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Funções Hiperbólicas Definições Seno hiperbólico senh x = 2 xexe −− Cosseno hiperbólico cosh x = 2 xexe −+ Tangente hiperbólica tgh x = xcosh xsenh = xexe xexe −+ − − Cotangente hiperbólica cotgh x = xsenh xcosh = xexe xexe − − −+ Secante hiperbólica sech x = xcosh 1 = xexe 2 −+ Cossecante hiperbólica cossech x = xsenh 1 = xexe 2 − − Gráfico das funções hiperbólicas O gráfico de y = cosh x pode ser obtido esboçando-se separadamente os gráficos de y = xe 2 1 e y = xe 2 1 − , e somando-se as coordenadas y correspondentes. Analogamente, a forma do gráfico de y = senh x pode ser obtida esboçando-se separadamente os gráficos de y = xe 2 1 e y = – xe 2 1 − , e somando-se as coordenadas y correspondentes. y = cosh x D(f) = IR Im(f) = [1, +∞[ y = senh x D(f) = IR Im(f) = IR y = tgh x D(f) = IR Im (f) =]–1, 1[ Por que elas são chamadas funções hiperbólicas Lembre-se que as equações paramétricas x = cos t e y = sen t representam o círculo unitário x2 + y2 = 1, como pode ser visto escrevendo-se x 2 + y2 = cos 2t + sen2 t = 1 Se 0 ≤ t ≤ 2pi, então o parâmetro t pode ser interpretado como o ângulo em radianos, desde o eixo x positivo até o ponto (cos t, sen t). Analogamente, as equações paramétricas x = cosh t e y = senh t (–∞ < t < +∞) representam uma parte da curva x2 – y2 = 1, como pode ser visto escrevendo-se x 2 – y2 = cosh 2t – senh2 t = 1 e observando-se que x = cosh t > 0. Esta curva, que está na figura ao lado, é a metade direita de uma curva chamada hipérbole unitária; esta é a razão pela qual estas funções são chamadas de funções hiperbólicas. Cabos pendentes e outras aplicações Exercícios 1) Calcule a derivada de a) f(x) = senh x c) f(x) = tgh x e) f(x) = sech x b) f(x) = cosh x d) f(x) = cotgh x f) f(x) = cossech x 2) Uma linha de telefone é pendurada entre dois pólos separados a 14 m na forma de catenária y = –15 + 20 cosh (x/20), onde x e y são medidas em metros. a) Encontre a inclinação dessa curva quando ela encontra o poste à direita. b) Encontre o ângulo θ entre a reta e o poste. As funções hiperbólicas surgem em movimentos vibratórios, dentro de sólidos elásticos, e mais genericamente, em muitos problemas nos quais a energia mecânica é gradualmente absorvida pelo meio ambiente. Elas também ocorrem quando um cabo flexível e homogêneo é suspenso entre dois pontos, como as linhas telefônicas entre dois postes. Tais cabos formam uma curva chamada catenária (em latim, catena significa “cadeia”). Se como na figura Ao lado, foi introduzido um sistema de coordenadas tal que o ponto mais baixo do cabo está no eixo y, pode ser mostrado usando os princípios da Física que o cabo tem uma equação da forma y = c + a cosh a x
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