ANPEC AULA 3. Minimizaçao da Despesa

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1
AULA 3: MINIMIZAÇAO DO DISPENDIO 
 
 
 
1. Os níveis de bem-estar desejados; 
2. Minimização da Despesa; 
3. A funçao Despesa - Propriedades; 
4. Dualidade; 
 5. Efeitos Substituição e Renda; 
 6. A Lei da Demanda 
 7. Outros Exemplos 
 8. Bibliografia e Exercícios sugeridos. 
 
 
 
1. Níveis de bem-estar desejados 
 
 
Assim como na aula 2 anterior, a estrutura das 
escolhas do consumidor no espaço dos bens é 
, e ele é confrontado com um vetor de preços 
 dado pelo mercado. 
nRX +⊂
),,( uX ≥
...,( 1pp = )np
 
No enfoque anterior, o consumidor possui uma renda 
R que delimita o conjunto das cestas de bens que ele 
pode adquirir. 
 
Ele entao escolhe, dentro deste conjunto, a cesta que 
maximiza a sua utilidade isto é, o seu bem estar. 
 
Agora, no presente enfoque, o consumidor não atenta 
imediatamente para o custo das cestas. 
 
Aqui, ele fixa o nível de bem-estar desejado, ou seja 
 , e considera todas as cestas que lhe asseguram ao 
menos este nível de satisfação: 
*u
 
 *})(:{*)( uxuXxuS ≥∈= 
 
Este conjunto não é outro que o conjunto superior de 
nível da utilidade, o qual já foi definido na 
primeira aula. 
*u
 
 2
Fig.1: Conjunto das cestas desejáveis de 2 bens 
 
 
x1
x2
0
Conjunto Superior de nível u*. Pref.Convexas
u*
S(u*)
 
 
 
 
 
Uma vez delimitado o conjunto das cestas desejáveis, 
o consumidor escolherá então aquela mais em conta, 
isto é, aquela de menor custo. 
 
 
2. Minimização da Despesa 
 
Formalmente, o programa da minimização da despesa 
é: 
 
 *)(;min uSxxpx ∈⋅ (P) 
 
Como a minimização do dispêndio envolve a escolha 
da cesta *x de menor custo, dado o vetor de preços p 
e o nível de satisfação , esta cesta ótima será 
função do vetor de preços e do nível de satisfação 
desejado: 
*u
 
 
 *),(* upxx h≡
 3
 
Óbviamente, a cesta será desejável e de menor custo: 
 
 *)(;**)(* uSxxpxpeuSx ∈∀⋅≤⋅∈ 
 
 
A demanda ótima de cada bem i será um componente 
do vetor *x . 
 
Estas demandas serão notadas *),(* upxx hii ≡ e serão 
chamadas Demandas Hicksianas ou também, 
Demandas Compensadas do consumidor. 
 
 
OBS.: Observe que, contrariamente às demandas 
Marshallianas, que dependem de variáveis preço e 
renda, ambos observáveis, as demandas Hicksianas 
dependem de um nível de satisfação que é, na 
prática, inobservável e arbitrário, uma vez que a 
utilidade não tem significado cardinal. 
*u
 
Por esta razão, as demandas Hicksianas não são 
observáveis. 
 
Embora não tenham o valor empírico das demandas 
Marshallianas, sua importância teórica para a análise 
do bem estar é considerável. 
 
Método de Cálculo 
 
O problema (P) da minimização da despesa é o dual 
do problema (P) da maximização da utilidade, como 
visto na Aula 2. 
 
Por esta razão, o método de cálculo da cesta de custo 
mínimo neste caso é análogo àquele apresentado na 
aula 2. 
 
Observe que aqui a função objetivo é o custo da 
cesta xp ⋅ , o qual é uma função linear nas 
quantidades. 
 
 4
Por outro lado, a restrição *)( uxu ≥ é quase sempre 
não linear. 
 
As propriedades métricas do conjunto das cestas 
desejáveis *)(uS é que definirão o método de cálculo 
adequado. 
 
Trataremos aqui do caso mais comum, em que as 
preferências do consumidor são convexas, de modo 
que *)(uS é um conjunto convexo e a solução é 
interior. 
 
Os casos de não convexidade levarão a soluções de 
canto, de modo que as observações feitas no caso da 
maximização da utilidade também se aplicam aqui. 
 
No caso convexo, em que a utilidade é estritamente 
crescente, sabemos que a solução do problema (P) 
pode ser resolvido pelo método de Lagrange, com 
restrição de igualdade. 
 
