Lista2 Escalonamento e sistemas lineares

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
Campus Blumenau
Disciplina: BLU6005 – A´lgebra Linear
Professora: Bruno Tadeu Costa (b.t.costa@ufsc.br)
2a LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Determine se as matrizes esta˜o na forma escalonada reduzida:
(a)
1 0 00 1 0
0 0 1

(b)
0 1 00 0 1
0 0 0

(c)
1 0 00 0 1
0 0 0

(d)
0 0 01 0 0
0 0 0

(e)
1 0 00 1 0
0 2 1

(f)

1 2 0 3 0
0 0 1 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0

(g)
1 0 0 50 0 1 3
0 1 0 4

(h)
[
1 0 3 1
0 1 2 4
]
2. Descreva todas as poss´ıveis matrizes 2× 2 na forma escalonada reduzida.
3. Escreva as matrizes abaixo na forma escalonada reduzida.
(a)
1 −2 3 −12 −1 2 3
3 1 2 3

(b)

0 2 2
1 1 3
3 −4 2
2 −3 1
 (c)
0 1 3 −22 1 −4 3
2 3 2 −1

4. Responda:
(a) Quais sa˜o as operac¸o˜es elementares sobre linhas?
(b) Quando efetuamos operac¸o˜es elementares sobre linhas, o que ocorre com o conjunto
soluc¸a˜o do sistema linear (caso exista)?
(c) Se conseguimos identificar duas soluc¸o˜es distintas de um sistema linear, o que
podemos afirmar a respeito do conjunto soluc¸a˜o?
(d) Quais sa˜o os treˆs “cena´rios” poss´ıveis para as soluc¸o˜es de um sistema linear?
(e) O que sa˜o a matriz dos coeficientes e a matriz ampliada de um sistema linear?
(f) O que e´ o posto de uma matriz?
(g) Em termos do nu´mero de inco´gnitas do sistema e dos postos das matrizes ampliada
e dos coeficientes, quando um sistema e´ poss´ıvel com uma u´nica soluc¸a˜o, poss´ıvel
com infinitas soluc¸o˜es ou imposs´ıvel?
5. Nos itens abaixo, temos as formas escalonadas reduzidas das matrizes ampliadas de
oito sistemas lineares. Resolva cada sistema.
(a)
1 0 0 −30 1 0 0
0 0 1 7

(b)

1 −6 0 0 3 −2
0 0 1 0 4 7
0 0 0 1 5 8
0 0 0 0 0 0

(c)
1 0 0 −7 80 1 0 3 2
0 0 1 1 −5

(d)
1 −3 0 00 0 1 0
0 0 0 1

(e)
1 −3 4 70 1 2 2
0 0 1 7

(f)
1 −3 7 10 1 4 0
0 0 0 1

(g)

1 7 −2 0 −8 −3
0 0 1 1 6 5
0 0 0 1 3 9
0 0 0 0 0 0

(h)
1 1 −3 2 10 1 4 0 3
0 0 0 1 2

6. Para cada um dos sistemas lineares:
(I)

x− y + 2z − w = −1
2x + y − 2z − 2w = −2
−x + 2y − 4z + w = 1
3x − 3w = −3
(II)

2x− y + 3z = 11
4x− 3y + 2z = 0
x + y + z = 6
3x + y + z = 4
(III)

x1 + x2 + 2x3 = 8
−x1 − 2x2 + 3x3 = 1
3x1 − 7x2 + 4x3 = 10
(a) Identifique:
(i) a matriz A dos coeficientes do sistema;
(ii) a matriz X das inco´gnitas;
(iii) a matriz B dos termos independentes;
(iv) a matriz ampliada [A | B].
(b) Escreva cada sistema linear como um produto de matrizes, isto e´, AX = B.
7. Resolva os seguintes sistemas lineares:
(I)

x− y + 2z − w = −1
2x + y − 2z − 2w = −2
−x + 2y − 4z + w = 1
3x − 3w = −3
(II)

2x− y + 3z = 11
4x− 3y + 2z = 0
x + y + z = 6
3x + y + z = 4
(III)

x1 + x2 + 2x3 = 8
−x1 − 2x2 + 3x3 = 1
3x1 − 7x2 + 4x3 = 10
8. Encontre os valores de k ∈ R para os quais:
(a) o sistema homogeˆneo 
2x− 5y + 2z = 0
x + y + z = 0
2x + kz = 0
tenha uma soluc¸a˜o distinta da soluc¸a˜o trivial (0, 0, 0);
(b) o sistema 1 2 −33 −1 5
4 1 k2 − 14
xy
z
 =
 42
k + 2

(i) na˜o tenha soluc¸a˜o;
(ii) tenha soluc¸a˜o u´nica;
(iii) tenha infinitas soluc¸o˜es.
9. Para cada um dos sistemas lineares:
(I)
{
2x− y + z − w = 1
x + y + z = 4
(II)

2x− y + 3z = 11
4x− 3y + 2z = 0
x + y + z = 6
3x + y + z = 4
(a) Escreva as matrizes associadas ao sistema de modo que o mesmo assuma a forma
matricial AX = B.
(b) Escalone a matriz ampliada [A | B].
(c) Discuta o conjunto soluc¸a˜o desse sistema escrevendo a soluc¸a˜o geral dos mesmos.
Ha´ uma u´nica soluc¸a˜o? Infinitas delas? Na˜o ha´ soluc¸a˜o?