Prova de Análise Real com Gabarito - 7 Questões

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MAT0206/MAP0216 - Ana´lise Real - IME - 2007
Prof. Gla´ucio Terra
P1 - 07/05/2007
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No. USP: RG:
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Nota:
ESCOLHA 5 QUESTO˜ES. CADA QUESTA˜O VALE 2 PONTOS. BOA PROVA!!
1-) Um subconjunto X ⊂ R diz-se denso em R se todo intervalo aberto de R conte´m algum ponto de X.
Um nu´mero real diz-se alge´brico se for raiz de algum polinoˆmio na˜o identicamente nulo e com coeficientes
inteiros, e diz-se transcendente se na˜o for alge´brico. Mostre que: (a) o conjunto dos nu´meros alge´bricos
e´ enumera´vel e denso em R; (b) o conjunto dos nu´meros transcendentes e´ na˜o-enumera´vel e denso em R.
Demonstrac¸a˜o: (a) Denote por Pn(Z) o conjunto dos polinoˆmios com coeficientes inteiros de grau
menor ou igual a n. Enta˜o Pn(Z) e´ enumera´vel; com efeito, a aplicac¸a˜o (a0, . . . , an) ∈ Z
n+1 7→ p(x) = a0+
a1x+ · · · anx
n+1 ∈ Pn(Z) e´ uma bijec¸a˜o de Z
n+1 sobre Pn(Z), e Z
n+1 e´ enumera´vel (por ser Z enumera´vel
e por ser enumera´vel o produto cartesiano finito conjuntos enumera´veis, conforme demonstrado em aula).
Assim, o conjunto P (Z) formado por todos os polinoˆmios com coeficientes inteiros e´ enumera´vel, pois
P (Z) = ∪n∈NPn(Z), ou seja, e´ a reunia˜o de uma famı´lia enumera´vel de conjuntos enumera´veis. Associe,
a cada polinoˆmio p ∈ P (Z), o conjunto Rp ⊂ R formado por todas as ra´ızes reais de p; enta˜o Rp e´ um
conjunto finito (em particular, enumera´vel), pois todo polinoˆmio tem um nu´mero finito de ra´ızes. Ora,
o conjunto dos nu´meros alge´bricos e´ a reunia˜o da famı´lia (Rp)p∈P (Z), portanto e´ enumera´vel, por ser a
reunia˜o de uma famı´lia enumera´vel de conjuntos enumera´veis. Ale´m disso, tal conjunto e´ denso em R,
pois conte´m o conjunto Q dos racionais, que ja´ demonstramos ser denso em R.
(b) Todo intervalo aberto na˜o-vazio conte´m algum nu´mero transcendente; caso contra´rio, um tal
intervalo conteria apenas nu´meros alge´bricos, portanto seria enumera´vel (e ja´ demonstramos que todo
intervalo na˜o-degenerado e´ na˜o-enumera´vel).
�
2-) Prove o crite´rio de Abel : se
∑
an e´ convergente e (bn)n∈N e´ uma sequ¨eˆncia decrescente de termos
positivos, enta˜o
∑
anbn e´ convergente.
Demonstrac¸a˜o: A sequ¨eˆncia (bn)n∈N e´ decrescente e limitada inferiormente (pois, por hipo´tese, bn > 0
para todo n ∈ N). Assim, tomando-se c
.
= inf{bn : n ∈ N}, tem-se bn → c. Portanto, n ∈ N 7→ (bn − c) e´
uma sequ¨eˆncia decrescente, de termos positivos, e converge para zero. Como a sequ¨eˆncia das reduzidas
da se´rie
∑
an e´ limitada (uma vez que a referida se´rie e´ convergente, por hipo´tese), segue-se do crite´rio de
Dirichlet (demonstrado em aula) que a se´rie
∑
(bn − c)an e´ convergente. Ora, sendo
∑
c an convergente
(pois
∑
an o e´), segue-se que
∑
anbn =
∑
(bn − c)an +
∑
c an e´ convergente. �
3-) Um conjunto X ⊂ R diz-se discreto se todos os seus pontos forem isolados. Demonstre que:
(a) Todo conjunto discreto e´ enumera´vel.
