ANPEC AULA 4. Bem Estar do Consumidor

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1
AULA 4: BEM ESTAR DO CONSUMIDOR 
 
 
 
1. Excedente do Consumidor; 
2. Variação Equivalente e Variação Compensada; 
3. Índices Desejáveis de Preços; 
 4. Indices Usuais de Preços e Quantidades; 
 5. Exemplos; 
 6. Bibliografia e Exercícios sugeridos. 
 
 
 
 
1. O Excedente do Consumidor 
 
 
 
O excedente do consumidor é uma medida monetária 
do ganho obtido pelo consumidor ao adquirir uma ou 
mais unidades de um determinado bem. 
 
A medida deste ganho leva em conta a diferença 
entre o valor que o consumidor atribui ao objeto 
adquirido e o preço que ele efetivamente paga por 
ele. 
 
Considere a Figura 1 abaixo. 
 
Suponha que seja a valoração que o consumidor dá 
à posse da primeira unidade do objeto e que seja o 
preço que efetivamente ele pagará por esta unidade. 
0p
1p
 
O valor é também chamado preço de reserva do 
consumidor. 
0p
 
Uma medida do excedente que ele auferirá ao 
adquirir esta unidade é dada pelo triângulo . 
10app
 
O consumidor tem utilidade marginal decrescente no 
consumo deste bem, de modo que o valor que ele 
 2
atribuirá à posse de uma segunda unidade do bem 
será menor, digamos, 
01 pp < . 
 
 
Fig.1: Formação do Excedente do Consumidor 
 
 
p0
p1
p2
pe
1 2 xe
a
bc
d e f
0
Excedente do Consumidor
D
quantidades
$
 
 
 
Suponha que ao adquirir duas unidades do objeto, ele 
pague por ambas o preço . 
2p
 
Deste modo, ele auferirá um ganho igual à área do 
trapézio para a primeira unidade, mais o ganho 
igual à área do triangulo correspondente à 
segunda unidade. 
20acpp
abc
 
Assim, o excedente total do consumidor que adquire 
duas unidades será dada pela área do triangulo . 
20bpp
 
Podemos generalizar este resultado, concluindo que 
se o consumidor adquirir unidades do bem, ao 
ex
 3
preço por unidade, seu excedente total será dado 
pelo triangulo hachurado . 
ep
ep
), Ri
efpp0
p−
∫ 0 (pp ie x
 
Isto ocorre porque o ofertante não discrimina as 
unidades vendidas diferenciando o preço de cada 
unidade, mas vende todas as unidades ao mesmo 
preço cada uma. 
ex
 
De um modo geral, medimos o excedente do 
consumidor pela área acima do preço pago e abaixo 
da curva de demanda, até o número de unidades 
adquiridas. 
 
 
Excedente Marshalliano 
 
Em ordem com a maneira descrita acima para 
mensurar o execedente do consumidor, suponha que 
 seja a demanda Marshalliana do 
consumidor pelo bem i e o vetor de preços dos 
outros bens (excluído ). 
,( ppx ii −
i
ip
 
Se o bem i é vendido ao preço e o preço de reserva 
da primeira unidade é , o excedente do consumidor 
será: 
ep
0p
 
 
 −≡ ),,);( 0 iei dpRppppCS
 
 
 
Variação do preço e bem estar do consumidor 
 
 
Suponha que o preço do bem suba de para . 
ep epp >1
 
Podemos calcular a perda de bem estar do 
consumidor, usando a diferença entre o seu excedente 
depois e antes deste aumento: 
 
 4
 
 ),;(),;();( 11 RppCSRppCSppCS ieiiiei −− −≡Δ 
 
Usando então a definiçao acima do excedente, vem: 
 
 
∫ ∫∫ −−− =−≡Δ 0
1
0
1
),;(),;(),,();( 1
p
p
p
p iiii
p
p iiei e
e dpRppxdpRppxdpRppxppCS 
 
Óbviamente, esta variação será aqui negativa, pois o 
aumento do preço reduz o excedente do consumidor. 
 
Ela será positiva no caso de uma redução no preço 
isto é, se . 
epp <1
 
Exemplo: 
 
No caso Cobb-Douglas com 2 bens e 1=+ βα , vimos 
na Aula 2 que a demanda Marshalliana do bem 1 é: 
1/ pRα . Deste modo, se o preço do bem passa de à 
 a variação no bem estar do consumidor será: 
0
1p
1
1p
 )ln(ln)/();( 11
0
1
0
1
1
11
0
1
1
1
ppRdppRppCS p
p
−=≡Δ ∫ αα
 
Ou: 
 )/ln();( 11
0
1
0
1
1
11 ppRppCS α=Δ 
 
Vemos então que o bem estar do consumidor aumenta 
se o preço do bem diminuiu ( 0
1
1
1 pp < ), diminui se o 
preço do bem aumentou ( ) e permanece 
inalterado se não houve variação no preço ( ). 
0
1
1
1 pp >
0
1
1
1 pp =
 
A Figura 2 abaixo ilustra a perda de bem-estar no 
consumo do bem 1, decorrente da elevação no preço 
do bem 1, perda esta que se amplia com o aumento da 
diferença entre o novo preço e o preço inicial. 
 
 
 
 
 
 
 5
Fig.2: Variação do Excedente do Consumidor 
 
 
p10
p11
x1
$
ΔCS
Perda de bem estar com aumento do preço
x1(p1 ;p-1,R)
 
 
 
Deslocamentos da demanda e Excedente 
 
O consumidor pode sofrer ganhos ou perdas indiretas 
no seu excedente em razão de deslocamentos na sua 
curva de demanda. 
 
Estes deslocamentos podem ser ocasionados por 
variações na sua renda R ou por variações nos preços 
de um outro bem. 
 
O exemplo abaixo descreve esta última situação no 
caso de dois bens complementares perfeitos, no qual 
uma queda no preço do bem 2 afeta positivamente a 
demanda do bem 1, deslocando-a para a direita. 
 
 
 
 
 
 
 6
Exemplo: 
 
Vimos na Aula 2 que se a utilidade é a 
demanda Marshalliana pelo bem 1 é 
},min{ 21 xax
21 ap
R
+
ax =1
p
 a qual 
cresce com a diminuição de , pois os bens sempre 
são demandados em proporções fixas: . 
2p
x2 /
 
Suponha agora que o preço do bem 2 diminua de 0
2p
para , com . 1
2p
1
2
0
2 pp >
 
 
Qual será o ganho de bem estar do consumidor no 
consumo do bem 1, quando o seu preço vigente é e 
o seu preço de reserva ? 
1
1p
rp1
 
 
),;,(),;,( 021
1
11
1
21
1
111 RpppCSRpppCSCS
rr −≡Δ 
 
ou 
 
dpRppxdpRppxCS
rr p
p
p
p
),;(),;( 021
1
211
1
1
1
1
1
1
∫∫ −=Δ (1) 
 
 
Substituindo em (1) a função de demanda acima: 
 
 
dp
app
Rdp
app
RCS
rr p
p
p
p ∫∫ +−+=Δ
1
1
1
1
1
1 0
2
1
2
1
 
 
 )ln()ln(
0
2
1
1
0
21
1
2
1
1
1
21
app
appR
app
appR
rr
+
+−+
+= 
 
 
 
O ganho em bem estar expresso em (1) é representado 
na Figura 3 abaixo: 
 
 
 7
 
Fig.3: Excedente do Consumidor e Deslocamento da 
 Demanda 
 
 
p11
p1r
x1
$
ΔCS
Ganho de bem estar no consumo do bem 1 
com a reduçao no preço do bem 2
x1(p ;p20,R)
x1(p ; p21,R)
0
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Variação Equivalente e Variação 
Compensada 
 
 
Duas outras medidas monetárias da mudança no bem 
estar obtido no consumo de um bem, que se origina 
na variação do preço deste bem, foram introduzidas 
na literatura microeconômica por J.Hicks(1939, 
1956): a Variação Equivalente (VE) e a Variação 
Compensada (VC). 
 
