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C.V.G.A - AV APREND AULA 1 A 10 1) Dois segmentos orientados são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Sendo os vetores u→ e v→ representados, respectivamente, pelos segmentaos orientados AB^ e CD^ , temos: Resposta: u→ = v→ ⇔ AB^~CB^ 2) Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60o, marque a alternativa que indica o ângulo formado pelos vetores -u e v. Resposta: 120º 3) Indique a única resposta correta. Um vetor é chamado de versor se tem comprimento: Resposta: 1 4) Determinar o valor de a para que o vetor u=ae1+2e2+3e3 seja combinação linear dos vetores v=e1+4e2+5e3 e w=2e1+e3. Resposta: 3/2 5) Que características de um vetor precisamos conhecer para que ele fique determinado? Resposta: Direção, Intensidade e Sentido 6) Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60o, marque a alternativa que indica o ângulo formado pelos vetores u e -v. Resposta: 120º 7) Determinar o vetor unitário de u=(2,-1,3). Resposta: (2/V14 , -1/V14 , 3/V14) 8) Represente o vetor v que tenha a mesma direção e sentido que o vetor u=(3,4) e comprimento igual a 1. Resposta: (3/5,4/5) 9) Em uma cidade histórica no interior de Minas Gerais, a prefeitura utiliza o sistema de coordenadas cartesianas para representar no mapa do município, a localização dos principais pontos turísticos. Dois turistas italianos se encontraram no marco zero da cidade, representado pelo ponto A(0,0) e cada um deles decidiu ir para um ponto turístico diferente. Um deles foi para uma Igreja muito antiga construída na época do Império, que é representada no mapa pelo ponto B de coordenadas cartesianas (3,2). Já o outro turista foi para o museu dos Inconfidentes que é representado no mapa pelo ponto C de coordenadas cartesianas (4,3). De acordo com as informações acima, qual das alternativas abaixo representa, respectivamente os vetores AB e BC? Resposta: AB = 3i + 2j e BC = 1i + 1j 10) Dados os vetores u=(5,x,-2) , v=(x,3,2) e os pontos A(-1,5,-2) e B(3,2,4), determinar o valor de x tal que u.(v+BA)=10. Resposta: 2 11) Dados os vetores u=(2,-4) e v=(-5,1), determinar o vetor x tal que: 2(u-v)+1/3 x = 3u-x. Resposta: (-6,-3/2) 12) Determine o ponto médio do segmento AB, sendo A = (3, 1, 0) e B = (1, 5, 2). Resposta: (2, 3, 1) 13) Dados os pontos A = (1,3), B = (-2, 3), C = (2, -4) e D = (5, -1), determine as coordenadas do vetor V, tal que V = 2.VAB+3.VAC - 5VAD. Resposta: V = (-23,-1) 14) Dados os vetores u=3i-2j e w=-5i+3j, determine: 2v-3w+1/2 u Resposta: (37/2 , 8) 15) Dados os vetores abaixo, de módulo u = 4 e v = 5 conforme figura abaixo. Marque a alternativa que contém o valor do módulo do vetor soma u + v. Resposta: 7,8 16) Na soma de dois vetores de força, com módulos iguais a 2N e 3N, respectivamente, os módulos das forças podem variar no intervalo de: Resposta: 1 N a 5 N 17) Se os vetores u = (-1, 5) e v = (3, y) são paralelos, então podemos afirmar corretamente que: Resposta: y = -15 18) Determine o ponto médio do segmento AB, com A(5,-6) e B (3, 8). Resposta: (4, 1) 19) Determinar a e b de modo que os vetores u = (6, 2, 12) e v = (2, a, b) sejam paralelos. Resposta: a=2/3 e b = 4 20) Sendo A = (1,2,1) e B = (3, 4, 0), pontos de R3, o módulo do vetor VAB será: Resposta: 3 21) Sabendo que u = (x + 3 , 7) e v = (10 , 2y-3), de que forma u e v serão iguais? Resposta: Para x = 7 e y = 5 22) Dados os vetores u, v, e w iguais a u=(2,4,-6), v=(4,0,-6) e w=(6,2,0). Determine o vetor X, sabendo que: X.u = -32 X.v = 0 X.w = 6 Resposta: X= (2,-3,4) 23) Dados os vetores u=(-1,-2) e v = (2,-3) determine o vetor w a partir da equação, 3(u-v) + w2 = u - w. Resposta: (16/3,-10/3) 24) O versor do vetor v = (-3,4) é: Resposta: (-3/5;4/5) 25) Dados os vetores v=(2,1,-1) e u=(1,4,0) , o produto escalar e o produto vetorial são