ANPEC AULA 2. Maximinazaçao da Utilidade

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1
 
AULA 2: MAXIMIZAÇAO DA UTILIDADE 
 
 
 
1. A restrição Orçamentária do Consumidor; 
2. Maximização da Utilidade - Método de Lagrange; 
3. Demandas Marshallianas; Primeiras propriedades; 
 4. Utilidade Indireta; Propriedades; 
 5. Significado do Multiplicador de Lagrange; 
 6. Exemplos; 
 7. O principio do imposto lump-sum; 
 8. Bibliografia e Exercícios sugeridos. 
 
 
1. A Restrição Orçamentária do 
Consumidor 
 
 
Dada a estrutura das suas escolhas no espaço 
dos bens , o consumidor é confrontado com um 
vetor de preços dado. 
),,( uX ≥
...,( 1 pp=
nRX +⊂
)np
 
Vamos supor que o preço unitário do bem , , 
seja determinado independentemente das suas 
escolhas, no equilíbrio de cada mercado i
i
n
0>ip
,...,1= . 
 
Se o consumidor considerar a cesta ),...,( 1 nxxx = , seu 
valor de mercado será 
nn xpxp ++ ...11 , que é também o 
custo da cesta caso o consumidor queira adquiri-la. 
 
Matematicamente, o valor da cesta pode ser notado 
como o produto interno (Euclidiano) do vetor de 
preços pelo vetor das quantidades: 
 
 
nn xpxpxp ++≡⋅ ...11 
 
 
Suponha agora que o consumidor disponha de uma 
renda monetária 0>R para adquirir alguma das cestas 
do conjunto . X
 2
Com esta renda nominal R , quais cestas ele poderá, 
em princípio adquirir, independentemente do valor 
utilitário que ele associa a cada uma delas ? u
 
A resposta é evidente: ele poderá adquirir todas as 
cestas cujo valor de mercado não excede a renda que 
ele possui. 
 
Deste modo, definimos formalmente, no espaço dos 
bens, o conjunto das cestas factíveis para o 
consumidor, também chamado de conjunto da 
restrição orçamentária : 
RB
 
 }:{ RxpXxBR ≤⋅∈≡ 
 
Toda cesta é factível, pois seu custo não 
ultrapassa a renda do consumidor, de modo que este 
poderá adquiri-la. 
RBx∈
 
No caso de bens, as cestas de são tais que 
, isto é, tais que : 
2=n RB
Rxpxp ≤+ 2211
 
 
1
2
1
22 )(/ xp
ppRx −≤ 
 
O conjunto de consumo factível é representado 
pela área interna ao triângulo na Figura 1 abaixo. 
RB
 
 
Os pontos sobre a reta de equação 
1
2
1
22 )(/ xp
ppRx −= , 
como a cesta 0x na Figura 1, formam o conjunto das 
cestas de valor igual à R , a renda disponível do 
consumidor. 
 
Os pontos no interior do triângulo abaixo da reta, 
como a cesta formam o lócus das cestas que tem 
custo inferior à 
y
R . 
 
 3
Os pontos acima da reta, como a cesta , formam o 
conjunto das cestas que o consumidor não pode 
alcançar, pois elas tem custo superior à sua renda. 
z
 
Fig.1 Conjunto de consumo factível 
 
x1
x2
x0
.y
.z
p
R/p1
R/p2
0
Restriçao Orçamentária do Consumidor
 
 
 
Note que o vetor de preços é ortogonal à reta 
orçamentária. 
 
Com efeito, o vetor direção da reta é [ ]21 /,1 pp− , de 
modo que [ ].21 , pp [ ] 0/,1 21 =− pp . 
 
 
Deslocamentos da fronteira de consumo 
 
De que maneira a reta orçamentária do consumidor 
poderá ser alterada ? 
 
A fronteira do consumidor poderá se expandir ou 
contrair de acordo com aumentos ou reduçoes da sua 
renda R ou de acordo com as reduçoes ou aumentos 
no preço dos bens, ou . 
1p 2p
 
 4
A Figura 2 abaixo ilustra o deslocamento da reta 
por um aumento da renda do 
onsumidor 
orçamentária em duas situações distintas: 
 
a) ocasionado 
c 0>ΔR que expande o espaço disponível 
 
ento no preço do bem 1 
o espaço de consumo 
isponível ao consumidor. 
Fig.2 Expansao e contração da fronteira de consumo 
 
para consumo; 
b) ocasionado por um aum
0p , o qual restringe 1 >Δ
d
 
 
x1
x2
R/p1
R/p2
0 R*/p1
R*/p2
ΔR>0
R/p1*
Δp1>0
Aumento da renda e do preço do bem 1
 
 
 
 
Na figura acima, a nova renda é e o RRRR >Δ+=*
novo preço é 
111
*
1 pppp >Δ+= . 
 
Como vemos, o aumento da renda desloca a reta 
1, mas também 
o bem 2, caso o consumidor continue a adquirir do 
bem 1, após o aumento no seu preço. 
orçamentária paralelamente, para cima. 
 
O aumento do preço do bem 1 reduz drasticamente o 
consumo possível não apenas do bem 
d
 5
 
Neste último caso, a inclinação da reta orçament 
aume po
ária
nta, is a razão dos preços aumenta de 
ara . 
 