(b) Se X ⊂ R e´ compacto e discreto, enta˜o X e´ finito.
1
Demonstrac¸a˜o: (a) Seja X um conjunto discreto. Tome E ⊂ X um subconjunto enumera´vel denso
em X (existe, pois, conforme demonstrado em aula, todo subconjunto de R possui um subconjunto
enumera´vel denso). Afirmo que E = X; com efeito, dado a ∈ X, existe δ > 0 tal que (a− δ, a+ δ)∩X =
{a}, portanto a ∈ E (caso contra´rio E na˜o seria denso em X), donde X ⊂ E.
(b) Para cada x ∈ X, tome δx > 0 tal que, pondo Ax
.
= (x − δx, x + δx), tem-se Ax ∩ X = {x}.
Assim, (Ax)x∈X e´ uma cobertura aberta do compacto X, da qual se pode extrair (por Borel-Lebesgue)
uma subcobertura finita (Axi)16i6n. Ora, para cada i ∈ {1, . . . , n}, Axi ∩ X = {xi}, portanto X =
(∪16i6nAxi) ∩X = ∪16i6n(Axi ∩X) = ∪16i6n{xi} = {x1, . . . , xn} e´ finito. �
4-) Uma func¸a˜o φ : [a, b] → R diz-se uma func¸a˜o escada se existirem a = a0 < a1 < · · · < an = b tais que
φ|]ai−1,ai[ e´ constante (= ci), para 1 6 i 6 n. Prove que, se f : [a, b] → R e´ uma func¸a˜o cont´ınua, para
todo ǫ > 0 existe φ : [a, b] → R escada tal que
(
∀x ∈ [a, b]
)
0 6 f(x)− φ(x) < ǫ.
Demonstrac¸a˜o: A func¸a˜o f : [a, b] → R e´ cont´ınua no compacto [a, b], portanto e´ uniformemente
cont´ınua (conforme ja´ demonstrado em aula). Assim, dado ǫ > 0, existe δ > 0 tal que, dados x, y ∈ [a, b]
com |x − y| < δ, tem-se |f(x) − f(y)| < ǫ. Tome a = a0 < a1 < · · · < an = b tais que |ai − ai−1| < δ
para 1 6 i 6 n, e φ : [a, b] → R dada por: (i)
(
∀ i ∈ {1, . . . , n}
)
φ|[ai−1,ai[ = cte. = f(ci), onde
ci ∈ [ai−1, ai] e´ um ponto de mı´nimo de f em [ai−1, ai] (que existe, pelo teorema de Weierstrass) e (ii)
φ(b) = f(b). Enta˜o φ e´ uma func¸a˜o escada e, dado x ∈ [a, b], tem-se: (i) ou existe i ∈ {1, . . . , n} tal que
x ∈ [ai−1, ai[, portanto φ(x) = f(ci) 6 f(x) e f(x) − φ(x) = |f(x) − φ(x)| = |f(x) − f(ci)| < ǫ, pois
|x− ci| < |ai − ai−1| < δ; (ii) ou x = b, portanto φ(x) = f(x). �
5-) Sejam K,F ⊂ R na˜o-vazios, K compacto e F fechado. Mostre que existem x0 ∈ K e y0 ∈ F tais que(
∀x ∈ K,∀ y ∈ F
)
|x0 − y0| 6 |x− y|. Deˆ um exemplo de dois conjuntos fechados e disjuntos F,G tais
que inf{|x− y| | x ∈ F, y ∈ G} = 0.
Demonstrac¸a˜o:
(a) O conjunto {|x − y| : x ∈ K e y ∈ F} ⊂ R e´ limitado inferiormente (por zero), portanto existe
d
.
= inf{|x − y| : x ∈ K e y ∈ F} > 0. Verifiquemos que este ı´nfimo e´ um mı´nimo, i.e. existem x0 ∈ K
e y0 ∈ F tais que |x0 − y0| = d. Para cada n ∈ N, pela definic¸a˜o de ı´nfimo segue-se que d + 1/n na˜o e´
cota inferior do referido conjunto, portanto existem xn ∈ K e yn ∈ F tais que d 6 |xn − yn| < d+ 1/n.