O Lagrangeano da minimização é aqui: 
 
 
L: ))(*(),(),(: xuuxpxLxRRX −+⋅=→→× λλλ 
 
 
Supondo novamente a diferenciabilidade da utilidade, 
as condiçoes de primeira ordem são: 
 
 
 ni
x
up
x
L
i
i
i
,...,1;0 ==∂
∂−=∂
∂ λ e 0)(* =−=∂
∂ xuuLλ 
 
Ou, ainda: 
 
 nji
p
p
x
u
x
u
xTMS
j
i
j
i
ij ,...,1,;)( ==
∂∂
∂∂= (1) 
 
 *)( uxu = (2) 
 5
 
Observe que a condição (1) das TMS´s igualarem os 
preços relativos é a mesma condiçao necessária da 
maximização da utilidade. 
 
Portanto, o hiperplano da restrição orçamentária é, 
no equilíbrio, tangente à superfície de nível da 
utilidade. 
*u
 
A utilidade sendo quase côncava, o teorema 1 da aula 
2 se aplica, mutatis mutandis. Assim, se ao 0*)*,( >>λx 
resolvem as condiçoes (1) e (2) então o vetor das 
demandas Hicksianas *),(* upxx h= resolve o problema 
(P) da minimização da despesa. 
 
 
Antes de apresentarmos as propriedades das 
demandas Hicksianas, trataremos da funçao despesa. 
 
 
 
3. A Função Despesa - Propriedades 
 
A função despesa, notada, *),( upe é definida pelo 
custo da cesta ótima: 
 
 
 *),(*),( upxpupe h⋅≡ 
 
 
Como vemos, dado o vetor de preços p , a funçao 
despesa dá o menor custo necessário a ser incorrido 
para obter o nível de satisfação . *u
 
 
Se for contínua e estritamente crescente, então a 
utilidade indireta 
u
*),( upe possui as seguintes 
propriedades: 
 
 
1. Continuidade em RRn ×++ ; 
 6
 
2. *),( upe é estritamente crescente e ilimitada 
superiormente em ; *u
 
 
3. Homogeneidade linear (grau 1) em p ; 
 
4. Crescente e côncava em p ; 
 
A propriedade (2) nos diz que aumentos no nível de 
bem estar desejado se traduzem em aumentos no 
custo das cestas que proporcionam este bem estar. 
 
A propriedade (3) nos diz que aumentos de 10% em 
todos os preços dos bens da cesta ótima, gera 
aumento também de 10% no custo desta cesta. 
 
A concavidade da função despesa (4) é uma 
propriedade importante a ser usada adiante para 
mostrar a negatividade dos efeitos de substituição. 
 
Ela decorre diretamente da linearidade em p da 
função custo e da minimização do custo. 
 
Ela implica em gastos marginais decrescentes à 
medida que os preços aumentam. 
 
 
Lema de Shephard: 
 
Adicionalmente, se u for estritamente quase 
va, *),( ucônca pe é diferenciável em p , e vale o 
chamado lema de Shephard: 
 
 
 ni
p
upeupx
i
h
i ,...1;
*),(*),( =∂
∂≡ 
 
Este lema permite que se obtenha a demanda 
Hicksiana de cada bem derivando-se a função 
despesa com relação ao preço do bem. 
 
 7
 A prova do Lema de Shephard é uma conseqüência 
imediata da aplicação do Teorema do Envelope ao 
Lagrangeano da solução do problema (P) da 
minimização da despesa. (Veja Aula 2) 
 
 
Função Despesa e Preferências Homotéticas 
 
Se as preferências são homotéticas, entao a função 
de utilidade )(xu pode ser escrita como um funcional 
monotonico crescente de uma função homogênea 
linear U . 
 
Isto significa que podemos escrever: ))(()( xUFxu = , 
onde é uma funcao monotonica crescente e F U é 
homogênea linear. 
 
Neste caso, podemos mostrar que a função despesa 
admite a seguinte representação: 
 
 )1,()(),( 00 peuupe φ= 
 
onde )1(/)()( 10
1
0
−−= FuFuφ é uma função crescente dos 
níveis de bem estar . 
0u
 
Prova: Considere que, na minimização da despesa 
temos a restrição , a qual é equivalente à: 
0)( uxu ≥
0))(( uxUF ≥ ou ou ainda: )()( 01 uFxU −≥
)1()(
)(
)1(
0
1
1
−
−
≥xU
u
1−F
F
F . Usando a homogeneidade linear de 
U e a monotonia crescente de , esta última 
desigualdade é equivalente à 
F
1))1(()))( 10
1/)1((( 1 =≥ −FFu−− FFUF. 
 
Logo, o programa sujeito à é 
equivalente ao programa 
xpx .min 0)( uxu ≥
)
)(
)1(.(min
)1(
(
1
0
1
F
uF
−
− )
0
1
1
x
uF
Fpx −
−
 sujeito à 
1)))(/)1((( 0
11 ≥−− uFFUF . 
 
