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AV APREND AULA 1 A 10 CVGA

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C.V.G.A - AV APREND AULA 1 A 10
1) Dois segmentos orientados são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Sendo os vetores  u→ e  v→ representados, respectivamente, pelos  segmentaos orientados AB^  e  CD^ ,  temos: 
Resposta: u→ = v→ ⇔ AB^~CB^ 
2) Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60o, marque a alternativa que indica o ângulo formado pelos vetores -u e v. 
Resposta: 120º
3) Indique a única resposta correta. Um vetor é chamado de versor se tem comprimento: 
Resposta: 1
4) Determinar o valor de a para que o vetor u=ae1+2e2+3e3 seja combinação linear dos vetores v=e1+4e2+5e3 e w=2e1+e3. 
Resposta: 3/2 
5) Que características de um vetor precisamos conhecer para que ele fique determinado? 
Resposta: Direção, Intensidade e Sentido 
6) Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60o, marque a alternativa que indica o ângulo formado pelos vetores u e -v. 
Resposta: 120º
7) Determinar o vetor unitário de u=(2,-1,3). 
Resposta: (2/V14 , -1/V14 , 3/V14) 
8) Represente o vetor v que tenha a mesma direção e sentido que o vetor u=(3,4) e comprimento igual a 1. 
Resposta: (3/5,4/5) 
9) Em uma cidade histórica no interior de Minas Gerais, a prefeitura utiliza o sistema de coordenadas cartesianas para representar no mapa do município, a localização dos principais pontos turísticos. Dois turistas italianos se encontraram no marco zero da cidade, representado pelo ponto A(0,0) e cada um deles decidiu ir para um ponto turístico diferente. Um deles foi para uma Igreja muito antiga construída na época do Império, que é representada no mapa pelo ponto B de coordenadas cartesianas (3,2). Já o outro turista foi para o museu dos Inconfidentes que é representado no mapa pelo ponto C de coordenadas cartesianas (4,3). De acordo com as informações acima, qual das alternativas abaixo representa, respectivamente os vetores AB e BC? 
Resposta: AB = 3i + 2j   e   BC = 1i + 1j 
10) Dados os vetores u=(5,x,-2) , v=(x,3,2) e os pontos A(-1,5,-2) e B(3,2,4), determinar o valor de x tal que u.(v+BA)=10. 
Resposta: 2
11) Dados os vetores u=(2,-4) e v=(-5,1), determinar o vetor x tal que: 2(u-v)+1/3 x = 3u-x. 
Resposta: (-6,-3/2) 
12) Determine o ponto médio do segmento AB, sendo A = (3, 1, 0) e B = (1, 5, 2). 
Resposta: (2, 3, 1) 
13) Dados os pontos A = (1,3), B = (-2, 3), C = (2, -4) e D = (5, -1), determine as coordenadas do vetor V, tal que V = 2.VAB+3.VAC - 5VAD. 
Resposta: V = (-23,-1) 
14) Dados os vetores u=3i-2j e w=-5i+3j, determine: 2v-3w+1/2 u 
Resposta: (37/2 , 8) 
15) Dados os vetores abaixo, de módulo u = 4 e v = 5 conforme figura abaixo. Marque a alternativa que contém o valor  do módulo do vetor soma u + v.
Resposta: 7,8 
16) Na soma de dois vetores de força, com módulos iguais a 2N e 3N, respectivamente, os módulos das forças podem variar no intervalo de: 
Resposta: 1 N a 5 N 
17) Se os vetores u = (-1, 5) e v = (3, y) são paralelos, então podemos afirmar corretamente que: 
Resposta: y = -15 
18) Determine o ponto médio do segmento AB, com A(5,-6) e B (3, 8). 
Resposta: (4, 1) 
19) Determinar a e b de modo que os vetores u = (6, 2, 12) e v = (2, a, b) sejam paralelos. 