 8
Ambas envolvem a demanda Hicksiana. 
ariação da renda e mudança no bem estar 
 
 
 
V
 
 
Considere a situação em que o consumidor tem uma 
renda fixa R e alca a o nível nç de utilidade quando 
 Isto é: 
 
 
0u
o vetor de preços é 0p .
 ),( 00 Rpvu = (2a) 
nde
 
o v é a utilidade indireta. 
esma renda, a ance o nível de utilidade . 
 
 
Com o vetor de preços 1p , suponha que o consumidor, 
com a m lc
1u
Isto é: 
 (2b) ),( 11 Rpvu =
 
Então, se o vetor de preços for p , qual é o acréscimo 
de renda que o con umidor necessitará para p ssas a r do 
ível de utilidade ? 
sta renda adicional será dada por: 
 
n 
0u para o nível de utilidade 1u
 
E
 
 ),(),()( 01 upeupepW −=Δ (3) 
O
 
nde ),( upe é a renda necessár a pai ra obter a utilidade 
 quando o vetor de preços é u p . 
ima e 
 da dualidade 1. da Aula 3, temos: 
 
 
Observe que pelas duas identidades (2a,b) ac
pelarelação
 
 Rupeupe == ),(),( 0011 (4) 
 
 
 
 
 
 
 9
a) Variação Equivalente 
 
ção da renda (3) e chame isto 
ariação equivalente: 
 
 
Coloque 0pp = na varia
v
 
 
 ),(),()();( 0
0
1
0001 upeupepWppVE −=Δ≡ 
 
 
ou, usando a segunda identidade de (4): 
 
 
 
 RupeppVE −= ),();( 1001 (5a) 
u ainda, usando a primeira identidade de (4): 
 
 
 
o
 
 
 ),(),();( 1
1
1
001 upeupeppVE −= (5b) 
star que ele alcançaria após a mudança nos preços. 
a economia, 
onsideramos os dois exemplos abaixo: 
ste aumento de salário é uma Variaçao 
quivalente. 
 
 
Vemos assim que a Variação Equivalente é a renda 
adicional necessária para que o consumidor obtenha 
hoje, quando os preços são 0p , o mesmo nível de bem 
e
 
Como forma de aplicar o conceito da Variação 
Equivalente a situações concretas d
c
 
1. Custo de oportunidade do emprego: João 
conseguiu concluir sua tese de Mestrado em Economia 
exercendo a posição de analista de risco em um banco de 
investimentos. Agora, com o diploma de Mestre, novas e 
melhores oportunidades de emprego se abrem no mercado 
de trabalho. Qual deverá ser o aumento salarial que o 
banco oferecerá a João para que ele continue no <mesmo 
emprego ? E
E
 
2. Custos da proteção ambiental: Uma firma explora 
uma mina de calcário que ela utiliza como insumo para a 
 10
fabricação de corretivos e fertilizantes agrícolas. A firma 
planeja construir uma ferrovia entre a jazida e a fábrica, a 
qual encurtará a distancia hoje percorrida, e lhe permitirá 
reduzir substancialmente seu custo de produção. Ela já 
provisionou os recursos para realizar esta obra. 
Entretanto, a ferrovia deverá passar por uma área 
florestal que o Governo deseja preservar. Qual o valor 
monetário que a firma deveria receber do Governo para 
ficar indiferente entre realizar e não realizar o projeto ? 
ste valor é uma Variação Equivalente. 
rmulas 
teis para se calcular a variação equivalente: 
or (5a) temos: 
E
 
 
As expressões (5a) e (5b) ensejam duas fó
ú
 
 
P ),( 1
0 upeVER =+ ou, 
 
 ou ainda, usando a relação da 
ualidade 2. da Aula 3: 
 
v )),(,(),( 1
000 upepvVERp =+
 
d
 
 
 
1
0 ),( uVERpv =+ (5c) 
a
 de demanda Hicksiana de nível 
ara qualquer bem
 
 
Usando o lema de Shephard da Aula 3, podemos 
expressar também a Variação Equivalente pel 
integral sob a curva
1u 
p :,...,1 ni = 
 
 
i
p
p
i
dp
p
upeppVE ∫ ∂
∂= 01 ),();( 101 
u, usando Shephard: 
 
 
o
 
 
 
i
p
p
h
i dpupxppVE ∫= 01 ),();( 101 ni ,...,1= (5d) 
 
 
 
 11
A Figura 4, obtida no caso de 2 bens substitutos 
imperfeitos, ilustra gráficamente as relações (5c), no 
gráfico superior, e (5d), no gráfico inferior. 
 
 
Supõe-se uma queda no preço do bem 1 , e que 
o preço do bem 2 fica constante igual à 1: . 
0
1
1
1 pp <
1
2 = pp 102 =
 
 
Fig.4: Variação Equivalente: Redução do preço. 
 
 
x1
x1
p1u1
u0
x2
$
p10
p11
p0
x1(p,R)
x1h(p,u1)
x10 x11x1s
VE
R
R+VE
VARIAÇAO EQUIVALENTE: 1 bem normal
VE
x0
x1
 
 
No gráfico superior da figura acima, o consumidor 
gasta toda sua renda R na compra da cesta 
sendo o vetor de preços 
),( 02
0
1
0 xxx =
).,( 02
0
1
0 ppp = 
 
 12
Com o consumo desta cesta 0x , ele alcança o nível de 
bem estar . 
0u
 
Com a queda no preço do bem 1, o novo vetor de 
preços é , o conjunto de consumo factível 
do consumidor se expande e ele gasta agora toda a 
sua renda 
),( 02
1
1
1 ppp =
R na compra da cesta ),( 12
1
1
1 xxx = . 
 
Com o consumo desta cesta, ele alcança um nível de 
bem estar mais elevado, . 
01 uu >
 
A renda adicional que o consumidor precisa para 
alcançar este nível de bem estar mais elevado , 
antes que o preço do bem 1 diminua, é a Variação 
Equivalente (VE). 
1u
 
No gráfico superior, VE é medida pela distancia 
entre a reta paralela à reta inicial, mas tangente à 
curva de indiferença de nível , e a reta 
orçamentária inicial. 
1u
 
No eixo das ordenadas do gráfico superior, temos 
, que é a equação (5a) ou, sua 
equivalente, (5c). 
RupeVE −= ),( 10
 
No gráfico inferior, representamos as curvas de 
demanda Marshalliana e Hicksiana pelo bem 1. Como 
o bem 1 é um bem normal, no ponto a segunda 
curva intersecta a primeira “por cima”. 
),( 11
1
1 px
 
De acordo com a fórmula (5d), a Variação 
Equivalente é representada pela área abaixo da 
demanda Hicksiana pelo bem 1, entre os preços e 
. 
1
1p
0
1p
 
Observe que, sendo 1 um bem normal, VE é um valor 
nunca menor que a variação do excedente do 
consumidor, definido anteriormente: VECS ≤Δ 1 . 
 
