Caracterizacão de vetores coplanares

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Caracterizac¸a˜o de vetores coplanares
Teorema: Treˆs vetores U, V e W em R3 sa˜o coplanares se
〈U,V ×W 〉 = det
 u1 u2 u3v1 v2 v3
w1 w2 w3
 = 0
Geometricamente, para U, V e W serem coplanares, U deve ser ortogonal
a V ×W .
Ou, equivalentemente, o volume do paralelep´ıpedo determinado por U, V
e W deve ser igual a zero. 3 / 6
Exemplo: caracterizac¸a˜o de pontos coplanares
1. Verifique se os seguintes pontos pertencem a um mesmo plano.
A = (2, 3, 3) , B = (4, 1, 3) , C = (2, 5, 1) , D = (3, 3, 2)
Soluc¸a˜o:
−→
AB = (2,−2, 0) , −→AC = (0, 2,−2) , −→AD = (1, 0,−1)
〈−→AB,−→AC ×−→AD〉 = det
 2 −2 00 2 −2
1 0 −1
 = −2 + 2 = 0
Portanto os pontos A, B, C e D sa˜o coplanares.
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