MECANICA DOS SOLIDOS I - FLEXÃO

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Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão1
Cap. 6: Flexão
Prof. Me. Vagner do Nascimento
Mecânica dos Sólidos I
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão2
Alonga-se
Permaneceu 
do mesmo 
comprimento
Comprime-se
Introdução
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão3
Estudaremos esforços
provocados por flexão.
As vigas utilizadas em
construções, são dimensionadas de
forma que suportem o esforço de
flexão.
Introdução
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão4
O momento fletor é
aplicado em um eixo
perpendicular a um eixo de
simetria
6.3 Deformação ao longo de um 
elemento reto
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão5
6.3 Deformação ao longo de um 
elemento reto
Analisando a figura:
Qualquer segmento de reta localizado na
superfície neutra não muda de comprimento.
Enquanto, elementos localizados
acima sofrem compressão e abaixo
sofrem tração.
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão6
Por definição:
0
'
lim
s
s s
s

 
 


 
0
'
lim
y

   
  
   



é o raio de curvatura após a deformação, com centro no
ponto O’.
é o ângulo entre os lados da seção transversal do
elemento.

x s      
' ( )s y    
y


 
6.3 Deformação ao longo de um 
elemento reto
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão7
c é a distância do eixo neutro até o ponto 
de maior deformação (fibra mais externa).
max
y
c
 
 


6.3 Deformação ao longo de um 
elemento reto
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão8
(tensão varia linearmente)
x x m
m
y
E E
c
y
c
  

  
 
6.4 Fórmula da flexão
max
y
x
    
 
max
y
x
    
 
Pela Lei de Hooke sabemos que uma
variação linear na deformação ocasiona uma
variação linear na tensão.
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão9
6.4 Fórmula da flexão
0 xF
 






A
máx
AA
dA
c
y
dAdF 0
Então:
z

A
máx dAy
c

0
Logo:
0
A
dAy
Essa condição só é satisfeita se o 
eixo neutro passa pelo centroide.
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão10
6.4 Fórmula da flexão
0 zM
  dA
c
y
ydAyydFM
A
máx
AA
 





 
Então:

A
máx dAy
c
M 2

I
Mc
máx 
I
My

Equação geral da tensão a flexão
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão11
Tensão de compressão
Tensão de Tração
Momento 
fletor positivo
Tensão de Tração
Tensão de compressão
Momento 
fletor negativo
6.4 Fórmula da flexão
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão12
Podemos verificar que no caso
de M positivo, analisando valores
positivos de y, temos valor negativos
para tensão (compressão), e quando
utilizamos y negativo, temos valores
positivos para tensão (tração).
Na linha neutra, o valor é
zero para tensão.
Utilizando equações anteriores e 
conceitos de equilíbrio chegamos a:
6.4 Fórmula da flexão
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão13
Exemplo de flexão em uma viga em 
balanço 
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão14
Exemplo de flexão em uma viga em 
balanço 
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão15
max
Mc
I
 
Dedução pág. 204
M = momento interno resultando
determinado pelo método das
seções.
I = momento de inércia da área
da seção transversal calculado
c = distância perpendicular ao
eixo neutro
My
I
  
6.4 Fórmula da flexão (resumo)
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão16
Quando os contornos de uma área plana são
expressos por funções matemáticas as equações:




A
y
A
x
dAxI
dAyI
.
.
2
2
Momento de inércia é o termo que mede a
distribuição da massa de um corpo em torno de um
centro (ou eixo) de rotação.
(tabela final do livro)
Revisão de estática
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão17
Momento de Inércia de uma área
Revisão de estática
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão
Ix’: momento de inércia de cada
elemento relação ao eixo x:
A: área de cada elemento.
dy: é a distância do centro
geométrico total com o centro
geométrico de cada área
individual.
Pág. 570 do HibbelerComo encontrar o momento de inércia?
Revisão de estática
12
3
'
bh
I x 
   2' yxx AdII
18
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão
Agora calcular o momento de 
inércia.
Revisão de estática