2. Maximização da Utilidade 
r
21 / pp 
p 
2
*
1 / pp
 
 
 
 
 
 
Dada sua estrutura de escolhas ),,( uX ≥ , o veto de 
preços p e sua renda R , isto é, dado o conjunto RB do 
seu consumo factível, qual cesta o consumidor 
scolherá ? 
dor escolherá aquela 
ue maximiza a sua utilidade. 
ormalmente, o programa do consumidor se escreve: 
 
e
 
Supomos nesta seção que, dentre as cestas do seu 
consumo factível, o consumi
q
 
F
 
 
Rx BxxuMax ∈;)( (P) 
co obtenção de um vetor ótimo 
 
A resolução deste problema de maximização 
ndicionada levará à
* (digamos) tal que 
 
x
 
 
RR BxxuxueBx ∈∀≥∈ ;)(*)(* 
 
 
Isto é, a cesta ótima ),...,(* **1 nxxx = é um vetor de 
demandas factível, e que maximiza a utilidade no 
onjunto da restrição orçamentária. 
epresen a demanda ótima do 
onsumidor pelo b
c
 
Cada componente *
ix r ta
c em ni ,...,2,1= . 
cada 
em dependerão do vetor de preços e da renda. 
 
Como veremos abaixo, as demandas ótimas de 
b
 
 6
 
Elas serão notadas ),(* Rpxx ii ≡ e chamadas Demandas 
arshallianas do consumidor. 
 cesta ótima tem custo 
M
 
 
 
 
A R 
 
Antes de apresentarmos o método de cálculo para se 
obter a cesta ótima, suporemos na seqüência, que as 
preferências do consumidor são estritamente 
onotônicas (axioma A5 da aula 1). 
1, a função de 
tilidade será estritamente crescente. 
ente 
obre a fronteira da sua restrição orçamentária. 
 conjunto factível, esta não será uma 
esta ótima. 
sua função de 
tilidade é estritamente crescente. 
étodo de Cálculo 
evemos distinguir duas situações. 
a) As preferências do consumidor são convexas; 
) da aula 1, a 
função de utilidade é quase côncava. 
m
 
Neste caso, pelo teorema 3 (i) da aula 
u
 
A conseqüência desta propriedade é que o 
consumidor escolherá sua cesta ótima exatam
s
 
Isto ocorre porque se ele escolher uma cesta no 
interior do seu
c
 
Ele poderá melhorar sua satisfação aumentando as 
quantidades de pelo menos um dos bens até o limite 
da fronteira orçamentária, pois 
u
 
 
M
 
D
 
 
 
Em conseqüência, o conjunto superior )( 0uS é um 
conjunto convexo e, pelo Teorema 3(ii
 
 7
Neste caso, a solução do programa (P) do 
consumidor será interior à X , isto é, Xx &∈* , X& é o 
interior de X (o maior aberto contido em X ). 
 
Em termos práticos, a solução interior garante que, 
ndasno equilíbrio, a solução ótima envolverá dema 
positivas para todos os bens: xi ;0
* ni ,...,1=> . 
sto é, soluções chamadas “de canto”, do tipo 
 
I 0* =ix 
para u
 
o
Em conseqüência, o conjunto superior de nível 
rama (P) do 
u
alg m bem i estão excluídas. 
 
b) As preferências do consumidor não sã 
convexas. 
 
0
não é convexo e a função de utilidade u não é quase 
côncava. 
 
Neste caso, a solução do prog
u 
cons midor não será interior à X , de modo que a 
demanda ótima do consumidor poderá envolver 
dema da nula para um ou man is bens. 
 
Isto é, soluções de canto do tipo 0* =ix para algum 
bem i , não são excluídas. 
 
A teoria matemática necessária para a resolução do 
o de exemplos à frente, resolveremos o 
roblema (P) no caso em que o consumidor tem 
xas e utilidade Max sobre dois 
or 
ão convexas, o problema (P) doconsumidor pode ser 
problema (P) neste segundo caso, envolve a 
aplicação do teorema de Khun-Tucker, que é um 
tópico de nível de mestrado. 
 
a seçãN
p
preferências não conve
bens. 
 
 
Método de Lagrange 
 
No caso a) em que as preferências do consumid
s
 8
mais fácilmente resolvido, pois estaremos buscando 
soluções interiores isto é, estritamente positivas. 
 
Como mencionado anteriormente, suporemos também 
que a funçao u seja estritamente crescente 
(preferências estr tei men monotônicas), de modo 
ue o problema (P se simplifica na busca de cestas 
ta
) q
que verificam a restrição orçamentária com 
igualdade, isto é: Rxp =⋅ . 
 
Neste caso, consideraremos a maximização da 
chamada funçao de Lagrange L assim definida: 
 
 
L: ).()(),(),(: xpRxuxLxRRX −+=→→× λλλ 
 
 
Um teorema de Lagrange [J- .L grL a ange(1736-1813)] 
arante que o programa (P) com restrição de 
p
g
igualdade ode ser resolvido maximizando-se a 
função L nas 1+n variáveis x e λ . 
 
 variável λ é chamada multiplicador de Lagrange, o A
qual é um número real a ser calculado na 
maximização de L, pois temos apenas uma restrição. 
 
( λ será um vetor k -dimensional em problemas 
envolvendo k restrições) 
 
O significado econômico do multiplicador de 
agrange ficará claro após a apresentação do 
eorema do envelope (ou teorema da envoltória) mais 
ndi eira Ordem 
ção de L deve atender necessariamente 
ondições: 
 
L
t
à frente. 
 
 
Co ções de Prim
 
A maximiza
as 1+n c
nip
x
u
x
L
i
ii
,...,1;0 ==−∂
∂ 0=⋅=∂
∂ xpLλ =∂
∂ λ e 
 9
 
Ou, ainda: 
 
 
 
 nji 
p j
p
x
u
x
u
xTMS i
j
i
ij ,...,1,;)( ==
∂∂
∂∂= (1) 
 
 Rxpxp nn =+ ...11 (2) 
 
As n condições (1) nos dizem que as taxas 
arginais de substituição entre dois bens devem, no 
 condição (2) nos diz que o valor da cesta ótima 
idor. 
m
ótimo do consumidor, ser iguais ao relativo de preços 
destes bens. 
 