 8
Colocando 
)(
)1(
0
1
1
uF
Fz −
−
≡ , o programa da minimização 
será equivalente ao programa: 
)1(
)(
1
0
1
−
−
F
uF zpz .min suje 
(zu
ito à
 . 1) ≥
Obtemos assim o resultado )1,(
)1(
)(),(
1
0
1
0 peF
uFupe −
−
= . ⊕
 
 
4. Dualidade 
 
Vimos anteriormente que os problemas (P) da 
Maximização da Utilidade e da Minimizacao da 
despesa são duais, pois a função objetivo de um 
ntra na restrição do outro. e
 
Matematicamente, esta dualidade tem duas 
onseqüências notáveis. c
 
A primeira conseqüência diz respeito à uma relação 
simétrica que se estabelece entre a função despesa e 
 utilidade indireta. a
 
 
unção despesa e utilidade indireta F
 
Pode-se mostrar que se a função de utilidade u for 
contínua e estritamente crescente, dados o vetor de 
preços 0>>p , o nível de renda 0>R e o nível de 
utilidade , são validadas as identidades: u
 
 
 1. RRpvpe =)),(,( 
 
 2. uupepv =)),(,( 
 
 
A primeira relação nos garante que a despesa mínima 
necessária para comprar a utilidade ),( Rpv , quando os 
preços são p e a renda R , é exatamente igual à R . 
 9
 
A relação (2) nos garante que a satisfaçao máxima 
que pode ser obtida com a renda necessária para 
adquirir a utilidade u , dados os preços p , é 
exatamente igual à . u
 
As relações acima são bastante úteis, do ponto de 
vista analítico e operacional: 
 
A primeira nos permite obter a utilidade indireta à 
partir da função despesa, isto é, sem necessidade de 
se fazer a maximização da utilidade; 
 
Inversamente, a segunda nos permite obter a função 
despesa à partir da utilidade indireta, isto é, sem 
necessidade de se fazer a minimização da despesa. 
 
A segunda conseqüência da dualidade diz respeito à 
uma relação existente entre as demandas Hicksianas 
e as demandas Marshallianas. 
 
 
 
Demandas Hicksianas e demandas Marshallianas 
 
 
Se a função de utilidade u for contínua, estritamente 
crescente e estritamente quase côncava, dados o vetor 
de preços 0>>p , a renda 0≥R e o nível de utilidade u , 
são validadas as identidades: 
 
 
 3. )),(,(),( upepxupx i
h
i =
 
 4. )),(,(),( RpvpxRpx hii =
 
 
 
A relação (3) nos permite obter a demanda Hicksiana 
do bem que é necessária para que o consumidor 
obtenha a utilidade u , à partir das quantidades 
Marshallianas demandadas deste bem, quando o 
i
 10
consumidor tem renda ),( upe , igual à renda mínima 
necessária para adquirir esta utilidade u . 
 
A relação (4) nos permite obter a demanda 
Marshalliana do bem i de um consumidor que dispõe 
de renda R , à partir da sua demanda Hicksiana deste 
bem, demanda esta necessária para que ele alcance o 
nível de utilidade ),( Rpv . 
 
Além da sua utilidade operacional, as 4 relaçoes que 
saem da dualidade dos processos de otimização do 
consumidor são também importantes do ponto de 
vista analítico. 
 
Elas nos permitem decompor o efeito total de 
variações nos preços sobre a demanda de qualquer 
bem, em duas partes que se adicionam: o efeito 
substituição e o efeito renda. 
 
 
 
5. Efeitos Substituição e Renda 
 
 
Derivando-se a identidade 3. acima com relação ao 
preço , de ambos os lados da equação, e avaliando 
a derivada nos pontos em que 
jp
)),(,( upepvu = e 
RRpvpe =,(,( )) teremos, com o uso da regra da cadeia: 
 
),(|
),(
Rpvu
j
h
i
p
upx
=∂
∂ =
∂
∂
e
j
i
p
upepx
(|
)),(,( +=Rup ),
 
),(),up( |
),(.|
),(
)),(,(
Rpvu
j
Re p
upe
upe
upep
==
∂ix
∂
∂ 
 
 = +∂
∂
j
i
p
Rpx ),( )),(,(.), xRp hj
( Rpvp
R
xi
∂
∂ . 
 
 Ou finalmente, usando a relação 4. acima: 
 
 11
 
),(|
),(
Rpvu
j
h
i
p
upx
=∂
∂ = +∂
∂
j
i
p
Rpx ),( ),(.),( Rpx
R
Rpx
j
i
∂
∂ nji ,...,1, = 
 
Os efeitos substituição e renda são obtidos tomando-
se a derivada com relação ao preço do próprio 
bem. 
ip
 
Assim, fazendo ij = da equação anterior e passando 
para a esquerda o segundo termo do lado direito, 
temos a chamada equação de Slutsky: 
 
 
 =∂
∂
i
i
p
Rpx ),(
),(|
),(
Rpvu
i
h
i
p
upx
=∂
∂ + [- ),(.),( Rpx
R
Rpx
i
i
∂
∂ ] 
 
 
 
A derivada à esquerda mede o efeito marginal total 
de uma variação no preço do bem sobre a demanda 
deste bem. 
i
 
Este efeito total é resultado da soma de dois outros 
efeitos: 
 
O efeito substituição, que é a variação da demanda 
resultante da mudança no preço relativo do bem, 
mantido o nível de utilidade constante, cuja medida é 
feita sobre a demanda Hicksiana: 
),(|
),(
Rpvu
i
h
i
p
upx
=∂
∂ ; 
 
E o efeito renda, que mede a variação, na margem, 
da demanda do bem, resultante da variação da renda 
real provocada pela mudança no seu preço: 
[- ),(.),( Rpx
R
Rpx
i
i
∂
∂ ]. 
 
