 
 }),,0 (:{) 0( εε <∈≡ xdXx
(,0 xBx
xB x
eX
 
 
 
(A4) Não Saciedade Local 
 
 
Formalmente, este axioma define-se como: 
 
000 :), xxx fεε ∈∃>∀∈∀ . 
 
 
 Em outras palavras, dada a cesta de consumo 0x 
tomada em primeira escolha pelo consumidor, o 
axioma estabelece que, através do aumento ou da 
redução nas quantidades de pelo menos um dos bens 
 14
presentes nesta cesta, ele possa compor outra cesta 
x , tão próxima ou parecida quanto queira da cesta 
original, com a qual ele ficará melhor do que antes, 
com 0x . 
 
Note que a expressão do anseio ilimitado do 
consumidor está na existência de cestas fortemente 
preferíveis à cesta inicial, mas que são tão próximas 
desta ou parecidas com ela, “quanto ele queira”. 
 
Observe também que a composiçao desta cesta nova 
e melhor, pode envolver tanto aumento nas 
quantidades de alguns bens quanto redução na 
quantidade de outros. 
 
O axioma seguinte (A5) estabelece um principio 
quantitativo relacionado à bondade dos bens 
econômicos e que faz com que o consumidor sempre 
prefira as cestas que contém mais quantidades do que 
as que contém menos quantidades dos mesmos bens. 
 
Notemos yx >= para a situação em que a cesta x 
contém, em cada bem, ao menos tantas unidades 
quanto a cesta . E notamos y yx >> para a situação 
em que a cesta x contém mais quantidades do que a 
cesta , de cada bem. y
 
 
 
(A5) Monotonicidade Estrita 
 
 
 ;,, yxentaoyxseXyx ≥>=∈∀
 
 .yxentaoyxse f>> 
 
Por este axioma, o consumidor prefere fracamente a 
cesta x à cesta sempre que ela conter, de cada bem, 
pelos menos tantas unidades quantas aquelas 
presentes na cesta . 
y
y
 
 15
Além disso, ele preferirá fortemente x à sempre 
que a primeira cesta conter mais quantidades de cada 
bem, do que a cesta . 
y
y
 
 
Monotonicidade Estrita e Não Saciedade Local 
 
 
Observe que o axioma (A5) implica o axioma (A4), 
de modo que a monotonicidade estrita das 
preferências do consumidor implica em que ele seja 
localmente não saciável. 
 
Todavia, a implicação inversa não ocorre: uma vez 
posicionado diante de um plano de consumo 0x , pelo 
axioma (A4) o consumidor poderá melhorar sua 
cesta, eventualmente, reduzindo as quantidades de um 
ou mais bens presentes na sua cesta original. 
 
E isto violará o axioma (A5), pois este exclui 
situações em que melhoras no bem estar estejam 
associadas à reduções nas quantidades consumidas. 
 
Nas figuras Fig.3 à Fig.5 ilustramos, no espaço das 
cestas compostas por dois bens, disponíveis nas 
quantidades , a representação das regiões de 
preferência e indiferença, de acordo com os axiomas 
(A1)-(A5): 
),( 21 xx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16
Fig.3 Preferências Racionais Descontínuas 
 Localmente Insaciáveis, Não Monotônicas 
 
 
 
x 1
x2
x0
)( 0xf
)( 0xp
 
 
 
 
Na Figura 3 acima, a linha onde está situada a cesta 
0x separa o conjunto das cestas estritamente 
preferíveis a esta cesta, acima da linha, do conjunto 
das cestas estritamente menos preferíveis que 0x , 
abaixo da linha. 
 
Esta linha define o conjunto das cestas que o 
consumidor considera equivalentes à cesta 0x . 
 
As preferências são completas e transitivas, mas não 
contínuas: o conjunto )( 0x≈ não é aberto (a linha de 
indiferença é tracejada embaixo à direita), de modo 
que os conjuntos superior e inferior não 
são fechados. 
)( 0x≥ )( 0x≤
 
Também, as preferências representadas da Figura 3 
não são estritamente monotônicas, pois o conjunto de 
indiferença possui um trecho crescente. 
 
 17
Ao tomarmos duas cestas logo à esquerda de 0x , ao 
longo da linha, teremos cestas com quantidades 
crescentes dos dois bens, sem que haja preferência 
estrita do consumidor entre elas, pois serão ambas 
equivalentes à 0x . 
 
Na figura 4 abaixo representamos preferências 
racionais contínuas mas localmente saciáveis. 
 
 
 Fig.4: Preferências Racionais Contínuas 
 Localmente Saciáveis, Não Monotônicas 
 
 
x 1
x2
x 0
)( 0xf
)( 0xp
)( 0x≈
 
 
A região de indiferença à cesta 0x , está representada 
pelas linhas e pela região entre as linhas, no alto à 
esquerda. 
 
Com uma cesta localizada no interior desta região, o 
consumidor encontra-se plenamente saciado, no 
sentido que ele não consegue encontrar uma outra 
cesta, tão próxima quanto queira desta, mas com a 
qual ele ficaria melhor do que com a cesta inicial. 
 
Na figura 5 abaixo representamos preferências 
racionais continuas, localmente insaciáveis e 
monotônicas. 
 18
 
Aqui, o formato dos conjuntos das cestas estritamente 
preferíveis à 0x , estritamente menos preferíveis e 
indiferentes à 0x , não excluem a monotonicidade 
estrita isto é, o fato do consumidor preferir as cestas 
que possuem quantidades maiores de todos os bens. 
 
