Lista6 Espaços vetoriais e dependência linear

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
Campus Blumenau
Disciplina: BLU6005 – A´lgebra Linear
Professora: Bruno Tadeu Costa (b.t.costa@ufsc.br)
6a Lista de Exerc´ıcios
1. Verifique se o subconjunto V e´ um subespac¸o do espac¸o vetorial E:
(a) V = {(x, y) ∈ R2|y = −x}, E = R2
(b) V = {(x, y) ∈ R2|x ≥ 0}, E = R2
(c) V = {(x, y, z) ∈ R3|x = 4y e z = 0}, E = R3
(d) V = {(x, y, z) ∈ R3|x + y + z = 0}, E = R3
2. Sejam u = (2,−3, 2) e v = (−1, 2, 4) vetores em R3:
(a) Escreva o vetor w = (7,−11, 2) como combinac¸a˜o linear de u e v;
(b) Para que valor de k o vetor (−8, 14, k) e´ combinac¸a˜o linear de u e v?
(c) Determine uma condic¸a˜o sobre x1, x2 e x3 para que o vetor w = (x1, x2, x3) seja
uma combinac¸a˜o linear de u e v.
3. Determine o subespac¸o S gerado pelo conjunto de vetores {(1,−2), (−2, 4)} e apresente
uma base para S.
4. Dados v1 = (1, 1, 2), v2 = (1,−1, 0) e v3 = (1, 0, 1), determine o subespac¸o S =
[v1, v2, v3]. Em seguida, encontre uma base para S e sua dimensa˜o.
5. Determine a dimensa˜o do subespac¸o gerado [u, v, w], onde u = (2,−1, 1, 4), v =
(3, 3,−3, 6) e w = (0, 4,−4, 0).
6. Verifique se os subconjuntos sa˜o LI ou LD:
(a) {(1, 0), (−1, 1), (3, 5)}
(b) {(1, 2,−1), (1, 0, 0), (0, 1, 2), (3,−1, 2)}
(c) {(1,−1, 1), (−1, 1, 1)}
(d) {(2, 1, 3), (0, 0, 0), (1, 5, 2)}
7. Determine k para que o conjunto de matrizes S =
{[
1 0
1 0
]
,
[
1 1
0 0
]
,
[
2 −1
k 0
]}
seja
linearmente dependente.
8. Considere a seguinte afirmac¸a˜o: “a unia˜o de dois subconjuntos LI de um espac¸o vetorial
E e´ ainda um conjunto LI”. A afirmac¸a˜o e´ verdadeira?
9. Verifique quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base de R2.
(a) {(1, 2), (−1, 3)} (b) {(3,−6), (−4, 8)} (c) {(3,−1), (2, 3)}
10. Encontre os poss´ıveis valores de k para que B = {(1, k), (k, 4)} seja uma base de R2.
11. Mostre que o conjunto S = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} e´ uma base de R3.
12. Apresente uma base para os seguintes subespac¸os vetoriais:
(a) S = {(x, y) ∈ R2|x + 2y = 0}
(b) S = {(x, y, z) ∈ R3|x = 0}
(c) S = {(x, y, z) ∈ R3|x + 2y − z = 0}
(d) R4
13. Mostre que o conjunto soluc¸a˜o de um sistema linear homogeˆneo AX = 0 com n
inco´gnitas e´ um subespac¸o vetorial de Rn.
14. Mostre que os subconjuntos abaixo sa˜o subespac¸os vetoriais do espac¸o de matrizes reais
M3×3(R).
(a) D3×3 o subespac¸o de todas as matrizes diagonais;
(b) S3×3 o subespac¸o de todas as matrizes sime´tricas (AT = A);
(c) A3×3 o subespac¸o de todas as matrizes anti-sime´tricas (AT = −A).