Manual de Cálculo Financeiro - Aulas e Listas de Exercícios

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Universidade de Brasília 
Faculdade de Economia, Administração, Contabilidade e Ciência da 
Informação e Documentação 
Departamento de Administração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Manual de 
 
Matemática 
Financeira 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: Cálculo Financeiro 
 
Professor: Aldery Silveira Júnior 
 
 
 
 
 
Brasília, 2009
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula 
 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 
Sumário 
 
 
INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................1 
1 – CAPITALIZAÇÃO..........................................................................................................................2 
1.1 – CAPITALIZAÇÃO SIMPLES .......................................................................................................................2 
1.1.1 – Fórmulas ....................................................................................................................................2 
1.1.2 – Exercícios de Capitalização Simples ....................................................................................3 
1.2 – CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA...................................................................................................................5 
1.2.1 – Fórmulas ....................................................................................................................................5 
1.2.2 – Exercícios sobre – Capitalização Composta .......................................................................5 
2 – ESTUDO DAS TAXAS ..................................................................................................................8 
2.1 – EQUIVALÊNCIA DE TAXAS .......................................................................................................................8 
2.1.1 – Equivalência de Taxas de Juros Simples.............................................................................8 
2.1.2 – Equivalência de Taxas em Juros Compostos: ....................................................................8 
2.1.3 – Exercícios sobre Equivalência da Taxas..............................................................................9 
2.2 – TAXAS NOMINAIS ..................................................................................................................................10 
2.2.1 – Cálculo da Taxa Efetiva ........................................................................................................10 
2.2.2 – Exercícios sobre Taxas Nominais .......................................................................................10 
3 – DESCONTO.................................................................................................................................11 
3.1 – DESCONTO RACIONAL SIMPLES ..........................................................................................................12 
3.1.1 – Fórmulas de Desconto Racional Simples ..........................................................................12 
3.1.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Simples ...................................................................12 
3.2 – DESCONTO COMERCIAL SIMPLES........................................................................................................15 
3.2.1 – Fórmulas de Desconto Comercial Simples ........................................................................15 
3.2.2 – Cálculo da Taxa Efetiva em Desconto Comercial Simples .............................................16 
3.2.3 – Exercícios sobre Desconto Comercial Simples.................................................................16 
3.3 – DESCONTO RACIONAL COMPOSTO .....................................................................................................19 
3.3.1 – Fórmulas de Desconto Racional Composto ......................................................................19 
3.3.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Composto ...............................................................20 
4 – EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS ..............................................................................22 
4.1 – EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS COM DESCONTO RACIONAL SIMPLES ...............................22 
4.2 – EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS COM DESCONTO COMERCIAL SIMPLES.............................23 
4.3 – EXERCÍCIOS SOBRE EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS COM JUROS SIMPLES .......................24 
4.4 – EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS COM DESCONTO RACIONAL COMPOSTO ..........................27 
4.5 – EXERCÍCIOS SOBRE EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS COM JUROS COMPOSTOS ................27 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula 
 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 
5 – RENDAS (SÉRIE DE PAGAMENTOS OU ANUIDADE)..............................................................31 
5.1 – RENDAS DO MODELO BÁSICO:.............................................................................................................33 
5.1.1 – Fórmulas ..................................................................................................................................33 
5.1.2 – Exercícios sobre Rendas do Modelo Básico .....................................................................34 
5.2 – RENDAS NÃO CONSTANTE DO MODELO BÁSICO.................................................................................37 
5.2.1 – Fórmulas ..................................................................................................................................37 
5.2.2 – Exercícios sobre Rendas não constantes do Modelo Básico .........................................37 
6 – USO DE TABELA FINANCEIRA.................................................................................................40 
6.1 – INTERPOLAÇÃO .....................................................................................................................................41 
6.2 – EXERCÍCIOS COM A UTILIZAÇÃO DE TABELAS FINANCEIRAS ..............................................................42 
7 – INFLAÇÃO ..................................................................................................................................44 
7.1 – FÓRMULAS ............................................................................................................................................44 
7.2 – EXERCÍCIOS SOBRE INFLAÇÃO.............................................................................................................45 
8 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE DIVIDA ..............................................................................47 
8.1 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC................................................................................47 
8.2 – SISTEMA FRANCÊS ...............................................................................................................................48 
8.3 – TABELA PRICE.......................................................................................................................................48 
8.4 – EXERCÍCIOS SOBRE SISTEMAS AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS ...............................................................48 
9 – EMPRÉSTIMOS COM CORREÇÃO MONETÁRIA .....................................................................50 
9.1 – PLANILHA DE ATUALIZAÇÃO MONETÁRIA ............................................................................................50 
9.2 – EXERCÍCIOS SOBRE EMPRÉSTIMO COM CORREÇÃO MONETÁRIA .....................................................51 
10 – ENGENHARIA ECONÔMICA....................................................................................................54 
10.1 – ANÁLISE PELO MÉTODO DA TAXA MÉDIA DE RETORNO...................................................................5510.2 – ANÁLISE PELO MÉTODO DOS PERÍODOS DE PAY BACK ...................................................................55 
10.3 – ANÁLISE PELO MÉTODO DO VALOR ATUAL .......................................................................................56 
10.4 – ANÁLISE PELO MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO ...............................................................56 
10.5 – EXERCÍCIOS SOBRE ENGENHARIA ECONÔMICA ...............................................................................57 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 1 
Introdução 
 
 
O estudo da Matemática Financeira possui uma importância impar para os Agentes 
Econômicos, Administradores, Contadores, Economistas e Gestores das mais diferentes 
áreas empresariais, assim como também para as pessoas físicas comuns, já que permite 
aos mesmos realizarem cálculos mais apurados e realísticos nas suas realizações 
comerciais e de trabalho onde o conhecimento de Matemática Financeira se faz presente. 
 
A Matemática Financeira não é uma propriedade de uma categoria de profissionais ou de 
um ramo do conhecimento, como a Economia, a Administração, a Contabilidade ou o Direito. 
a Matemática Financeira possui uma linguagem própria, o que a caracteriza como um ramo 
do conhecimento. 
 
A Matemática Financeira não deve estar restrita aos Agentes que operam o sistema de 
trocas e que a utilizam como ferramenta para mensurar suas diversas variáveis, o seu 
conhecimento é útil e necessário para todas as pessoas, independente da profissão que 
exerçam. As pessoas que desconhecem os princípios da Matemática Financeira são, às 
vezes, levadas a acreditarem em informações que não estão de acordo com a realidade. Ou 
seja, são “enganadas” e têm prejuízos em financeiros. 
 
O conhecimento da Matemática Financeira possui uma significativa importância em nossa 
vida; proporciona o fim de uma escuridão e nos lança com maior clareza para o mundo em 
que vivemos diariamente, onde somos ativos e passivos a todo o momento, em termos de 
agente econômico. Esse conhecimento nos faz deixar de ser “vitimas” dos Agentes 
conhecedores e formadores de preço, juros, e taxas, para sermos pessoas ativas e 
questionadoras em relação à utilização do nosso dinheiro. 
 
No mundo atual, os termos: juros, desconto, paridade de taxa, amortização de dívidas e 
engenharia econômica, entre tantos outros, fazem parte do nosso linguajar cotidiano e o 
conhecimento correto dos mesmos nos proporciona, sem nenhuma duvida, um ganho 
significativo e qualitativo nas nossas transações econômico-financeiras. 
 
O presente Manual contém os apontamentos das aulas da disciplina Cálculo Financeiro e é 
fruto da contribuição do Aluno Alisson Robert Gomes Peixoto, que cursou esta disciplina no 
2º semestre de 2006, e das atualizações efetuadas pelo professor da disciplinas nos 
semestres subseqüentes. 
 
Para cada tópico da disciplina, são apresentados: i) as anotações básicas que serão 
devidamente explanadas pelo professor nas aulas; ii) os exemplos que serão resolvidos e 
explicados pelo professor; e iii) as listas de exercícios que serão resolvidas pelos alunos, 
sob a supervisão do professor, durante as aulas. 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 2 
1 – Capitalização 
 
Capitalização corresponde à operação destinada a calcular o valor futuro de um determinado 
valor presente, considerando uma taxa de juro previamente fixada. 
 
Existem dois tipos de capitação, simples e composta, conforme o tipo de juro a que se refira: 
simples ou composto. 
 
 
Conceitos Básicos 
 
• Capital: valor que pode ser aplicado com a finalidade de rendimento de juros. 
• Juros: é a remuneração do fator capital – é o dinheiro pago pelo uso do dinheiro. 
• Montante: soma do capital inicial mais os juros recebidos. 
• Taxa de juros: relação entre juros traduzidos e uma unidade de tempo. 
 
Taxa de Juros 
 
 Existem dois tipos de taxas de juros: taxa percentual e taxa unitária. Nas fórmulas a 
serem utilizadas no presente curso, a taxa a ser adotada será a unitária. 
 
• Taxa Percentual: é a utilizada na pratica. Ex: 5% ao mês (o todo é 100). 
• Taxa Unitária: é uma taxa técnica. Ex: 0,05 ao mês (o todo é 1). 
 
A taxa unitária é obtida dividindo-se a taxa percentual por 100. Ex: 5/100 = 0,05. Nesta taxa 
não se utiliza o símbolo da percentagem. 
 
