Aula mecanica dos solos

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Aula 3 – Método das Fatias das Análises de Estabilidade
CIV 247 – OBRAS DE TERRA – Prof. Romero César Gomes
Aula 3
� 3.1 Superfície Plana de Ruptura (Método do Talude Infinito).
� 3.2 Método das Fatias para Superfície Circular
� 3.3 Método das Fatias para Superfície Circular ou Qualquer.
circular
planar
‘talude infinito’
���� Superfície plana de ruptura em talude de grande extensão
3.1 Superfície Plana de Ruptura - Talude ‘Infinito’ 
planar
• escorregamentos translacionais ao longo de taludes de inclinação uniforme;
• pequena cobertura de solo em relação à extensão da massa potencialmente instável;
• superfície de ruptura (e linhas de fluxo, no caso de percolação) admitida como sendo
paralela à superfície do terreno;
• movimento de corpo rígido.
A determinação de FS é feita a partir do critério de resistência, considerando-se as tensões
atuantes na base de uma fatia vertical genérica ABCD de largura unitária, no caso geral de
NA qualquer (admitido paralelo à superfície do terreno – NT e à superfície de ruptura - SR).
A
1
Superfície Plana de Ruptura - Talude ‘Infinito’ 
l
β
z
A
B
D
C
mz
NT
NA
SR
(σ, σ’, τ, u)
(Fluxo paralelo a NT)
cosβ
1L =
F1 L
z
1
mz
Superfície Plana de Ruptura - Talude ‘Infinito’ 
( ) satmzγzγm-1W +=
W
F2
N’
β
U
mz
NT
T
NA
SR
γ
γSAT
linhas de fluxo
equipotenciais
N
T
Talude infinito: F1 = F2
( ) satmzγzγm-1Wsendo
WsenβT;WcosβN
+=
==
1
=
Superfície Plana de Ruptura - Talude ‘Infinito’ 
W
N Na base da fatia genérica (área A = ):
( )[ ] cosβzsenmγγm-1cosβsen
cosβ
1
Wsenβ
A
T
τ sat ββ +==== W
( )[ ] βzcosmγγm-1σβWcos
cosβ
1
Wcosβ
A
N
σ 2sat
2 +=∴===
cosβ
1L =
mzββhw
βmzcosγhγuβcosmh 2www
2
w ==∴= z
β
Superfície Plana de Ruptura - Talude ‘Infinito’ 
mmobilizada
disponível
τ
'tgσ'c'FS φ
τ
τ +
==
Substituindo os valores de σ’ = σ – u e τ na expressão de FS, resulta:
( )[ ] 2( )[ ]
( )[ ] ββ cossenzmγγm-1
'βtgzcosmγmγγm-1c'FS
sat
2
wsat
+
−++
=
φ
Casos particulares: solos com c’ = o
(i) NA ≡ SR (ou abaixo de SR): m = 0
(ii) NA ≡ NT: m = 1
tgβ
'tg
cossenγz
'βtgγzcosFS
2 φφ
==
ββ
tgβ
'tg
γ
γ
cossenzγ
'βtgzcosγ
FS
sat
sub
sat
2
sub φφ
==
ββ
(FS igual para o caso de talude 
submerso e sem percolação)
variação da resistência 
com a profundidade
( )[ ] 'βtgzcosmγmγγm-1c' 2wsat
=
−++
=
φ
Superfície Plana de Ruptura - Talude ‘Infinito’ 
c’ e φ’ crescentes com 
a profundidade
c’ e φ’ constantes
FS
( )[ ]
( )[ ] f(z)cossenzmγγm-1
'βtgzcosmγmγγm-1c'
FS
sat
wsat
=
+
−++
=
ββ
φ
z
• Fluxo vertical - talude drenado
0=u
mz
���� Casos particulares de fluxo
Superfície Plana de Ruptura - Talude ‘Infinito’ 
β
mzcosβ
wmzγu =
• Fluxo horizontal - talude drenado
mz
β
mzcosβ
3.2 Método das Fatias para Superfície Circular
h
O
b
• a superfície de ruptura é circular (de centro O e raio r)
• a massa de solo potencialmente instável é é subdividida em fatias (largura b)
• a base da lamela é aproximada a um segmento de reta (comprimento l).
• cada base de lamela deve compreender apenas um tipo de solo.
• a altura da fatia é medida no centro da mesma (h)
• o ângulo de inclinação da base da fatia com a horizontal é α.
l
α
r
Or senα
W
W
E1
y
X1
X2
���� forças atuantes em cada fatia
Método das Fatias para Superfície Circular
r
r
N’
U
T
T
α
α
N’
U
y
l E2
• peso da fatia: W = γbh
• forças na base da fatia: N = N’ + U e T;
• forças laterais: E1; E2; X1; X2.
°
La
Método das Fatias para Superfície Circular
���� Equilíbrio de momentos: ( ) ∑ ∑∑ =∴=// WsenαT0senαrW-rT
mm τ
'tgσ'c'FS φ
τ
τ +
==���� Fator de Segurança (expressão geral):
l
T
τm =e
(as forças E e X não geram momentos: movimento de corpo rígido)
mm ττ l
⇒
+
==∴
T
'.tgσ'c'
T
FS φτ ll
l
FS
'.tg'c'T φN+= l
[ ] ∑∑∑∑ =+∴=