A
deve ser igual à renda do consum
 
 
Condições de segunda ordem 
 
Do curso de cálculo no nR sabemos que se o vetor *x 
que este pon seja um máximo é 
satisfaz as condições de primeira ordem (1) e (2), 
entao para to
necessário e suficiente que a matriz Hessiana de u , 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂∂
∂=
ji xx
xuxH *)()(
2
, avaliada em *x , seja negativa definida 
na direção das cestas que verificam a restriy ção 
orçamentária. Isto é, tais que RypyxHy =⋅<⋅⋅ ,0*)( . 
 
 
Entretanto, o teorema seguinte nos garante que as 
ondições de primeira ordem (1) e (2) são 
ecessárias e suficientes para garantir solução do 
c
n
problema (P), se as preferências forem convexas. 
 
 
Teorema 1 : Se )(xu for contínua, quase côncava e 
ável em *diferenci x e se 0*)*,( >>λx resolvem as 
ondição de primeira c ordem (1) e (2), então 
 10
),(* Rpxx ≡
rdem (1
sto sign
uando e
este ca
tima. Um 
 resolve o problema da maximização (P) da 
o é necessário checar 
meira 
) e (2) são atendidas no caso em que o 
ifica que, no equilíbrio do consumidor, a 
 o ótimo do consumidor 
le tem preferencias estritamente convexas. 
so, temos necessariamente uma única cesta 
único equilíbrio. 
utilidade do consumidor. 
 
 
OBS.: A demonstração deste teorema é de nível de 
mestrado. 
 
 
 Pelo teorema 1, quando as preferências do 
consumidor forem convexas, nã
as condiçoes de segunda ordem para se assegurar da 
existência de um máximo. Basta obter a solução das 
ondiçoes de primeira ordem. c
 
Esta é a situação que mais freqüentemente 
encontraremos ao longo do curso. 
 
 
Vamos ver agora como as condições de pri
o
consumidor possui preferências estritamente 
monotônicas e convexas entre dois bens, 1 e 2. 
 
 
Pela condição (1), a TMS deve ser igual à razão dos 
preços. 
 
 
I
curva de indifereça deve ser tangente à reta da 
restrição orçamentária. 
 
 
 Figura 3a abaixo representaA
q
N
ó
 
 
 
 
 
 
 
 
 11
 Fig.3a.: Equilibrio do Consumidor 
 
x1
x2
R/p1
R/p2
0
Um único equilibrio – Pref.Estrit.Convexas
x*
u*
x1*
x2*
 
 
 
 Figura 3b abA aixo representa uma situação em que o 
 possibilidade de um único equilíbrio ou de 
tuação a TMS é constante 
s e 
consumidor tem preferências convexas mas não 
estritamente. 
 
qui, háA
equilíbrios múltiplos, dependendo da razão dos 
preços. 
 
 figura representa uma siA
e igual à razão dos preço , d modo que há uma 
infinidade de equilíbrios. 
 
Toda cesta entre as cestas *x e *y é uma cesta ótima 
para o consumidor, pois todas elas atenderão as 
ondiçõ
roporcionarão o mesmo n vel de utilidade . 
c es de primeira ordem (1) e (2) e 
p í *u
 
 
 
 
 
 
 
 
 12
Fig.3b: Possibilidade de múltiplos equilibrios 
 
x1R/p1
x2
R/p2
0
Múltiplos equilibrios – Pref. Convexas
x*
u*
y*
 
o
 orçamentária é 
angente à um segmento de arco estritamente 
onvexo da curva de indiferença. 
MS e Preferências Homotéticas 
ue estas são transformações crescentes de funções 
a TMS21 
os bens, e não das quantidades absolutas. 
 
Para ver isto, suponha que 
 
Evidentemente, uma pequena mudança nos preç s 
relativos pode restaurar a situação de um único 
equilíbrio, no qual a nova reta
t
c
 
 
T
 
 
Vimos na aula 1 que as preferências homotéticas são 
representadas por funções de utilidade homotéticas e 
q
homogêneas lineares (isto é, homogêneas de grau 1). 
 
Uma particularidade observada no caso de dois bens, 
quando a utilidade é homotética, é de que 
ó depende de isto é, das quantidades relativas s
12 / xx
d
 
)),((),( 2121 xxUFxxu = , onde 
), 2 é homogênea linear e F uma funçao ( 1 xxU
 13
crescente, derivável e com derivadas não nulas: 
0>′F . 
 
Como as derivadas parciais da funçao U são 
êneas de grau homog , vem que: 011 =−
 
2
21
1
21
2
2121
1
2121
2
21
1
21
)1,/(
)1,/(
),()),((
),()),((
),(
),(
x
xxU
x
xxU
x
xxUxxuF
x
xxUxxuF
x
xxu
x
xxu
∂
∂
∂
21TMS
∂
=
∂
∂′
∂
∂′
=
∂
∂
∂
∂
= 
o vemos, o lado direito da última igualdade, 
nde apenas da razão das quantidades. 
 o equilíbrio do consumidor 
tem preferências estritamente monotônicas, 
exas e homotéticas. 
a Renda e Expansão do Consumo 
 
 
 
Com
epe
ue 
onv
 
d
 
 
A Figura 4 abaixo ilustra
q
c
 
 
umento dFig.4: A
 
x1
x2
R1/p1
R1/p2
0
Deslocamentos do equilibrio do Consumidor 
Preferencias Homotéticas
x1
u1
u0
x0
R0/p1
R0/p2
 
 
 14
 
Considera-se dois níveis de renda 
10 RR < . 
o com renda 
scolhe a cesta
 
 No equilibrio inicial, o consumid r 
0R 
e 0x e aufere utilidade . 0u
 
Com o aumento da sua renda para 
1R , ele escolherá 
sua nova cesta 1x ao longo de um eixo radial de 
equação 
12 xkx i= , sobre uma curva de indif ça eren
aralela à anterior, mas mais elevada, de nível . p
01 uu >
 
Nas duas cestas ótimas, 0x e 1x , a TMS é 
idênticamente igual à razão dos preços 
1 /p 2p , que é 
ambém a inclinação da reta orçamentária. 
e o eixo radial representado 
ela linha pontilhada. 
shallianas - Primeiras 
 
, 
t
 
À medida que a renda aumenta, os novos equilíbrios 
se situarão todos sobr
p
 
 
 
3.Demandas Mar
 Propriedades 
 
 
 Como mencionamos antes, o vetor das demandas 
ótimas do consumidor ),...,(* **1 nxx x= é de fato uma 
correspondência do 1+++
nR em 1+++
nR , uma vez que a 
quantidade demandada otimamente de cada bem i é 
uma função do vetor do s preços),...,( 1 nppp = e da 
enda do consumidor, R : r
 
 , ),(* Rpxx ii = ni ,...,1= . 
 outros bens, e ao nível de renda do 
onsumidor. 
 