Resposta: a=2/3 e b = 4 
20) Sendo A = (1,2,1) e B = (3, 4, 0), pontos de R3, o módulo do vetor VAB será: 
Resposta: 3
21) Sabendo que u = (x + 3 , 7) e v = (10 , 2y-3), de que forma u e v serão iguais? 
Resposta: Para x = 7 e y = 5 
22) Dados os vetores u, v, e w iguais a u=(2,4,-6), v=(4,0,-6) e w=(6,2,0). Determine o vetor X, sabendo que: X.u = -32 X.v = 0 X.w = 6 
Resposta: X= (2,-3,4) 
23) Dados os vetores u=(-1,-2) e v = (2,-3) determine o vetor w a partir da equação, 3(u-v) + w2 = u - w. 
Resposta: (16/3,-10/3) 
24) O versor do vetor v = (-3,4) é:  
Resposta: (-3/5;4/5) 
25) Dados os vetores v=(2,1,-1) e u=(1,4,0) , o produto escalar e o produto vetorial são respectivamente iguais a:
a) 6, 2i-3j-8k
b) 14, 2i-3j-8 k
c) 6, 4i-3j-8 k
d) 14, 4i+ 3j+ 7k
e) 6, 4i-j+7k
Resposta: e) 6, 4i-j+7k 
26) Determine o valor aproximado da área do triângulo formado pelos pontos A = (-2, 1, 0), B = (1, -2, 3) e C = (2, -1, 1). 
Resposta: 8,22 u.a. 
27) P(0, 1, k), Q(2, 2k, k - 1) e R(- 1, 3, 1), determinar o valor inteiro de k de tal modo que o triângulo PQR seja retângulo em P. 
Resposta: 1
28) O volume do Paralelepípedo com um vértice na origem e arestas u= 2i + 2j + 5k,  v= 10i e w= 6i + 10j é: 
Resposta: 500
29) Dados u = (k, 2) e v = (1, -3). Determine o valor de k para que o produto interno entre u e v seja u.v = -2. 
Resposta: K=4
30) Se A = (a, b, c) e B = (a+1, b+1, c+1) são pontos de R3, então o módulo do vetor VAB será: 
Resposta: Raiz quadrada de 3 
31) Determine os valores de t, para os quais |v| = 3, sendo v = (2, -2, t).  
Resposta: t = -1 e t = 1 
32) Sejam os vetores u = (2,3,4) e v = (-2,0,-5). o produto escalar de u e v é: 
Resposta: -24
33) Uma reta é dada pela equação x + 2y - 4 = 0. O valor de m para que o ponto P = (m - 3; 4) pertença a essa reta é: 
Resposta: m = -1 
34) Sabe-se que as retas r: 2x + 3y - 1 = 0 e s: kx - 2y + 3 = 0 são paralelas. Nessas condições, o valor de k será: 
Resposta: k = -4/3 
35) Determine o coeficiente angular da reta (x,y) = (1, 2) + t.(-1, 3), sendo t um número real. 
Resposta: -3 
36) O ponto A(2, 1, k) pertence à reta que passa pelos pontos P(4, - 3, -1) e Q(3, - 1, 4). Podemos afirmar que k é: 
Resposta: Um múltiplo de 3. 
37) Determine o coeficiente angular da reta de equação vetorial (x,y) = (-1, 1) + t.(2, -1), sendo t um número real.
Resposta: -1/2 
38) Escrever equações paramétricas da reta s que passa pelo ponto A(5, 6, 3) e é paralela à reta r: (2, 4, 11) + t.(0, 0, 1). 
Resposta: s: (5, 6, 3) + t.(0, 0, 1) 
39) Considerando a equação paramétrica da reta r, analise as afirmativas abaixo.