 
Fig.5: Preferências Racionais Contínuas 
 Localmente Insaciáveis e Monotônicas 
 
x0
x1
x2
)( 0xf
)( 0xp
 
 
O último axioma das preferências (A6) que 
apresentaremos a seguir exclui a possibilidade de 
concavidades nas linhas de indiferença. Ele implica 
no fato do consumidor preferir cestas balanceadas, 
isto é, cestas que contém maior variedade de bens. 
 
 
 
(A6) Convexidade 
 
Dizemos que as preferências ≥ são convexas 
(fracamente) se, dadas as cestas 0x e 1x tais que 
01 xx ≥ , então deveremos ter: 001 )1 xxttx ≥−(xt +≡ , 
. [ ]1,0∈∀ t
 19
 
Isto é, se uma cesta é fracamente preferível à uma 
segunda, então qualquer combinação convexa destas 
duas cestas também será fracamente preferível à esta 
segunda cesta. 
 
 
 
A convexidade estrita (ou forte) ocorre quando a 
cesta balanceada é fortemente preferível à cesta 
original, isto é, quando, para 10 xx ≠ e 01 xx ≥ , temos: 
 
 , 001 )1( xxttxxt f−+≡ )1,0(∈∀ t . 
 
Como mencionamos antes, a hipótese implícita neste 
axioma é que o consumidor sempre prefere compor 
cestas balanceadas no sentido delas eventualmente 
conterem quantidades mais equilibradas dos mesmos 
produtos ou conter uma maior variedade de produtos. 
 
Em particular, se o consumidor for indiferente entre 
as cestas, uma contendo 5 laranjas e outra 10 
bananas, entao , se suas preferências forem 
estritamente convexas, ele preferiráfortemente à 
estas duas cestas, uma que contenha ambos os frutos, 
em qualquer proporção. 
 
Ele preferirá, por exemplo, a cesta (2 laranjas, 6 
bananas), obtida tomando-se 4.0=t : 
 
 )10,0(6.)0,5(4.)6,2( +=≡tx 
 
 
Observe que a convexidade exclui que o conjunto de 
indiferença possua qualquer trecho côncavo, como na 
Fig.5 anterior. 
 
 
Observe também que, diferentemente da convexidade 
forte, a convexidade fraca é compatível com trechos 
em linha reta na linha da indiferença. 
 
 
 20
A figura 6 abaixo ilustra uma relação de preferência 
convexa. 
 
 
Fig.6 Preferências Racionais contínuas, localmente 
 insaciáveis e Convexas 
 
x1
x2
. x 0
. x 1
x2
. x t )( 0xf
)( 0xp
 
Na figura acima, vemos que a cesta tx , composta de 
uma proporção t da cesta 0x e )1( t− da cesta 1x , 
)1,0(∈t , é estritamente preferível à 0x (e à 1x também), 
uma vez que )() 10 xxxt p(f =∈ . 
 
Todavia, o mesmo não ocorre com as cestas 
resultantes de combinações entre as cestas 1x e 2x 
sobre a linha de indiferença, na figura 6. 
 
 Estas cestas balanceadas não serão estritamente 
preferíveis às cestas originais, mas apenas 
equivalentes à elas. 
 
 
Por isso, a preferência representada na figura é 
convexa, mas não estritamente convexa. 
 
 21
 
 
4. Utilidade 
 
 
 Uma vez definido o conjunto das cestas de bens 
disponíveis ao consumidor e a relação de 
preferência , definida sobre ele, a estrutura 
nRX +⊂
≥ ),( ≥X 
forma o espaço de escolhas do consumidor. 
 
 Entretanto, uma cesta de bens é um vetor n-
dimensional, de modo que a comparação entre duas 
cestas diferentes envolverá a comparação binária de 
 quantidades. nn
 
Além disso, a análise das decisões do consumidor no 
espaço das cestas torna-se evidentemente complexa, 
em razão da questão dimensional. 
 
 Por esta razão, os economistas criaram uma 
função que, a cada cesta, associa um único número 
real, o qual indica o grau de preferência relativa do 
consumidor por aquela cesta. 
 
Esta função é chamada função de utilidade. A idéia 
da utilidade remonta ao filósofo J.Bentham, 
Introduction to the Principles of Morals and 
Legislation (1848). 
 
 A comparação dos valores de utilidade associados a 
duas cestas distintas indicará então qual a cesta 
preferível do consumidor. Aquela à qual está 
associado o maior valor de utilidade será a cesta 
preferível. 
 
 
4.1 A função de Utilidade 
 
 
 Definição: Dada a estrutura de escolhas ),( ≥X do 
consumidor dizemos que a função: RXu →: é uma 
função de utilidade do consumidor se ela representa 
suas preferências, isto é se: 
 22
 
 yxyuxuXyx ≥⇔>=∈∀ )()(,, 
 
Assim, para representar as preferências do 
consumidor, a utilidade u tem de associar às cestas 
fracamente preferidas, valores não menores que 
aqueles atribuídos às cestas menos preferidas. 
 
(Na definição acima, o sinal >= indica maior ou 
igual, enquanto que o sinal ≥ indica, como antes, a 
relação de preferências fraca). 
 
Uma vez definida a funçao u , a estrutura das 
escolhas ),( ≥X do consumidor fica caracterizada 
como uma estrutura de escolhas representadas, 
notada ),, u(X ≥ . 
 