 13
Obs.: Se 1 fosse um bem inferior, a Variação 
Equivalente seria menor que a Variação do 
Excedente Marshalliano. Por que ? 
 
 
 
 
b) Variação Compensada 
 
 
Coloque na variação da renda (3) e chame isto 
variação compensada: 
1pp =
 
 
 ),(),()();( 0
1
1
1101 upeupepWppVC −=Δ≡ 
 
 
ou, usando a primeira identidade de (4): 
 
 
 (6a) ),();( 0
101 upeRppVC −=
 
 
ou ainda, usando a segunda identidade de (4): 
 
 
 ),(),();( 0
1
0
001 upeupeppVC −= (6b) 
 
 
Vemos assim que a Variação Compensada é a renda 
adicional necessária para que, após a mudança nos 
preços, o consumidor mantenha o mesmo nível de 
bem estar inicial. 
 
Como forma de aplicar o conceito da Variação 
Compensada a situações concretas da economia, 
consideramos as seguintes situações: 
 
1. Mudança nas condiçoes de trabalho: João é 
gerente de um banco comercial no Rio de Janeiro. Agora, 
o banco abriu uma primeira agencia no Amapá e precisa 
dos serviços de João para gerenciar a nova filial. Qual 
deverá ser o salário adicional que o banco oferecerá a 
 14
João para que ele seja compensado pelos transtornos que 
lhe causarão esta mudança ? O aumento de salário é uma 
Variaçao Compensada. 
 
2. Compensação por danos ambientais: Os 
vazamentos de óleo provenientes de um navio petroleiro 
poluem as águas de uma enseada, com elevados danos à 
atividade pesqueira na área. Qual o valor monetário que a 
companhia de navegação deverá pagar aos pescadores de 
modo a ressarci-los do prejuízo causado à sua atividade ? 
Este valor é uma Variação Compensada. 
 
 
As expressões (6a) e (6b) ensejam duas fórmulas 
úteis para se calcular a variação equivalente: 
 
 
Por (6a) temos: ),( 0
1 upeVCR =− ou, 
 
)),(,(),( 0
111 upepvVCRpv =− ou ainda, usando a relação da 
 
dualidade 2. da Aula 3: 
 
 
 
0
1 ),( uVCRpv =− (6c) 
 
 
Usando o lema de Shephard da Aula 3, podemos 
expressar também a Variação Compensada pela 
integral sob a curva de demanda Hicksiana de nível 
para qualquer bem 
0u
:,...,1 ni = 
 
 
i
p
p
i
dp
p
upeppVC ∫ ∂
∂= 01 ),();( 001 
 
ou, usando o lema de Shephard: 
 
 
 
i
p
p
h
i dpupxppVE ∫= 01 ),();( 001 ni ,...,1= (6d) 
 
 15
A Figura 5, obtida no caso de 2 bens substitutos 
imperfeitos, ilustra gráficamente as relações (6c), no 
gráfico superior, e (6d), no gráfico inferior. 
 
Como anteriormente, supõe-se uma queda no preço 
do bem 1 , e que o preço do bem 2 fica 
constante igual à 1: 
0
1
1
1 pp <
102
1
2 == pp . 
 
 
Fig.5: Variação Compensada: Redução do preço. 
 
 
x1
x1
p1u1
u0
x2
$
p10
p11
p0
x1(p,R)x1h(p,u1)
x10 x11x1s
VC
R
VC
x0
x1
VARIAÇAO COMPENSADA: 1 bem normal
R-VC
X1h(p,u0)
 
 
No gráfico superior, o consumidor gasta toda sua 
renda R na compra da cesta ),( 02
0
1
0 xxx = sendo o vetor de 
preços ).,( 02
0
1
0 pp=p
 
 16
Como anteriormente, com o consumo desta cesta 0x , 
ele alcança o nível de bem estar . 
0u
 
Com a queda no preço do bem 1, o novo vetor de 
preços é , o conjunto de consumo factível 
do consumidor se expande e ele gasta agora toda a 
sua renda 
),( 02
1
1
1 ppp =
R na compra da cesta ),( 12
1
1
1 xxx = . 
 
Com o consumo desta cesta, ele alcança um nível de 
bem estar mais elevado, . 
01 uu >
 
A renda adicional que o consumidor precisa para, 
com os novos preços, manter o mesmo nível de bem 
estar anterior , é a Variação Compensada (VC). 
0u
 
No gráfico superior, VC é medida pela distancia 
entre a reta paralela à nova reta orçamentária, mas 
tangente à mesma curva de indiferença de nível , e 
a nova reta orçamentária. 
0u
 
No eixo das ordenadas do gráfico superior, temos 
, que é a equação (6a) ou, sua 
equivalente, (6c). 
),( 0
1 upeRVC −=
 
No gráfico inferior, representamos as curvas de 
demanda Marshalliana e Hicksiana pelo bem 1. Como 
o bem 1 é um bem normal, no ponto a segunda 
curva intersecta a primeira “por cima”. 
),( 11
1
1 px
 
De acordo com a fórmula (6d), a Variação 
Compensada é representada pela área abaixo da 
demanda Hicksiana pelo bem 1, entre e . 1
1p
0
1p
 
Observe que, sendo 1 um bem normal, VE é um valor 
nunca maior que a variação do excedente do 
consumidor, definido anteriormente: 
1CSVC Δ≤ . 
 
Assim, para bens normais, temos as desigualdades: 
 
 VECSVC ≤Δ≤ 1 . 
 17
 
 
Se 1 é um bem inferior, a Variação Compensada é 
maior que a variação equivalente. 
 
Neste caso, as demandas Hicksianas se deslocam para 
baixo com aumentos nos níveis de utilidade. 
 
Além disso, elas cruzam a demanda Marshalliana por 
baixo, de modo que teremos as desigualdades: 
 
 VCCSVE ≤Δ≤ 1 
 
A Figura 6 abaixo ilustra esta situação: 
 
Fig.6: Variações Compensada e Equivalente: Caso 
 de um bem inferior 
 
 
x1
x1
p1
u1
u0
x2
$
p10
p11
p0
x1(p,R)
x1h(p,u1)
x10 x11 x1c
VC
R
x0
x1
VARIAÇAO COMPENSADA e VARIAÇAO 
EQUIVALENTE: 1 bem inferior
R-VC
X1h(p,u0)
xe 
 18
 
Obervaçoes: 
 
(a) Como vimos acima, as variações Equivalente e 
Compensada são ambas positivas no caso de uma 
queda no preço. 
 
Obviamente, elas são ambas negativas no caso de um 
aumento no preço deste bem. 
 