Estas funções de demanda são chamadas, demandas 
Marshallianas, porque relacionam as quantidades 
demandadas de cada bem ao preço do próprio bem, 
ao preço dos
c
 15
 
O vetor das demandas Marshallianas ),(* Rpxx = possui 
várias propriedades notáveis. Algumas delas somente 
erão explicitadas adiante. 
otemos por ora apenas as seguintes: 
s
 
N
 
1. Se 0* >>x , e se u é duas vezes diferenciável, com 
derivadas contínuas e estritamente crescente no ponto 
* é diferenciável em p e R, então ( ), Rpx x ; 
2 são homogêneas de grau 
 nos preços e na renda: 
 
 
. As funções de demanda
0
 
 0;),(),( >∀= tRpxtRtpx 
 
A p a desta propriedad ximização 
de )(
rov e é simples: a ma
xu sob restrição }:{ XxBtR tRxtp ≤⋅∈= produz o 
et as demandas Marv or d shallianas ),( tRtpx . 
Maximizando a 
 
mesma função )(xu 
:{ xpXxBR ≤⋅∈=
 sob a restrição
 deverá produzir }R ),( Rpx . Ora, R
t
R BB = , 
de modo que ,(tp )tRx = ),( Rpx . ⊕ 
edade tem duas conseqüências 
mportantes. 
ureza matemática, tem grande 
tilidade empírica. 
s
racional não é sujeito à ilusão 
onetária. 
) Conseqüência 1
 
Esta propri
i
 
A primeira, de nat
u
 
A segunda, tem um significado econômico sen ível: o 
consumidor 
m
 
 
a : Escolha de um bem numerário. 
 
 Podemos escolher um dos bens, por exemplo o 
nésimo, e expressar a demanda de todos os bens em 
função não mais dos preços absolutos, mas em 
 16
função dos preços relativos, relativos ao preço do 
nda do bem 
de s r escrita como: 
bem numerário. 
 
Por exemplo, a dema i ),...,,( 121 nni ppppx − 
po e
 
 0)/1( np . ),...,,( 121 nni ppppx − )1,/...,/,/( 121 nnnni ppppppx −= 
 ; ni ,...,1= )/...,/,/( 121* nnnni ppppppx −=
 
 
b) Conseqüência 2: Ausência de ilusão monetária. 
 
Se todos os preços dos bens e a sua renda 
umentarem (ou diminuírem) na mesma proporção, a 
que a soma das elasticidades-preço e da 
 da demanda de cada bem se 
nulam: 
 
a
demanda do consumidor permanecerá inalterada. 
 
Matemáticamente, esta conseqüência se expressa no 
fato de 
elasticidade-renda
a
 nii
n
j ij ,...,1;01 ==+∑ = ηε 
 
 
Onde 
j
ij
ij px ∂≡ε é a elasticidade-prei
Rpxp ∂ ),( ço cruzada do 
bem j sobre da demanda pelo bem i ; 
 
bsO .: quando ij = na expressao acima, iiε dita 
eslasticidade-pre o direta da demanda pelo bem . ç i
 
E 
R
Rpx
x
R i
i ∂
∂≡ )(η
i
, é a elasticidade-renda da 
ta rivar 
demanda pelo bem i . 
 
Para se chegar à identidade acima, bas de
ambos os lados da identidade ),(),( RpxtRtpx = com 
relaçao à t e depois avaliar a derivada em 1=t . 
 
 17
Alternativamente, você poderá usar diretamente o 
m outras 
casiões: 
Teorema do Euler (funç
seguinte teorema, que será também usado e
o
 
ões homogêneas) 
 
Teorema 2: 
Se : RRf n → )(: xfx → é uma funçao homogênea de grau 
 diferenciável em nRx∈ , vale a identidade: k
 
 )()(1 xkf xi∂
xfxni i =∂∑ = 
 
 
 
3. O vetor das demandas ótimas satisfaz a restrição 
orçamentária, de modo que: 
 
 RRpxp =⋅ ),( 
 
O fato de ser ótimo para o consumidor manter a 
disciplina orçamentária gera também duas 
dentidades matemáticas, a primeira envolvendo as 
asticidades-renda de todos os seus gastos, a 
ço de cada 
roduto demandado. 
onseqüência 1
i
el
segunda envolvendo as elasticidades-pre
p
 
 
a) C : Agregação de Engel. 
ponder da das elasticidades-renda de 
odos os bens demandados pelo consumidor é igual à 
 
 A média a
t
1: 
 
 ∑ = =ni iis1 1η 
 
onde Rxps iii /= é a parcela do gasto no bem i no total 
da despesa. 
 
 18
Esta identidade nos diz, por exemplo, que 10% de 
aumento na renda do consumidor se traduzirá, na 
édia, em 10% de aumento na sua despesa. 
 demanda de outros aumentará menos, 
e modo que, na média ponderada, a demanda 
ambém aumentará de 10%. 
ivar com 
elação à renda 
m
 
É claro, a demanda de alguns bens aumentará mais 
que 10%; mas a
d
t
 
Para obter a agregaçao de Engel, basta der
r R ambos os lados da restrição 
)Conseqüência 2
orçamentária. 
 
