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Função Hiperbólica

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Funções Hiperbólicas
Definições
Seno hiperbólico senh x = 
2
xexe −−
Cosseno hiperbólico cosh x = 
2
xexe −+
Tangente hiperbólica tgh x = 
xcosh
xsenh
 = 
xexe
xexe
−+
−
−
Cotangente hiperbólica cotgh x = 
xsenh
xcosh
 = 
xexe
xexe
−
−
−+
Secante hiperbólica sech x = 
xcosh
1
 = 
xexe
2
−+
Cossecante hiperbólica cossech x = 
xsenh
1
 = 
xexe
2
−
−
Gráfico das funções hiperbólicas
O gráfico de y = cosh x pode ser obtido esboçando-se separadamente os gráficos de y = xe
2
1
 e y = xe
2
1
−
, e
somando-se as coordenadas y correspondentes. Analogamente, a forma do gráfico de y = senh x pode ser obtida esboçando-se
separadamente os gráficos de y = xe
2
1
 e y = – xe
2
1
−
, e somando-se as coordenadas y correspondentes.
y = cosh x
D(f) = IR
Im(f) = [1, +∞[
y = senh x
D(f) = IR
Im(f) = IR
y = tgh x
D(f) = IR
Im (f) =]–1, 1[
Por que elas são chamadas funções hiperbólicas
Lembre-se que as equações paramétricas
x = cos t e y = sen t
representam o círculo unitário x2 + y2 = 1, como pode ser visto escrevendo-se
x
2
 + y2 = cos 2t + sen2 t = 1
Se 0 ≤ t ≤ 2pi, então o parâmetro t pode ser interpretado como o ângulo em
radianos, desde o eixo x positivo até o ponto (cos t, sen t).
Analogamente, as equações paramétricas
x = cosh t e y = senh t (–∞ < t < +∞)
representam uma parte da curva x2 – y2 = 1, como pode ser visto escrevendo-se
x
2
 – y2 = cosh 2t – senh2 t = 1
e observando-se que x = cosh t > 0.
Esta curva, que está na figura ao lado, é a metade direita de uma curva chamada
hipérbole unitária; esta é a razão pela qual estas funções são chamadas de
funções hiperbólicas.
Cabos pendentes e outras aplicações
Exercícios
1) Calcule a derivada de
a) f(x) = senh x c) f(x) = tgh x e) f(x) = sech x
b) f(x) = cosh x d) f(x) = cotgh x f) f(x) = cossech x
2) Uma linha de telefone é pendurada entre dois pólos separados a 14 m na forma de catenária y = –15 + 20 cosh (x/20), onde
x e y são medidas em metros.
a) Encontre a inclinação dessa curva quando ela encontra o poste à direita.
b) Encontre o ângulo θ entre a reta e o poste.
As funções hiperbólicas surgem em movimentos vibratórios, dentro de
sólidos elásticos, e mais genericamente, em muitos problemas nos quais
a energia mecânica é gradualmente absorvida pelo meio ambiente. Elas
também ocorrem quando um cabo flexível e homogêneo é suspenso
entre dois pontos, como as linhas telefônicas entre dois postes. Tais
cabos formam uma curva chamada catenária (em latim, catena
significa “cadeia”). Se como na figura Ao lado, foi introduzido um
sistema de coordenadas tal que o ponto mais baixo do cabo está no eixo
y, pode ser mostrado usando os princípios da Física que o cabo tem
uma equação da forma
y = c + a cosh 


a
x

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