 
Simbologia: 
 
P = Capital S = Montante J = Valor dos Juros 
i = Taxa de Juros n = Número de períodos de Capitalização. 
 
 
 
1.1 – Capitalização Simples 
 
Neste tipo de capitalização apenas o capital inicial rende juros, ou seja, os juros incidem 
apenas sobre o valor inicialmente aplicado. 
 
1.1.1 – Fórmulas 
(1) ( )n.iPS += 1 � (2) 
in1
SP
+
= � (3) 
n
1
P
S
i
−
= � (4) 
i
1
P
S
n
−
= 
 
(5) JPS += � (6) P = S – J � (7) J = S – P 
 
(8) J = P. i. n ���� (9) 
n.i
JP = ���� (19) 
n.P
Ji = ���� (11) 
i.P
J
n = 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 3 
Exemplos 
 
(1) Quanto deve ser aplicado hoje à taxa de 5% a.m., para que se resgate 
$ 3.300,00 ao final de seis meses? 
 
(2) Caso você aplique $ 5.000,00 e após sete meses resgate $ 6.050,00 qual terá sido a 
taxa de juros dessa operação? 
 
(3) Qual o juro produzido por um capital de $ 8.000,00 aplicado à taxa de 24% a.a 
durante 3 meses? 
 
 
1.1.2 – Exercícios de Capitalização Simples 
 
1) O banco “X” empresta ao Sr. Carlos a quantia de $ 300.000,00, à taxa de 5% ao ano, 
para ser paga após três anos e meio. Calcule o montante dessa operação. 
R: S = $ 352.500,00 
 
2) A que taxa devemos aplicar um certo capital para que, em 8 meses, ele dobre de valor? 
R: i = 12,5% a.m. 
 
3) Um capital de $ 7.000,00 foi aplicado a juros simples durante 1 ano e meio, à taxa de 
15% a.s. Calcular os valores dos juros e do montante obtidos no final deste prazo. 
R: J = $ 3.150,00; S = $ 10.150,00 
 
4) Um capital de $ 900,00 foi aplicado a juros simples, à taxa de 5% a.a., sendo obtidos 
$ 15,00 de juros. Calcular o prazo de aplicação em meses. 
R: n = 4 meses 
 
5) A empresa Monitoria S/A aplicou o valor de $ 5.000,00 a juros de 1,5% a.m. e pretende 
sacar o valor após 12 meses. Qual o montante a ser regatado? 
R: S = $ 5.900,00 
 
6) Certo cliente adquire um titulo por $ 60.000,00 e resgata $ 119.350,00, após 9 meses. 
Qual a taxa de juros dessa operação? 
R: i = 10,9% a.m. 
 
7) Qual o juros recebido por um comerciante que investe $ 20.000,00, à taxa de 5% a.m., 
durante 2 meses? 
R: $ 2.000,00 
 
8) Calcular o prazo, em anos, necessário para um capital triplique de valor, caso seja 
aplicado à taxa de 10% a.t. 
R: n = 5 anos 
 
9) Um capital aplicado por 16 meses gerou $ 13.440,00 de juros. Sabendo que a taxa de 
juros mensal foi de 6%, calcule o valor do capital inicial. 
R: P = $ 14.000,00 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 4 
10) Qual será o valor dos juros de um capital de $ 3.145,00, aplicado a uma taxa de 0,5% 
a.m., durante 1 ano e meio? 
R: J = $ 283,05 
 
11) Um capital de $ 4.250,00, aplicado a uma taxa de 3% a.m., produziu um montante de 
$ 6.162,50. Qual foi o período de aplicação? 
R: n = 15 meses = 1 ano e 3 meses 
 
12) Danilo decidiu investir $ 1.035,00 em ma instituição financeira que opera com uma taxa 
de juros simples de 1,8% a.m., durante 1 ano. Qual será o montante ao final do 
período? 
R: S = $ 1.258,56 
 
13) Um empréstimo de $ 15.000,00 foi feito para ser pago em 24 meses, foi liquidado, ao 
final do período, por $ 23.000,00. Qual a taxa de juros utilizada?R: i = 2,22% a.m. 
 
14) Em quantos meses um capital de $ 750,00 renderá juros igual a um terço de seu valor, 
se aplicado a uma taxa de 6,67% a.m.? 
R: n = 5 meses 
 
15) Gilberto solicitou em seu banco um empréstimo de $ 6.000,00. O pagamento será feito 
em 36 meses com incidência de juros de 2,7% ao mês. Qual o valor a ser pago para 
liquidar a dívida? 
R: S = $ 11.832,00 
 
16) Por um empréstimo de $ 12.450,00, pagou-se $ 3.200,00 de juros. Sabendo-se que a 
taxa de juros utilizada foi de 1,79% a.m., qual foi o período dessa operação? 
R: n = 14 meses e 11 dias 
 
17) Leonardo solicitou um empréstimo de $ 3.990,00 para pagar em 6 meses. A financeira 
cobrou juros de 1,97% a.m. Qual o valor dos juros a pagar? 
R: J = $ 471,62 
 
18) Qual a taxa de juros cobrado por um banco, sabendo que por um empréstimo de 
$ 500,00 pagou-se $ 115,00 de juros, em 3 meses? 
R: i = 7,7% a.m. 
 
19) Qual o capital que aplicado a juros simples de 12% a.a., durante 5 meses, gerou um 
montante de $ 1.260,00? 
R: P = $ 1.920,00 
 
20) Ao se aplica a importância de $ 5.000,00, à taxa de 8% a.a., obtém-se, após certo 
período, o montante de $ 6.000,00. Qual é o período de aplicação? 
R: n = 2,5 meses 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 5 
1.2 – Capitalização Composta 
 
Nesse tipo de capitalização os juros produzidos em cada período são capitalizados, 
formando um novo capital que irá render juros no período seguinte. 
 
 
P0 P0+J1 = P1 P1+J2 = P2 P2+J3 = P3 P3+J = S 
|-----------------|--------------------|-------------------|-------------------| 
0 1 2 3 4 
 
 
 
1.2.1 – Fórmulas 
 
(1) ( )niPS += 1 (2) ( )ni
SP
+
=
1 (3) ( )
niSP −+= 1 
 
(4) 1
1
−





=
n
P
Si (5) 1−= n
P
Si (6) ( )iLog P
SLog
n
+
=
1
 
 
(7) S = P+J (8) P = S – J (9) ( ) PiPJ n −+= 1 
 
(10) ( )[ ]11 −+= niPJ (11) ( ) 11 −+= NiJP 
 
Exemplos 
 
(1) Caso você aplique $ 3.500,00 em uma instituição financeira que pague juros de 
2,75% a.m., quanto resgatará no final de sete meses? 
 
(2) Caso você aplique $ 7.000,00 em uma instituição e ao final e cinco meses resgate a 
importância de $ 8.640,12 qual terá sido a taxa de juros dessa operação? 
 
(3) Qual o tempo necessário para que um capital de $ 10.000,00 dobre de valor, se 
aplicado a taxa de 20% a.a.? 
 
(4) Qual o juro produzido por um capital de $ 6.500,00, aplicado a taxa de 15% a.a., 
durante seis meses? 
 
 
 
1.2.2 – Exercícios sobre – Capitalização Composta 
 
1) Calcule o montante de uma aplicação de $ 50.000,00 pelo prazo de 6 meses, à taxa de 
juros compostos de 6% a.m. 
R: S = $ 70.925,96 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 6 
2) Quanto deverei aplicar hoje para ter direito a receber a importância de 
$ 500.000,00 daqui a 5 anos, se a taxa de juro composto adotada for 15% ao ano? 
R: P = $ 248.588,37 
 
3) Jean conseguiu um vale em sua empresa no valor de $ 200,00 a serem descontados 
nos seus próximos 2 salários. Sabendo que a empresa vai descontar no final o valor de 
$ 230,00, qual será a taxa de juros compostos cobrada? 
R: i = 7,24% a.m. 
 
4) Em quanto tempo um capital de $ 1.650,00 produzirá um montante de $ 1.776,87, se 
aplicado a uma taxa composta de 2,5% a.m.? 
R: n = 3 meses 
 
5) Qual o valor dos juros produzidos por um capital de $ 2.500,00, aplicado à taxa de 4% 
a.m., durante 12 meses? 
R: J = 1.502,58 
 
6) Rivaldo, desejando viajar no próximo ano, decidiu aplicar $ 2.200,00 e resgatar daqui a 
12 meses, fins custear a viagem. Sabendo que a instituição financeira paga juros 
compostos de 1,2% a.m., qual será o montante a ser resgatado ao final do período? 
R: S = $ 2.538,57 
 
7) Um capital de $ 7.000,00, aplicado durante 6 meses, proporcionou ao aplicador um 
montante de $ 8.117,85. Qual a taxa de juros compostos dessa operação? 
R: i = 2,5% a.m. 
 