respectivamente iguais a: a) 6, 2i-3j-8k b) 14, 2i-3j-8 k c) 6, 4i-3j-8 k d) 14, 4i+ 3j+ 7k e) 6, 4i-j+7k Resposta: e) 6, 4i-j+7k 26) Determine o valor aproximado da área do triângulo formado pelos pontos A = (-2, 1, 0), B = (1, -2, 3) e C = (2, -1, 1). Resposta: 8,22 u.a. 27) P(0, 1, k), Q(2, 2k, k - 1) e R(- 1, 3, 1), determinar o valor inteiro de k de tal modo que o triângulo PQR seja retângulo em P. Resposta: 1 28) O volume do Paralelepípedo com um vértice na origem e arestas u= 2i + 2j + 5k, v= 10i e w= 6i + 10j é: Resposta: 500 29) Dados u = (k, 2) e v = (1, -3). Determine o valor de k para que o produto interno entre u e v seja u.v = -2. Resposta: K=4 30) Se A = (a, b, c) e B = (a+1, b+1, c+1) são pontos de R3, então o módulo do vetor VAB será: Resposta: Raiz quadrada de 3 31) Determine os valores de t, para os quais |v| = 3, sendo v = (2, -2, t). Resposta: t = -1 e t = 1 32) Sejam os vetores u = (2,3,4) e v = (-2,0,-5). o produto escalar de u e v é: Resposta: -24 33) Uma reta é dada pela equação x + 2y - 4 = 0. O valor de m para que o ponto P = (m - 3; 4) pertença a essa reta é: Resposta: m = -1 34) Sabe-se que as retas r: 2x + 3y - 1 = 0 e s: kx - 2y + 3 = 0 são paralelas. Nessas condições, o valor de k será: Resposta: k = -4/3 35) Determine o coeficiente angular da reta (x,y) = (1, 2) + t.(-1, 3), sendo t um número real. Resposta: -3 36) O ponto A(2, 1, k) pertence à reta que passa pelos pontos P(4, - 3, -1) e Q(3, - 1, 4). Podemos afirmar que k é: Resposta: Um múltiplo de 3. 37) Determine o coeficiente angular da reta de equação vetorial (x,y) = (-1, 1) + t.(2, -1), sendo t um número real. Resposta: -1/2 38) Escrever equações paramétricas da reta s que passa pelo ponto A(5, 6, 3) e é paralela à reta r: (2, 4, 11) + t.(0, 0, 1). Resposta: s: (5, 6, 3) + t.(0, 0, 1) 39) Considerando a equação paramétrica da reta r, analise as afirmativas abaixo. I. O vetor normal de r terá coordenadas (-5; 3); II. A reta r possui coeficiente angular m = -3/5; III. O ponto P = (-4; 5) pertence à reta r; Encontramos afirmativas verdadeiras somente em: Resposta: II e III 40) Qual a equação da reta abaixo que passa pelos pontos A (2,3) e B (4,6): Resposta: 3x + 2y = 0 41) Obtenha uma equação geral do plano que passa pelo ponto P(1, 1, 2) e é paralelo ao plano §: x - y + 2z + 1 = 0 Resposta: x - y + 2z - 4 = 0 42) Determine aproximadamente o ângulo entre os planos α1: 4x + 2y -2z +3 = 0 e α2: 2x +2y -z + 13 = 0. Resposta: 17,71° 43) Escrever a equação do plano determinado pelos pontos: A(0,3,-2), B(4,-7,-1) e C(2,0,1). Resposta: -27x-10y+8z+46 = 0 44) Os pontos A(2, 1, 4), B(0, 6, - 2) e C(- 5, 2, 4) pertencem a um mesmo plano. Qual é a equação geral do plano paralelo ao primeiro plano e que passa pela origem O(0, 0, 0)? Resposta: 2x + 14y + 11z = 0 45) Determinar a equação do plano que passa pelos pontos (1,1,-1) , (-2,-2,2) e ( 1,-1,2). Resposta: x-3y-2z=0 46) Uma equação linear com três variáveis determina um plano.Portanto Ax+By+Cz+D=0 é a equação geral de um plano e o vetor N=Ai+Bj+Ck é perpendicular a esse plano. Se D=0 o plano passa pela origem (0,0,0). Se A=0 (ou B=0,ou C=0) o plano é paralelo ao eixo dos x ( respectivamente , ou ao eixo dos y, ou ao eixo dos z). Dados os planos do R3 definidos pelas equações: α : 3x +4y -z =0 ; β: x+4z -10 = 0 ; π: 2x +y -3=0 conclua: Resposta: α é um plano que passa pela origem ; β é um plano paralelo ao eixo dos y e π é um plano paralelo ao eixo dos z. 47) Estabelecer a equação geral do plano determinado pelo pontos A(0,2,-4) , B(2,-2,1) e C(0,1,2) Resposta: -19x-12y-2z+16=0 48) A equação geral do plano que passa pelo ponto P (1, 4, 0 ), sendo n = ( 2, -1, 3 ) um vetor normal ao plano é: Resposta: 2x - y + 3z + 2 = 0 49) Calcular a distância do ponto A=(-2,3,1) ao plano π: 3x+2y+5z-1=0. Resposta: 4/V38 50) Determinar os valores