Algebra Linear P2 - Alejandro 2016.1

Prévia do material em texto

SIMULADO DE P2 (UERJ-Alg. Linear I):MATRIZES VS TRANSFORMAC¸O˜ES LINEARES
Esta prova tem 7 perguntas. Fazer so´ 5 delas.
Considere as matrizes A =

 3 0−1 2
1 1

, B =
[
4 −1
2 0
]
e C =
[
−1 0 5
1 −1 −3
]
.
1) Calcule (se poss´ıvel) as seguintes operac¸o˜es (explicar quando na˜o for poss´ıvel):
i) tr(ATA)− 4det(B2); ii) −ATCT +B; iii) 1
2
ATC − 3AT ; iv) det(BMB−1) onde M = −2CA+B
Considere o sistema


4x+ y + sz = t+ 6
−x− 2y + 3z = −4
3x− y + 5z = 2
onde s e t sa˜o constantes.
2) Resolver o sistema quando (s, t) = (2, 0) ou (s, t) = (3, 0) usando eliminac¸a˜o de Gauss. O sistema
que voceˆ resolveu tem soluc¸a˜o u´nica?
3) Suponha agora que s = t2 − 2t+ 3. Mostre que existem valores de s e t para os quais o sistema na˜o
tem soluc¸a˜o e, fixe um tal valor para s e t. E´ poss´ıvel escrever a matrix dos coeficientes do sistema
para seus valores de s e t na forma escalonada reduzida?
Considere a matriz M =


−1 0 c 0
−2 0 0 2c+ 4
0 1 100 0
0 1 0 90

 onde c e´ uma constante real.
4) Calcular o determinante da matriz M . Existem valores de c para que M seja invert´ıvel?
Considere a base β = {(1, 1, 0), (0,−1, 0), (0, 0, 1)} de R3 e o operador linear ϕ : V → R3 onde ϕ(x, y, z) =
(x − 2y,−2x + y, z). Sejam ker(ϕ) e Im(ϕ) o nu´cleo e a imagem de ϕ que sa˜o subespac¸os de V e R3
respectivamente e definidos assim:
ker(ϕ) = {~v = (x, y, z) ∈ V : ϕ(~v) = ~0} e Im(ϕ) = {~w = (r, s, t) ∈ R3 : ~w = ϕ(~v), ~v ∈ V }
5) Obter a matriz de ϕ relativa a´ base β. E´ verdade que λ = −1 e´ um autovalor de ϕ e que a dimensa˜o
da imagem de ϕ e´ igual a 3? (Usar o Teorema dim(V ) = dimker(ϕ) + dim Im(ϕ) se necessario).
6) Seja U : R3 → R3 a transformac¸a˜o cuja matriz canoˆnica e´ [U ] = A−3I onde A = [ϕ] e I sa˜o a matriz
canoˆnica de ϕ e a matriz identidade de tamanho 3 × 3 respectivamente. Provar que ~v3 = (1,−1, 0)
e´ uma base do nu´cleo de U . Suponha agora que P e´ uma matriz cujas colunas sa˜o os autovetores
unita´rios de ϕ correspondentes aos autovalores λ = 1, 1, 3. E´ verdade que P T = P−1 e que P TAP
e´ uma matriz diagonal?
Uma fazenda de cafe´, na safra de 2010, produziu as sacas para embalar os gra˜os em dois materiais diferentes:
algoda˜o cru e sinte´tico. Para produzir uma saca de algoda˜o cru se precisaram 5000m2 de tecido e 20000m
de linha. Analogamente, para cada saca de algoda˜o sinte´tico se precisou de 6000m2 de tecido e 24000m de
linha. Seja v = (x, y) o vetor produc¸a˜o, onde x e´ o nu´mero de sacas de algoda˜o sinte´tico e, y e´ o nu´mero
de sacas de algoda˜o cru.
7) Encontrar a expressa˜o que representa o tecido total que se precisa para embalar as x sacas de tecido
sinte´tico junto com as y sacas de algoda˜o cru. Analogamente, obter a expressa˜o que representa o
total de linha. As duas expresso˜es anteriores podem ser representadas conjuntamente por meio de
uma transformac¸a˜o linear T : R2 → R2 onde o dominio sa˜o os vetores produc¸a˜o?
1