Lista8 Transformações lineares

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA Campus
Blumenau
Disciplina: BLU6005 – A´lgebra Linear
Professora: Bruno Tadeu Costa (b.t.costa@ufsc.br)
8a Lista de Exerc´ıcios
1. Verifique se as transformac¸o˜es abaixo sa˜o lineares:
(a) T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (x+ y, x);
(b) T : R→ R dada por T (x) = x2;
(c) T : R2 → R3 dada por T (x, y) = (x+ 2y, y,−x+ 3y).
(d) T : R2 → R dada por T (x, y) = xy
(e) T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (x,−y)
(conhecida como reflexa˜o em torno do eixo x)
(f) T : R2 → R2 dada por [
x
y
]
T7→
[
cos θ − senθ
senθ cos θ
] [
x
y
]
(conhecida como rotac¸a˜o de um aˆngulo θ)
(g) T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (x+ a, y + b), onde a, b ∈ R
sa˜o constantes. (conhecida como translac¸a˜o segundo o vetor (a, b))
2. Determine o domı´nio, o nu´cleo e a imagem das transformac¸o˜es dadas nos itens (a), (c)
e (e) do Exerc´ıcio 1. Decida se estas transformac¸o˜es sa˜o injetoras ou sobrejetoras.
3. Encontre o posto e a nulidade da transformac¸a˜o linear T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) =
(x, 2y, 0). Verifique a validade do Teorema do Nu´cleo e Imagem para T .
4. Considere a transformac¸a˜o linear T : R3 → R3 dada por
T (x, y, z) = (z, x− y,−z).
(a) Encontre kerT . Em seguida, fac¸a um esboc¸o de kerT e determine uma base para
este subespac¸o.
(b) Determine uma base para ImT e diga qual e´ a dimensa˜o deste
subespac¸o.
(c) T e´ sobrejetora? T e´ injetora? T e´ um isomorfismo? Justifique.
5. Sabendo que uma transformac¸a˜o linear T : R2 → R3 satisfaz
T (1, 0) = (2, 0, 1) e T (0, 1) = (0, 1, 0),
encontre T (5,−2).
6. Ache a transformac¸a˜o linear T : R3 → R2 que satisfaz
T (1, 0, 0) = (2, 0), T (0, 1, 0) = (1, 1) e T (0, 0, 1) = (0,−1).
Em seguida, encontre v ∈ R3 tal que T (v) = (3, 2)
7. Qual e´ a transformac¸a˜o linear T : R2 → R3 tal que
T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0)?
Determine T (1, 0) e T (0, 1).
8. Seja T : R2 → R3 a transformac¸a˜o linear dada por
T (x, y) = (x+ 2y, y,−x+ 3y).
Determine:
(a) a matriz da transformac¸a˜o em relac¸a˜o a`s bases canoˆnicas
B1 = {(1, 0), (0, 1)} e B2 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
(b) a matriz da transformac¸a˜o em relac¸a˜o a`s bases
B1 = {(1,−1), (2, 1)} e B2 = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}.
9. Determine a matriz da transformac¸a˜o linear T : R2 → R2 (com relac¸a˜o a` base canoˆnica)
tal que
T (1, 0) = (2,−3) e T (0, 1) = (−1, 1).
10. Seja T uma transformac¸a˜o linear injetora. Se {v1, v2 . . . , vk} e´ um conjunto LI, mostre
que {T (v1), T (v2) . . . , T (vk)} tambe´m e´ LI.