8) O que é mais vantajoso? Investir $ 5.000,00 durante 2 anos a juros compostos de 2% 
a.m. ou investir $ 5.000,00 durante 2 anos, a juros simples de 3% ao mês. 
R: Investir os 5.000 reais sob o regime de juros simples 
 
9) Um investidor investiu $ 5.000,00 a juros de 1,5% a.m., durante um ano. Qual será o 
valor a ser resgatado ao final do período? 
S = $ 5.978,09 
 
10) Um capital de $ 5.000,00, aplicado à taxa de 20% a.m., produzirá um montante de 
$ 10.000,00 em quanto tempo? 
R: n = 3 meses e 24 dias 
 
11) Um investidor aplicou $ 45.000,00 em uma instituição financeira que opera com juros 
compostos de 3,55% a.t., pelo período de 1 ano. Qual o valor dos juros dessa 
operação? 
R: J = $ 6.738,39 
 
12) Saul contraiu uma dívida de $ 2.000,00 para ser quitada após 2 anos e meio. Ao final 
do prazo contratado, Saul quitou a dívida com um único pagamento de R$ 3.400,00. 
Qual a taxa de juro composta mensal dessa operação? 
R: i = 1,78% a.m. 
 
13) Quantos dias são necessários para que um capital de $ 35.000,00, aplicado a uma taxa 
de 10% a.m., produza juros de $ 11.585,00? 
R: n = 90 dias 
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Professor Aldery Silveira Júnior 7 
14) Um determinado título de capitalização, com valor de face de $ 6.000,00, remunera o 
aplicador com juros de 3% ao mês. O prazo de aplicação é de 18 meses. Qual será o 
valor de resgate desse título ao final do prazo contratado? 
R: S = $ 10.214,60 
 
15) Qual a taxa de juro composta mensal que faz um capital dobra de valor em 6 meses? 
R: i = 12,25% a.m. 
 
16) Uma pessoa tem uma dívida no valor de $ 900.000,00, a ser saldada daqui a 6 meses. 
Quanto deverá aplicar hoje, à taxa de 7% a.m. para que, ao final de 6 meses, disponha 
da importância necessária para saldar o seu compromisso, considerando o regime de 
juros compostos? 
R: P = $ 600.000,00 
 
17) Um capital de $ 5.000,00 produz juros de $ 800,00 em um período de 4 meses. Qual a 
taxa mensal de juros compostos? 
R: i = 3,78 a.m. 
 
18) Uma pessoa compra um lote de ações na Bovespa por $ 1.250,00. Depois de 1 mês 
resolve vender suas ações por $ 1.500,00. Qual foi a rentabilidade, em termos 
percentuais, auferida por essas ações? 
R: i = 20% a.m. 
 
19) Em quanto tempo um capital pode produzir juros a 70% de seu valor se aplicado a 
5.72% ao mês? 
R: 9 meses e 16 dias 
 
20) Bruno pede emprestado a um colega a importância de $ 1.250,00 para consertar o seu 
carro. Tal amigo o empresta, porém cobra uma taxa de juro composto de 1,5% ao mês. 
Ao final dos 6 meses, quanto Bruno deverá pagar ao seu amigo para liquidar a dívida? 
R: S = $ 1.366,80 
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Professor Aldery Silveira Júnior 8 
2 – Estudo das Taxas 
 
Neste tópico, estudaremos equivalência de taxas em juros simples e compostos, e as taxas 
nominais – taxas onde o período de capitalização difere do período do tempo. 
 
 
2.1 – Equivalência de taxas 
 
Duas taxas são ditas equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo 
espaço de tempo, porém com períodos de aplicação diferentes, produzem o mesmo juro ou 
o mesmo montante. 
 
 
2.1.1 – Equivalência de Taxas de Juros Simples 
 
Formulas: 
 
1) 
k
iiK = 
 
2) k.ii K= 
 
 
2.1.2 – Equivalência de Taxas em Juros Compostos: 
 
Fórmulas: 
 
1) ( ) 1i1i kK −+= . 
 
2) ( ) 1i1i k1k −+= . 
 
3) 1i1i kK −+= 
 
 
Exemplos 
 
(1) Se aplicado $ 3.000,00 à taxa de 3,2% a.m., quanto será resgatado ao final de 13 
dias? (juros simples).(2) Quanto deverá ser aplicado hoje, à taxa de 5,4% ao trimestre, para que se resgate 
$ 10.000,00 ao final de um ano? (juros simples). 
 
(3) Qual o juro produzido por um capital de $ 6.000,00, aplicado à taxa de 13% a.a., 
durante cinco meses? (juros compostos). 
 
(4) Se aplicado $ 8.000,00 em uma financeira que pague juros de 2,5% a.m., quanto 
será resgatado ao final de três anos? (juros compostos). 
Onde: 
Ki = Taxa do menor período 
i = Taxa do maior período 
k = Maior período / menor período 
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Professor Aldery Silveira Júnior 9 
2.1.3 – Exercícios sobre Equivalência da Taxas 
 
1) Qual o montante produzido por um capital de $ 1.000,00, aplicado à taxa de juros 
simples de 17,28% ao ano, durante 6 meses? 
 R: S = $ 1.086,80 
 
2) Um capital $ 30.000,00, aplicado à taxa de juros simples de 0,99% ao mês, durante um 
biênio, produzirá o montante de ..... 
R: P = $ 37.128,00 
 
3) Qual é o valor dos juros produzidos por um capital de $ 1.000,00, aplicado à taxa de 5% 
ao mês, durante 21 dias? 
R: J = $ 35,00 
 
4) Um determinado banco paga juros compostos de 6% ao trimestre. Se uma pessoa 
necessitar dispor de $ 6.000,00 daqui a 3 anos, quanto deverá aplicar hoje nesse 
banco? 
 R: P = $ 2.981,82 
 
5) Um banco publica em suas agências o seguinte anúncio: “Aplique $ 1000,00 hoje e 
receba $ 1.900,00 ao final de 6 meses”. Determinar as taxas semestral e mensal de 
juros compostos oferecidas por este banco. 
 R: i = 90% a.s. e 11,29% a.m. 
 
6) Uma aplicação de $ 6.700,00, efetuada à taxa de 36% ao ano, durante 7 meses, 
produzirá juros no valor de ...... 
 R: J = $ 1.316,27 
 
7) Qual a taxa mensal de juros compostos cobrada num empréstimo de $ 64.000,00, que 
deverá ser quitado no prazo de 117 dias, por $ 79.600,00? 
 R: i = 5,75% a.m. 
 
8) Uma aplicação de $ 3.800,00 proporcionou um rendimento de $ 2.400,00 no final de 
208 dias. Determinar as taxas diária, mensal, trimestral e anual de juros compostos 
dessa operação. 
 R: i = 0,24% a.d.; i = 7,32% a.m.; i = 23,59% a.t.; e i = 133,33% a.a. 
 
9) Quanto uma pessoa resgatará ao final de 93 dias se aplicar $ 2.000,00 à taxa de 150% 
ao ano? 
 R: S = $ 2.534,14 
 
10) Determinar o montante produzido por uma aplicação de $ 200.000,00, admitindo os 
seguintes prazos e taxas compostas: 
 a) i = 5% a.m., durante 2 anos 
 b) i = 12% a.t., durante 1 ano e meio 
 R: a) S = $ 645.020,00 e b) S = $ 394.764,50 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 10 
2.2 – Taxas Nominais 
 
Forma de apresentação: 72% a.a.c.c.m (ao ano com capitalização mensal) 
 
Sempre que nos deparamos com uma taxa nominal, faz-se necessário se calcular a taxa 
efetiva, ou seja, devemos determinar qual a verdadeira taxa que está por trás da taxa 
nominal. 
 
 
2.2.1 – Cálculo da Taxa Efetiva 
 
Calcula-se a taxa efetiva por meio de dois passos: 
 
1) Calcular a taxa efetiva do menor período utilizando a formula de equivalência de taxas de 
juros simples: 
k
iifK = 
 
2) Calcular a taxa efetiva do maior período utilizando a formula de equivalência de taxas de 
juros compostos: 
 
( ) 1if1i kkf −+= 
 
 
 
Resolução da taxa efetiva da taxa nominal 72% a.a.c.c.m.: 
 
Passo 1 � 06,0
12
72,0ifK == ao mês 
 
Passo 2 � ( ) %22,101106,01i 12f =−+= ao ano. 
 
 
2.2.2 – Exercícios sobre Taxas Nominais 
 
1) Determinar o valor dos juros produzidos por um capital de $ 15.000,00, aplicado às taxa 
de 48% a.a.c.c.m., durante 2 anos. 
R: J = $ 23.449,56 
 
2) Caso você aplique $ 3.000,00, às taxa de 6,78% a.m.c.c.d., por 7 meses, quanto 
resgatará ao final do período? 
R: S = $ 4.819,53 
 
3) O Banco Alfa opera com uma taxa de 15% a.t.c.c.m. Se você efetuar um empréstimo de 
$ 5.000,00 nesse banco, quanto desembolsará ao final de 2 anos para liquidar a dívida? 
R: S = 16.125,50 
 
4) Dada a taxa de juros 120% a.a.c.c.m., quais são as taxas efetivas mensal e anual? 
R: ifk = 10% a.m. e if = 213,84% a.a. 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 11 
3 – Desconto 
 
Desconto é uma operação inversa à Capitalização, ou seja, corresponde a trazermos um 
valor futuro para a data presente, descontando os juros que estão imbutidos no valor futuro. 
 
