3TVC 2011 - ALGEBRA LINEAR

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3o TVC de A´lgebra Linear — Turma B — 02/12/2011
Prof. Lu´ıs Fernando Crocco Afonso
1. Seja
A =
 1 −1 0−1 2 1
0 1 1
 .
(a) Determine uma matriz P tal que D = P tAP seja diagonal.
(b) Exiba D.
2. Seja T : R2 → R2 linear. Sabendo que u=(1,1), v=(1,-1) sa˜o autovetores associados aos autova-
lores 2 e 4, respectivamente, determine T(x,y).
3. Seja T : R3 → R3 linear dada por T (x, y, z) = (x + 2y + 2z, x + 2y − z,−x + y + 4). Determine
uma base para cada autoespac¸o de T .
4. Determine todos os valores de a, b e c para os quais a matriz
A =
 1 a b0 1 c
0 0 1

e´ diagonaliza´vel.
5. Determine as poss´ıveis formas canoˆnicas de Jordan para as matrizes cujos polinoˆmios caracter´ıstico
e minimal sa˜o
(a) p(t) = (t− 2)7 e m(t) = (t− 2)3.
(b) p(t) = (t− 3)4(t− 5)4 e m(t) = (t− 3)2(t− 5)2.