(b) Uma questão relevante é a de saber qual das 
medidas utilizar para se obter uma medida monetária 
da mudança no bem estar do consumidor em 
sequencia à variações no preço dos bens. 
 
Como vimos, no caso de um bem normal, a VE tende 
a “superestimar” e a VC tende a “subestimar” o ganho 
de bem estar decorrente de uma queda no seu preço. 
 
O inverso ocorre no caso de um bem inferior isto é, 
VE tenderá a “subestimar” e VC tenderá a 
“superestimar” este ganho. 
 
A menos que hajam razoes específicas para o uso de 
VE ou VC, a utilização da variação do excedente 
Marshalliano CSΔ se impõe na medida em que ela 
representa um compromisso entre as duas medidas 
Hicksianas. 
 
 
 
Exemplos: 
 
1. Cobb-Douglas com 2 bens βα
21 xAxu = e 1=+ βα , 
vimos na Aula 2 que a utilidade indireta é: 
 
βα
βαβα
21
),(
pp
RARpv = . 
Supondo que o preço do bem passa de à , 
calculamos a Variação Equivalente usando a 
identidade (5c): 
0
1p
1
1p
10
2
0
1 )()(
u
pp
VERA =+ βαβαβα . 
Usando agora (2b) para o lado direito desta equação: 
 
 19
 
 
ααβα
βα
βα
βα βαβα
)()()()()()( 11
0
1
0
2
1
1
0
2
0
1 p
R
p
VER
pp
RA
pp
VERA =+⇒=+ 
 
De onde obtemos: 
 
 ( ) }1/{ 1101 −= αppRVE 
 
 
Obviamente, poderíamos ter obtido o mesmo 
resultado, de acordo com a fórmula (5d). 
 
Esta envolve a integraçao em , de a da 
demanda Hicksiana pelo bem 1: 
1p
x
1
1p
0
1p
p β uph ββα )1/1()(1 /02= . 
Depois da integração, avalia-se u em ),11 Ru ( pv= . 
 
Análogamente, calculamos a Variação Compensada 
usando (6c) e (2ª): 
 
ααβα
βα
βα
βα βαβα
)()()()()()( 01
1
1
0
2
0
1
0
2
1
1 p
R
p
VCR
pp
RA
pp
VCRA =−⇒=− 
 
De onde obtemos: 
 
 
 ( ) }/1{ 0111 αppRVC −= 
 
Também aqui, poderíamos ter obtido o mesmo 
resultado por integração, usando a equação (6d). 
 
 
Numéricamente, se o preço do bem 1 baixar 10%, de 
 para 9, e se 10 1000,3/2 == Rα , obtemos: 
 
7.72=VE : é o acréscimo de renda necessário para que 
o consumidor fique hoje indiferente entre obter ou 
não obter a reduçao de 10% no preço do bem. 
 
 20
8.67=VC que é o valor mínimo que compensará o 
consumidor pela perda do desconto de 10% no preço 
do bem. 
 
2.70)9/10ln()1000)(3/2(1 ==ΔCS é o ganho do consumidor 
com a redução de 10% no preço. 
 
Observe que a Cobb-Douglas representa preferências 
do consumidor sobre bens normais, de modo que 
temos bem as desigualdades: VECSVC <Δ< 1 . 
 
 
2. Utilidade Quase linear com dois bens e 
, onde 2 é um bem numerário, por exemplo 
moeda com preço 12
12 ln xaxu +=
0>a
=p . Supondo que a renda do 
consumidor é aR > , a demanda Marshalliana pelo 
bem 1 é: 
1
11 p
),( aRpx = , a qual não depende diretamente da renda. 
A demanda de moeda será: aRx −=2 . 
Suponha que o preço do bem diminui de à . 
 excedente do consumidor será: 
 
 
quivalente será idêntica à Variação Compensada. 
 é idêntica à 
emanda Marshalliana, de modo que 
0
1p
1
1p
O
 
)/ln()/();( 11
0
1
0
1
1
11
0
1
1
1
ppadppappCS p
p
=≡Δ ∫ 
 
A demanda Hicksiana pelo bem 1 não depende do 
nível de utilidade u , de modo que a Variação
E
 
Além disso, a demanda Hicksiana
d VCCSVE =Δ= 1 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21
 
3. Indices Desejáveis de Preços 
ações sofridas por este 
onjunto ao longo do tempo. 
rata-se pois, de um número sintético. 
erísticas da dinâmica deste 
onjunto de preços. 
 ou ruim, dependendo 
o tipo de índice construído. 
o
 tempo, notamos a data base e 
 
Um índice de preços é um número representativo de 
um conjunto ou agregado de preços, construído com 
o objetivo de capturar as vari
c
 
T
 
Deseja-se que este índice reflita, da melhor maneira 
possível, as caract
c
 
A representação pode ser boa
d
 
Como o índice deve sintetizar a evolução dos preç s 
em um período de 0 t a 
ata referência. d
 
Sejam ),...,( 1 nppp = e ),...,( 1 nqqq = os vetores dos preços 
unitários e das quantidades do conjunto dos n bens 
ransacionados, cuja evolução queremos analisar. 
tidades nas 
atas base e referencia, respectivamente. 
L
ste bem, no valor total 
ransacionado no mercado. 
ue o 
alor é o produto do preço vezes a quantidade. 
efinição: 
 e data 
eferencia
t
 
Notaremos 00 , qp e tt qp , os preços e quan
d
 
ogicamente, o peso da variação do preço de um bem 
i depende da sua importância relativa, isto é, do 
dispêndio efetuado com e
t
 
Assim sendo, os índices usais de preços também 
dependem do vetor das quantidades, uma vez q
v
 
D
 
Um índice de preços, com data base 0 
r t , notado , é uma aplicaçã),0( tIP o: 
 
 22
 ),;,(),;,(: 0000 tttt qqppIqqppRI → :),0( 4nP Rt →+
onde verifica as seguintes propriedades: 
 
 ),;,( 00 tt qqppI
 
1. Monotonicidade: 
 
 I é crescente em e decrescente em . 
 entãoo 
o índice deverá apresentar uma 
 2.Homogeneidade linear em 
 
tp 0p
 
Se o preço de nenhum bem diminui e, pelo menos o 
e um deles aumenta no período de 0 à t,d
índice de preços deve refletir este aumento. 
 
Por outro lado, mantido o vetor de preços na data 
referencia, se partimos de um patamar de preços mais 
elevado na data base, 
variação mais baixa. 
 
 tp
 
 =),;,( 00 tt qqppI λ 0;),;,( 00 >∀λλ tt qqppI 
ice de preços deverá variar 
 3. Homogeneidade 0 em e 
 
 
 Se na data referencia todos os preços variarem na 
esma proporção, o índm
nesta mesma proporção. 
 
tp 0p 
 
 =),;,( 00 tt qqppI λλ 0;),;,( 00 >∀λtt qqppI 
 
 O índice deve ser invariante a mudanças no patamar 
dos preços. Se todos os preços, nas datas base e 
eferencia, sofrerem a mesma vr
í
ariação, o valor do 
erado. 
mensurabilidade 
 
ndice permanecerá inalt
 
4. Co
 
 =ΛΛΛΛ −− ),;,( 1010 tt qqppI 0;),;,( 00 >Λtt qqppI
 
Aqui, Λ é uma matriz diagonal de números positivos. 
 