Do ponto de vista formal, podemos nos perguntar se 
uma função de utilidade u sempre existe ou, melhor 
dizendo, quais condições a preferência ≥ deve atender 
para que ela possa ser representada por uma função 
de utilidade contínua. 
 
 
 
Existência da função de utilidade 
 
 
G.Debreu (1954,1959) demonstrou o seguinte 
teorema: 
 
Teorema 1: Se a relação de preferências ≥ for 
completa, transitiva e contínua, então existe uma 
função real contínua que representa a 
preferência . 
RRXu n →⊂ +:
≥
 
A prova deste teorema é omitida, pois será estudada 
no Mestrado. 
 
Por este teorema, podemos ver que se as preferências 
do consumidor forem racionais, ,no sentido de que 
atendem os axiomas (A1) e (A2), e contínuas (axioma 
 23
A3), entao estas preferências serão representáveis 
por uma função de utilidade. 
 
 
Utilidade Ordinal e Cardinal 
 
 
Visto que o papel da função de utilidade é o de 
atribuir um número a cada cesta de bens com o 
intuito de apenas ordenar cada par de cestas 
distintas, nenhuma importância deve ser atribuída à 
magnitude absoluta do número )(xu em si mesmo. 
 
Por isso, se diz que u tem um sentido ordinal e não 
cardinal (grandeza numérica). 
 
Exemplo: 
 
Seja as cestas contendo as quantidades de 
maça, laranja e bananas e e as funções de 
utilidade representando as preferências de João e de 
Maria sobre estes três bens, respectivamente. 
),,( 321 xxxx =
Ju Mu
 
Se e 7)4,1,3( =Ju 5)0,3,3( =Ju posso concluir que João 
prefere a primeira cesta (com bananas) à segunda 
(sem bananas e mais laranjas), porque com a primeira 
ele aufere 7 unidades de utilidade, e com a segunda 5 
unidades, um número menor. 
 
Suponha agora que, para a primeira cesta, Maria 
atribui utilidade 0.6, isto é: 6.0)4,1,3( =Mu . Pelo fato 
deste número ser menor que 7 , não posso concluir 
que João tem preferência maior pela cesta do 
que Maria. 
)4,1,3(
 
Isto acontece porque as unidades de medida da 
utilidade (ou da satisfação) auferidas por diferentes 
consumidores não são comparáveis entre si, uma vez 
que a utilidade tem função apenas ordinal, não 
cardinal. 
 
 24
No entanto, se poderia pensar em contruir uma base 
comum para avaliar a “intensidade” das preferências 
de duas pessoas entre duas cestas. Por exemplo, 
reduzindo as unidades de utilidade dos dois à uma 
medida adimensional, como a proporçao. 
 
Assim, suponha que 5.0)0,3,3( =Mu
2.05.
. Vis à vis da cesta 
 a preferência de João pela cesta 
aparece como “mais intensa” que a de Maria, porque 
)0,3,3( )4,1,3(
0/)5.06.0(4.05/)57( =−>=− . 
 
Todavia, tal comparação pode ser falaciosa, uma vez 
que a utilidade não tem um significado numérico 
própriamente dito. 
 
 
Múltipla representação das preferências 
 
O fato da função de utilidade ter um papel somente 
ordinal na representação das preferências do 
consumidor sugere que ela não é única. 
 
Qualquer transformação estritamente crescente de u 
também poderá representar as mesmas preferências . ≥
 
Isto é o que estabelece o teorema seguinte: 
 
 
Teorema 2 : Seja ),,( uX ≥ a estrutura das escolhas 
representadas por de um dado consumidor. Então, 
a função 
u
)(xv também representa as preferências ≥ 
deste mesmo consumidor se e somente se existe uma 
função RRF →:
))(
 estritamente crescente em u tal que 
()( xuFxv = . 
 
A prova deste teorema é deixada como exercício. 
 
Em virtude deste teorema, dizemos que a utilidade u 
fica definida univocamente “a menos de uma 
transformação monotônica estritamente crescente”. 
 
 
 25
Exemplo: 
 
 Se a utilidade 6/1
3
3/1
2
2/1
1321 ),,( xxxxxxuJ = representa as 
preferências de João sobre as cestas de frutas do 
exemplo acima, então 3/1
3
3/2
2
1
1 xxx321 ),,( xxxvJ = também 
representa suas preferências, pois 2)( JJ uv = é uma 
função estritamente crescente de . 
Ju
 
Analogamente, )ln(6/1)ln(3/1)ln(2/1),,( 321321 xxxxxxwJ ++= 
também representa as mesmas preferências de João, 
pois é outra transformação estritamente 
crescente de . 
)ln( JJ uw =
Ju
 
 
 Podemos nos perguntar agora quais propriedades 
da função de utilidade ficam asseguradas pelos 
axiomas (A1)-(A6) especificados para as 
preferências. 
 
 
 
4.2 Preferências e Propriedades da Utilidade 
 
 
 Vimos que o axioma (A3) da continuidade das 
preferências, assegura a continuidade da funçao de 
utilidade. 
 
 Segundo uma tradição teórica bem estabelecida 
em economia, costuma-se analisar problemas 
microeconômicosusando as ferramentas do cálculo. 
 
Nesta direção, uma propriedade desejável importante 
da função de utilidade é a diferenciabilidade. 
 
Esta é uma propriedade mais forte que a 
continuidade, pois exclui que os conjuntos das cestas 
indiferentes ou estritamente preferíveis à uma dada 
cesta apresentem irregularidades, como bordas 
quebradas, por exemplo. 
 