 
 
 
 
 
 12
Negatividade do efeito substituição 
 
Pelo Lema de Shephard temos: 
2
2 ),(),(
ii
h
i
p
upe
p
upx
∂
∂=∂
∂ . Ora, 
vimos que a funçao despesa é côncava, de modo que 
se a funçao despesa for duas vezes contínuamente 
diferenciável, é válida a identidade acima, de modo 
que: 0),( ≤∂
∂
i
h
i
p
upx . 
 
Isto é, o efeito substituição nunca é positivo. 
 
 
Bens Normais e Bens Inferiores 
 
A teoria microeconômica costuma classificar os bens 
em bens normais e bens inferiores, de acordo com o 
efeito produzido por variações na renda sobre a 
demanda destes bens. 
 
Assim, o bem i é um bem normal se 0),( ≥∂
∂
R
Rpxi isto 
é, se a sua demanda não diminui com o aumento da 
renda nominal do consumidor. 
 
Por outro lado, se a sua demanda diminui com o 
aumento da renda, o bem é dito um bem inferior: i
0),( <∂
∂
R
Rpxi . 
 
É interessante observar, à partir da equação de 
Slutsky acima, que se o consumidor tem demanda 
positiva sobre um bem normal , variações no seu 
preço geram efeitos renda não negativos sobre a sua 
demanda. Efeitos renda positivos sobre a sua 
demanda são gerados se o bem for inferior. 
i
 
 
Nas Figuras 2 abaixo ilustramos no plano de dois 
bens e , os efeitos substituição e renda nos casos 
de um bem normal (2a) e de um bem inferior (2b). 
1 2
 13
 
 
Ao mesmo tempo, figuramos o formato das curvas de 
demanda Marshalliana e Hicksianas derivadas à 
artir das variações no preço do bem. 
das 
anda. Caso de um bem Normal. 
 
 
p
 
s Substituição e Renda e formato Fig.2a: Efeito
Curvas de Dem
 
 
 
x1
x2
x1
x0
x1
x10x11 x1s
$
EfeitosSubstituicaoe Renda. 1 éumbemNormal
p10
p11 X1h(p,u)
X1(p,R)
u
0 
 
 
 
o equilíbrio inicial, o consumid o de renda N or dotad
R aufere o máximo de satisfação ),( Rpvu = ao adquirir 
 14
a cesta ótima 0x , com quantidades do bem 1, 
compradas ao preço unitário . 
0
1x
0
1p
 
 
Neste ponto, de acordo com a relação de dualidade 
4., as demandas Marshalliana e Hicksiana pelo bem 1 
são idênticas, e suas curvas se intersectam. 
 
Com o aumento no preço do bem 1 de para , a 
mudança no preço relativo levou o consumidor à 
nova cesta ótima 
0
1p
1
1p
1x , onde unidades do bem 1 são 
adquiridas. 
1
1x
( 11x
 
O efeito total sobre a demanda do bem 1 é igual à 
, o qual se decompõe no efeito substituiçao 
 e no efeitorenda:
0
1
1
1 xx −
( 011 xx
s − ) : )1sx−
 
Deste modo o efeito total será: =− 0111 xx +− )( 011 xxs )( 111 sxx − . 
 
Face ao aumento no preço do bem, se o consumidor 
pudesse manter o mesmo nível de utilidade fruído na 
situação inicial, ele substituiria o bem 1 pelo bem 2, 
que se tornou relativamente mais barato, reduzindo a 
demanda do bem 1 de )( 1x
s unidades. 0
1x−
 
Por outro lado, como o bem 1 é um bem normal, o 
efeito renda é negativo: o aumento no preço reduz a 
renda real do consumidor . 
 
Esta redução no poder de compra da sua renda R , 
por sua vez, reduz ainda mais a demanda do bem, em 
 unidades adicionais. )( 1
1
1
sxx −
 
Por isso é que, em 0x , a curva de demanda 
Marshalliana intersecta a demanda Hicksiana 
 por baixo. 
)(1 Rx ,p
),(1 upx
h
 
 
A Figura 2b abaixo descreve a mesma situação no 
caso em que o bem é um bem inferior. 
 15
 
 
 
Fig.2b: Caso de um bem Inferior 
 
 
x1
x2
x1
x0
x1
x10x11x1s
$
Efeitos Substituicao e Renda. 1 é um bem Inferior
p10
p11
X1h(p,u)
X1(p,R)
u
0 
 
Na figura 2b, com o aumento no preço do bem 1 de 
 para , a mudança no preço relativo levou o 
consumidor à nova cesta ótima 
0
1p
1
1p
1x , onde unidades 
do bem 1 são adquiridas. 
1
1x
 
O efeito total sobre a demanda do bem 1 é igual à 
, o qual se decompõe no efeito substituição 
 e no efeito renda 
0
1
1
1 xx −
( 011 xx
s − ) )( 111 sxx − . 
 