Como 1/n → 0, segue-se do teorema do confronto que as sequ¨eˆncias (xn)n∈N e (yn)n∈N sa˜o tais que
|xn − yn| → d. Ale´m disso, por ser (xn)n∈N uma sequ¨eˆncia no compacto K, podemos supor, passando a
uma sua subsequ¨eˆncia, se necessa´rio, que a mesma converge para x0 ∈ K (i.e. se a referida sequ¨eˆncia na˜o
fosse convergente, poder´ıamos substitu´ı-la por uma sua subsequ¨eˆncia convergente, com limite em K, cuja
existeˆncia e´ assegurada pela propriedade de Bolzano-Weierstrass). Segue-se da definic¸a˜o de sequ¨eˆncia
convergente que existe n0 ∈ N tal que |xn − x0| 6 1 para n > n0; assim, pela desigualdade triangular,
segue-se
(
∀n > n0
)
|yn − x0| 6 |yn − xn| + |xn − x0| 6 1/n + 1 < 2. Consequ¨entemente, (yn)n>n0 e´
uma sequ¨eˆncia no conjunto F ∩ [x0 − 2, x0 +2], que e´ compacto (e´ fechado, por ser a intersecc¸a˜o de dois
fechados, e limitado, por estar contido no conjunto limitado [x0 − 2, x0 + 2]). Por Bolzano-Weierstrass,
tal sequ¨eˆncia possui uma subsequ¨eˆncia (ynk)k∈N convergente para y0 ∈ F . Ora, xnk → x0 e ynk → y0
implica |xnk − ynk | → |x0 − y0|; como tambe´m |xnk − ynk | → d, segue-se que d = |x0− y0|, por unicidade
do limite.
(b) Tome F
.
= N e G
.
= {n + 1/n | n ∈ Z}. Enta˜o F e G sa˜o fechados, disjuntos, e inf{|x − y| | x ∈
F, y ∈ G} = 0, pois (n+ 1/n)− n = 1/n→ 0. �
6-) Seja f : R → R cont´ınua. Se limx→+∞ f(x) = limx→−∞ f(x) = +∞, enta˜o f tem um ponto de mı´nimo
x0 (i.e. existe x0 ∈ R tal que f(x0) = min f(R)).
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Demonstrac¸a˜o: Seja a ∈ R. Como limx→+∞ f(x) = limx→−∞ f(x) = +∞, existe M > 0 tal
que f(x) > f(a) se x ∈ (M,+∞) ou x ∈ (−∞,−M). Podemos tomar M > |a|. Pelo teorema de
Weierstrass, f |[−M,M ] tem um ponto de mı´nimo x0 ∈ [−M,M ]. Enta˜o x0 e´ ponto de mı´nimo de f ,
pois,
(
∀x ∈ [−M,M ]
)
f(x) > f(x0) e
(
∀x ∈ (−∞,−M) ∪ (M,+∞)
)
f(x) > f(a) > f(x0) (a u´ltima
desigualdade deve-se ao fato de que M > |a|, portanto a ∈ [−M,M ]). �
7-) Sejam X ⊂ R e f : X → R tal que, para todo ǫ > 0, existe g : X → R cont´ınua tal que
(
∀x ∈
X
)
|f(x)− g(x)| < ǫ. Enta˜o f e´ cont´ınua.
Demonstrac¸a˜o: Sejam x0 ∈ X e ǫ > 0. Por hipo´tese, existe g : X → R cont´ınua tal que
(
∀x ∈
X
)
|f(x)−g(x)| < ǫ/3. Sendo g cont´ınua em x0, existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ X tal que |x−x0| < δ,
tem-se |g(x) − g(x0)| < ǫ/3. Assim, aplicando-se a desigualdade triangular,conclui-se que para todo
x ∈ X tal que |x − x0| < δ, tem-se |f(x) − f(x0)| 6 |f(x) − g(x)| + |g(x) − g(x0)| + |g(x0) − f(x0)| <
ǫ/3 + ǫ/3 + ǫ/3 = ǫ. �
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