 26
A diferenciabilidade da utilidade, como função de 
duas ou mais variáveis, pressupõe a existência das 
derivadas parciais, uma condição importante para 
viabilizar o calculo das variações na margem. 
 
G.Debreu(1972) estabeleceu as condições adicionais 
que devem ser impostas às preferências para garantir 
que a funçao de utilidade que as representa seja 
diferenciável. Não iremos reproduzi-las aqui. 
 
Suporemos, sempre que necessário, a 
diferenciabilidade de u . 
 
 
 
Funções Monotônicas, Côncavas e Quase 
 Côncavas 
 
Considere a função multivariada .: RRu n → e a cesta 
intermediária tx formada à partir das cestas 0x e 
101 )1(: xttxxx t −+= ; .10 ≤≤ t 
A cesta tx é uma combinação convexa de 0x e 1x . 
 
1. A funcao real u é monotônica crescente se 
)()( yuxuyx ≥⇒>= . Ela é monotônica estritamente 
crescente se )(yu)(xuyx >⇒>> ; 
 
 Obs.: se u é monotônica crescente então é u−
monotônica decrescente; 
 
 
2. A função real é côncava se u nRyx ∈∀ , , 10 ≤≤ t 
temos: )()1(()( 10 xutxtuxu t ) −+≥ . Ela é estritamente 
côncava se para 1010 <<≠ ex tx temos 
)1x()1()0 utx −+()( tuxu t > . 
 
 Obs.: se u é côncava, então u− é convexa; 
 
 27
3. A função real u é quase côncava se nRyx ∈∀ , , 
10 ≤≤ t temos: [ ])(;)(min) 10 xuxu≥(xtu . Ela é estritamente 
quase côncava se para 1010 <<≠ texx temos [ ])(;)(min 0 uxu)(xu t > 1x . 
 
 
Obs.: A quase concavidade é uma condição mais 
fraca do que a concavidade. Assim, se u é côncava, 
então ela também é quase-côncava. Mas o inverso 
não é verdadeiro. 
 
 
Observe, pela definição, que qualquer função 
univariada monotônica, crescente ou decrescente, é 
quase côncava. 
 
O teorema abaixo apresenta duas propriedades da 
função de utilidade que são indissociáveis dos 
axiomas (A5) e (A6) propostos para as preferencias: 
 
Teorema 3 : Seja a estrutura ),,( uX ≥ . Então: 
 
(i) )(xu é estritamente crescente se e somente se a 
relação de preferências é estritamente monotônica 
(axioma [axioma A5]; 
≥
 
(ii) )(xu é quase côncava (estritamente quase 
côncava) se e somente se a relação de preferências 
 é convexa (estritamente convexa)[axioma A5]; ≥
 
A prova deste teorema é de nível de Mestrado. 
 
 
O teorema 3 estabelece a equivalência entre duas 
propriedades importantes das preferências entre 
cestas de bens, quais sejam, o “mais melhor” e o 
“mais balanceado melhor” e o crescimento e quase 
concavidade da função numérica que as representa. 
 
Mais adiante examinaremos as conseqüências destas 
propriedades da utilidade para o formato das regiões 
 28
de indiferença e a escolha das cestas ótimas do 
consumidor. 
 
 
 Na seção 3 apresentamos com um exemplo um tipo 
de relações de preferências, as preferências 
lexicográficas, que pelo fato de não serem contínuas, 
não são representáveis por uma funçao de utilidade 
contínua. 
 
 Consideraremos na seqüência dois outros tipos 
especiais de relações de preferências contínuas e que 
são representáveis por funções de utilidade dotadas 
de outras propriedades matemáticas ainda não 
exploradas. 
 
Tratam-se das preferências homotéticas e das 
preferências quase lineares. 
 
Como veremos adiante, os tipos de preferências serão 
importantes para particularizar a análise das decisões 
ótimas tanto do consumidor como também do 
produtor, na teoria da firma. 
 
 
 
4.3 Preferências e Utilidades Homotéticas e Quase 
 Lineares 
 
 
Definição: A relação de preferência ≥ é dita 
homotética se todos os conjuntos de indiferença 
gerados por ela se reproduzem em proporções fixas. 
 
Formalmente: 
 
 0,,, >≈⇒≈∈∀ kkykxyxseXyx 
 
Como veremos à frente, junto com o axioma (A5) da 
monotonicidade estrita, as preferências homotéticas 
implicarão que as superfícies de indiferença se 
deslocam paralelamente para cima, à medida que 
aumentam os níveis de utilidade. 
 
 29
A hipótese é contudo um tanto restritiva em muitas 
situações concretas. 
 
Por exemplo, posso estar indiferente entre uma 
“cesta” contendo um copo de cerveja gelada e outra 
contendo um copo de água mineral. 
 
Entretanto, como vou dirigir e não posso me 
embriagar, não estarei mais indiferente entre 10 
copos de cerveja e 10 copos de água, preferindo, 
nestas quantidades, a água... 
 
 Definição: Uma relação de preferência ≥ 
monotônica é dita quase linear no bem 1 (chamado 
bem numerário) se este bem é desejável e se a sua 
presença não altera o formato das regiões de 
indiferença. 
 