O primeiro efeito é sempre não positivo, como vimos 
anteriormente. O encarecimento relativo do bem 1 
 16
gera um expressivo efeito substituição do bem 1 pelo 
bem 2. 
 
Caso o consumidor pudesse manter seu nível de bem 
estar constante, ele reduziria as quantidades 
demandadas do bem 1 em )( 011 xx
s − unidades. 
 
Note que aqui, o bem 1 é um bem inferior, de modo 
que o efeito renda é positivo: a redução na renda real 
do consumidor leva ele a aumentar as quantidades 
consumidas deste bem em )( 1
1
1
sxx − unidades. 
 
Deste modo, em 0x , a curva de demanda Marshalliana 
 intersecta a demanda Hicksiana por 
cima. 
),(1 Rpx ),(1 upx
h
 
Observe também que, no caso de um bem inferior, a 
demanda Hicksiana é decrescente no nível da 
utilidade u. 
 
Isto significa que, se o bem é inferior, para um dado 
vetor de preços, pode-se alcançar um nível de bem 
estar superior demandando menos deste bem. 
 
 
Bens de Giffen 
 
No século XIX, o economista inglês Robert Giffen 
observou, num certo período, que a medida que o 
preço da batata subia, os consumidores irlandeses, 
demandavam mais deste produto. 
 
Isto ocorria não apenas porque a batata era um bem 
inferior, mas também porque ela fazia parte dos 
hábitos de consumo das familias, de modo que o 
dispêndio com ela representava uma parcela 
significativa da renda dos consumidores. 
 
Deste modo, o aumento no seu preço reduzia 
substancialmente a renda real dos consumidores. 
 
Estes eram entao forçados a reduzir o consumo de 
outros bens de luxo para adquirir mais batatas. 
 
 17
A moderna teoria microeconômica explica hoje o 
aparente paradoxo dos tempos de Giffen, através da 
equação de Slutsky. 
 
Entre os bens inferiores, é possível que haja algum 
bem cuja variação no preço impacte sobre a sua 
demanda com um efeito renda positivo tão forte que 
supere em magnitude o efeito substituição. 
 
Neste caso, um aumento no preço deste bem 
produzirá o efeito paradoxal de aumentar a sua 
demanda. Este é um bem de Giffen. 
 
A Figura 2c abaixo ilustra o caso de um efeito renda 
positivo e maior que o efeito substituição (modular). 
 
 
Fig.2c: Caso de um bem inferior: bem de Giffen 
 
 
x1
x2
x1
x0
x1
$
p10
p11
x10x1s x11
R/p10R/p11
u
X1(p,R)
X1h(p,u)
0
Efeitos Substituiçao e Renda. 
1 é um bem de Giffen
 
 18
 
 
 
Imagine que o bem 1 seja a batata irlandesa e 2 o 
chocolate (um bem de luxo no sec.XIX !). 
 
Antes do aumento no preço da batata, o consumidor 
demanda a cesta 0x , no consumo da qual obtém 
satisfação . Esta cesta contém unidades de 
batatas. 
u 01x
 
Após o aumento no preço da batata, o consumidor 
escolhe a cesta 1x , que contém unidades do 
produto, quantidades estas maiores do que 
anteriormente. 
1
1x
 
O novo equilíbrio contém também quantidades bem 
menores de chocolate, o bem de luxo, cujo consumo 
foi sacrificado em razão da expressiva redução na 
renda real do consumidor. 
 
Neste novo equilíbrio, o consumidor está em um 
nível de bem estar abaixo daquele que ele usufruía 
anteriormente ( u ). 
 
 
6. A Lei da Demanda 
 
A negatividade do efeito de substituição nos garante 
que a função de demanda Hicksiana de um bem é 
não crescente no seu preço. 
 
Portanto, demandas negativamente inclinadas com 
relação ao seu próprio preço é uma propriedade 
garantida apenas para as demandas Hicksianas. 
 
Vimos acima que esta propriedade não está 
assegurada para as demandas Marshallianas. 
 
O caso de um bem de Giffen mostra justamente que a 
demanda Marshalliana pode até mesmo ser crescente 
no preço do próprio bem. 
 
 19
Entretanto, a equação de Slutsky nos permite 
discriminar as situações em que o decrescimento da 
demanda Marshalliana com relação ao próprio preço 
deve ocorrer: o caso dos bens normais. 
 