 Esta propriedade nos diz que se após efetuarmos 
uma transformação linear de todos os preços, 
 23
efetuarmos a transformação linear inversa em todas 
o índice permanecerá inalterado. 
 
5. Identidade 
 que, se não houver variação nos preços 
ntre as datas base e referencia, o seu valor será 
 A variação do índice de preços com data base 0, 
as quantidades, 
 
1),;,( 000 =tqqppI 
 
 Por convenção, o índice de preços é construído de 
tal maneira
e
igual à 1. 
 
 
entre as datas t e t′ é: −′ ),;,( 00 tt qqppI ),;,( 00 tt qqppI . 
 
 Deste modo, a variação dos preços entre as datas 0 
e t será: 1),;,( 00 −tt qqppI 
 
 
Os índices usuais de preços atendem normalmente à 
s apresentados à seguir, 
s quais atenderão também outras duas propriedades 
à frente. 
uclidiano dos vet
todas as 5 propriedades listadas acima. 
 
Tal é o caso dos dois índice
o
especificadas mais 
 
Lembrando que n é o produto interno ∑ =≡ i ii yxyx 1. 
ores x e y , E temos: 
pesa 
 
 
 
Índice da Des
 
 
00.
.),0(
qp
qptD
tt
≡ 
 
 
Este índice, também chamado índice da Razão 
ente como a razão entre a 
espesa efetuada na data referencia e a despesa 
efetuada na data base. 
Orçamentária, é de natureza empírica. 
 
Ele se define simplesm
d
 24
 
Não é difícil verificar que ),0( tD atende todas as 5 
ropriedades listadas acima. 
ndice Verdadeiro do Custo de Vida 
 
p
 
 
Í
 
),(
),(),0(
0
0
0
upe
upetV
t
P = 
 
939, em artigo publicado na revista Econometrica. 
e drão de vida na data 
ase, quan os eços são . 
e m 
ado nível de utilidade , como vimos na Aula 3. 
m 
s preferencias, ele não é diretamente observável. 
eiras 
ropriedades desejáveis para índices de preços. 
çao 
espesa. 
tilidad direta é 
efinida sob as cestas de bens:
 
Este índice foi proposto em 1924 pelo economista 
russo A.A.Konüs, e introduzido na literatura em
1
 
O índice confronta o custo incorrido para manter o 
padrão de vida 
0u , na data de referencia, quando os 
preços são tp , e o custo dest pa
b do pr 0p
 
Note que este índice é de natureza teórica, pois ele 
envolve a escolha da c sta de menor custo para u
d
0u
 
Além deste nível de utilidade possuir valor apenas 
ordinal, para o rankeamento das cestas de acordo co
a
 
É fácil verificar que ),0( tVP atende às 4 prim
p
 
Em particular, a homogeneidade linear em tp é 
conseqüência imediata da homogeneidade da fun
d
 
Quanto à última propriedade, note que o índice 
verdadeiro depende também, indiretamente, das 
quantidades q , uma vez que a u e u
. d re )( 00 quu =
 
 25
Além disso, na definição ),(.),( upqpupe h= , o segundo 
termo ),( upqh é o vetor das demandas Hicksianas, de 
modo que a comensurabilidade atendida, uma vez 
ue a da Hicksiana é no vetor de 
reços: 
é
 homogênea 0
.),(. 1 qpupqp h
q deman
,( upep ),(),(),(.) 1 upeupupqp hh ==ΛΛ=ΛΛΛ= −Λ − . 
estes índices 
retendem medir não a variação do valor das 
ois p ntos do tempo, mas a 
ção no volume destas transações. 
e quantidades, de um 
odo geral, o índice quantum é obtido permutando-
dos preços com o das quantidades no 
ços definido acima 
é índice de preços, 
 
 
 
Indices de Quantidades 
 
Também chamados índices quantum, 
p
transações efetuadas em d o
varia
 
Notaremos estes índices: ),0( tIQ . 
 
Uma vez que o valor das transações é obtido 
somando-se o produto de preços 
m
se o papel 
índice de pre
 
Assim, se (IP o ),;,(),0
00 qqppIt tt≡ 
definimos: 
 
 ),;,(),0( 00 ppqqItI ttQ ≡ 
 
para o índice das variações em volume com data 
referencia t e data base .0 
 
As 5 propriedades desejáveis para índices de preços 
também se aplicam aos índices quantum. 
 
Na próxima sessão, apresentaremos alguns índices 
s 5 propriedades apresentadas acima, duas 
utras propriedades são usualmente requeridas, para 
quantum definidos à partir dos índices de preços 
mais usuais. 
 
Além da
o
fins práticos: a circularidade e a reversão dos 
fatores. 
 26
 
Estas propriedades valem indistintamente, tanto para 
para indices quantum. 
utras Propriedades 
e 
m índice 
indices de preço como 
 
 
O
 
a) Circularidad
 
é dito circular se, para quaisquer U ),0( tI
datas ts,,0 temos: ),().,0(),0( tsIsItI = . 
 
A vantagem de se possuir um índice circular é a 
ção acima, podemos com efeito passar de 
 para um outro com data 
facilidade com a qual se pode efetuar mudanças na 
data base do índice. 
 
Pela rela
um índice com data base 0
ase b : . s ),0(/),0(),( sItItsI =
 
Reversibilidade no tempo 
 
Observe que um índice circular é reversível no 
tempo, no seguinte sentido: ).0,(/1),0( sIsI = 
 
Com efeito, colocando 0=t na definição acima e 
considerando que 1)0,0( =I , obtemos o resultado. 
 
Se calcularmos a variação dos preços ou quantidades 
ntre as datas 0 e s e depois a multiplicarmos pela 
ariação entre as datas s e 0 a variação total deverá 
e
v
ser nula. 
 
 
Observe que o índice de despesa ,0( )tD é um índice 
circular. 
 
 índice verdadeiro O também é um índice ),0( tVP
circular, no caso dos consumidores terem 
preferências homotéticas. 
 
 27
Com efeito, no final da seção 3 da Aula 3 vimos que 
se as 
screv
preferências são homotéticas, entao podemos 
er a função despesa como: e , )1,().(),( peuupe φ=
onde φ é uma funçao crescente do níveis de bem 
star. 
 
Neste caso, temos a circularidade, pois: 
e
 
),().,0(
)1,()(
.
)1,()()1,(
.
)(
),0(
0
0
0
0
tsVsV
peupeupeu
tV PPs
s
P === φ
)1,()()1,()()1,()( 00 peupeupeu
t
s
st φ
φ
φ
φ
φ 
 
 
Infelizmente, os índices empíricos mais usuais 
ais à frente não são 
riedade, também chamada “teste da razão 
vras, o índice 
apresentados na seção 4 m
irculares. c
 
 
 b) Reversão dos Fatores 
 
sta propE
orçamentária”, requer que o produto do índice de 
preços pela índice de quantidades iguale o índice de 
despesa. 
 
Em outras pala I atende ao teste da 
reversão dos fatores se: 
 
 ),0(),0().,0( tDtItI QP = 
 
A vanta suir gem de se pos um índice com fatores 
eversíveis é a de se poder obter o índice de quantum r
à partir do inverso do índice de preços, ou vice-
versa: ),0(/),0(),0( tItDtI PQ = ou ),0(/),0(),0( tItDtI QP = . 
 