I. O vetor normal de r terá coordenadas (-5; 3);
II. A reta r possui coeficiente angular m = -3/5;
III. O ponto P = (-4; 5) pertence à reta r;
Encontramos afirmativas verdadeiras somente em:
Resposta: II e III 
40) Qual a equação da reta abaixo que passa pelos pontos A (2,3) e B (4,6): 
Resposta: 3x + 2y = 0 
41) Obtenha uma equação geral do plano que passa pelo ponto P(1, 1, 2) e é paralelo ao plano §: x - y + 2z + 1 = 0 
Resposta: x - y + 2z - 4 = 0 
42) Determine aproximadamente o ângulo entre os planos α1: 4x + 2y -2z +3 = 0 e α2: 2x +2y -z + 13 = 0.
Resposta: 17,71° 
43) Escrever a equação do plano determinado pelos pontos: A(0,3,-2), B(4,-7,-1) e C(2,0,1). 
Resposta: -27x-10y+8z+46 = 0 
44) Os pontos A(2, 1, 4), B(0, 6, - 2) e C(- 5, 2, 4) pertencem a um mesmo plano. Qual é a equação geral do plano paralelo ao primeiro plano e que passa pela origem O(0, 0, 0)? 
Resposta: 2x + 14y + 11z = 0 
45) Determinar a equação do plano que passa pelos pontos (1,1,-1) , (-2,-2,2) e ( 1,-1,2). 
Resposta: x-3y-2z=0 
46) Uma equação linear com três variáveis determina um plano.Portanto Ax+By+Cz+D=0 é a equação geral de um plano e o vetor N=Ai+Bj+Ck é perpendicular a esse plano. Se D=0 o plano passa pela origem (0,0,0). Se A=0 (ou B=0,ou C=0) o plano é paralelo ao eixo dos x ( respectivamente , ou  ao eixo dos y, ou ao eixo dos z).
Dados os planos do R3 definidos pelas equações:
 α : 3x +4y -z  =0  ;  β: x+4z -10 = 0 ; π: 2x +y -3=0 conclua:
Resposta: α é um plano que passa pela origem ; β é um plano paralelo ao eixo dos y  e  π é um plano paralelo ao eixo dos z. 
47) Estabelecer a equação geral do plano determinado pelo pontos A(0,2,-4) , B(2,-2,1) e C(0,1,2) 
Resposta: -19x-12y-2z+16=0 
48) A equação geral do plano que passa pelo ponto P (1, 4, 0 ), sendo n = ( 2, -1, 3 ) um vetor normal ao plano é: 
Resposta: 2x - y + 3z + 2 = 0 
49) Calcular a distância do ponto A=(-2,3,1) ao plano π: 3x+2y+5z-1=0. 
Resposta: 4/V38 
50) Determinar os valores de k para que o ponto P(-1,2,-4) diste 6 unidades do plano 2x-y+2z+k=0. 
Resposta: k=-6
ou k=30 
51) Calcular a distância entre os pontos P1=(2;-1;3) e P2=(1,1,5) 
Resposta: 3
52) A distância entre um ponto P(x,y) e uma reta r: ax + by + c = 0, é dada pela fórmula d(P, r) = |a.x+b.y+c|a2+b2. Sendo assim, a menor distância entre o ponto P(7, -3) e a reta r: 8x + 6y + 17 = 0 é: 
Resposta: 5,5 
53) Determine o valor aproximado da distância entre o ponto P=(0, 3) e a reta y = 3x - 1. 