Com efeito, no caso dos bens normais, diante de um 
aumento no preço do próprio bem, ao efeito 
substituição negativo, que retrai a demanda, se soma 
um efeito renda também negativo, de sorte que o 
efeito total, dado pela variação na margem da 
demanda Marshalliana, será necessáriamente 
negativo. 
 
Por outro lado, a equação de Slutsky nos permite 
também afirmar que se a demanda Marshalliana de 
um bem for crescente no seu próprio preço, entao 
este bem é necessáriamente um bem inferior. 
 
Isto ocorre porque, neste caso, o aumento no preço 
do bem terá gerado um efeito renda positivo sobre a 
sua demanda. 
 
Temos assim o que se convencionou chamar na 
literatura a Lei da Demanda, relacionada à demanda 
Marshalliana: 
 
 
Lei da Demanda 
 
(i) O aumento no preço de um bem normal provoca 
uma redução nas suas quantidades demandadas; 
 
(ii) Se o aumento no preço do bem provoca um 
aumento nas suas quantidades demandadas, entao 
este é um bem inferior. 
 
 
Propriedades adicionais da demanda Hicksiana 
 
 
Além do não crescimento com relação ao próprio 
preço, as funções de demanda Hicksianas 
 exibem as seguintes propriedades adicionais: 
),( upxhi
ni ,...,1=
 
 20
 
1. Homogeneidade de grau 0 com relação ao vetor de 
preços: 
 
 0;),(),( >∀= tupxutpx hihl 
 
A prova desta propriedade é uma conseqüência direta 
da homogeneidade linear da função despesa com 
relação ao vetor de preços :p ),(),( upteutpe = . 
 
Usando então a relação da dualidade 3. vem: 
 
 ),()),(,()),(,()),(,(),( upxupepxuptetpxutpetpxutpx hiiii
h
i ==== . 
 
Na penúltima igualdade, usamos a homogeneidade de 
grau 0 da demanda Marshalliana. 
 
Esta propriedade garante que a demanda Hicksiana de 
cada bem ficará inalterada se todos os preços 
variarem na mesma proporção. 
 
Isto ocorre porque o consumidor que minimiza a 
despesa para um dado nível de bem estar, só altera 
sua demanda se houver mudança nos preços relativos. 
 
Um aumento proporcional em todos os preços não 
altera os preços relativos, de modo que a demanda 
ótima do consumidor que minimiza a despesa ficará 
inalterada. 
 
Apenas o custo da sua cesta aumentará, na mesma 
proporção. 
 
 
2. Simetria dos efeitos de substituição 
 
 Se a função despesa é diferenciável até a segunda 
ordem, com derivadas contínuas, entao vale o 
teorema de Young: nji
pp
upe
pp
upe
ijji
,...1,;),(*),(22
=∂∂
∂=∂∂
∂ , de 
modo que, pelo lema de Shephard temos: 
 
 21
 nji
p
upx
p
upx
i
h
j
j
h
i ,...1,;
),(),( =∂
∂=∂
∂ 
 
A simetria dos efeitos substituição, é um propriedade 
técnica, relacionada às propriedades da função 
despesa. 
 
Todavia, é possível mostrar que ela está intimamente 
relacionada ao axioma da transitividade da relação 
de preferências do consumidor racional. 
 
Isto é, ela é uma conseqüência da hipótese de 
consistência (ou coerência) das escolhas do 
consumidor. 
 
 
 
 
3. Definição negativa da matriz de Slutsky 
 
 A matriz de Slutsky, notada ),( upS , é a matrix de 
ordem com elemento típico n ),( ji dado pelo efeito 
substituiçao cruzado, do preço do bem j sobre a 
demanda Hicksiana do bem . i
 
Ora, pelo lema de Shephard devemos ter: 
 
 
 ≡),( upS ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂
∂
j
h
l
p
upx ),( 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂∂
∂=
ij pp
upe ),(2 ; nji ,...,1, = . 
 
 
O termo à direita não é outra coisa que a matriz 
Hessiana da funçao despesa, a qual é côncava em p , 
como vimos anteriormente. 
 
Logo, ),( upS é necessáriamente uma matriz definida 
negativa. 
 
 
 
 22
 
Demandas Hicksianas e Preferências Homotéticas 
 
 
Na seção 3 vimos que se ))(()( xUFxu = , onde é uma 
funcao monotonica crescente e 
F
U é homogênea 
linear, teremos )1,p()(),( 00 euupe φ= , onde 
)1(/)()( 10
1
0
−−= FuFuφ é uma função crescente dos níveis 
de bem estar . 
0u
 
Neste caso, é fácil verificar que a igualdade acima 
implica: )1,()(.)1,()(),(. 000 pxuppeuupxp
hh φφ == , de modo que 
teremos, necessáriamente: 
 
 
 )1,()(),( 00 pxuupx
hh φ= 
 
 
 
Um exemplo: Utilidade CES 
 
 
Para 2 bens, a utilidade CES (Constant Elasticity of 
Substitution) é definida por: 
 
 10;)(),( /12121 <≠+= ρρρρ xxxxu 
 
Ela representa preferências homotéticas, estritamente 
monotônicas e estritamente convexas. 
 