O Desconto propriamente ao abatimento obtido por se saldar uma dívida antes do 
vencimento. 
 
 
Conceitos básicos: 
 
• Valor de face: valor de um titulo na data de sua emissão. 
• Valor nominal: valor de um titulo na data de seu vencimento. 
• Valor atual: valor de um titulo em uma data intermediaria entre a de emissão e a de 
vencimento. 
 
Obs.: Titulo – denominação genérica para qualquer tipo de dívida (Nota Promissória, 
Duplicata, etc.). 
 
 
Tipos de Desconto 
 
Existem dois tipos de descontos: Racional e Comercial. Ambos podem ser utilizados tanto 
em juros simples quanto em juros compostos. 
 
O Desconto Racional corresponde à verdadeira operação de Desconto. O Desconto 
Comercial nada mais é do que uma variação do Desconto Racional adotada pelo Mercado. 
 
 
 Racional (por dentro) Simples 
Desconto: 
 Comercial (por fora) Composto 
 
 
Quanto ao Desconto Comercial, na prática, o mesmo é utilizado somente sob o regime de 
juros simples. 
 
 
Simbologia utilizada nas operações de desconto: 
 
N - Valor Nominal 
Dr - Valor do Desconto Racional Simples 
Vr - Valor Atual Racional Simples 
Dc - Valor do Desconto Comercial Simples 
Vc - Valor Atual Comercial Simples 
Drc - Valor do Desconto Racional Composto 
Vrc - Valor Atual Racional Composto 
i - Taxa de Desconto 
n - Número de períodos que faltam para 
o vencimento da dívida 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 12 
3.1 – Desconto Racional Simples 
 
Neste tipo de Desconto, a taxa é aplicada sobre o Valor Atual, sobre o número de períodos 
que faltam para o vencimento da dívida. 
 
 
3.1.1 – Fórmulas de Desconto Racional Simples 
 
1) ( )n.iVN R += 1 � n.i
NVR
+
=
1
 � 
n
V
N
i R
1−
=
 � i
V
N
n R
1−
=
. 
 
2) N = Vr + Dr ���� Vr = N – Dr ���� Dr = N – Vr 
 
3) 
n.i
n.i.NDR +
=
1 . 
 
Ex: 
 
N = 10.000,00 
I = 10% ao mês 
n = 3 meses 
Dr = ? 
Vr = ? 
 
3.1,01
3.1,0.000.10DR +
=
 � Dr = 2.307,69. 
Vr = 10.000,00 – 2.307,69 � Vr = 7.692,31. 
 
 
Exemplos de Desconto Racional Simples 
 
(1) Caso você desconte um título de R$ 35.000,00 15 dias antes do vencimento, a uma 
taxa de 5,5% a.m., qual será a importância recebida? 
 
(2) Um título foi descontado à taxa de 2% a.m. Sabendo-se que o valor nominal era 
$ 7.414,00 e o valor descontado racional $ 6.740,00, qual o prazo da antecipação? 
 
(3) Uma promissória com valor nominal de $ 275.820,00 e vencimento para 75 dias foi 
descontada á taxa de 90% a.a. Qual o valor do desconto racional dessa operação? 
 
 
3.1.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Simples 
 
1) Marta descontou um Título no valor de $ 15.000,00, 1 mês e 15 dias antes do 
vencimento, considerando que a taxa cobrada foi de 4,5% a.m. Qual o valor do 
desconto racional simples? 
 R: Dr = $ 948,48 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 13 
2) Desconta-se racionalmente uma Nota Promissória 9 meses antes do vencimento, a uma 
taxa de 5,8% a.m. Sabendo que o valor descontado foi $ 5.250,00, qual era o valor 
nominal dessa Nota Promissória? 
 R: N = $ 7.990,50 
 
3) Uma Nota Promissóriacom valor nominal de $ 25.000,00 foi descontada 3 meses antes 
do vencimento, a uma taxa de 4% a.m. Qual o valor do desconto racional simples? 
 R: Dr = $ 2.678,57 
 
4) Paulo, ao resgatar um Título com valor nominal de $ 50.000,00 sob o critério de 
desconto racional simples, desembolsou a quantia de $ 32.000,00. Considerando que a 
operação foi efetuada com base em uma taxa de 23% a.a., calcule o período de 
antecipação. 
 R: n = 2 anos, 5 meses e 10 dias 
 
5) Qual o valor a ser pago hoje por uma Duplicata de $ 58.000,00, com vencimento para 60 
dias, se for descontada sob o critério de desconto racional simples, a uma taxa de 3% 
a.m.? 
 R: Vr = $ 54.716,98 
 
6) Por um Título com valor nominal de $ 1.200,00, com vencimento para 16 de outubro, 
Manuel obteve o valor de $ 1.110,00, em 1º de setembro do mesmo ano. Qual foi a taxa 
mensal de desconto racional simples utilizada pelo banco? 
 R: i = 5,29% a.m. 
 
7) Uma Nota Promissória foi descontada 1 ano antes do vencimento, a uma taxa de 20% 
ao ano. Usando o desconto racional simples e sabendo-se que valor atual foi de 
$ 30.000,00, qual seria o seu valor nominal? 
 R: N = $ 36.000,00 
 
8) Uma dívida de $ 10.000,00 será saldada 2 meses antes de seu vencimento. Qual será o 
valor do desconto racional simples, se a taxa de juros for de 16% a.m.? 
 R: Dr = $ 2.424,24 
 
9) Quanto devo pagar por um Título com valor nominal de $ 10.000,00, com vencimento 
para daqui a 60 dias, se desejo ter uma taxa de retorno de 24% ao ano? (desconto 
racional simples) 
 R: Vr = $ 7.142,86 
 
10) Antecipando 3 meses um Título com valor nominal de $ 600,00, obtenho um desconto 
de $ 41,86. Qual é a taxa de desconto racional simples mensal dessa operação? 
 R: i = 2,5 % a.m. 
 
11) Ao descontar um Título no valor de $ 46.800,00, a uma taxa de 6,7% a.m., 6 meses de 
antes do vencimento, o valor do desconto racional simples será .... 
 R: Dr = $ 13.419,11 
 
12) Quanto devo pagar por uma Promissória com valor nominal de $ 24.000,00, com 
vencimento para 9 meses, se pretendo obter um rendimento de 12% a.t? 
 R: Vr = $ 17.647,06 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 14 
13) Uma Duplicata foi descontada a uma taxa de 4,5% a.m., 210 dias antes do vencimento. 
Sabendo que o valor atual racional foi $ 19.452,48, calcule o valor nominal dessa 
Duplicata. 
 R: N = $ 25.580,01 
 
14) Em uma operação de desconto racional simples, com uma taxa de 12% a.m., o valor 
atual de um Título é igual à metade do seu valor nominal. Qual o tempo necessário para 
que isso ocorra? 
 R: n = 8 meses e 10 dias 
 
15) $ 981,00 é o valor do desconto comercial simples de um Título com valor nominal de 
$ 10.900,00, se descontado 3 meses antes do vencimento. Calcule o valor do desconto 
racional simples desse Título, considerando a mesma taxa de desconto mensal. 
 R: Dr = $ 900,00 
 
16) Se um Título for resgatado três meses antes do vencimento por $ 53.409,00, à taxa de 
desconto racional simples de 84% a.a., qual é o valor nominal desse Título? 
 R: N = $ 64.624,89 
 
17) Uma Nota Promissória foi descontada racionalmente com 78 dias de antecipação por 
$ 3.652,00, à taxa de juros simples de 4% a.m. Qual o valor do desconto auferido nessa 
operação? 
 R: Dr = $ 379,80 
 
18) Marina possui um CDB de $ 1.300,00, com vencimento para daqui a 3 meses. A fim de 
comprar um notebook que está em promoção para pagamento à vista, ela pretende 
descontar esse Título hoje. Considerando o critério de desconto racional simples e taxa 
de 1,5% a.m., qual será o valor de resgate desse CDB? 
 R: Vr = $ 1.244,02 
 
19) Diego resgatou um Título de $ 1.150,00, a uma taxa de desconto racional simples de 2% 
a.m., tendo recebido a importância de $ 1.045,45. Quanto foi o período de antecipação 
dessa operação? 
 R: n = 5 meses 
 
20) Se uma dívida de $ 6.462,20 for quitada 60 dias antes do prazo estabelecido, à taxa de 
juros de 60% a.a., qual será o valor do desconto racional simples? 
 R: Dr = $ 587,50 
 
 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 15 
3.2 – Desconto Comercial Simples 
 
Neste tipo de Desconto, a taxa de juros é aplicada sobre o Valor Nominal, vezes o número 
de períodos que falta para o vencimento da dívida. 
 
 
 
3.2.1 – Fórmulas de Desconto Comercial Simples 
 
1) n.i.NDc = � 
n.i
DcN = � 
n.N
Dci = � 
i.N
Dc
n =
 
 
2) DcVcN += � DcNVc −= � VcNDc −= . 
 
3) ( )n.iNVc −= 1 � 
n.i1
VcN
−
= � 
N
1
N
Vc
i
+−
= � 
i
1
N
Vc
n
+−
= 
 
4) ( )n.iDrDc += 1 � 
n.i1
DcDr
+
= 
 
Ex: 
N = 10.000,00 
i = 10% a.m. 
n = 3 meses 
Dc = ? e Vc = ? 
 