Ao checar esta propriedade para o Índice Verdadeiro, 
precisamos definir um índice de quantum 
correspondente. 
 
Sendo tq o vetor demandado otimamente quando o 
 é , vetor de preços na data tp t , o nível de utilidade 
será: u . )( tt qu=
 28
 
Analogamente,)( 00 quu = é o nível de utilidade na data 
base. 
 
Definimos en o o índice quantum erdadeiro como a 
despesa adicional necessária par
tilidade , quando a cesta de bens demanda 
tã v
a passar do nível de 
é , 
 , quando a cesta é , mantendo-se os 
preços constantes, da data base: 
u
0u
0q
para o nível
tu
tq
 
 
))(,(
))(,(),0(
00
0
qupe
qupetV
t
Q ≡ 
 
om o índice quantum verdadeiro C assim definido, 
ecar que, no caso de preferências 
 o índice verdadeiro atende à 
ropriedade da reversão dos fatores. 
 
Com efeito: 
 
podemos ch
omotéticas,h
p
===
)1,()(
)1,()(.
),(
)1,()(
),(
),(.
),(
),(),0().,0(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
peu
peu
upe
peu
upe
upe
upe
upetVtV t
t
t
t
QP φ
φ φ 
 ),0(
.
.
),(
),(
00
0
0
tD
qp
qp
upe
upe ttt
t
=== 
 
 
 
 
Indices Verdadeiros: Variação Equivalente e 
 Variação Compensada 
 
 
odemos estabelecer uma relação diP reta entre os 
 a renda mínima necessária para o 
o 
s preç
índices verdadeiros de quantidades e preços com os 
conceitos de Variação Equivalente e Variação 
Compensada apresentados na Seção 2. 
 
Notemos ),( 0
0
0 upeR =
os são 0p . 
consumidor alcançar o nível de bem estar 
0u quand
o
 29
 
Para a Variação Equivalente temos, por definição: 
 
 
 [ ]1),0(),(),( 0000,0 −=−= tVRupeupeVE Qtt 
 
Aos preços da data base, vemos que a renda adicional 
ecessária para o consumidor passarn do nível de bem 
a 
nicial correspondente à variação do índice 
erdadeiro quantum, neste período. 
ara a Variação Compensada temos, por definição: 
estar 
0u para o nível 1u é igual à parcela da rend
i
v
 
P
 
 
 ),(),( 0,0 upeupeVC
t
t
t
t −= 
 
 
Para obtermos uma relação direta da Variação 
 o índice verdad
tese adicional: a ausência de variações na 
consumidor entre as duas datas. 
Compensada com eiro, precisamos de 
uma hipó
nda do re
 
Assim, usando a na expressão acima Rupeupe t
t ≡= ),(),( 00
teremos: 
 
 [ ]1),0(,0 −−= tVRVC Pt 
 
Na ausência de variações na renda do consumidor, 
aos preços da data referencia, a renda adicional que 
compensa o consumidor pela passagem da utilidade
 no índice de preços , pois será 
 
0u 
para a utilidade 
tu é igual à parcela da renda inicial 
correspondente à variação do índice Verdadeiro do 
Custo de Vida entre as duas datas. 
 
Este acréscimo de renda é negativo em caso de 
umentoa 1),0( >tVP
necessária uma compensação de renda positiva para 
que o consumidor recupere seu nível de bem estar 
inicial. 
 
 30
O acréscimo de renda é positivo em caso de redução 
no índice de preços 1),0( <tVP , pois será necessário 
etirar renda do consumidor para que ele retorne a r
seu nível de bem estar inicial. 
 
N
o
o primeiro caso, há perda de bem estar do 
nsumidor entre os dois períodos. 
 
 e o de 
eríodos, o 
s, o custo da 
ada um destes índices gerou toda uma classe 
istinta de índices, de acordo com a forma de se 
cadear, ao longo do tempo, o papel dos 
tidades nos índices originais. 
) Laspeyres 
 
 O índice de preços de Laspeyres define-se como: 
 
c
 
No segundo caso, há ganho de bem estar. 
 
 
 4. Índice Usuais de Preços e Quantidades 
 
 
 Dentre os índices empíricos mais usuais temos o 
e E.Laspeyres (1871), o de H.Paasche (1874)d
I.Fisher (1922). 
 
O primeiro deles confronta, nos dois p
custo da cesta de bens adquirida na data base. 
 
 segundo, confronta, nos dois períodoO
cesta de bens adquirida na data referencia. 
 
O índice de Fisher define-se como a média 
geométrica dos dois índices anteriores. 
 
C
d
ponderar ou en
reços ou quanp
 
 
 
a
 
 
 
 
00
0
.
.),0(
qp
qptL
t
P ≡ 
 
 31
Note que ∑ == j ii iiiti qpppqp 000 )/(. . 
efinindo por 
∑ = =j ii itit qp 00
 
D
00
00
0
.qp
qps iil = a parcela do gasto com o bem 
i no gasto total, tudo na data base, vemos que o 
índice de Laspeyres é uma média aritmética dos 
elativos de preço , ponderados por estas 
 
 
r 0/ i
t
i pp
parcelas: 
 ∑ == ni
i
t
i
iP p
pst L 1 0
0),0( 
Note que a variação do preço do bem entre a data 
 
com ∑ = =ni is1 0 1 
 
base e a data de referencia é 
i
1
00
0
,0 −=−≡
i
t
i
i
i
t
it
i p
p
p
ppπ , de 
odo que a variação do índicm e, entre estas duas 
édia ponderad das taxas de inflação 
ada um dos bens: 
 
ele 
ode ser calculado para cada data de referencia 
datas, é uma m a
dos preços de c
 
 ∑=− n t01),0( π =i iiP stL 1
 
 
O índice de Laspeyres tem grande aplicabilidade 
prática, pois uma vez conhecidos os pesos 0 , 
is
p t 
unicamente mediante a observação dos preços tp . 
 
Isto é, sem necessidade de se conhecer em cada data 
t , o valor total ou as quantidades transacionadas de 
cada bem. 
 
Esta praticidade faz com que a maioria dos índices de 
reços ordp inariamente utilizados sejam do tipo 
Laspeyres, com base fixa, isto é, com pesos fixos na 
data base. 
 
 32
Em contraponto à sua praticidade, o uso de pesos 
fixos para a média das variações de preços tem o 
nconveniente de inflar o índice, com relação ao 
asto com este 
em sobre o gasto total, uma vez que o consumidor 
maiores a produtos que tiveram 
umentos de preço, e pesos menores a produtos cujo 
egada menor daquela apresentada pelo 
ndice de Laspeyres. 
or este viés, , tenderá a superestimar o índice 
priedades 
ntretanto, não é um índice circular. 
le também não atende o critério da reversão dos 
 O índice de preços de Paasche define-se como: 
i
valor que se poderia esperar dele, quando bens 
substitutos estão presentes na cesta de bens 
considerada. 
 