N
n
n
N
n
nn
A
Ay
y
1
1
o primeiro passo é encontrar o centroide: 




N
n
n
N
n
nn
A
Ax
x
1
1
y é a distância do centro
geométrico de cada
elemento com relação a
uma base
19
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão
Revisão de estática
   2' yxx AdII
20
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão21
Vigas são elementos retos que suportam carga(s)
perpendicular(es) ao eixo longitudinal. Geralmente são
classificadas pela sua forma de apoio.
6.1 Diagramas de força cortante e 
momento fletor
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão22
Para projetar adequadamente a viga é importante
conhecer a variação do cisalhamento e do momento fletor ao
longo do seu eixo, a fim de determinar os pontos em que esses
valores são máximo. Em geral, as funções de cisalhamento interno e
momento fletor obtidas em função de x apresentam
descontinuidades ou seu declive é descontínuo nos pontos em
que a carga distribuída muda ou onde estão aplicadas forças
concentradas.
6.1 Diagramas de força cortante e 
momento fletor
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão23
Convenção de Sinais
As direções positivas são
as seguintes: a carga distribuída
atua no sentido de cima para
baixo; a força cortante interna
provoca rotação no sentindo
horário do segmento de viga
sobre o qual atua; e o momento
interno provoca compressão nas
fibras superiores do segmento tal
que flete o segmento (de modo
que ele pudesse reter água).
Caso contrário, são negativas.
6.1 Diagramas de força cortante e 
momento fletor
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão24
Desenhar os diagramas de força cortante (ou
cisalhante) e momento fletor da viga.
Exemplo 6.1
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão25
Como temos uma carga P no centro, com igual
distância entre ambos os apoios fica fácil verificar que as
reações são P/2 no sentido contrário a força.
Para desenhar o diagrama secionamos a viga a uma
distância x do apoio A, estendendo-se pela região AB; o
diagrama do corpo livre do segmento esquerdo
DCL:
Exemplo 6.1
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão26
Eq. de equilíbrio
0
y
F  
/ 2V P
0;M 
2
P
M x
DCL, seção 1:
Exemplo 6.1
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão27
O diagrama do outro lado da viga.
0
y
F  
0
2
P
P V  
0
2 2
L P
M P x x
 
    
 
( )
2
P
M L x 
Exemplo 6.1
DCL, seção 2:
0;M 
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão28
Com estas equações podemos traçar os diagramas:
Exemplo 6.1
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão29
Exemplo 6.2
Desenhar os diagramas de força cortante (ou
cisalhante) e momento fletor da viga.
DCL:
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão30
0
y
F  
0MV
L
 
0MM x
L
 
Exemplo 6.2
DCL, seção 1:
0;M 
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão31
0
yF  
0MV
L
 
0
0
M
M M x
L
 
0 1
x
M M
L
 
  
 
Exemplo 6.2
DCL, seção 2:
0;M 
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão32
Com estas equações podemos traçar os diagramas:
Exemplo 6.2
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão33
Existem casos de vários carregamentos diferentes
simultâneos em uma viga, a determinação de V e M como
funções de x e esquematizando graficamente essas equações
é demorado.
Será estudado um método baseado em duas relações
infinitesimais que existem entre cargas distribuídas,
cisalhamento e momento.
Vamos analisar um caso (ver figura):
6.2 Método gráfico para construir os diagramas 
de força cortante e momento fletor
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão34
( )V w x x   
2( ) ( )M V x w x k x    
6.2 Método gráfico para construir os diagramas 
de força cortante e momento fletor
Equacionando (ver pag. 188), chegamos a duas equações:
Regiões de carga distribuída: 
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão35
Dividindo por ∆x e calculando o limite quando ∆x for
muito pequeno, ou seja ∆x 0. Temos
( )
dV
w x
dx
 