Dc = 10.000,00. 0,1. 3 = 3.000,00. 
Vc = 10.000,00 – 3.000,00 = 7.000,00. 
Vc = 7.000,00 
 
 
 
Exemplos de Desconto Comercial Simples 
 
(1) Qual o valor atual comercial recebido pelo detentor de um titulo de $ 4.000,00, 
descontados três meses antes do vencimento, a uma taxa de 7% a.m. Calcule a 
taxa efetiva de desconto comercial dessa operação. 
 
(2) Uma duplicata de $ 180.000,00 foi descontada 4 meses antes de seu vencimento. 
Considerando uma taxa de desconto simples de 60% ao semestre, calcule o valor 
do desconto e o valor recebido pelo detentor da duplicata. 
 
(3) Um título a vencer em 120 dias, no valor de $ 13.000,00 foi descontado por 
$ 11.400,00. Calcular a taxa anual de desconto comercial simples e a taxa efetiva 
de desconto. 
 
 
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Professor Aldery Silveira Júnior 16 
3.2.2 – Cálculo da Taxa Efetiva em Desconto Comercial Simples 
 
A taxa de Comercial Simples é uma taxa nominal, e, como tal, deve ser calculada a taxa 
efetiva, que é obtida utilizando-se a seguinte fórmula? 
 
n
1
Vc
N
if
−
=
 
 
Ex: 
N = 10.000,00 
i = 10% a.m. 
n = 3 meses 
Vc = 7.000,00 
If = ? 
 
%29,14if
3
1
000.7
000.10
if
=
−
=
 
 
 
3.2.3 – Exercícios sobre Desconto Comercial Simples 
 
1) Uma Duplicata com valor nominal de $ 12.000,00 foi descontada 2 meses antes do 
vencimento, a uma taxa de 17,17% ao ano. Qual foi o valor do desconto comercial 
simples? 
 R: Dc = $ 343,40 
 
2) Uma Duplicata no valor nominal de $ 25.000,00 foi liquidada 12 meses antes do seu 
vencimento. Foi pago por ela a importância de $ 18.960,00. Calcule a taxa de desconto 
comercial simples da operação e a taxa efetiva que vigorou na transação. 
 R: i = 2,01% a.m.; if = 2,65% a.m. 
 
3) André decide descontar um Título três meses antes do vencimento. Sabendo que o valor 
do título é $ 4.500,00 e que a taxa de desconto é de 1,5% a.m., qual o valor do desconto 
comercial? 
 R: Dc = $ 202,50 
 
4) Qual o valor atual comercial de uma Duplicata com valor nominal de $ 5.000,00, que foi 
descontada 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto simples de 1,5% 
a.m.? 
 R: Vc = $ 4.775,00 
 
5) Um Título foi descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa de 24% a.a. Sabendo 
que o valor atual comercial apurado foi de $ 17.860,00, qual era o valor nominal desse 
Título? (desconto comercial) 
 R: N = $ 19.000,00 
 
6) Uma Duplicata com valor nominal de $ 45.000,00 é descontada 6 meses antes do 
vencimento, à taxa de 30% a.a. Qual o valor de desconto comercial? 
 R: Dc = $ 6.000,00 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 17 
7) O valor nominal de um Título é $ 35.000,00. Caso este Título seja descontado 1 mês 
antes do vencimento, a uma taxa de 3% a.t., qual será o valor do desconto comercial 
simples? 
 R: Dc = $ 350,00 
 
8) Um título novalor nominal de $ 20.000,00 sofre um desconto comercial simples de 
$ 1.800,00, três meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto. 
 R: i = 3%. 
 
9) Uma Duplicata de valor nominal de $ 20.000,00 foi resgatada por $ 19.250,00. Se a taxa 
de desconto comercial simples era de 90% a.a., quanto tempo restava para o 
vencimento dessa Duplicata? 
 R: n = 15 dias 
 
10) Qual o valor atual comercial recebido pelo detentor de um Título no valor de $ 4.000,00, 
descontado 7 meses antes do vencimento, a uma taxa de 6,5% a.m. Qual foi a taxa 
efetiva de desconto comercial aplicada na operação? 
 R: Vc = $ 2.180,00; if = 11,93% a.m. 
 
11) Um Título com valor nominal de $ 6.000,00 foi descontado 5 meses antes do 
vencimento, a uma taxa de 5% a.m. Qual o valor do desconto comercial simples e qual 
o valor do recebido pelo detentor do título? 
 R: Vc: $ 4.500,00; Dc = $ 1.500,00 
 
12) Ao quitar uma dívida, obteve-se um desconto comercial simples. O valor nominal era de 
$ 15.000 e a taxa de desconto de 2,75% ao mês. A antecipação foi de 9 meses. Qual o 
valor pago pela dívida? 
R: Vc = $ 11.287,50 
 
13) Uma nota promissória de $ 22.000,00 é descontada 6 meses antes do vencimento, à 
uma taxa de desconto comercial simples de 1,6% a.m. Calcule o valor atual da nota. 
 R: Vc = $ 19.888,00 
 
14) Calcule o valor atual comercial simples recebido por Diego pelo seu título no valor de 
$ 5.000,00, descontado 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de 8,5% a.m. Calcule 
também a taxa efetiva de desconto comercial dessa operação? 
R: Vc: $ 3.725,00 e If = 11,41% a.m. 
 
15) Em uma operação de desconto comercial simples de um título com valor nominal de 
$ 250,00, o desconto auferido foi de $ 25,00. Considerando que a taxa utilizada foi de 
10% ao mês, qual foi o tempo de antecipação? 
R: n = 1 mês. 
 
16) Uma duplicata com valor nominal de R$ 35.000,00 foi descontada 8 meses antes do 
vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 24% a.a, determine o valor 
recebido pelo detentor do título. 
R: Vc =$ 29.400,00 
 
17) Por quanto tempo devo antecipar o pagamento de um título de $ 1.100,00 para obter um 
desconto comercial de $ 300,00, a uma taxa de 3,5% ao mês? 
R: n = 6 meses 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 18 
 
18) Qual o valor atual comercial recebido por um título de $ 900,00 descontado 2 meses 
antes do vencimento a uma taxa de 1,5% ao mês? 
R: Vc = $ 873,00 
 
19) Qual taxa de juros devo descontar um título de $ 15.00,00 para obter um desconto 
comercial de $ 1.500,00, descontado 3 meses antes do vencimento? 
R: i = 3,33% a.m. 
 
20) Uma duplicata de $ 250.000,00 foi resgatada por $ 215.000,00, antes do seu 
vencimento. Calcular o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto 
comercial foi de 3,5 % ao mês. 
R: n = 4 meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 19 
3.3 – Desconto Racional Composto 
 
O princípio do Desconto Racional Composto é o mesmo do Desconto Racional Simples, 
sendo que agora os juros utilizados são os compostos. 
 
Na prática, em se tratando de operações com juros compostos, utiliza-se apenas o Desconto 
Racional. 
 
 
3.3.1 – Fórmulas de Desconto Racional Composto 
 
A única diferença do Desconto Racional Composto em relação ao Desconto Racional 
Simples diz respeito apenas ao regime de juros, o princípio é o mesmo. 
 
1) ( )niVrcN += 1 � ( )ni
NVrc
+
=
1
 � 1
1
−





=
n
Vrc
Ni � ( )iLog
Vrc
NLog
n
+
=
1 
 
2) DrcVrcN += � DrcNVrc −= � VrcNDrc −= 
 
3) ( ) 




+
−=
nRC i1
11.ND
 ou ])i1(1[ND nRC −+−= 
 
Ex: 
N = 10.000,00 
i = 10% a.m. 
n = 3 meses 
Drc = ? 
Vrc =? 
 
( ) 




−= 31,1
1100,000.10Drc � 





−=
331,1
1100,000.10Drc � Drc = $ 2.486,85. 
Vrc = $ 7.513,15. 
 
 
Exemplos 
. 
(1) Qual o valor do desconto racional composto de um titulo de $ 8.000,00 descontado 
dois meses antes do vencimento a taxa de 5,5% a.m. 
 
(2) Um titulo com valor nominal de $ 15.000,00 foi descontado antes do vencimento, 
tendo o detentor desse titulo recebido $ 13.870,00. Considerando uma taxa de 42% 
a.a., determine o período de antecipação (juros compostos). 
 
(3) Caso desconte um titulo de $ 5.000,00 três meses antes do vencimento e receba 
$ 4.380,00 qual é a taxa de juros compostos dessa operação? 
 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 20 
3.3.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Composto 
 
1) Quanto deverá ser o valor do desconto racional composto de um Título cujo valor 
nominal de $ 29.500,00, que será descontado 8 meses antes do vencimento, a uma 
taxa de 6,8% a.m.? 
R: Drc = $ 12.071,82 
 
2) O valor de certo Título no vencimento é de $ 175.000,00. O detentor do mesmo, 
desejando saldar algumas dívidas, resolveu antecipá-lo, recebendo um valor de 
$ 144.000,00, sendo utilizada, para tanto, uma taxa de desconto racional composto de 
5,5% a.m. Qual foi o período de antecipação? 
R: n = 3 meses e 19 dias 
 
3) Carlos Alberto deseja antecipar o pagamento de um empréstimo no valor de 
$ 15.000,00, que vencerá daqui a 10 meses, tendo negociado com o credor o 
pagamento de $ 13.685,00 para liquidar a dívida. Qual foi a taxa de desconto racional 
composto acordada nessa operação? 
R: i = 0,92% a.m. 
 
