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Lista 4 - Derivadas de ordem superior

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- Ca´lculo 1: Lista de exerc´ıcios 4 - Derivadas
1. Para cada func¸a˜o f dada, calcule a derivada indicada:
(a) f(x) = −6x5 + 3x4 − 5x− 2, d25ydx25 ;
(b) f(x) = senx, d
37y
dx37 ;
(c) f(x) = 1x ,
dny
dxn ;
2. Determine a derivada de ordem n de y = lnx.
3. Derive:
(a) y = arctan(arcsenx);
(b) y = ln(secx+ tgx);
(c) y = xx;
(d) y = arcsen(
√
1− x2);
(e) y = arcsen(e2x − 1).
4. Determine para quais valores de x cada func¸a˜o a seguir esta´ definida:
a) y = arcsen(2x+ 1) b) y = arccos(ex5) c) y = arctg(3x+ 2)
5. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de cada func¸a˜o a seguir:
a) y = 3x4 − 16x3 + 18x2 b) y = x3 − 3x2 + 1.
6. Determine os pontos cr´ıticos de cada func¸a˜o a seguir:
a) y = x3 + x2 − x b) f(x) = x+1x2+x+1 c) y = x2/3 d) y = x2/5
7. Determine, se existirem, os valores ma´ximos e mı´nimos de cada func¸a˜o a seguir, no intervalo indicado:
a) y = x3 − 3x+ 1, [0, 3] b) y = (x2 − 1)3, [−1, 2] c) g(t) = t√4− t2, [−1, 2]
d) y = x− 2senx, [−pi2 , pi2 ], e) y = ex−e−x2 , (−∞,+∞) f) y = x3 − 3x+ 1, na reta.
Respostas:
1. (a) d
25y
dx25 = 0; (b)
d37y
dx37 = cosx, (c)
dny
dxn =
(−1)nn!
xn+1
2. d
n ln x
dxn =
(−1)n−1(n−1)!
xn
3. (a) y′ = 1
(1+arcsen2x)
√
1−x2 ;
(b) y′ = secx;
(c) y′ = xx(1 + lnx);
(d) y′ = − x|x|√1−x2
(e) y′ = 2e
2x√
1−(e2x−1)2
4. (a) − 1 ≤ x ≤ 0; (b) ln 4 ≤ x ≤ ln 6, (c) −∞ < x < +∞
5. (a) Cresce para 0 < x < 1 e 3 < x < +∞, decresce para −∞ < x < 0 e 1 < x < 3.
(b) Cresce para −∞ < x < 0 e 2 < x < +∞, decresce para 0 < x < 2.
6. (a) x = −1 e x = 1/3; (b) x = −2 e x = 0; (c) x = 0; (d) x = 0.
7. (a) Ma´ximo: y = 19 em x = 3; Mı´nimo: y = −1 em x = 1;
(b) Ma´ximo: y = 27 em x = 2; Mı´nimo: y = −1 em x = 0;
(c) Ma´ximo: g = 2 em t =
√
2; Mı´nimo: g = −√3 em t = −1;
(d) Ma´ximo: y =
√
3− pi3 em x = −pi3 ; Mı´nimo: y = −
√
3 + pi3 em x =
pi
3 ;
(e) Na˜o tem ma´ximo nem mı´nimo em −∞ < x <∞;
(f) Na˜o tem ma´ximo nem mı´nimo em −∞ < x <∞.

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