Na Aula 2 obtivemos as demandas Marshallianas, 
 
R
p
ppRppx
)1/(1
1
21
,211 ),,(
ρρρ −
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ += e R
p
ppRppx
)1/(1
2
21
,212 ),,(
ρρρ −
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ += 
 
Com a parametrização )1/(01 θθρρρθ +=⇔>−≡ , 
podemos escrever estas demandas como: 
 
 23
Rpp
p
Rpx
)1(
1
12
1
1 )/(1
1),(
θ
θ
θ +
+ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += e Rpp
p
Rpx
)1(
1
21
2
2 )/(1
1),(
θ
θ
θ +
+ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += 
 
 
e a utilidade indireta: 
 
 [ ] RppRpv θθθ /121),( −− += 
 
 
Vamos agora obter a função despesa e as demandas 
Hicksianas usando as relações da dualidade 1.-4., isto 
é, sem necessidade de efetuar a minimização 
condicionada do custo. 
 
 
a) Função Despesa: 
 
Pela relação da dualidade 2.: uupepv =)),(,( temos: 
 [ ] ⇒=+= −− uupeppupepv ),()),(,( /121 θθθ [ ] uppupe θθθ /121`),( −−− += . 
 
 
b) Demandas Hicksianas: 
 
Podemos usar a relação da dualidade 3.: 
, ou então, mais fácilmente, 
usando o lema de Shephard: 
)),(,(),( upepxupx i
h
i =
2,1;),(),( =∂
∂≡ i
p
upeupx
i
h
i
. 
 
Usando este último atalho, obtemos: 
 
 
 e [ ] uppupxh θθθ /)1(211 )/(1),( +−+= [ ] uppupxh θθθ /)1(122 )/(1),( +−+= 
 
 
A partir destas expressões, podemos checar a 
validade da equação de Slutsky. 
 
Isto será feito explicitamente nos casos estilizados 
apresentados à seguir. 
 
 24
 
 
 
7. Outros exemplos 
 
 
Vamos calcular a função despesa e as demandas 
Hicksianas, assim que checar a relação de Slutsky 
nos 4 exemplos estilizados das duas aulas anteriores. 
 
 
a) Cobb-Douglas 
 
 0,,0,),( 2121 >>= βαβα AxAxxxu 
 
Esta é uma função estritamente crescente e côncava, 
gerando uma curva de indiferença estritamente 
convexa. Os bens são substitutos imperfeitos. 
 
Lembremos que as demandas Marshallianas são: 
 
 
11 /),( pRRpx βα
α
+=
 e 
22 /),( pRRpx βα
β
+=
 
 
 
E a utilidade indireta é: 
 
 βα
βα
βαβα
βα
β
βα
α
21
21 )()(),(),(),( pp
RARpxRpAxRpv
+
++=≡
 
 
Pela relação da dualidade 2.: uupepv =)),(,( temos: 
 
 
⇒=++=
+
u
pp
upeAupepv βα
βα
βα
βα
β
βα
α
21
),()()()),(,( 
 
βαβα
β
βα
α
+++=
1
21),( upBpupe , onde 
βαβα
βα
β
βα
α +−
++≡
1
})()({AB 
 
 
 
 25
Obtermos agora as demandas Hicksianas usando o 
lema de Shephard: 2,1;),(),( =∂
∂≡ i
p
upeupx
i
h
i
 
 
Derivando a função despesa obtemos: 
 
 
βαβα
β
βα
α ++
+=
1
121 )/(),( uppBupx
h e βαβα
α
βα
β ++
+=
1
212 )/(),( uppBupx
h 
 
 
 
 b)Utilidade linear 
 
 0,),( 2121 >+= axaxxxu 
 
Esta é uma função linear, gerando uma curva de 
indiferença linear convexa. Os dois bens são 
substitutos perfeitos. 
 
Para as demandas Marshallianas, vimos na aula 2 que 
se qualquer cesta verificando a 
equação é uma cesta de equilibrio. 
21 app = ),(* *2*1 xxx =
2
*
2
*
1 / pRxax =+
 
 Se 
2
1
p
pa > , o consumidor gasta toda sua renda em 1: 
 e =),(1 Rpx 1/ pR 0),(2 =Rpx ; 
 
b) Se 
2
1
p
pa < , ele gasta tudo no bem 2: 
 e 0),(1 =Rpx 22 /),( pRRpx = . 
 