4) Calcule o valor nominal de um Título cujo valor do desconto racional composto foi de 
$ 685,00, antecipação de 4 meses e taxa de juros de 3,67% a.m.? 
R: N = $ 5.102,05 
 
5) Um Título cujo valor nominal era de $ 55.000,00 foi antecipado em 3 meses, utilizando-
se uma taxa de desconto racional composta de 6,35% a.m. Pergunta-se: qual o valor 
líquido que foi recebido pelo dono do Título? 
R: Vrc = $ 45.724,63 
 
6) Um Titulo com valor nominal de $ 8.000,00, vencível em 3 meses, foi descontado à taxa 
de 4,5% a.m. Calcule o valor do desconto racional composto. 
R: Drc = $ 2.226,66 
 
7) Um investidor realizou a antecipação de um Titulo, obtendo um desconto racional de 
$ 1.186,22. A taxa composta de juros acordada foi de 12% a.a. e a antecipação foi de 6 
meses. Qual era o valor nominal do titulo? 
R: N = $ 2.404,33 
 
8) Qual o valor do desconto racional de um título cujo valor nominal é $ 13.000,00, caso 
ele seja resgatado 4 meses antes do vencimento, a uma taxa composta de 4,2% a.m.? 
R: Drc = 1.972,62 
 
9) Um Titulo teve o seu resgate antecipado em 5 meses, a uma taxa composta de 2,5% 
a.m., obtendo-se um desconto de $ 1.250,00. Qual o valor nominal desse Título? 
R: N = 10.762,34 
 
10) Que desconto racional deve-se exigir na compra de um Título com valor nominal de 
$ 25.000,00, vencível em 3 meses, se a taxa de juro composto for de 5% a.m.? 
R: Drc = $ 3.404,06 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 21 
11) Um Titulo com valor nominal de $ 18.000,00 foi descontado 5 meses antes de seu 
vencimento, obtendo-se um desconto de $ 500,00. Qual foi a taxa de desconto racional 
composto utilizada nessa operação? 
R: i = 1,04% a.m. 
 
12) Uma Duplicata foi liquidada 11 meses antes do vencimento, à taxa de 3,75% a.m. A 
operação resultou em um desconto de $ 2.555,00. Qual era o valor nominal da 
Duplicata? 
R: N = $ 3.830,54. 
 
13) A Mascavo S.A. está trocando seus ativos financeiros por títulos da dívida pública. 
Nesta semana comprou um Título com valor nominal de $ 138.503.39, que tem prazo 
de maturação de 180 dias. Calcule o valor de compra deste Título sabendoque o 
Governo brasileiro está adotando a taxa Selic de 14,5% a.a. como indexador de 
referência. 
R: Vrc = $ 129.436.77 
 
14) Desconta-se racionalmente uma Nota Promissória 6 meses antes do vencimento. 
Sabendo que o valor nominal da mesma era de $ 79.500,00 e o valor do desconto 
racional foi de $ 8.750,00. Qual foi a taxa de juro composto empregada nessa 
operação? 
R: i = 0,44% a.m. 
 
15) O desconto de um título, pagável em 2 anos e 6 meses, é de $ 11.500,25. Calcular o 
valor nominal do título sabendo-se que a taxa empregada nessa transação é de 18% 
a.a, usando o Desconto Racional Composto. 
R: N = $ 33.938,29 
 
16) Qual é o valor do desconto racional composto sofrido por um Título com valor nominal 
de $ 6.688,78, descontado 55 dias antes do vencimento, à taxa de 6% a.a.? 
R: Drc = $ 59,28 
 
17) Um Título com valor nominal de $ 8.996,68 foi descontado 5 meses antes do 
vencimento, a uma taxa composta de 2,5% a m. Calcule o valor líquido recebido pelo 
detento do Título, tendo em vista que a operação foi realizada sob o critério de 
Desconto Racional Composto. 
R: Vrc = $ 7.951,75 
 
18) Uma dívida com valor de $ 8.560,00 foi descontada 5 meses antes do vencimento sob o 
critério de Desconto Racional Composto. Sabendo-se que a taxa de juros foi de 1,5% 
a.m., qual foi o valor do desconto obtido? 
R: Drc = $ 2.220,85 
 
19) Tenho uma divida de $ 50.000,00 e pretendo liquidá-la 5 meses antes de vencimento, a 
uma taxa de juros compostos de 5% a.m. Considerando o desconto racional composto, 
quanto deverei pagar por essa dívida? 
R: Vrc = $ 39.176,31 
 
20) Bruna pretende descontar um título de $ 10.000 8 meses antes do vencimento. Se ela 
receber $ 7.500,00. Qual será a taxa de juros compostos dessa operação? 
R: i = 3,66% a.m. 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 22 
4 – Equivalência de Capitais Diferidos 
 
Definição: 
 
Um conjunto de capitais diferidos no tempo (um ou mais capitais) é considerado equivalente 
a outro conjunto de capitais também diferidos se, e somente se, for descontado para uma 
mesma data focal e em idênticas condições e produzir o mesmo valor. 
 
• Data focal: data base de comparação dos valores diferidos. 
• Idênticas condições: mesmo critério de desconto e mesma taxa de juros. 
 
 
 
4.1 – Equivalência de Capitais Diferidos com Desconto Racional Simples 
 
Duas dividas, a primeira no valor de $ 5.000,00 com vencimento para hoje, e uma segunda, 
com o valor de $ 10.000,00 com vencimento para três meses estão sendo negociadas por 
duas outras dividas. A primeira no valor de $ 7.000,00 com vencimento para quatro meses e 
a segunda para ser paga a seis meses. Considerando o critério de desconto racional 
simples, e data focal três e taxa de 5% ao mês, calcule o valor do segundo pagamento. 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 5.000,00 10.000,00 
 |---------------|----------------|---------------|----------------|----------------|---------------| 
 0 1 2 3 4 5 6 
 7.000,00 X 
 
 
 
Obs.: 
 Usar a fórmula de Valor Nominal (ou Montante) 
 Usar a fórmula de Valor Atual (ou Capital) 
 
 
 
 ( )
3.05,01
X
1.05,01
00,000.700,000.103.05,0100,000.5
+
+
+
=++ 
 
� 5.750,00+10.000,00 = 6.666,67+0,869565217X 
� X=9.083,33/0,869565217 = 10.445,83 
 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 23 
4.2 – Equivalência de Capitais Diferidos com Desconto Comercial Simples 
 
Duas dividas, a primeira no valor de $ 5.000,00 com vencimento para hoje, e uma segunda, 
com o valor de $ 10.000,00 com vencimento para três meses estão sendo negociadas por 
duas outras dividas. A primeira no valor de $ 7.000,00 com vencimento para quatro meses e 
a segunda para ser paga a seis meses. Considerando o critério de desconto comercial 
simples, e data focal três e taxa de 5% ao mês, calcule o valor do segundo pagamento. 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 5.000,00 10.000,00 
 |---------------|----------------|---------------|----------------|----------------|---------------| 
 0 1 2 3 4 5 6 
 7.000,00 X 
 
 
 
 
5.000,00/1-0,05.3 + 10.000,00 = 7.000,00 (1-0,05.1) + X (1-0,05.3) 
 
� 5.882,35 + 10.000,00 – 6.665,00 = 0,85X 
� X = 9.232,35/0,85 = 10.861,59 
 
 
Suponha que você deva $ 3.000,00 para pagamento daqui a cinco meses e queira 
renegociar essa divida para pagar em três pagamentos mensais e iguais, vencendo o 
primeiro pagamento a trinta dias. Com desconto comercial simples e data focal três, calcule 
o valor dos pagamentos. Taxa de 3% ao mês. 
 
 
Resolução: 
 
 
 3.000,00 
|---------------|--------------|--------------|----------------|---------------| 
 0 1 2 3 4 5 
 X X X 
 
 
 
( ) ( ) ( )2.03,01
X
1.03,01
XX2.03,0100,000.3
−
+
−
+=− . 
 
2.820,00 = X + 1,030927835X + 1,06382978X -> 22,911
094757622,3
00,820.2X == 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 24 
 
Refazer o exercício anterior considerando com a data focal zero e com o desconto racional 
simples 
 
 
 3.000,00 
 |---------------|---------------|---------------|---------------|---------------| 
 0 1 2 3 4 5 
 X X X 
 
 
 
 
 






+
+
+
+
+
=
+ 3.05,01
1
2.05,01
1
1.05,01
1X
5.05,01
00,000.3
 � X = 878,79 
 
 
 
4.3 – Exercícios sobre Equivalência de Capitais Diferidos com Juros 
Simples 
 
1) Márcia tem duas dívidas, sendo uma de $ 3.500,00 com vencimento para 5 meses e 
outra de $ 1.500,00 com vencimento para hoje. Ela pretende renegociar essas dívidas 
para liquidá-las em um único pagamento com vencimento para daqui a 4 meses. Qual o 
valor dessa nova dívida, considerando o critério de desconto racional simples, data focal 
quatro e taxa de 4% a.m.? 
 R: $ 5.105,38 
 
2) De acordo com o exercício anterior, qual seria o valor do novo pagamento, caso fosse 
utilizado o critério de desconto comercial simples? Qual é a opção mais vantajosa para 
Márcia? 
 R: $ 5.145,71; é mais vantajosa a 1ª opção. 
 