 
 
b : Agregação de Cournot. 
parcela da despesa no bem i pode ser calculada 
omo uma média ponderada do módulo das 
 
açao de Engel, basta derivar com 
elação à ambos os lados da restrição 
umidor. 
uantidades de andadas deste bem, para cada nível 
 
 A 
c
elasticidades-preço diretas e cruzadas da demanda 
por este bem: 
 
 si nis
n
j ijj ,...,1;1 =−= ∑ = ε
 
 
ara obter a agregP
r
ip
orçamentária. 
 
 
Curvas de Engel 
 
 
Vimos que a demanda Marshalliana é função do 
vetor de preços e da renda do cons
 
Olhando esta função como função unicamente da 
renda, mantido o vetor de preços constante, obtemos 
para cada bem i , uma função que associa diferentes 
q m
de renda R . 
 
 19
A evolução do gasto proporcional de diferentes bens 
como função e renda das famílias foi 
nalisada pelo economista E.Engel (1821-1896). 
à 
 d os 
reços: 
 do nível d
a
 
Em nosso contexto, esta relação pode ser obtida 
partir das emandas Marshallianas, fixados
p
 
 
 onde RRpxpR iii /),()( =ϕ . )(/ RRxp iiiis ϕ=≡
 
 
 função )(RA iϕ chama-se curva de Engel do bem . 
de 
o consumidor extrai no 
onsumo de diferentes cestas de bens
 i
 
Portanto, a curva de Engel expressa a parcela do 
gasto do bem em funçao do gasto total (renda gasta). 
 
 
 
4. Utilidade Indireta – Propriedades 
 
 
 A função utilidade direta é aquela que 
expressa a utilidade que 
c )(xu . 
 e obter, dadas 
uas preferências, sua renda, e o vetor de preços do 
 
A função de utilidade indireta é o máximo de 
utilidade que o consumidor consegu
s
mercado: * , onde uu = *)(x *x é a cesta ótima ou de 
quilibrio, do consumidor. e
 
Mas, como ),(* Rpxx = é o vetor das demandas 
Marshallianas, podemos expressar a utilidade indireta 
omo funçãoc v dos preços e da renda: 
 
 )),((),( RpxuRpv ≡ 
 
Vemos assim que a utilidade indireta é um funcional 
do vetor dos preços e da renda isto é, definido sobre 
+++ × RRn . 
 
 20
Suas propriedades dependem da utilidade direta e do 
arsh lianas. 
mente crescente, então a 
vetor das demandas M al
 
Se u for contínua e estrita
utilidade indireta ),( Rpv possui as seguintes 
propriedades: 
 
 
1. Continuidade em + ++ × RRn ;
. Homogeneidade de grau em 
 
2 ; 0 ),( Rp
 
3. Estritamente crescente em R e decrescente em p ; 
 
4. Quase convexa em ),( Rp . 
 
Além disso, vale a chamada identidade de Roy, a 
e cada bem através das derivadas da utilidade 
ndireta: 
 
 
qual permite que se obtenha a demanda Marshalliana 
d
i
 
 ni 
R
ppvi ),(
p
Rpv
Rpx i ,...,1;
),(
),( =
∂∂
∂∂−= 
tilidade Indireta e Preferência Homotética 
 
s supor que a u 
 
 
 
 
 
 
U
 
Vamo tilidade seja homogênea de grau
 . 
. 
0>α
 
Entao, )( uxuR =−α )/( Rx
 
 21
A utilidade indireta é: )/(max)(max
1)/::)/(:
),( Rxuxu
RxRxRxpx
RRpv
≤≤⋅ (p ⋅
== α . 
Ora, )1,()/(max
1)/(::)/(
pvRxu
RxpRx
=
≤⋅
, de modo que temos a relação: 
 
 )1,(),( pvRRpv α= . 
sto é, dado o vetor de preços, o máximo da utilidade 
 
 
I
que o consumidor pode alcançar com a renda R é um 
múltiplo da utilidade obtida com o dispêndiode uma 
unidade monetária. 
 
 
 
Demanda Marshalliana e Preferência Homotética 
da Marshalliana do bem 
 
 
Usando a identidade de Roy na expressão da utilidade 
indireta dada acima, obtemos a seguinte identidade 
para a deman :i
 
 ),( RxRpxi )1,( pi=
 
é proporcional à sua renda, 
endo esta proporção a quantidade que ele estaria 
Isto é, dado o vetor de preços, a demanda do 
consumidor pelo bem i 
s
disposto a adquirir deste bem com uma unidade 
monetária. 
 
Observe que, neste caso, ),(
R
)1,( pxpRpxp
emos entao que, se as preferências do consumidor 
orem homotéticas, as curvas de Engel de cada bem 
ntes. 
s iiiii =≡ , de modo 
que o consumidor despende uma parcela constante da 
ua renda em cada bem. s
 
Vimos acima que as curvas de Engel relacionam as 
parcelas de gasto em cada bem como funçao do gasto 
total. 
 
T
f
adquirido por ele serão consta
 
 22
Isto significa que, se os preços ficarem constantes e 
ua renda for aumentando, o consumidor homotético 
Constant Elasticity of 
s
despenderá, em cada um dos bens, uma fração 
constante da sua renda. 
 