Formalmente: 
 
 e 0,),...,,(),...,,(, 2121 >+∈∀ kxxxxxkxXx nn f
 
0,),...,,()...,,(,, 2121 >+≈+≈∈∀ kyykyxxkxentaoyxseXyx nn 
 
 Freqüentemente, a hipótese quase linear das 
preferências é utilizada quando se quer considerar a 
moeda (numerário) como um dos bens cuja 
quantidade figura entre as escolhas do consumidor. 
 
 Antes de apresentar o teorema que explicita as 
propriedades das funções de utilidade que 
representam estes dois tipos de preferências, será 
necessário abrir mais uma janela matemática. 
 
 
Funções Homogêneas e Homotéticas 
 
Considere a funçao multivariada .: RRu n → 
 
1. A função real u é dita homogênea de grau k sobre 
X se 0, >∈∀ λXx temos: )()( xuxu kλλ = ; 
 
 Obs.: se 1=λ dizemos que u é homogênea linear; 
 30
 
 
2. A função real u é dita homotética se ela é uma 
transformação crescente de uma função homogênea 
linear, isto é se: 
 )(()( xvFxu = , onde )(xv é homogênea linear e F uma 
função univariada crescente. 
 
Obs.: Uma função homotética é uma transformação 
crescente de uma função homogênea linear. Como a 
função de utilidade tem valor apenas ordinal, sempre 
podemos representar as preferências homotéticas 
através de uma função homogênea linear. 
 
 
Exemplos: A função 
2/1
2
2/1
1
1
21 ),( xx
xxxu +=
 é homogênea de 
grau 2/1 , a função 
21
2
1
21 ),( xx
xxxu += é homogênea linear, 
a função 
21
2
1
21 1),( xx
xxxu ++=
 é homotética,...etc. 
 
 
 Enunciamos agora o teorema da representação das 
preferências homotéticas e quase lineares. 
 
 
Teorema 4 : Seja a estrutura . ),,( uX ≥
 
(i) Se a preferência ≥ é homotética, então a utilidade 
)(xu é uma funçao homotética; 
 
(ii) Se a preferência ≥ é monotônica e quase linear 
no bem 1, então a utilidade )(xu pode ser escrita 
como onde )nx...,,()( 21 xvxxu += v é uma função 
monotônica crescente dos seus argumentos. 
 
 
A prova deste teorema é de nível de Mestrado. 
 
 31
5. Regiões e Curvas de Indiferença 
 
 
 Como vimos anteriormente, o conjunto das cestas 
que o consumidor considera indiferentes entre si são 
aquelas que lhe proporcionam o mesmo nível cardinal 
de utilidade. 
 
Assim sendo, fixado o nível numérico de utilidade 
digamos ( , um número real), o conjunto de todas 
as cestas que proporcionam ao consumidor 
o nível de utilidade será chamado o conjunto de 
indiferença de nível u , notado . Formalmente: 
0u
Ru ∈0
Xx ∈ nR+⊂
0u
0 )( 0uI
 
 })(:{)( 00 uxuXxuI =∈≡ 
 
com .)(, 0 yxuIyx ≈⇔∈
 
Matematicamente, o conjunto de indiferença 
corresponde à uma superfície de nível da função u . 0u
 
Como o gráfico de u está num localizado no espaço 
real -dimensional, o gráfico da região de está 
localizado no espaço real -dimensional. 
1+n )( 0uI
nValendo o axioma (A5) das preferências estritamente 
monotônicas, com utilidade u estritamente crescente 
(conforme Teorema 3 (i)) se tomarmos um outro nível 
de utilidade superior, , a superfície de nível 
conterá cestas estritamente preferíveis às cestas de 
nível : 
01 uu > 1u
0u
 
 xyuueuIyuIx f⇒>∈∈ 0110 )(,)( . 
 
 
Exemplo: 
 
Suponha que as preferências do consumidor sobre os 
bens 1, 2 e 3 sejam representadas pela seguinte 
função de utilidade: 
 32
 
 
 4/1
3
3/1
2
12/5
1321 ),,( xxxxxxu = 
 
 
Esta função é estritamente crescente nas quantidades 
dos três bens. Podemos construir a região de 
indiferença de nível igualando a utilidade a e 
depois expressando como função de e e : 
0u
3x
0u
1x 2x 0u
3/4
2
3/5
1
4
0
30
4/1
3
3/1
2
12/5
1 xx
uxuxxx =⇒= . 
 
A figura Fig.7 abaixo representa as superfícies de 
indiferença de níveis 10 =u e 257.1)2/5( 4/11 ==u . 
 
Fig. 7 : Superficies de Indiferença de nivel 1 e 1.257 
 
 
Matematicamente: 
 
}1:),,{()1(
3/4
2
3/5
1
3
3
321 xx
xRxxxI =∈= + 
 33
 
}5.2:),,{()257.1(
3/4
2
3/5
1
3
3
321 xx
xRxxxI =∈= + 
 
Como vemos, todas as cestas de )257.1(I proporcionam 
utilidade 1.257 ao consumidor, as quais são 
estritamente preferíveis às cestas de )1(I , que 
proporcionam utilidade 1 mais baixa. 
 
 
Observe na Figura 7 que as superfícies de indiferença 
declinam à medida que aumentam-se as quantidades 
dos bens 1 e 2. 
 
 
Isto significa que o consumidor, para se manter no 
mesmo nível de utilidade, está disposto a sacrificar 
unidades do bem 3 a fim de obter maiores 
quantidades dos dois outros bens. 
 
 
Observe na figura também que as superfícies de 
indiferença tem formato convexo com relação a 
origem. 
 