 
Vimos também que a utilidade indireta é: 
 
 RppaRpv )/1,/max(),( 21=
 
 
Usando a relação da dualidade 2. obtemos a função 
despesa: 
 26
 
 
)/1,/max(
),(
21 ppa
uupe = 
 
 
Para obtermos as demandas Hicksianas, não podemos 
aqui usar o lema de Shephard como antes, pois a 
utilidade linear não é estritamente quase côncava. 
 
Para isso, usaremos a relação da dualidade 3., 
. )),(,(),( upepxupx i
h
i =
 
Obtemos entáo: 
 
Se 
2
1
p
pa > , e auupxh /),(1 = 0),(2 =upxh ; 
 
Se 
2
1
p
pa < , e 0),(1 =upxh uupxh =),(2 . 
 
Se 
2
1
p
pa = qualquer combinação linear convexa das 
duas cestas acima será uma cesta de equilíbrio, pois 
terá o mesmo custo. 
 
Com efeito, para 10 ≤≤ α teremos: 
 
),(),()1(),()1()/( 21 upeupeupeuppau =−+=−+ αααα . 
 
Note que a função despesa não é derivável ao longo 
da reta , de modo que a relação de Slutsky não 
é válida ao longo da reta. 
app /12 =
 
Fora da reta, para ambos os bens, o efeito 
substituição é nulo, de modo que os efeitos total e 
renda coincidem. 
 
 
 
 
 
 27
 
 c) Utilidade Leontieff 
 
 
 0,},min{),( 2121 >= axaxxxu
 
 
A função de utilidade é côncava, crescente, mas não 
estritamente. Os dois bens são complementares 
perfeitos. 
 
Vimos na aula 2 que as demandas Marshallianas são: 
 
 
 
21
1 ),( app
RRpx +=
 e 
21
2 ),( app
aRRpx +=
 
 
E a utilidade indireta é: 
21
),(
app
aRRpv +=
. 
Usando a relação da dualidade 2. obtemos a função 
despesa: 
 upapupe )/(),( 21 += 
 
Para obter as demandas Hicksianas, podemos usar 
tanto a relação de dualidade 3. quanto o lema de 
Shephard. Por uma via ou outra obtemos: 
 
 e auupxh /),(1 = uupxh =),(2 
 
Não é surpreendente que, para ambos os bens, o 
efeito substituiçao é nulo, de modo que os efeitos 
total e renda coincidem. 
 
 
 
d) Utilidade Max 
 
 0,},max{),( 2121 >= axaxxxu
 
Trata-se de uma função convexa, crescente mas não 
estritamente. Os bens são excludentes. 
 
 28
As soluções deste caso são em tudo idênticas ao caso 
b) da utilidade linear, exceto para o caso em que 
2
1
p
pa = . 
Para as demandas Marshallianas, vimos que, 
se 
2
10
/ p
pa
au
u
o
>=temos: =),(1 Rpx 1/ pR e 0),(2 =Rpx 
 
Se 
2
10
/ p
pa
au
u
o
<= temos: 0),(1 =Rpx e 22 /),( pRRpx =
 
Se 
2
10
/ p
pa
au
u
o
== , o consumidor demandará 
indiferentemente, ou o bem 1 ou o bem 2 mas ele não 
demandará qualquer combinação convexa das duas 
cestas, como no caso linear. 
 
A utilidade indireta é RppaRpv )/1,/max(),( 21= . 
 
a qual é idêntica aquela obtida no caso b) dos bens 
substitutos perfeitos. 
 
A função despesa é: 
)/1,/max(
),(
21 ppa
uupe = . 
 
As demandas Hicksianas são : 
 
Se 
2
1
p
pa > , e auupxh /),(1 = 0),(2 =upxh ; 
 
Se 
2
1
p
pa < , e 0),(1 =upxh uupxh =),(2 . 
 
Se 
2
1
p
pa = o consumidor demandará )0,/( au com 
probabilidade 1 e com probabilidade 0 ou ),0( u
)0,/( au com probabilidade 0 e com 
probabilidade 1. 
), u0(
 29
 
 
Exercício: Calcule as demandas Marshallianas e 
Hicksianas dos dois bens, no caso de preferências 
quase lineares, sendo 2 o bem numerário. 
 
 0;ln),( 1221 >+= axaxxxu 
 
O que dizer dos efeitos substituiçao e efeitos renda ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30
 
8. Bibliografia e Exercícios sugeridos 
 
 
Bibliografia: 
 
[SN] Cap. 4 ; Cap.5 
[N] Cap. 4; Cap.5 
[VO] Cap. 6, Cap.7; Cap.8 
[PR] Cap.4; 
[JR] Sec.1.4; Sec.1.5. 
 
 
 
Exercícios Sugeridos. 
 
Anpec: 2012/ Q02,Q03,Q11; 
 2011/ Q01, Q02, Q06 ; 
 2010/ Q02; Q03 
 2009/ Q02; 
 2008/ Q02 
 
 
[SN]: 4.1/ 5.2/5.7; 
 5.12/ 5.13. (Analytical)