3) Caso você deva $ 15.000,00 para pagar daqui 10 meses e queira renegociar tal dívida 
para pagar em 3 prestações iguais, vencíveis nos meses 5, 6 e 7, qual seria o valor das 
prestações, se for adotado o critério de desconto racional simples, uma taxa de 3,5% 
a.m. e data focal sete? 
 R: $ 4.355,80 
 
4) Caso a data focal do exercício anterior fosse a zero, qual seria o valor dos pagamentos? 
 R: $ 3.060,91 
 
5) João tem uma dívida de $ 4.500,00 que vence no próximo mês, mas decide renegociá-la 
para pagar em duas prestações iguais e seguidas, sendo a primeira com vencimento em 
3 meses. Qual o valor das prestações, se adotado o critério de desconto comercial 
simples, taxa de 2%a.m. e data focal quatro? 
 R: $ 2.369,44 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 25 
6) Uma loja de instrumentos musicais vende um violão Eagle por $ 1.899,00 à vista. Como 
opção, esse bem pode ser pago em duas parcelas mensais e iguais, vencíveis em 3 e 4 
meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 24% a.a., qual será o valor dos 
pagamentos, considerando data focal zero e critério de desconto racional simples? 
 R: $ 887,38 
 
7) Pedro tem que pagar uma dívida daqui a 6 meses no valor de $ 4.000,00. Caso queira 
renegociar essa dívida para pagar em 3 parcelas mensais e iguais, com a primeira 
vencendo daqui a trinta dias, qual será o valor das parcelas se for considerando o 
critério de desconto comercial simples, taxa de 4% ao mês e data focal 6? 
 R: $ 1.118,31 
 
8) Ao vender seu carro, João propôs uma entrada de $ 8.000,00 e outra parcela de 
$ 6.000,00 para 6 meses. O comprador propôs a seguinte alternativa: o pagamento de 
uma parcela em 3 meses no valor de $ 7.000,00 e o restante em 10 meses. 
Considerando uma taxa de juros de 2,25% a.m., qual o valor do segundo pagamento? 
(Data focal 6 e critério desconto racional simples) 
 R: $ 8.964,70 
 
9) Juliana deseja substituir 3 títulos de $ 10.000,00, $ 20.000,00 e $ 30.000,00, com 
vencimentos respectivamente para 3, 6 e 9 meses, por um único titulo com vencimento 
para daqui a 1 ano. Qual será o valor desse novo titulo, uma vez que seja adotada uma 
taxa de 3% a.m., data focal 1 ano e critério de desconto comercial simples? 
 R: $ 69.000,00 
 
10) Uma moto custa $ 6.000,00 à vista, porém, após um acordo feito entre o comprador e o 
vendedor, ficou acertado que o pagamento seria feito em 3 parcelas trimestrais iguais, 
vencendo a primeira daqui a 3 meses. Calcule o valor das parcelas sabendo que a taxa 
de juros é de 3% a.m., a data focal é a zero e o critério desconto racional. 
 R: $ 2.350,83 
 
11) Nélio possuía um titulo no valor de $ 300,00 e necessitando de dinheiro adiantou o 
resgate desse titulo conseguindo um valor de $ 250,00. Considerando que a operação 
foi realizada sob o critério de desconto comercial simples, data focal zero e taxa de 4% 
a.m., qual foi o prazo de antecipação? 
 R: n = 5 meses 
 
12) Uma televisão é vendida por $ 700,00 à vista ou duas parcelas trimestrais de $ 381,211. 
Considerando a data focal zero e o critério desconto racional simples, calcule a taxa de 
juros adotada pela loja. 
 R: i = 2% ao mês 
 
13) Dois títulos: um de $ 15.000,00, com vencimento para hoje e outro de $ 70.000,00, com 
vencimento para 6 meses serão substituídos um por um único título com vencimento 
para 3 meses. Considerando o critério de desconto comercial simples, taxa de 84% a.a. 
e data focal 3, calcule o valor desse novo título. 
 R: $ 74.287,34 
 
14) E uma concessionária de veículos, um determinado carro custa $15.000,00 à vista, mas 
na necessidade de limpar o estoque essa concessionária fez um super promoção: 
oferecendo o carro paga pagamento em 3 parcelas mensais e iguais, com a 1ª para 30 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 26 
dias e reduziu os juros pela metade, cobrando agora só 2% a.m .Qual o valor das 
parcelas, uma vez que para o cálculo será adotado o critério de desconto racional 
simples e data focal zero? 
 R: $ 5.198,72 
 
15) Uma empresa possuía duas dívidas junto a um determinado banco: $ 900,00 e 
$ 1.200,00, com vencimento para daqui a 5 e a 8 meses, respectivamente. O gerente do 
banco propôs transformar as duas dívidas em uma só, com vencimento para 10 meses, 
adotando-se, para tanto, uma taxa de 4% a.m., critério de desconto comercial simples e 
data focal zero. Calcule o valor da nova dívida. 
 R: $ 1.902,86 
 
16) Ricardo comprou uma maquina fotográfica que custava $ 1.800,00 à vista para ser paga 
em 4 prestações mensais e iguais, vencendo a primeira prestação daqui 3 meses, qual 
o valor dos pagamentos, uma vez que foi adotado o critério de desconto racional 
simples, taxa de 2% a.m. e data focal 6? 
 R: $ 436,89 
 
17) Tenho uma divida de $ 3.000,00 para pagamento daqui a 4 meses e quero renegociar 
essa divida para ser paga em 3 pagamentos mensais e iguais, vencendo o primeiro 
pagamento pra daqui trinta dias. Qual o valor das parcelas, sabendo que a data focal é 
3, desconto comercial simples e taxa de 3% ao mês. 
 R: $ 3.038,31 
 
18) Rosane possui um titulo no valor de $ 900,00, vencendo para daqui a 60 dias e outra no 
valor de $ 700,00, vencendo para daqui a 90 dias. Necessitando de dinheiro, Rosane 
desconta os dois títulos em uma financeira, tendo a operação sido efetuada sob o 
critério de desconto racional simples, taxa de 3,5% a.m. e data focal zero. Calcule o 
valor recebido pela mesma. 
 R: $ 1.474,60 
 
19) Uma determinada motocicleta custa $ 6.000,00 à vista. Quero comprá-la em 3 
pagamentos mensais e iguais com vencimento do primeiro pagamento para daqui 60 
dias, com taxa de 3,75% a.m. Calcule o valor desses pagamentos considerando o 
critério de desconto comercial simples e data focal 2. 
 R: $ 1.778,82 
 
20) Possuo uma divida no valor de $ 3.000,00 para pagamento daqui a três meses. No 
entanto, quero quitá-la hoje. Considerando o critério de desconto racional simples, taxa 
de 2,5% a.m. e data focal zero, quanto deverei? 
 R: $ 2.790,70 
 
 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 27 
4.4 – Equivalência de Capitais Diferidos com Desconto Racional 
Composto 
 
Em juros compostos, a determinação da data focal deixa de ter importância, pois qualquer 
data focal que venha a ser utilizada leva o resultado da operação ao mesmo valor. 
 
 
Um determinado bem custa $ 5.000,00 à vista. Caso você queira adquirir esse bem a prazo, 
para pagamento em três vezes iguais, vencendo o primeiro um mês após a compra, qual 
será o valor dos pagamentos se for considerado o critério de Desconto Racional Composto e 
taxa de 3% ao mês? 
 
5.000 
 |-------------|--------------|--------------| 
 0 1 2 3 
 X X X 
 
 
 
( ) ( ) ( ) 65,767.1828611355,2
00,000.5X
03,1
X
03,1
X
03,1
X00,000.5 32 ==⇒++= 
 
 
Exemplos: 
 
(1) Caso você deva pagar $ 15.000,00 daqui a 6 meses e $ 8.000,00 em 12 meses, e 
queira renegociar essas dívidas para pagar $ 5.000,00 hoje e o restante em 3 
meses, qual será o valor dos pagamentos, se for considerado uma taxa de 37% ao 
ano e critério de desconto racional composto? 
 
(2) Três dividas, a 1ª no valor de $ 3.000,00, a 2ª de $ 7.000,00 e a 3ª de $ 20.000,00, 
com vencimentos para 15 dias, 5 meses e 11 meses, respectivamente, estão sendo 
renegociadas para serem pagas hoje. Qual o valor desse pagamento se for usado 
taxa de 45% ao ano e critério de desconto racional composto? 
 
