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Lista de Exercícios 6 - Integrais

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Sexta lista de exercícios 
 
 
1. Calcule, em cada caso, a área indicada: 
 
 
 
a) 
 
y
x
y = 3x - x - 22
 
b) 
 
y
x1 4
y = x
 
c) 
 
x
y
y = x + 2 - x2
 
d) 
 
y
x
y = 2 + x
3
4
_
 
e) 
 x
 y = x2
y = x - 2x + 42
y
 
f) 
 
x
y
y = 4x - x2
y = 4 - x2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 
 
y
y = x2
y = 8 - x2
x 
h) 
x
y
y = - 5x + 10
y = - x + 8x - 12
y = - x + 6x 
2
2
 
 
i) 
 
 
 x
 y = - 2x + 8
y = x - 2x + 42
y
 
j) 
x
y = 4x - 8
y = - x + 3x + 42y = 4 - x 2
y
 
 
 
k) 
 
y = cos ( x / 2 )
y = sen x 
y 
xπ 
 
 
 
2. Determine a diferencial de cada função a seguir: 
 
 a) b) c) 53 += xu 653 2 +−= tty xu ln= 
 
3. Calcule as seguintes integrais indefinidas: 
 
a) dx
x
xxx∫ +−+ 4 238 7953 b) dxxx∫ −+ 21 32 
c) d) ∫ + dxxe x ))5cos(7( 3 dxxxx 352 )13)(16( −+−+−∫ 
e) dx
x
x∫ + 3)(ln2 f) dxxx∫ ++ 21 53 
g) h) dxxxsen∫ cos5 dxe esene x xx∫ )cos( )(2 22 
i) 
j) (Sugestão: escreva sen
∫ dxx2cos
dxxsen∫ 3 3x = sen2x senx). 
k) dx
x
x∫ −1 2 (Sugestão: faça 1u x= − ) 
l) (Sugestão: escreva cosdxxsenx∫ 23cos 3x = cos2x .cosx). 
 
m) tg( )x dx∫ n) 2sec ( ) tg( )y y d⋅ y∫ 
 
o) 41
x dx
x+∫ p) 11 dxx+∫ 
 
q) 
3
1
1
dx
x −∫ r) 1 1ln dxx x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 
 
s) 2
1
1
x dx
x
+
+∫ t) 2 1
t
t
e dt
e +∫ 
 
u) 3 2x x dx⋅∫ 
 
4. Calcule as seguintes integrais definidas: 
a) . b) ∫ −41 2 )4( dxxx 31 x x dx∫ c) dxxx x∫− ++
3
3
24
3
1
 
d) 
4
1
ln
e
e
dv
v v∫ e) 
2
1
1u u du−∫ f) / 3 2
0
sen
cos
d
π θ θθ∫ 
 
g) ∫− +11 3 2 4 dxxx h) ∫ +− −32 2 512 dxxx x i) ∫ +− −10 32 )5( 12 dxxx x 
5. Considere , onde é a função cujo gráfico esta 
representado na figura a seguir. 
0
( ) ( )
x
G x f t dt= ∫ )(tf
 
Sabendo que as áreas das regiões , , e são , , 
 e , 
1R 2R 3R 4R 2)( 1 =RA 2)( 2 =RA
3)( 3 =RA 4)( 4 =RA
 
a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função G . 
b) Determine os pontos de máximo e de mínimo local da função . G
c) Marque no eixo x os pontos de inflexão da função G . 
d) Determine os intervalos onde o gráfico de possui concavidade para cima 
e onde possui concavidade para baixo. 
G
e) Calcule e . (0), (1), (2), (3)G G G G (4)G
f) Determine os pontos de máximo e de mínimo absolutos da função G no 
intervalo [ ]0, 4 . 
g) Faça um esboço do gráfico da função G . 
 
6. Em cada item, determine a função f sabendo que: 
 
a) 13)(' +−= xxf e que (2) 5f = . 
 
b) 
1
4)(' 2 −= x
xxf e que (0) 3f = − . 
 
c) ( ) cos( )f x x x′′ = + e que (0) 1f = e (0) 5f ′ = . 
7. Determine os possíveis valores de b para que .0)6(
0
3 =−∫ b dxxx
8. Em cada item, esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área 
dessa região. 
 
a) e . b) 2 5y x= − 2 6 5y x x= − + − | |y x= e . 2 2y x= −
 
c) , 1y x= + 29y x= − , e 1x = − 2x = . d) y = x e 2y x= . 
 
e) , seny x= cosy x= , e 0x = 2x π= . f) 24 1x y 2+ = e x y= . 
 
g) 21x y= − e h) 2 1x y= − 2( 1y x x )= − e . 0y =
 
9. Calcule a área entre o gráfico de 3y x= e sua reta tangente em 1x = . 
 
10. Em cada item calcule ( )f x′ se: 
a) 2
2
( ) cos( )
x
f x t= ∫ dt . b) 3 2
cos( )
( ) 3
x
f x t= ∫ dt c) 
21
3( ) 1
x
x
f x t
+
= −∫ dt . 
 
 
 
 
RESPOSTAS: 
 
1) a) 
6
1
 b) 
3
14
 c) 
3
10
 d) 3 e) 4 f) 
3
22
 g) 
3
32
 h) 
6
121
 i) 
3
32
 j) 
6
55
 k) 1 
2) a) du=3dx b) c) ( )dttdy 56 −=
x
dxdu = 
3) a) 3
5
3
79||ln5
5
3
xx
xx −++ b) ( )xx arcsen312 2 +−− c) ( )
5
5sen7
3
e3 xx + 
d) 
( )
8
133 3
8
2 −+− xx
 e) 
( )
4
lnln2
4xx + f) ( ) ( )xx arctg51ln
2
3 2 ++ g) 
6
sen6x
 
h) ( )|ecos|ln
2
1 2x− i) ( )
4
2sen
2
xx + j) 
3
coscos
3 xx +− k) ( ) ( ) ( )
5
12
3
1412 2
5
2
3
2
1 xxx −−−+−− 
l) 
5
sen
3
sen 53 xx − m) n) |cos|ln x−
2
tg2 y
 o) ( )2arctg
2
1 x p) ( )( )xx +− 1ln2 
q) 
( ) ( ) ( 1ln316
2
13 33
23
−+−+− xxx ) r) ( )x2ln
2
1− s) ( ) ( )xx arctg1ln
2
1 2 ++ 
t) ( )tearctg u) 373
7
23 x 
4) a) -9 b) ( 139
5
2 − ) c) 0 d) 2 e) 
15
16
 f) 1 g) 0 h) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
7
11ln i) 0 
6) a) 9
2
3 2 ++− xx b) c) 3|1|ln2 2 −−x 25cos
6
3
++− xxx 7) 0, 32± 
8) a) 9 b) 
3
20
 c) 
2
39
 d) 
3
1
 e) ( )122 − f) 
3
64
 g) 
3
8
 h) 
2
1
 
9) 
4
27
 10) a) ( )2cos x b) ( ) ( )xx sencos3 2 c) ( ) 332 1112 xxx −−+− 
 
 
 
	Sexta lista de exercícios

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