Neste caso, o aumento no preço de um bem deveria 
levar à uma redução na parcela do g
b
tenderá a substituir o consumo deste bem por um 
outro bem substituto, cujo preço não se tenha 
alterado, ou tenha aumentado menos. 
 
A atribuição de pesos 
a
preço diminuiu ou não aumentou, levaria assim à uma 
variação agr
í
 
Tal é o viés de substituiçao apresentado pelo índice 
Laspeyres. 
 
 
P ),0( tLP
verdadeiro do custo de vida ),0( tVP , como veremos 
mais à frente. 
 
 
É fácil verificar que ),0( tLP atende às 5 pro
desejáveis apresentadas anteriormente. 
 
 
E ),0( tLP
E
fatores. 
 
 
 
b) Paasche 
 
 
 33
 
t
tt
P qp
qptP
.
.),0(
0
≡ 
 
Definindo por 
Note que . 
 
∑∑ == == j ii tititiij ii tiit qpppqpqp )/(. 000
tt
t
i
t
it
l qp
qps
.
= a parcela do gasto com o bem 
i no gasto total, tudo na data referencia, vemos que o 
ndice de Paasche é uma média harmônica dos 
 preço , ponderados por estas 
parcelas: 
 
 
í
relativos de 0/ i
t
i pp
 
∑ =
=
n
i
ii
 
com ∑ = =ni tis1 1 
 
O índice Paasche tem pouca aplicabilidad prática, 
pois ele utiliza pesos t
is da data de referencia, de 
t
t
i
P
pp
s
t
1 0/
1
1),0( 
e
P
modo que, para ser calculado, o índice requer que se 
possa observar, além dos preços unitários t
ip , também 
o valor das transações em cada bem e em cada data . t
 
Como se vê, o índice Paasche, tem base móvel, isto é, 
o peso atribuído aos relativos de preço variam em 
cada data. 
 
Apesar de levar plenamente em conta os ajustes feitos 
pelos consumidores na alocação orçamentária entre 
s difero entes bens, à cada mudança em seus preços 
relativos, ),0( tPP
onsidere-se aindaque o índice Paasche é uma média 
maio
smo sistema de pesos. 
 tende a subestimar o índice 
verdadeiro de custo de vida, como veremos mais à 
frente. 
 
C
harmônica dos relativos de preço, cujo valor, nunca é 
r que o da média geométrica ou aritmética destes 
relativos, quando se usa o me
 
 34
Assim como para o Laspeyres, é fácil verificar que 
),0( tPP rieda
das anteriormente. 
 atende às 5 prop des desejáveis 
apresenta
 
Analogamente, verifica-se que ),0( tPP
reversão dos 
icialmente a família de índices 
verdadeiros de preço à la Konüs da sequinte maneira: 
 não é um índice 
circular. 
 
Ele também não atende o critério da 
atores. f
 
 
Comparações do Laspeyres e Paasche 
 
 
Definimos in
 
 
))(,(
))(,(),0(
0 qupe
qupetV
t
q
P ≡ 
 
Trata-se de uma família de índices teóricos, um 
índice para cada vetor de quantidades q . 
 
Inicialmente, mostraremos que o índice empírico de 
o ín , 
orrespondente, . 
om efeito, colocando
Laspeyres superestima dice teórico à la Konüs
c ),0(
0
tV qP
 
C 0qq = no índice acima temos: 
ostraremos agora que o índice empírico de 
 t s, 
orrespondente, ),0( tV
tq
P
. 
 
 
 
M Paasche 
subestima o índice eórico à la Konü
c
 
Com efeito, colocando tqq = n ao índice acim temos: 
ma vez que, por definição, tt qpqupe .))(,( 00
 
 
u . ≤
 
 35
Ora, como ),0( tV
tq ≤ ),0(0 tV q
P
P P
 
 ),0(),0( tLtP
, deveremos ter: 
≤ P
 
 
Isto é, o índice de Laspeyres deve apresentar valores 
normalmente maiores que o índice de Paasche. 
 
Em uma comparação “estatística” direta entre estes 
dois índices, é possível mostrar que se o relativo de 
reços 0/t pp apresentar correlação empírica negativa 
hipótese é empiricamente razoável e 
lausível, uma vez que, para bens normais, a 
emanda de um bem é decrescente com relação ao 
ioridade 
umérica do Laspeyres sobre o Paasche na maioria 
os casos. 
s, Paasche e o Índice da Despesa 
odavia, se combinarmos o índice de Preço de 
 quantum ou 
lternativamente, o índice de Preço de Paasche com o 
s quantum verificaremos qu o produto deles 
guala o índice de despesa. 
e: 
),0(),0(), tLtPt QP
p
ii
com o relativo das quantidades 0/ i
t
i qq , então o índice 
de Laspeyres apresentará valores mais elevados que o 
índice de Paasche. 
 
Como esta 
p
d
seu preço, deveremos encontrar a super
n
d
 
 
Laspeyre
 
 
Mencionamos acima que os índices Laspeyres e 
Paasche não atendem o critério da reversão dos 
fatores. 
 
T
Laspeyres com o Paasche
a
Laspeyre e
i
 
Isto é, verifica-se fácilmente qu
 
 0(),0(),0( DtPtL QP == 
sando ),0( tLPP
 
 
U então a desigualdade ),0( tP ≤ , na dupla 
igualdade acima vem: 
 36
 
 ),0(),0(),0(),0(),0( tLtLtDtPtP QPQP ≤≤ 
 
Isto é, Paasche subestima o índice de despesa, 
enquanto que o Laspeyres o superestima. 
 
Em outras palavras, o índice de Paasche não atende o 
ritério da reversão do fatores por insuficiência, 
 o índice de Laspeyres não o atende por 
de Fisher é construído como a média 
 simples dos dois ndices anteriores: 
c
enquanto que
xcesso. e
 
 
c) Fisher 
 
Este índice foi proposto com o intuito de corrigir o 
viés dos índices de Laspeyres e Paasche com relação 
ao índice da despesa. 
 
O índice 
geométrica í
 
 
 ),0().,0(),0( tLtPtF PPP ≡ 
 
O índic ),0( tF se define 
édia, o índice de isher situa-se entre os 
asche e Laspeyres 
),0( tLP
e Fisher quantum
Q
análogamente como a média geométrica dos índices 
Paasche e Laspeyres quantum. 
 
Sendo uma m F
índices de Pa :
 
 
 ),0(),0( tFtP PP ≤≤ 
Fisher atende o critério 
a reversão
)
 
Mais importante, o índice de 
 dos fatores: d
 
 ,0(),0().,0( tDtFtF QP = 
 
No seu livro king of Índex Numbers (1922) The Ma
I.Fisher chamou o seu índice F “índice ideal”. 
 