Resposta: 2,21 u.c 
54) O valor de x no ponto A(x; 2), para que este seja equidistante dos pontos B(1;0) e C(0;2), é: 
Resposta: x = 3/4 
55) A equação da parábola de foco F(0,3) e diretriz d: y = -3 é: 
Resposta: x2-12y=0 
56) A equação da parábola de foco F(-4,0) e diretriz d: x - 4 = 0 é: 
Resposta: y2+16x=0 
57) A equação da parábola cujo vértice é a origem dos eixos coordenados, o eixo de simetria é o eixo y e passa pelo ponto P(-3,7) é: 
Resposta: x2-97y=0 
58) Os valores de b para os quais a parábola y = x2+ bx tem um único ponto em comum com a reta y = x - 1 são: 
Resposta: -1 e 3 
59) A equação da parábola cuja diretriz é y+1=0 e o foco é dado pelo ponto (4, -3) é: 
Resposta: (x-4)^2=-4(y+2) 
60) A equação da parábola de foco F(0,-3/2) e diretriz d: y - 3/2 = 0 é: 
Resposta: x2+6y=0 
61) A Equação da parábola com foco em F = (1, 3) e diretriz de equação y = -1 é: 
Resposta: (x - 1)2 = 8(y - 1) 
62) A equação da parábola de foco F(0,1) e diretriz de equação y + 1 = 0 é: 
Resposta: x2 = 4y 
63) Uma elipse de focos F1=(0,5) e F2=(0,-5) e que passa pelo ponto A =( 0,13), terá equação
Resposta: x2/144 + y2/169 = 1 
64) Dada as coordenadas dos focos F1(0,+3) e F2(0,-3), das extremidades maior da elipse A1(0,+4) e A2(0,-4) e excentricidade 3/4, escreva a equação reduzida desta elipse. 
Resposta: (X2/16) + (Y2/7) = 1 
65) Determinar a equação reduzida, o centro(C), o semi eixo maior (A1 e A2) e a excentricidade (e) da elípse: 9X2 + 16Y2 -36X +96Y +36 = 0
Resposta: (X - 2)2 / 16 + (Y + 3)2 / 9 = 1; C(2,-3); A1(-2, -3); A2(6,-3); e = raiz(7) / 4 
66) Uma elipse de focos F1= (12,0) e F2=(-12,0) e eixo menor igual a 10 terá equação 
Resposta: x2/169 + y2/25 = 1 
67) Dada a elipse 9x2+5y2+54x-40y-19= 0 , a equação na forma reduzida é. 
Resposta: (x+3)220+(y-4)236=1 
68) A elipse de  equação 9(x - 3)2 + 8(y - 7)2 = 72 terá seu centro em 
Resposta: C = (3, 7) 
69) Indique respectivamente a equação reduzida e a excentricidade da elipse, sabendo que ela tem focos F1(3,0) e F2(-3,0), e o comprimento do eixo maior igual 8. 
Resposta: x216+y27=1; e = 34 
70) A intersecção da parábola y2 = 8x e sua diretriz com a elípse x2/36 + y2/18 = 1 determinam os pontos M, N, P, Q. Calcular a área do quadrilátero MNPQ. 
Resposta: 32
71) A expressão x2+2y2-4x-4y-2=0 é uma: 
Resposta: elipse 
72) Encontre a área do triângulo de vértices A(1, 2, 5) B(3, 4, -1) e C(-2, -1, 4) 
Resposta: 10  x (2) 1/2  
73) A cônica representada pela equação 3x²-4y²+8y-16=0 é: 
Resposta: hipérbole 
74) Determine a distância do ponto P(1,-2,1) ao plano determinado pelos pontos A(2,4,1), B(-1,0,1) e C(0,2,1) 
Resposta: 1413 unidades de comprimento 
75) Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60o, marque a alternativa que indica o ângulo formado pelos vetores -u e -v. 
Resposta: 60º
76) Dado um ponto F e uma reta r de um plano alfa, onde F não pertence a reta r. O conjunto dos pontos desse plano alfa equidistante de r e F é conhecido como: 
Resposta: parábola 
77) Fixados dois pontos F1 e F2 de um plano alfa, tal que a distância entre F1 e F2 é igual a 2c, com c > 0. O conjunto dos pontos P ao plano alfa cuja diferença, em módulo, das distâncias PF1 e PF2 é uma constante 2a, com 0 < 2a < 2c é conhecido como: 
Resposta: hipérbole 
78) Encontre a distância entre os pontos P1(1, 0, 1) e P2(2, -1, 0). 
Resposta: 3

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