Este formato não é casual, mas uma conseqüência de 
uma propriedade exibida pela função de utilidade u 
especificada no exemplo: a quase concavidade. 
 
 
Antes de apresentarmos os resultados gerais que 
relacionam o formato das regiões de indiferença à 
concavidade ou quase concavidade da função de 
utilidade definiremos os conjuntos: superior e 
inferior da função de utilidade: )( 0uCI
 
 })(:{)( 00 uxuXxuCS ≥∈≡
 
 })(:{)( 00 uxuXxuCI ≤∈≡ 
 
 
 34
Assim, é a região acima do conjunto de 
indiferença de nível . Ele é o locus das cestas 
fracamente preferíveis às cestas de . 
)( 0uCS
0u
)( 0uI
 
Analogamente, é a região abaixo do conjunto 
de indiferença de nível . É o conjunto das cestas 
fracamente menos preferidas que as cestas de . 
)( 0uCI
0u
)( 0uI
 
Evidentemente, o conjunto de indiferença está na 
interseção dos conjuntos superior e inferior: 
)()()( 000 uCIuCSuI ∩= . 
 
 
Vamos agora abrir uma nova janela matemática. 
 
 
Conjuntos Convexos: 
 
Um conjunto nRS ⊂ é um conjunto convexo se ele 
contem todo segmento de reta passando por dois dos 
seus pontos. Formalmente, S é convexo se: 
 [ ] SyttxxtemostSyx t ∈−+=∈∈∀ )1(:1,0,, 
 
 
Observemos que se todos os pontos intermediários tx 
forem interiores à S , isto é, pertencerem à este 
conjunto mas não estiverem na sua borda, para 
)1,0(∈t , então diremos que S é estritamente convexo. 
 
 
Obs.: A interseção de dois conjuntos convexos é um 
 conjunto convexo. 
 
 
 
 
As figuras 8 e 9 abaixo ilustram ilustram 2 conjuntos 
um convexo e outro não convexo. 
 
 35
Fig. 8 Conjunto Convexo (não estritamente) 
 
S c o n v ex o
x t y
x
 
 
 
Fig. 9 Conjunto Não Convexo 
 
 
S n a o Co n vexo
x
y
x t
 
 
 
 
Vamos agora enunciar um teorema que 
estabelece a relação entre a concavidade da função de 
utilidade e a convexidade dos conjuntos superiores: 
 36
 
 
Teorema 5: A função real multivariada RRu n →: é 
quase côncava se e somente se Ru ∈∀ 0 , é 
convexo. 
)( 0uCS
 
Por este teorema, podemos identificar a quase 
concavidade da função de utilidade com a 
convexidade dos seus conjuntos superiores. 
 
Logo, podemos associar a quase concavidade da 
utilidade com a convexidade das regiões de 
indiferença. 
 
O Teorema 5, junto com o Teorema 3 (ii), permite 
também identificar a convexidade das regiões de 
indiferença com a convexidade das preferências do 
consumidor. 
 
 
Vamos agora estudar mais de perto as regiões de 
indiferença no caso de 2 bens. 
 
 
 
 
6. O caso de 2 bens: Taxa Marginal de 
 Substituição 
 
 
 
Neste caso, a curva de indiferença de nível é 
definida pela equação: 
0u
 
 
021 ),( uxxu = (1) 
 
de modo que é possível expressar a região de 
indiferença por uma curva do plano Cartesiano 
expressando como função de . 
)( 0uI
2x 1x
Vamos supor inicialmente que a funcao u represente 
preferências racionais contínuas, estritamente 
monotônicas e estritamente convexas. 
 37
 
Neste caso, o Teorema 3 nos garante que u é 
estritamente crescente e estritamente quase côncava. 
 
Além disso, a curva de indiferença será estritamente 
convexa, pelo Teorema 5. 
 
 
A figura abaixo representa esta situação: 
 
 
Fig.10 Curva de indiferença Convexa 
 
x1
x2
x1
x2
)( 0uCS
 
 
 
 
Na figura acima, o conjunto superior é convexo 
e o consumidor é indiferente entre as cestas 
)( ouCS
1x e 2x , 
pois do consumo de ambas ele extrai as mesmas 
unidades de utilidade. 
0u
 
Qualquer cesta situada acima da curva de indiferença 
 é fortemente preferível às cestas situadas sobre 
esta curva. 
)( 0uI
 
 
 
 38
 
 
Curvas de Indiferença não podem intersectar 
 
 
 Se as preferências forem racionais e estritamente 
monotônicas, é impossível que duas curvas de 
indiferença se intersectem. 
 
Para vermos isto, suponha por absurdo que duas 
curvas de indiferença se intersectem, como na figura 
abaixo: 
 
 
 
x 0
x1
y0
y1
Cu rvas de Ind ife rença nao se in te rsec tam
 
 
Pela monotonicidade das preferências temos: e 
 . Ora, 
00 xy f
11 yx f 10 xx ≈
0y f
 de modo que, por transitividade, 
deveríamos ter , o que é evidentemente falso, 
pois estas duas cestas estão sobre a mesma curva de 
indiferença. 
1y
 
 
 
Taxa Marginal de Substituição 
 
 
Se além da continuidade, supusermos que a função 
de utilidade é diferenciável, com derivadas parciais 
 39
contínuas, podemos calcular as utilidades marginais 
de cada bem: 2,1;)( =∂∂ ixxu i . 
 
Além disso, podemos definir uma função, chamada 
Taxa Marginal de Substituição (TMS). 
 