 
 
Um exemplo: Utilidade CES 
 
 
 
Para 2 bens, a utilidade CES (
Substitution) é definida por: 
 
 10;)(),( /12121 <≠+= ρρρρ xxxxu 
 
Ela representa preferências estritamente monotônicas 
e estritamente convexas. 
eira ordem: 
 (1): 
 
a) Demandas Marshallianas: 
 
 Usando as condiçoes de prim
 
1
)1/(1
2
1
2
2
1
1
2
1
1
11)
1x
ρρ −− = 
2
/1(
21
11)/1(
21
2
1
)(
)( x
p
px
p
p
x
x
xxx
xx
x
u
x
u ρ
ρ
ρ
ρρ
ρρρρ −
−
−−−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⇒=+
+=
∂∂
∂∂
 
Usando a ultima relação na condição (2) Rxpxp =+ 2211 , 
obtemos as seguintes demandas: 
 
 
R
p
pp
)1/(1
21
ρρρ −⎞⎛ + R
p
ppRppx
)1/(1
2
21
,211 ),,(
ρρρ −
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ += Rppx
1
,211 ),,( ⎟⎟⎠⎜
⎜
⎝
= e 
 
cima exibem as 
ropriedades listadas na seção 3. 
da homotecia, as funções de 
emanda assumem a forma: 
 
Verifique que as demandas a
p
 
Observe que, em razão 
d
 23
)1/(1
21
,21 )1,,(
ρρρ −
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=
i
i p
ppppx onde 2,1;)1,,(),,( 21,21 == ippRxRpp iix
 
Isto é, elas são lineares na renda. 
b) Utilidade Indireta: 
valiando a utilidade nas demandas ótimas obtemos: 
 
 
 
A
 [ ] ρρρ /12121 ),(),(),,( RpxRpxRppv += . 
 
Reparametrizando ρρθ −≡ 1 , e após as devidas 
ubstits uições obtemos: 
 
 
 
 [ ] RppRppv θθθ /12121 ),,( −− += 
erifique que a utilidade indireta acima exibe as 4 
 
 
V
propriedades listadas anteriormente. 
 
Obtenha a demanda do bem 1 usando a identidade de 
Roy. 
 
 
 
 
5. Significado do multiplicador de Lagrange 
 
 
É possível dar uma interpretação econômica ao 
parâmetro λ da restrição orçamentá
na função de Lagrange do problema (P) da 
maximização da utilidade do co
ria que aparece 
nsumidor. 
o caso em que a função de utilidade é 
e equi brio 
inado mo 
dos preços e da renda do consumidor, 
 
N u
lí
co
estritamente quase côncava, o valor d
deste parâmetro é univocamente determ
uma função 
isto é (* . pλλ ≡ ), R
 24
 
nterpretações para Entretanto, duas i λ são poss
a
íveis, 
 segunda das quais fará apelo ao teorema do 
envelope, reproduzido abaixo: 
 
 
Teorema do Envelope (da Envoltória) 
 
Teorema 2: 
Seja o 0;0),( problema ),(max ≥= xaxgàsujeitoaxfx onde 
a é um vetor de parâmetros. Suponha que f e g 
sejam continuamente di em a . Suponha ferenciáveis
que 0)(* >>= axx resolva o problema da maximização e 
que esta correspondência também seja 
continuamente diferenciável em a . 
 
Seja ),(),(),,( axgaxfaxL λ o Lagrangeano associado +=λ
à este problema de maximização e ))(,)(( aax λ a sua 
solução. Seja por fim )),(()( aaxfaM ≡ o valor máxim o
da função objetivo. 
 
O teorema estabelece a igualdade: 
 
 
)(,)( aax
jj aa
λ∂∂ |
)( LaM ∂=∂ 
Onde o termo da direita é a derivada do 
Lagrangeano com relação à um componente , 
ja
avaliado no equilíbrio ,)(( a . x ))(aλ
 
 
 
 
OBS.:A prova do teorema do envelope é de nível de 
mestrado. 
ções do multiplicador de 
agrange são as seguintes: 
 
Assim, as duas interpreta
L
 25
a) Uma maneira de escrever as n primeiras condi ões 
de primeira ordem 
ç
i
i
p
x
u λ=∂
∂ é a seguinte: 
 
 
nx ppp
nx
xu
x
xu
x
xu ∂∂==∂
∂∂== ...*
1
λ 
 
 
Pelas equa
∂∂ *)(*)(*)( 21
ções acima vemos que, no equilíbrio, λ é a 
azão benefício marginal / custo marginal do 
m e 
 idêntica para todos os bens. 
Considerando o problema da maximização da 
dade vimos que, no equilíbrio o máximo da 
mo função de 
r
consumo de uma unidade adicional de cada be
que esta razão é
 
 
 
b) 
utili
utilidade, vista co ),( Rp , é a utilidade 
indireta: ),()),(( RpvRpxu = . 
 
Por outro lado 
),(,),(| RpRpxR
L
λ∂
∂ = ),(* Rpλλ = . 
 
Logo, pelo teorema do envelope temos: 
 
 
 
R
Rpv
∂
∂= ),(*λ 
 
 
Isto significa que o multiplicador de Lagrange é, no 
sta pelo 
 
equilíbrio, a utilidade marginal da renda ga
consumidor. 
 
 
Observe que, se as preferências forem estritamente 
monotônicas, o multiplicador de Lagrange será um 
úmero estritamente positivo. n
 
 
 26
 
 
Uma demonstração da identidade de Roy: 
 
terior, pode ser fácilmente demonstrada 
usando-se o teorema do envelope: 
utilidade indireta com 
relação ao preço do bem obtemos, pelo teorema: 
 
 
 A identidade de Roy apresentada no item (4) da 
seção an
 
Com efeito, derivando-se a 
i
 
 niRpx 
pp ii ∂∂
xLRpv
i ,...,1;),(*
*)*,(),( =−=∂=∂ λλ 
ubstituindo nesta equação o valor de S *λ obtido 
cima com o uso do mesmo teorema do envelope, 
 
a
teremos: 
 
R
ppvi
p
Rpv
Rpx i
∂∂ ),(
 
∂∂−=
),(
),( 
amos calcular as demandas Marshallianas e a 
tilidade indireta nos 4 exemplos estilizados da aula 
ada caso, sugerimos que o aluno comprove as 
ropriedades enumeradas para estas funções e a 
mbém 
er facilmente calculado. 
 
que é a identidade de Roy. 
 
