Res dos Materiais Aula Torção

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DEFINIÇÃO DE TORQUE: 
Torque é o momento 
que tende a torcer a 
peça em torno de seu 
eixo longitudinal. Seu 
efeito é de interesse 
principal no projeto de 
eixos ou eixos de 
acionamento usados em 
veículos e maquinaria.
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máx
c
γργ 





=
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Quando um torque externo é
aplicado a um eixo, cria um torque
interno correspondente no interior
do eixo.
A equação da torção relaciona o
torque interno com a distribuição
das tensões de cisalhamento na
seção transversal de um eixo ou
tubo circular.
Para material linear-elástico aplica-
se a lei de Hooke.
onde:
G = Módulo de rigidez
= Deformação por cisalhamentoγ
Como ocorre no ensaio de
tração, esse material quando
submetido a cisalhamento,
exibe comportamento linear
elástico e terá um limite de
proporcionalidade . Também
ocorrerá endurecimento por
deformação até que a tensão
de cisalhamento máxima
, seja atingida. Por fim, o
material começará a perder
sua resistência ao cisalhamento
até sua ruptura, .
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��
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lpτ
mτ
rupτ
Na expressão anterior, G é denominado módulo de
elasticidade ao cisalhamento ou módulo de rigidez. Seu
valor pode ser medido como a inclinação da reta no
diagrama , isto é, .
Observe que as unidades de medida de G são as mesmas
de E(Pa ou psi), visto que é medida em radianos, uma
quantidade adimensional.
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��
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γτ −
lp
lpG γ
τ
=
γ
Pela proporcionalidade de triângulos( ) e pela lei
de Hooke( ), podemos escrever:
Essa equação expressa a distribuição de tensão de
cisalhamento em função da posição radial do
elemento; em outras palavras, define a distribuição da
tensão na seção transversal em termos da geometria do
eixo.
γτ G=
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��
�������
máx
c
γργ 





=
máx
c
τ
ρ
τ 





=
ρ
Usando essa equação, aplicaremos agora a condição
que exige que o torque produzido pela distribuição de
tensão por toda a seção transversal seja equivalente ao
torque interno resultante T na seção, o que mantém o eixo
em equilíbrio;
Cada elemento de área dA, localizado em , está sujeito
a uma força . O torque produzido por essa força
é . Portanto para toda seção transversal, temos:
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��
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ρ
dAdF τ=
)( dAdT τρ=
Visto que é constante,
A integral dessa equação depende somente da
geometria do eixo. Ela representa o momento polar de
inércia da área da seção transversal do eixo calculada
em torno da linha central longitudinal do eixo. Esse valor é
representado pelo símbolo J.
Sendo assim, escrevendo essa equação de uma forma
mais compacta, temos:
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��
�������
c
máxτ
��	��
��
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onde:
= Tensão de
cisalhamento máxima no
eixo, que ocorre na
superfície externa;
T = Torque interno
resultante que atua na
seção transversal;
J = Momento de inércia
polar da área da seção
transversal;
c = Raio externo do eixo.
máxτ
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Momento de inércia polar:
Momento de inércia polar:
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A direção e o sentido do torque aplicado é definido a
partir da aplicação da regra da mão direita. O Torque
será positivo se a direção indicada pelo polegar for no
sentido de afastar-se da extremidade cortada do eixo.
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1 – A distribuição de tensão em um eixo maciço foi
representada em gráfico ao longo de três linhas radiais
arbitrárias, como mostra a figura abaixo. Determine o
torque interno resultante na seção.
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2 – O eixo mostrado abaixo está apoiado em dois
mancais e sujeito a três torques. Determine a tensão de
cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados
na seção a-a do eixo.
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3 – O tubo mostrado na figura tem um diâmetro interno de 80
mm e diâmetro externo de 100mm. Se sua extremidade for
apertada contra o apoio em A usando-se uma chave em B,
determine a tensão de cisalhamento desenvolvida no material
nas paredes interna e externa ao longo da porção central do
tubo quando são aplicadas forças de 80 N à chave.