de k para que o ponto P(-1,2,-4) diste 6 unidades do plano 2x-y+2z+k=0. Resposta: k=-6 ou k=30 51) Calcular a distância entre os pontos P1=(2;-1;3) e P2=(1,1,5) Resposta: 3 52) A distância entre um ponto P(x,y) e uma reta r: ax + by + c = 0, é dada pela fórmula d(P, r) = |a.x+b.y+c|a2+b2. Sendo assim, a menor distância entre o ponto P(7, -3) e a reta r: 8x + 6y + 17 = 0 é: Resposta: 5,5 53) Determine o valor aproximado da distância entre o ponto P=(0, 3) e a reta y = 3x - 1. Resposta: 2,21 u.c 54) O valor de x no ponto A(x; 2), para que este seja equidistante dos pontos B(1;0) e C(0;2), é: Resposta: x = 3/4 55) A equação da parábola de foco F(0,3) e diretriz d: y = -3 é: Resposta: x2-12y=0 56) A equação da parábola de foco F(-4,0) e diretriz d: x - 4 = 0 é: Resposta: y2+16x=0 57) A equação da parábola cujo vértice é a origem dos eixos coordenados, o eixo de simetria é o eixo y e passa pelo ponto P(-3,7) é: Resposta: x2-97y=0 58) Os valores de b para os quais a parábola y = x2+ bx tem um único ponto em comum com a reta y = x - 1 são: Resposta: -1 e 3 59) A equação da parábola cuja diretriz é y+1=0 e o foco é dado pelo ponto (4, -3) é: Resposta: (x-4)^2=-4(y+2) 60) A equação da parábola de foco F(0,-3/2) e diretriz d: y - 3/2 = 0 é: Resposta: x2+6y=0 61) A Equação da parábola com foco em F = (1, 3) e diretriz de equação y = -1 é: Resposta: (x - 1)2 = 8(y - 1) 62) A equação da parábola de foco F(0,1) e diretriz de equação y + 1 = 0 é: Resposta: x2 = 4y 63) Uma elipse de focos F1=(0,5) e F2=(0,-5) e que passa pelo ponto A =( 0,13), terá equação Resposta: x2/144 + y2/169 = 1 64) Dada as coordenadas dos focos F1(0,+3) e F2(0,-3), das extremidades maior da elipse A1(0,+4) e A2(0,-4) e excentricidade 3/4, escreva a equação reduzida desta elipse. Resposta: (X2/16) + (Y2/7) = 1 65) Determinar a equação reduzida, o centro(C), o semi eixo maior (A1 e A2) e a excentricidade (e) da elípse: 9X2 + 16Y2 -36X +96Y +36 = 0 Resposta: (X - 2)2 / 16 + (Y + 3)2 / 9 = 1; C(2,-3); A1(-2, -3); A2(6,-3); e = raiz(7) / 4 66) Uma elipse de focos F1= (12,0) e F2=(-12,0) e eixo menor igual a 10 terá equação Resposta: x2/169 + y2/25 = 1 67) Dada a elipse 9x2+5y2+54x-40y-19= 0 , a equação na forma reduzida é. Resposta: (x+3)220+(y-4)236=1 68) A elipse de equação 9(x - 3)2 + 8(y - 7)2 = 72 terá seu centro em Resposta: C = (3, 7) 69) Indique respectivamente a equação reduzida e a excentricidade da elipse, sabendo que ela tem focos F1(3,0) e F2(-3,0), e o comprimento do eixo maior igual 8. Resposta: x216+y27=1; e = 34 70) A intersecção da parábola y2 = 8x e sua diretriz com a elípse x2/36 + y2/18 = 1 determinam os pontos M, N, P, Q. Calcular a área do quadrilátero MNPQ. Resposta: 32 71) A expressão x2+2y2-4x-4y-2=0 é uma: Resposta: elipse 72) Encontre a área do triângulo de vértices A(1, 2, 5) B(3, 4, -1) e C(-2, -1, 4) Resposta: 10 x (2) 1/2 73) A cônica representada pela equação 3x²-4y²+8y-16=0 é: Resposta: hipérbole 74) Determine a distância do ponto P(1,-2,1) ao plano determinado pelos pontos A(2,4,1), B(-1,0,1) e C(0,2,1) Resposta: 1413 unidades de comprimento 75) Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60o, marque a alternativa que indica o ângulo formado pelos vetores -u e -v. Resposta: 60º 76) Dado um ponto F e uma reta r de um plano alfa, onde F não pertence a reta r. O conjunto dos pontos desse plano alfa equidistante de r e F é conhecido como: Resposta: parábola 77) Fixados dois pontos F1 e F2 de um plano alfa, tal que a distância entre F1 e F2 é igual a 2c, com c > 0. O conjunto dos pontos P ao plano alfa cuja diferença, em módulo, das distâncias PF1 e PF2 é uma constante 2a, com 0 < 2a < 2c é conhecido como: Resposta: hipérbole 78) Encontre a distância entre os pontos P1(1, 0, 1) e P2(2, -1, 0). Resposta: 3
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