 
 
6. Exemplos 
 
 
V
u
1. 
 
Em c
p
identidade de Roy. 
 
O valor do multiplicador de Lagrange pode ta
s
 
 
 
 27
a) Cobb-Douglas 
 
 ,,),( 121 = 00,2 >> βαβα Ax Axxxu
 
sta é uma função estritamente crescente e côncava, 
ogo, o problema da maximização condicionada da 
de admite uma lução interior. 
sando as condiçoes de 1ª ordem (1) e (2) temos: 
E
gerando uma curva de indiferença estritamente 
convexa. Os bens são substitutos imperfeitos. 
 
L
utilida única so
 
U
 
 
2
1
1
2
p
p
x
x =β
α e Rxpxp =+ 2211 . 
 
Resolvendo em e obtemos as demandas 
Marshallianas: 
 
1x 2x
 
 
11 /),( pRRpx βα
α
+=
 e 
22 /),( pRRpx βα
β
+=
 
 
 
Introduzind 
obtemos a u
o estes valores na função de utilidade 
tilidade indireta: 
 
 βα
βαβα
βα
β
βα
α
21
21 )()(),(),(),( pp
RARpxRpAxRpv ++=≡
 
 
βα +
b
 
 
 
 
)Utilidade linear 
 
0,),( 2121 >+= axaxxxu 
 
 
Esta é uma função linear, gerando uma curva de 
bens sãoindiferença linear convexa. Os dois 
substitutos perfeitos. 
 
 28
A taxa marginal de substitui constante e igual 
à a , de modo que o uso da condição d
ção é 
e primeira 
ordem (1) irá requerer: 
2
1
p
a = . p
 esta igualdade ocorrer, teremos
 
Se app 21 = .Entao, usando a restrição orçamentária 
 
Rxpxp =+ 2211 
obtemos: **
221 / pRxax =+ . 
, qu
 não é outra coisa que a 
de 
 
Isto é alquer cesta ),(* ** verificando a 
equação acima é uma cesta de equilibrio. 
 
bserve que o lado esquerdo
21 xxx =
O
utilidade indireta. 
 
Se a igua
2
1
p
pa = lda não ocorrer, dois casos devem 
er considerados: 
a) Se 
s
 
2p
a pagar pelo bem 1 (em unidades do bem 2) é
1pa > , o preço que o consumidor está disposto 
 maior 
o que o preço do mercado. 
astará toda a sua renda no bem 1 e não demandará o 
 e 
d
 
Como os bens são substitutos perfeitos, o consumidor 
g
bem 2: 
; =),(1 Rpx 1/ pR 0),(2 =Rpx
 
b) Se 
2
1
p
pa < , o custo relativo do bem 1 no mercado é 
maior do que o preço que o consumidor está disposto 
a pagar por este bem (em unidades do bem 2). 
 
omo os bens são substitutos perfeitos, ele gastará 
 no bem 2 e não demandará o bem 1: 
 
 
C
toda a sua renda
 e . 0),(1 =Rpx 22 /),( pRRpx =
 29
 
 
Para se determinar a utilidade indireta, temos a 
considerar os três casos discriminados anteriormente: 
 
2
1
p
pa = ( pv 12 //), paRpRR == ⇒
 
 
2
1
p
p> 1/),( paRRpv =⇒ a
 
2
1p 
2/),( pRRpv =⇒ pa <
mos resumir estes trê casos em uma única 
xpressão: 
 
de indiferença linear convexa. A utilidade é 
rescente, mas não estritamente. 
imos na aula 1, que a curva de indiferença de nível 
 apresenta uma quebra de 90 graus sobre a reta 
 
Pode s
e
 
 RppaRpv )/1,/max(),( 21= 
 
 
 
 
 
c) Utilidade Leontieff 
 
 0,},min{),( 2121 >= axaxxxu 
 
 
Trata-se de uma função côncava, gerando uma curva 
c
 
Os dois bens são complementares perfeitos. 
 
V
0
radial 
12 axx = . 
 
u
 30
A TMS21 não está definida sobre esta reta e é nula 
ara pontos à direita da reta radial isto é, para 
melhora sua satisfação acrescentando 
nilateralmente mais unidades do bem 1 ou do bem 2. 
ica que sua c equilíbrio estará sobre 
a reta radial, de modo que 
p
axx /21 > . 
 
Assim, se o consumidor possui a cesta ),/( 00 uau sobre 
a reta, ele não 
u
 
 
Isto signif esta de 
),(* *2
*
1 xxx = deve verificar: 
 custo
 
 ** 
12 axx = 
 
Esta cesta tem R , de sorte que vale . 
 
sando estas duas equações obtemos as demandas 
arshallianas: 
*
22
*
11 xpxpR +=
U
M
 
 
 
21
1 ),(
RRpx = 
app +
 e 
21
2 ),( app
aRRpx +=
 
 
A utilidade indireta é facilmente obtida: 
 
 
 
21
),(
app
aRRpv +=
 
 
 
 
 
d) Utilidade Max 
ear côncava. A utilidade é crescente 
as não estritamente. 
 
 
 
 m),( =xxu 0,},ax{ 2121 >axax 
 
Trata-se de uma função convexa, gerando uma curva 
de indiferença lin
m
 31
Os bens são excludentes. 
 
As curvas de indiferença apresentam um kink ao 
longo da reta radial de equação 
12 axx = . 
MS21 só está definida para 
 
Trata-se de uma quebra invertida, com relação ao 
caso Leontieff. 
 
T aux /01 < . Neste intervalo 
é nula. 
 