Esta função define, em cada ponto sobre a curva de 
indiferença, a taxa com a qual o consumidor está 
disposto a substituir um dos bens para obter uma 
unidade adicional do outro, de forma compensatória, 
isto é, de forma a permanecer sobre a mesma curva 
de indiferença. 
 
No caso da substituição do bem 2 pelo bem 1, esta 
taxa é matematicamente calculada como: 
 
 
teconsudx
dxxxTMS tan
1
2
2121 |),( −≡ 
 
A proposição 1 abaixo estabelece uma fórmula que 
facilita o cálculo da TMS. 
 
 
Proposição 1: Se a função de utilidade é 
diferenciável no ponto ),( 21 xxx = , com derivada 
parcial com relação ao bem 2 não nula neste ponto, 
então temos: 
 
 
2
1
2121 )(
)(
),(
x
xu
x
xu
xxTMS
∂∂
∂∂= 
 
Prova: 
 
Diferenciando totalmente a equação (1): 
0))(())((0),( 2
2
1
1
021 =∂∂+∂∂⇒== dxxxudxxxuduxxdu equação 
esta que implica em 
 40
 
2
1
1
2
)(
)(
x
xu
x
xu
dx
dx
∂∂
∂∂=− ao longo da curva de 
indiferença de nível . 
0u ⊕A Proposição 1 nos diz que a TMS21 pode ser 
calculada como a razão entre as utilidades marginais 
do bem 1 e do bem 2. 
 
 Matematicamente, a taxa marginal de substituição 
(TMS) é o módulo da inclinação da tangente à curva 
de indiferença no ponto considerado. 
 
Na figura 10, indicamos a reta tangente em duas 
cestas, 1x e 2x sobre a curva de indiferença, em linha 
pontilhada. 
 
Observe que na primeira cesta, que possui mais do 
bem 2 do que no bem 1, a inclinação da tangente é 
mais forte do que na cesta 2x , que possui mais do bem 
1 do que do bem 2. 
 
Isto ocorre porque, no primeiro ponto, como o 
consumidor possui mais do bem 2, ele está disposto a 
sacrificar uma quantidade maior deste bem, para 
obter uma unidade adicional do bem 1. 
 
Ao passo que no segundo ponto, como ele possui 
pouco do bem 2, para obter uma unidade adicional 
do bem 1 ele está disposto a sacrificar somente uma 
quantidade menor daquele bem. 
 
Vemos assim que a TMS21 diminui quando se passa 
da cesta 1x para a cesta 2x , isto é, quando se aumenta 
as quantidades do bem 1 e se diminui as quantidades 
do bem 2. 
 
Na verdade, o fato da ser decrescente no 
bem 1 e crescente no bem 2 é uma propriedade geral 
das curvas de indiferença estritamente convexas. 
),( 2121 xxTMS
 
 41
Em virtude do Teorema 5, o decrescimento da 
 permite também identificar as funções de 
utilidade que são estritamente quase côncavas. 
),( 2121 xxTMS
 
 
 
7. Exemplos 
 
 
Apresentaremos abaixo 4 exemplos estilizados de 
funções de utilidade definidas para dois bens, as 
quais serão também usadas para ilustrar outros 
conceitos apresentados ao longo do curso. 
 
Os três primeiros casos representam preferências 
monotônicas e convexas. O último caso representa 
preferências monotônicas e côncavas. 
 
 
1. Cobb-Douglas 
 
 
 0,,0,),( 2121 >>= βαβα AxAxxxu 
 
Esta é uma funçao estritamente côncava, gerando uma 
curva de indiferença estritamente convexa. Como a 
função é homogênea de grau βα + , ela representa 
preferências homotéticas. 
 
A curva de indiferença de nível é dada por: 
0u
 
βαβ
β
/
1
/1
/1
0
2 xA
ux = . 
 
 
 42
u 1
u 0
x1
x2
U tilidade C obb-Doug las: Curvas de Ind iferença
de n íve is u 0 < u 1. 
 
 
Observe que, sendo as preferências homotéticas, para 
níveis crescentes de utilidade, as curvas de 
indiferença se deslocam paralelamente para cima. 
 
A taxa marginal de substituição é dada por: 
 
 
1
2
1
21
2
1
1
2121 ),( x
x
xAx
xAxxxTMS β
α
β
α
βα
βα
== −
−
 
 
Como vemos, ela é decrescente em e crescente em 
. 
1x
2x
 
Além disso, a TMS não depende do nível de 
utilidade. 
 
Ela é igual à uma constante k ao longo do raio de 
equação 
12 xkx α
β= , partindo da origem. 
 
O consumidor com utilidade Cobb-Douglas considera 
os bens como substitutos. 
 
 Mas a substituição não é perfeita: para um mesmo 
nível de utilidade, quanto menos ele tem de um dos 
bens, menos ele está disposto a renunciar deste bem 
para obter uma unidade adicional do outro. 
 43
 
2. Utilidade linear 
 
 
 0,),( 2121 >+= axaxxxu
 
Esta é uma função côncava, gerando uma curva de 
indiferença linear convexa. Como a função é 
homogênea de grau 1, ela representa preferências 
homotéticas. 
 
A curva de indiferença de nível é dada por: 
. 
0u
102 axux −=
 
u 1
u 0
x1
x 2
U ti li da d e L in e a r: C u rv a s d e In d if e re nç a d e n í ve is
u 0 < u 1 . 
 