dM
V
dx

Declive do diagrama 
de cisalhamento em 
cada ponto
Declive do diagrama 
de momento em 
cada ponto
- Intensidade de 
carga distribuída em 
cada ponto
Cisalhamento em 
cada ponto
A derivada da força cortante pela posição é –(valor da carga 
distribuída)
A derivada do momento fletor pela posição é a força cortante.
6.2 Método gráfico para construir os diagramas 
de força cortante e momento fletor
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão36
O declive é igual a
intensidade negativa da carga
distribuída.
A carga distribuída é positiva,
aumentando de 0 até wb,
portanto o diagrama de força
cortante será uma curva com
declive negativo.
Força cortante
( )
dV
w x
dx
 
6.2 Método gráfico para construir os diagramas 
de força cortante e momento fletor
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão37
Perceber que a força
cortante começa em +VA e mais
tarde acabe se tornando
negativo –VB (com certeza
passa pela linha zero). Logo, o
momento começa com um
inclinação positiva e
posteriormente torna-se
negativo.
Momento Fletor
dM
V
dx

6.2 Método gráfico para construir os diagramas 
de força cortante e momento fletor
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão38
Logo, podemos escrever:
( )V w x dx  
( )M V x dx  
Mudança de força 
cortante
Mudança de 
momento
Área sob a carga 
distribuída
Área sob o diagrama 
de força cortante
6.2 Método gráfico para construir os diagramas 
de força cortante e momento fletor
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão39
A mudança de força
cortante entre os pontos C e D é
igual a área sob a curva da carga
distribuída.
Da mesma forma, a
mudança de momento entre C e D
é igual a área sob o diagrama de
força cortante na região de C e D.
( )V w x dx  
( )M V x dx  
( )V w x dx  
6.2 Método gráfico para construir os diagramas 
de força cortante e momento fletor
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão40
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão41
DCL:
Exemplo 6.7
Desenhar os diagramas de força cortante (ou
cisalhante) e momento fletor da viga.
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão42
De acordo com a convenção de sinais, onde x=0, V = +P,
onde x=L, V = +P. Como w = 0, o declive é 0 também, pois
dV/dx = -w =0 em todos os pontos.
( )
dV
w x
dx
 
Exemplo 6.7
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão43
Diagrama de Momento:
Em x=0. M = -PL e em x=L é M = 0; como o diagrama de
cisalhamento é constante positivo, portanto o declive é
constante positivo também, para todos os pontos.
dM
V
dx

Exemplo 6.7
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão45
a) DCL
b) Diagrama de Força 
cortante
c) Diagrama de momento
dM
V
dx

Exemplo
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão46
Exemplo 6.13
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão
2
1
2
1
Equações deduzidas para um material 
homogêneo. 
I
My

47
6.6 Vigas compostas
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão
 1E
 2E 21 EE 
Avaliando as deformações e
tensão em vigas compostas, temos:
6.6 Vigas compostas
48
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão
bnb ´1 
1
2´
E
E
n 
nbb 2
2
1
E
E
n 
Transformamos
a viga composta em
uma viga de apenas 1
material
n é o fator de transformação.
49
6.6 Vigas compostas
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão
´´ dAdAdF  
dydzndydz ´  
 ´ n 
50
6.6 Vigas compostas
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão51
Exemplo 6.21
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão52
Exemplo 6.21
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão
transformação
53
Exemplo 6.21
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão54
Exemplo 6.21
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão55
Exemplo 6.21
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão56
Exemplo 6.21
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão
retorno
57
Exemplo 6.21
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão
concreto
aço
E
E
n 
1n
58
Concreto
Aço
b
d
6.7 Vigas de concreto armado
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão



A
Ay
y
~
0´´
2
2  dnAhnAh
b
açoaço
Uma vez que h´ por essa equação, a obtenção das
tensões na viga prossegue de maneira usual.
59
6.7 Vigas de concreto armado
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão60
6.5 Flexão assimétrica
A dedução é análoga a flexão simples.
z
III
IMIM
y
III
IMIM
yzzy
yzzzy
yzzy
yzyyz
22






cosMM z 
senMM y 
Referência:
Oden and Ripperger - Mechanics Of Elastic Structures
z
IMIM
IMIM
y
yzyyz
yzzzy



Igualando a tensão a zero, temos a
definição da linha neutra (LN):
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão61
6.5 Flexão assimétrica
cosMM z 
senMM y 



tan
tan
tan
yzy
yzz
II
II
z
y



A LN, pode ser expressa por:
Observa-se que a LN não é perpendicular
ao plano do momento resultante.
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão62
6.5 Flexão assimétrica
 tantan
y
z
I
I

Casos especiais:
Observa-se que a LN não é perpendicular ao plano do
momento resultante. Só será perpendicular se:
Se a seção for simétrica, ou seja,
os eixos y e z são os principais de inércia
da seção, temos:
0yzI
zy II 
Também, no caso de flexão sobre um eixo somente, ou
seja, tem-se:
0
y
yz
I
I
tan
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão63
6.5 Flexão assimétrica
Casos especiais:
Ou seja, a não simetria da seção, , determina
uma LN inclinada em relação a z.
Estas observações são importantes na constatação de
que a distribuição de tensões na seção é largamente
dependente destas considerações.
Pequenas inclinações no plano principal de momentos
podem causar grandes variações na distribuição de tensões.
0yzI
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão64
6.5 Flexão assimétrica
Exemplo:
Considere uma viga em
balanço com uma carga
concentrada P, como mostrado
na figura ao lado. Verifique a
distribuição de tensão na seção
com onde ocorre o maior
momento fletor.
Propriedades da seção: (considerando a espessura t como
muito menor que a)
3
3
2
taI y 
3
3
8
taI z 
3taI yz Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão65
6.5 Flexão assimétrica
Exemplo:
O Momento máximo
ocorre em x=0.
Aplicando os dados na equação
da tensão axial para flexão assimétrica,
temos:
  z
ta
PL
y
ta
PL
xx 330 7
9
7
6



PLM z 
0yM
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão66
6.5 Flexão assimétrica
Exemplo:
Verificando a tensão no
ponto A. Ou seja, aplicando y = -a,
z = 0.
 
27
6
ta
PL
Ax

 
222 7
3
7
9
7
6
ta
PL
ta
PL
ta
PL
Bx

Analogamente, para o
ponto B. Ou seja, aplicando y = -a,
z = a.
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão67
6.5 Flexão assimétrica
Exemplo:
A distribuição de
tensões é mostrada na
figura ao lado. A LN está
orientada pelo ângulo em
relação a z, assim:
y
yz
I
I
 1tan
LN

  3,565,1tan 1
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão68
6.5 Flexão assimétrica
Exemplo:
A tensão máxima
neste caso é:
LN
 
27
6
ta
PL
Ax

28
3
ta
PL
y
I
M
z
z 
Se utilizarmos a equação
simples da tensão normal por
flexão, obtemos:
Representa um erro de 56%.
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão69
Quando ocorrerem mudanças bruscas na seção
transversal, as distribuições de tensão e deformação tornam-
se complexas, onde são obtidas por meio de métodos
experimentais ou análises matemáticas baseadas na teoria da
elasticidade.
6.9 Concentração de tensão
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão70
Para que o engenheiro não tenha que fazer uma
análise complexa da tensão descontinuidade, a tensão de
flexão máxima é determinada para uma geometria
especificada utilizando o fator de concentração de tensões
K.
A equação tem como foco o menor das áreas
envolvidas já que a tensão máxima ocorre na base do raio.
(na área menor)
6.9 Concentração de tensão
I
Mc
Kmáx 
Prof. Vagner do Nascimento – Cap. 6: Flexão71
6.9 Concentração de tensão