 
. 
á demandar cestas 
e 
menor custo. 
ela 
A cesta ),/( 00 uau proporciona ao consumidor a mesma 
tilidade que as cestas contendo apenas um dos bens, u
),0( 0u ou /( 0 au )0,
 
Logo, o consumidor preferir
contendo apenas um dos bens, pois estas serão d
 
Se 
2
10 pau >= ço n
/ pauo
 o pre que o co sumidor está 
disposto a pagar pelo bem 1 é maior que o seu preço 
de mercado, de modo que ele gastará tudo no bem 1: 
 
 =),( e 0),(1 Rpx 1/ pR 2 =Rpx 
 
Se 
2
10
/ p
pa
au
u
o
<= , o consumidor demandará o bem 2: 
 
 0),(1 =Rpx e 22 /),( pRRpx = 
 
2
10
/ p
pa
au
u
o
==Caso , o consumidor demandará 
ndiferentemente, ou o bem 1 ou o bem 2. 
 
Mas ele não demandará os dois, em hipótese alguma: 
qualquer cesta balanceada o deixaria sobre uma 
urva de indiferença mais baixa e numa posição sub-
i
c
ótima. 
 
 32
A utilidade indireta é obtida por substituição: 
 
2
1
p
pa > /)0,/max(),( paRpaRRpv 11 ==⇒ 
 
2
1
p
p≤ 22 /)/,0max(),( pRpRRpv ==⇒ 
stes três casos se resumem na expressão: 
 qual é idêntica aquela obtida no caso b) dos bens 
. O principio do imposto lump-sum 
o por mudanças nas decisões dos 
ontribuintes. 
olíticas distributivas. 
a
 
E
 
 
 RppaRpv )/1,/max(),( 21= 
 
a
substitutos perfeitos. 
 
 
 
 
7
 
 
 Trata-se de um imposto cujo valor arrecadado não 
 afetadé
c
 
Por exemplo, o imposto sobre o consumo de um bem 
não é um imposto do tipo lump-sum, pois ele altera o 
preço relativo deste bem e, em conseqüência, a 
ecisão ótima do consumidor. d
 
 
Já o imposto sobre a renda não altera o preço 
relativo dos bens e, em conseqüência, não gera 
distorções no processo das escolhas ótimas dos 
agentes. 
 
 
Isto significa que o imposto lump-sum não gera 
necessáriamente perdas líquidas de bem-estar para a 
sociedade (deadweight loss) e por isso é eficiente 
ara implementar pp
 
 33
 
 
Vamos dar um exemplo numérico da superioridade 
o imposto de renda sobre o imposto do consumo, 
ade indireta de um individuo que 
ara isso, usaremos as demandas e a utilidade 
, com os 
eguintes valores: 
d
focalizando a utilid
possui preferências Cobb-Douglas sobre dois bens. 
 
 
P
indireta do exemplo a) do item anterior
s
 
 e 
2/1
2
2/1
12
),(
pp
RRpv = ⇒== 2/1βα 11 2 /
1 pRx = ; 22 /2
1 pRx =
 
 
Suponha que, na cia
 
 situação ini l, os preços e a renda 
 
são: 
 4;1 02
0
1 == pp e 80 =R . 
stes valores vão implicar nas demandas: 
 , 
 
E
 
 401 =x 102 =x 
 
e no nível de bem-estar: 
 
 2
)4)(1(2
8
2/12/1
0 ==v 
 
 para o consumidor. 
 
 
 Imposto s o do
 
ara o consumidor, o novo preço do bem um será: 
 . Como o preç do bem 2 permanece 
 
 
a) obre o consum bem 1: 
 
Suponha a imposição de um tributo de 1$ para cada 
unidade consumida do bem 1. 
 
P
2101
1
1 =+= pp o
 34
inalterado, há mudança no preço relativo, de modo 
 
 
que a demanda ótima do consumidor será agora: 
 22/8
21
==x 1211 (redução) e 1 =x (inalterado). 
ssim, a arrecadaçao tributária será igual à 
 
A 2)1(2 ==T 
e a utilidade indireta do consumidor será: 
 
 
 41.12
)4)(2(2
8 2/1
2/12/1
1 ===v 
 
A variação na utilidade do consumidor é igual à: 
59.0241.101 −=−=−νν unidades de utilidade. 
 
 
 
 
) Imposto lump-sum equivalente sobre a renda 
 Suponha um imposto igual a 
 
Portanto, há perda de bem-estar para ele.
 
b
 
 
 2=T sobre a renda: 
62801 =−=−= TRR . 
 Não há mudanç nos preços relativos e as novas 
emandas ótimas do consumidor serão: 
 
a 
d 31/6
21
11 ==x e 
4/34/6
2
11
2 ==x e a utilidade indireta do consumidor: 
 
 
2/3
)4)(1(2
6
2/12/1
1 ==v . 
 
 
A variação da utilidade do consumidor é agora: 
50.025.101 −=−=−νν . 
 
Também há perda de bem-estar para o consumidor. 
 
 35
-sum é 
enor do que com o imposto sobre o consumo 
. 
 os casos a receita fiscal é a mesma, 
onclui-se, neste caso, que o imposto sobre o 
lmente mais oneroso do que o 
 sobre a renda. 
. Bibliografia e Exercícios sugeridos 
ibliografia:
 
Mas a perda no bem-estar com oimposto lump
m
( )59.050.0 <
 
Como em ambos
c
consumo é socia
imposto lump-sum
 
 
 
 
8
 
 
 
B 
; 
PR] Sec. 3.4; Sec. 3.5; Sec.4.1; 
JR] Sec.1.3; Sec.1.4. 
 
Exercícios Sugeridos
 
[SN] Cap. 4 ; 
[N] Cap. 4; 
[VO] Cap. 5, Cap.6
[
[
 
 
. 
 
Anpec: 2012/ Q01,Q02,Q03,Q11; 
 2011/ Q01, Q02, Q06 ; 
 2010/ Q02; 
 2009/ Q03. 
 
 
[SN]: 4.1/ 4.2/4.3 /4,4/ 4.5/ 4.6 
 4.10/ 4.11/ 4.12 (Analytical)