 
Aqui também, sendo as preferências homotéticas, as 
retas de indiferença se deslocam paralelamente para 
cima. 
 
A taxa marginal de substituição é constante: 
 
 aaxxTMS ==
1
),( 2121 
Isto significa que o consumidor está disposto a trocar 
 unidades do bem 2 por uma unidade do bem 1, 
independentemente de quanto ele tenha de cada um 
dos bens. 
a
 
 44
Assim como no caso Cobb-Douglas, o consumidor 
com utilidade linear considera os bens como 
substitutos. 
 
Mas neste caso a substituição é perfeita, pois ele 
está disposto a trocar os bens em proporções fixas, 
quaisquer sejam as quantidades já possuídas. 
 
 
 
3. Utilidade Leontieff 
 
 
 0,},min{),( 2121 >= axaxxxu
 
Trata-se de uma função côncava, gerando uma curva 
de indiferença linear convexa. A função é homogênea 
de grau 1. Logo, representa preferências 
homotéticas. 
 
A curva de indiferença de nível é obtida da 
seguinte maneira: 
0u
auxaxx
uxaxx
/0112
0212
=⇒≥
=⇒< . A figura abaixo, 
ilustra estas curvas para dois níveis de indiferença. 
 
u 1
u 0
x 1
x 2
U t il id a d e L e on t ie ff : C u rva s d e In di fe re n ça d e 
n íve is u0 < u1. 
u 0/a u 1/a
u 1
x 2 = a x1
 
 
Aqui também, sendo as preferências homotéticas, as 
linhas de indiferença se deslocam paralelamente para 
cima. 
 45
 
Estas linhas apresentam um kink ao longo da reta de 
equação . 
12 axx =
 
A taxa marginal de substituiçao TMS21 só está 
definida para . Neste intervalo ela é nula: aux /01 >
 
 auxxxTMS /;0),( 012121 >= 
 
Como ele não substitui os bens neste intervalo, 
consideramos que, neste caso, o consumidor 
considera os bens 1 e 2 como sendo complementares 
entre si. 
 
O consumo de um, requer necessariamente o consumo 
do outro. 
 
Uma vez de posse da cesta , o consumidor 
não melhora sua satisfação acrescentando 
unilateralmente mais unidades do bem 1 ou do bem 2. 
),/( 00 uau
 
Como veremos na próxima aula, ele demandará os 
bens em proporção fixa, a unidades do bem 2 por 
unidade do bem 1. 
 
 
4. Utilidade Max 
 
 
 0,},max{),( 2121 >= axaxxxu
 
Trata-se de uma função convexa, gerando uma curva 
de indiferença linear côncava. A função é homogênea 
de grau 1. Ela representa preferências homotéticas. 
 
A curva de indiferença de nível é obtida da 
seguinte maneira: 
0u
auxaxx
uxaxx
/0112
0212
=⇒≤
=⇒> . A figura abaixo, 
ilustra estas curvas para dois níveis de indiferença. 
 
 46
u1
u0
x1
x2
U tilidade Max: Curvas de Ind iferença de níve is
u0 < u1. 
u0/a u1/a
u1
x2 = ax1
 
 
Sendo as preferências homotéticas, as linhas de 
indiferença se deslocam paralelamente para cima. 
 
Estas linhas apresentam um kink ao longo da reta de 
equação . Trata-se de uma quebra invertida, 
com relação ao caso Leontieff. 
12 axx =
 
A taxa marginal de substituição TMS21 só está 
definida para . Neste intervalo ela é nula: aux /01 <
 
 auxxxTMS /;0),( 012121 <= 
 
 
O consumidor não substitui os bens neste intervalo. 
Até unidades do bem 1, ele não aumenta sua 
utilidade agregando mais unidades deste bem à sua 
cesta. 
au /0
 
De fato, a cesta proporciona ao consumidor a 
mesma utilidade que as cestas contendo apenas um 
dos bens ou . 
),/( 00 uau
,/( 0 au),0( 0u )0
 
Como veremos na próxima aula, pelo critério 
econômico do menor custo, o consumidor preferirá 
consumir cestas contendo apenas um dos bens. 
 
 47
 
Qual dos bens ele consumirá, isto dependerá do 
relativo de preços, como veremos adiante. 
 
As preferências do consumidor representadas pela 
utilidade Max consideram os bens como excludentes. 
O consumo do bem 1 exclui o do bem 2 e vice-versa. 
 
Assim como o consumidor que tem preferências 
convexas e estritamente monotônicas prefere cestas 
balanceadas, o consumidor que tem preferências 
côncavas e estritamente monotônicas prefere cestas 
não balanceadas, contendo apenas um único bem. 
 
O primeiro consumidor valora a variedade, o segundo 
valora a uniformidade. 
 
 
 
8. Bibliografia e Exercíciossugeridos 
 
 
 
Bibliografia: 
 
[SN] Cap. 3 ; 
[N] Cap. 1 e Cap. 3; 
[VO] Cap. 3, Cap.4, Cap.5; 
[PR] Sec. 3.1; Sec. 3.2; Sec.3.4; 
[JR] Sec.1.1; Sec.1.2; Sec.1.3. 
 
 
 
Exercícios Sugeridos. 
 
Anpec: 2012/ Q1 ; 2011/ Q2 ; 2010/ Q1; 
 2009/ Q2. 
 
 
[SN]: 3.2/ 3.3/ 3.4/ 3.8-3.13/ 3.14 (Analytical)