 + Wsenα'N'tgLc'
FS
1Wsenα'N'.tgc'ou a φφFS
l
∑
∑+
=∴
Wsenα
'N'.tgLc'
FS a
φ FS depende da formulação adotada para o 
cálculo das forças N’ para as n fatias do 
talude (diferentes métodos das fatias)
Método das Fatias para Superfície Circular
���� Método de Fellenius: a resultante das forças laterais entre as fatias é
admitida como sendo nula.
0XE ==∑∑
Tomando-se o equilíbrio das forças na direção normal à base da fatia, tem-se que:
lu-WcosαN'WcosαUN'N =∴=+=
( )
∑
∑+
=
Wsenα
u-Wcosα'.tgLc'
FS a
lφ
Levando-se o valor de N’ na expressão geral de FS, resulta que:
α
W
N’
U
E1
y
X1
l E2
X2
T
r
Or senα
W
r
La
Método das Fatias para Superfície Circular
���� solução geométrica para não medição de grandezas angulares 
α
hcosα
h
hsenα
α
(desenho do talude em escala)
(pode ser + ou -)
Método das Fatias para Superfície Circular
���� Método de Bishop Simplificado: a resultante das forças laterais entre as fatias
tem direção horizontal.
0X =∑
Tomando-se o equilíbrio das forças na direção vertical, tem-se que:
senα
FS
'tgN'
senα
FS
c'
cosαucosαN'W0TsenαUcosαcosαN'-W φ+++=∴=−− ll
senα
c'
cosαu-Wsenα'tgcosαN' ll −= +∴
φ
( )[ ]∑∑ 






−+=
αM
1
.'tgubWbc'
Wsenα
1FS φ
Levando-se o valor de N’ na expressão geral de FS, resulta que:
α
α
M
senα
FS
c'
cosαu-W
 N':setem
cosα
FS
'tgtg1senα
FS
'tg
cosαMsendo
senα
FS
c'
cosαu-Wsenα
FS
'tg
cosαN'
l
l
l
l
−
=−






+=+=
−=





+∴
φφ
φ
α
α
W
N’
U
E1
y
X1
l E2
X2
T
Método das Fatias para Superfície Circular
( )[ ]∑∑ 






−+=
αM
1
.'tgubWbc'
Wsenα
1FS φ
A determinação de FS pelo método de Bishop Simplificado é iterativa, uma vez que FS = f(Mα ) e, 
analogamente, Mα = f(FS)
γh
u
σ
u
v
==ursendo (parâmetro das poropressões)
( )[ ]∑∑ 






−+=
α
u M
1
.'tgr1Wbc'
Wsenα
1FS φ
cosα
FS
'tgtg1Mα 





+=
φα
FSi = (1,10 – 1,25)FSFELLENIUS )
Método das Fatias para Superfície Circular
fatias c’ γ tgφ’ b l h hsenα hcosα W W senα W cosα senα cosα tg α u u l ub M α λ
FS1= FS2= FS3= FS1= FS2= FS3=
1
2
3
���� Planilha de Cálculo cosαFS
'tgtg1Mα 





+=
φα
3
k
n
.
.
.
.
.
.
Σ Σ Σ
( )
∑
∑+
=
Wsenα
u-Wsenα'.tgLc'
FS aF
lφ ( )[ ]∑∑ 






−+=
α
BS M
1
.'tgubWbc'
Wsenα
1FS φ
λ
Método das Fatias para Superfície Circular
P
���� Talude sob percolação
Método das Fatias para Superfície Circular – Casos Particulares
P
wwhγu =
Ponto P: centro da base de cada fatia
solo 1 calcular diferentes alturas e pesos
(diferentes h, hsenα e hcos α ) 
���� Talude com diferentes solos
Método das Fatias para Superfície Circular – Casos Particulares
solo 2
solo 3
(diferentes h, hsenα e hcos α ) 
considerar diferentes trechos da superfície de 
ruptura, correspondentes aos diferentes solos
O
bhγW;bhγ'W';γbhW ww ===
���� Talude Submerso
Método das Fatias para Superfície Circular – Casos Particulares
W
W’
NA
Ww
As pressões da água sobre a face exposta do talude são levadas em consideração mediante a adoção do
peso específico submerso γ’ no cálculo dos pesos das fatias de solo situadas abaixo do NA externo.E
fenda de tração
1
d
���� Taludes com Fenda de Tração
x
Método das Fatias para Superfície Circular – Casos Particulares
( )
∑
∑
+
+
=
r
E.dWsenα
u-Wsenα'.tgLc'
FS aF
lφ ( )[ ]∑
∑ 






−+






+
=
α
BS M
1
.'tgubWbc'
r
EdWsenα
1FS φ
2
wγh2
1E =
limitada até a base da fenda de tração
até a fatia limitada pela base da fenda de tração
x
3.3 Método das Fatias para Superfície Circular ou Qualquer
���� Condição geral de equilíbrio (todos os métodos)
���� Condição de equilíbrio (Bishop Simplificado)
(ponto médio da base das fatias)
(n – 2)
3.3 Método das Fatias para Superfície Circular ou Qualquer
Método das Fatias para Superfície Circular ou Qualquer
Método das Fatias para Superfície Circular ou Qualquer
Método das Fatias para Superfície Circular ou Qualquer