 
 37
 
 5. Exemplos: Indices Verdadeiros 
 
 
 Calculamos baixo, a título de ilustração, os 
índices d
 a
e preço e quantum teóricos implicados por 
lgumas funções de utilidade mais comuns para dois 
ns, no Modelo Linear de Despesa 
MLD). 
s, a utilidade CES (Constant Elasticity of 
ubstitution) é definida por: 
 10;)(),( /12121
a
bens e, para 2≥n be
(
 
 a) Utilidade CES 
 
Para 2 ben
S
 
 ρ= + ≠ <ρρρ xxxxu 
Na Aula 3 obtivemos a utilidade indireta: 
21
 
 
 [ ] RppRpv θθθ /1),( −− += onde )1/(01 θθρρρθ ≡ +=⇔>− , 
 
 [e a função despesa: ]pupe θθθ /1`),( −−−=
Obtemos assim: 
 
up21 + 
 
 
θ/
θθ
θθ 1
0
2
0
2
)()(
)()(),0(
−
−−
−−
⎥⎤⎢⎣
⎡
+
+=
pp
ppt
i
tt
i
P
 para o índice do custo de vida; 
 
V
⎦
 
00
 ou, usando a utilidade indireta: 
 
0
0
),(
),(),0(
u
u
upe
upetV itQ ==
0
0
2
0
2
))
(
Rpp
p t
i
i
θθ
θ
⎥⎦⎣ +
+
−−
 para o índice quantum. 
/1
((
))(),0( RptV
tt
Q
θθ ⎤⎢⎡=
−−
Note que 
0/ RRt não é outra coisa que o índice de 
despesa ).,0( tD 
 
 38
Observe t m que a CES representa preferências 
omotéticas, de modo que o índice verdadeiro 
uantum a ),0(/),0(),0( tVtDtV P
ambé
erific
h
q v =Q , como foi provado 
0,), 2121 >
na seção anterior. 
 
 
 
b)Utilidade linear 
 
 ( += axaxxx 
 
R) 
 a função despesa: 
u
 
Vimos na Aula 3 que a utilidade indireta é: 
 pv ,( ppaR /1,/max() 21=
e
)/1,/max( 21 ppa
),( uupe = 
 
btemos assim: O
 
)/1,/max(
)/1,/max(),0(
21
0
2
0
1
ttP ppa
ppatV = para o índice de custo de vida; 
 
0210
)/1,/max( Rppau tt para o índice quantum. 
 
 0,},min{),( 2121 >= axaxxxu 
que a utilidade indireta é: 
00
21
)/1,/max(
),0(
Rppau
tV ttQ == 
 
 
 
 c) Utilidade Leontieff 
 
Vimos na Aula 3 
21 app
aR
+=
. 
spesa: upapupe )/(),(
),( Rpv
 
E a função de = 21 +
 
0
2
0
1
2
/ pap
pa t
+
+ para o índice do custo de vida; 1 /),0( ptV
t
P =
 
 39
 
02
00
0
)/( Rpapu + ntum. 
 Despesa (MLD) 
 
ão homotéticas: 
i
1
21
)/(
),0(
Rpapu
tV t
tt
t
Q +==
 para o índice qua
 
 
 
d) Modelo Linear de
 
 
Neste modelo, as preferências dos consumidores não 
s
 
 
 ∑ ∑= = >=>−= ni ni iiiiii xxxu 1 1 0;1;;)ln()( ββγγβ . 
 
 
Trata-se da transformação logarítmica de uma função 
do tipo Cobb-Douglas, onde o parâmetro 
iγ é a 
quantidade mínima demanda do bem ni ,...,1 . =
 
Na seqüencia, notaremos ),...,( 1 nppp = e ),...,( 1 nγγγ = para 
o vetor de 
respectivamente
preços e para a nima, 
. 
ização da uti ei rição 
ia 
 cesta mí
 
A maxim
orçamentár
lidade suj to à rest
p x R=. fornece as funções de demanda 
arshallianas: 
 
iiii ppRpq /).(,(
M
 
 
 ; ni ,...,1R) γβγ −+= = . 
e 
 
 
Pela relação acima observe qu )( γ
)γ.(β −
−=
qp
iii
i
, de modo 
ue o coeficiente 
i
qp
q β é o peso do gasto 
bem i sobre o gasto 
upranumerário total. 
eta é: 
supranumerário no 
s
 
 
A utilidade indir [ ]. iiii pRp βnpRv βγ )ln), 1= /().(( Π−=
 
 40
 
Pela relação da dualidade uupepv =)),(,( obtemos a 
unção despesa: 
ii
n
i
u pepupe
f
 
 
 iββγ )/(.),( 1=+ Π=
 
ara o índ custo de vida temos: 
 
 
 
P ice verdadeiro do
 
i
ii
n
i
uP pep
p
tV ββγ )/(.
.
),0(
0
1
0 0
=Π+
= 
 ind reta para 
iii
u pR
i
i
t
i
n
i
ut pe ββγ )/(10 =Π+ou, usan ido a utilidade
in p ββγ )/(). 0Π obtemos: e ( 1000 =−=
 
 
 
0R
bserve q nima 0=
0
1
0
0 )/().(.),0( pppRptV
i
i
t
i
n
i
t
P
βγγ =Π−+= 
 
 
O ue, na ausência da cesta mí γ , a 
 itn pptV β)/(),0( 0=
utilidade é homotética, e o índice do custo de vida se 
simplifica em: 
 
 
iiiP 1= Π 
 que faz do índice verdadeiro uma média geométrica 
onderada dos r entre a data base e 
referen
n
 
o
p elativos de preço
cia, com pesos a data de β β,...,1 . 
 
ara o índice verdadeiro quantum temos: 
 
P
 
 
 
i
it
ii
n
i
u
ii
n
i
Q pe
pep
upe
upetV β
β
β
u
t
p γ
γ β
)/(
)/(.
,(
),(),0(
0
1
0
1
0 0
=
=
Π.) 00 +
+ Π00 == 
evando 
 
 
L agora em conta que: 
 41
 
u pRe iii
n
i p
ββγ )/(). 01=Π e it tiinittu ppRe β( 000 −= βγ )/()( 1=.= − Π 
 
óApós substituiçao na f rmula acima obtemos: 
 
 
 
0R
0
1
0 )/().(.),0( pppRptV
it
ii
n
i
t
t
Q
βγγ =Π−+= 
 
 
Na ausência da cesta mínima, , o índice 0=γ
verdadeiro quantum se simplifica em: 
 
 it
ii
n
i
t
Q ppR
RtV β)/(),0( 01
0
=Π= 
efe ncias tornam-se 
om efeito, temos bem: 
 
fatores é atendido, pois as pr rê
Neste último caso, vemos que o teste da reversão dos 
homotéticas. 
 
C ),0(),0().,0(
0
tD
R
RtVtV tQP == , 
dentidade esta que não vale se i 0≠γ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 42
 e Exercícios sugeridos 
 
6. Bibliografia
 
 
 
Bibliografia: 
 
[SN] Cap. 4 ; Cap.5 
[N] Cap. 4; Cap.5 
obre a axiomática dos Números Indices: 
onal Equations in 
conomics, Addison Wesley, 1978. 
[VO] Cap. 6, Cap.7; Cap.8 
[PR] Cap.4; 
[JR] Sec.1.4; Sec.1.5. 
 
S
W. Eichorn, Funci
E
 
 
Exercícios Sugeridos. 
 
Anpec: 2012/ Q02,Q03,Q11; 
 2011/ Q01, Q02, Q06 ; 
 2010/ Q02; Q03 
02 
 
 
[SN]: 5.1/ 5.2/5.7; 
 5.12/ 5.13. (Analytical) 
 
 
 2009/ Q01; Q
 2008/ Q01, Q02.