 
 
4.5 – Exercícios sobre Equivalência de Capitais Diferidos com Juros 
Compostos 
 
1) Carlos possui duas dívidas, uma no valor de R$ 1.000,00 que vence hoje e outra no 
valor de R$ 1.500,00 que vence em três meses. Estas dívidas estão sendo negociadas 
por outras duas, sendo a primeira para daqui a 2 meses, no valor de R$ 750,00 e a 
segunda a ser paga daqui a 5 meses. Sabendo que taxa é de 2% ao mês, calcule o 
valor do segundo pagamento utilizando o critério de desconto racional composto. 
R: $ 1.868,77 
 
2) Uma máquina de lavar roupa custa R$ 7.000,00 a vista. Caso o cliente queira adquirir 
esse bem a prazo, para pagamento em três vezes iguais, vencendo o primeiro em um 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior28 
mês após a compra. Qual será o valor das parcelas considerando a taxa de 3% e o 
critério de desconto racional composto? 
R: R$ 2.474,71 
 
3) Suponha que você tenha uma divida de $10.00,00 com vencimento para daqui a 8 
meses, porém você quer negociá-la para pagar $ 7.000,00 e o restante em dois meses. 
Qual será o valor do segundo pagamento se for considerado a taxa mensal de 2,5% ao 
mês e o critério do desconto racional composto? 
R: $ 1.268,59 
 
4) João aplicou $ 30.000,00 em um banco que rende juros de 37% ao ano, pretendo assim 
retirar o montante em 9 meses. Entretanto decorrido 2 meses ele retirou 
$ 5.000,00. Qual o valor retirado por ele no fim de 9 meses? 
R: $ 31.981,42 
 
5) João Deve $ 35.000,00 para daqui um ano, porém inesperadamente ele recebeu um 
dinheiro de uma causa na justiça e propôs o refinanciamento de sua divida, 
comprometendo a liquidá-la em 3 parcelas trimestrais iguais, vencendo a primeira hoje. 
Quanto será o valor das parcelas se a taxa de juros composto cobrada é de 20% ao 
ano? 
R $ 10.168,58 
 
6) Uma divida de $ 7.350,00 para 12 meses e outra de $ 8.000,00 para 24 meses foi 
transformada em 4 parcelas iguais semestrais, vencendo a primeira daqui a 6 meses. 
Qual é o valor das parcelas, se a taxa de juros considerada é de 34% ao ano? 
R: $ 3.535,33 
 
7) Henrique deseja comprar uma moto de $ 13.000,00. Ele dispõe de $ 7.000,00 para 
pagar a vista e pretende financiar o restante em 3 pagamentos iguais e trimestrais, com 
o primeiro pagamento para daqui a 90 dias. Considerando uma taxa trimestral de 4%, 
qual será o valor das prestações? 
R: $ 2.162,09 
 
8) Uma televisão está sendo vendida por $ 6.500,00 à vista ou pode ser adquirida com 
uma entrada de $ 2.000,00 mais 3 parcelas mensais, com a primeira vencimento para 
60 dias. Sabe-se ainda que a taxa de juros anual é de 17%. Qual é o valor das 
prestações? 
R: $ 1.559,96 
 
9) Uma loja especializada em bicicletas anunciou que vende uma super bicicleta de 
corrida por $ 1.000,00 à vista ou em dois pagamentos mensais, sendo o primeiro para 3 
meses e o segundo para 4 meses. Considerando uma taxa de 14% a.a., calcule o valor 
dos pagamentos. 
R: $ 519,47 
 
10) Uma loja de Móveis tinha uma dívida com seus fornecedores e decidiu negociá-la. O 
gerente dessa loja conseguiu substituir 3 dívidas de $ 5.000,00, $ 2.000,00 e 
$ 3.000,00 com prazo de vencimento de 30, 60 e 90 dias, respectivamente, por um 
único título vencível em 180 dias. Qual é o valor desse título, sabendo que a taxa é de 
25% a.a.? 
R: $ 9.249,94 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 29 
 
11) Uma dívida de $ 20.000 para ser paga em 1 ano e outra no valor de $ 30.000 para ser 
paga em 2 anos foram refinanciadas para serem pagas em 4 parcelas iguais e 
semestrais, sendo que a 1ª será para daqui 6 meses. Considerando uma taxa de 20% 
a.a., qual será o valor das parcelas? 
R: $ 11.713,72 
 
12) Um comerciante tem uma dívida de $ 14.500,00, vencendo em 5 meses e quer pagar 
esta dívida parceladamente. Ele conseguiu junto ao banco o parcelamento em 3 vezes 
iguais, a juros de 2,3% ao mês, vencendo a primeira em um mês. Qual o valor das 
prestações? 
R: $ 4.513,83 
 
13) Determine o valor nominal de um titulo com vencimento para 5 meses que substituirá 
outros dois no valor de $ 500,00 cada, vencendo em 30 e 60 dias, à taxa de 3% a.m. 
R: $ 1.109,12 
 
14) Faltam 3 prestações mensais e iguais de $ 700,00, vencendo a primeira em 30 dias, 
para quitar um financiamento de um imóvel. Quero renegociar para pagá-las uma única 
prestação daqui a 60 dias. Considerando uma taxa mensal de 4%, qual o valor deste 
pagamento? 
R: $ 2.101,08 
 
15) Duas dívidas, a primeira no valor de $ 500,00 com vencimento para hoje, e a segunda, 
com valor de $ 700,00 com vencimento para três meses, estão sendo negociadas por 
duas outras dívidas: a primeira no valor de $ 400,00, com vencimento para 4 meses e a 
segunda com vencimento para 6 meses. Considerando o critério de desconto racional 
composto e taxa de 5,2% ao mês, calcule o valor do segundo pagamento. 
R: $ 1.050,04 
 
16) Suponha que você deve $ 12.000,00 para daqui a 6 meses e queira renegociar essa 
dívida para pagar em três pagamentos bimestrais e iguais, vencendo o primeiro daqui a 
60 dias. Considerando uma taxa de 7% ao mês, calcule o valor dos pagamentos. 
R: $ 3.472,53 
 
17) Um título com valor nominal de $ 75.000,00, com vencimento para 5 meses, é trocado 
por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro corrente no 
mercado é de 3% ao mês, qual o valor nominal do novo título? 
R: $ 70.694,92 
 
18) Um comerciante, devedor de um título de $ 400.000,00, com vencimento para 3 anos, 
deseja substituir essa dívida por dois pagamentos anuais e iguais: um para daqui a 1 
ano e outro no fim de 2 anos. Sabendo-se que a taxa é de 40% ao ano, calcule o valor 
desses pagamentos. 
R: $ 119.047,10 
 
19) Uma televisão de plasma que custa $ 7.000,00 pode ser adquirida em 5 prestações 
mensais iguais, sendo a primeira na data da compra. Qual o valor de cada uma dessas 
prestações se for adotada uma taxa composta de 10% a.m.? 
R: $ 1.678,70 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 30 
20) Um empresário possui dois títulos a pagar com valores de $ 50.000,00 e 
$ 70.000,00, vencíveis em 3 e 7 meses, respectivamente, a partir da data presente. 
Sem liquidez para quitar os débitos em suas datas, negocia com a Instituição bancária - 
que estipula juros compostos de 3% a.m. - para substituição das dívidas por duas 
outras de igual valor a vencerem em 9 e 12 meses. Determinar o valor de cada débito 
nesta nova situação. 
R: $ 69.950,76 
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Professor Aldery Silveira Júnior 31 
5 – Rendas (Série de Pagamentos ou Anuidade) 
 
Há varias formas de pagamento de um bem: como o pagamento no ato da compra, não 
existindo uma diferença temporal entre o pagamento e o recebimento da mercadoria e, 
conseqüentemente, a incidência de juros, sendo, neste caso, chamado de pagamento à 
vista. Outra forma de pagamento é a que há hiato temporal entre o recebimento da 
mercadoria e o pagamento, havendo assim o pagamento de juros por essa diferença de 
tempo, já que o valor do dinheiro não é o mesmo no tempo, sendo essa forma chamada de 
pagamento no futuro. Outra forma é o pagamento parcelado. 
 
O pagamento parcelado possui uma grande variedade de tipos, podendo ser efetuado em 
varias parcelas seqüencialmente, ou existindo um período de carência para o início dos 
pagamentos, ou ser pagas em períodos não seqüenciais, etc., dependendo do acordo 
ajustado entre as partes: o devedor e o credor. O que não diferencia em todos os tipos de 
Rendas é que sempre haverá a incidência de juros, proporcional ao tempo e/ou ao número 
das parcelas. 
 
Pagamento à vista: 
 
 P 
 |-------------------------------| 
0 n 
Pagamento no futuro: 
 n 
 S S = P(1 +i) 
 |-------------------------------| 
0 n 
 
 
Pagamento parcelado (Rendas ou Série de Pagamentos ou Anuidade): 
 
 S 
 P R R R R R R 
 |------|-----|------|------|------|-----| 
0 1 2 3 4 5 6 
 
Qualquer série de pagamento é uma Renda. 
 
 R 
 
 Variáveis de uma Renda e suas relações 
 
 
 P S 
 
Existem dois tipos de Rendas: 
 
• Rendas Certas ou Determinísticas, que são estudadas pela Matemática Financeira. 
• Rendas Aleatórias ou Probabilísticas, que são estudadas pela Matemática Atuarial. 
 
O nosso curso abordará apenas as Rendas Determinísticas.Certa (determinística) = Matemática Financeira. 
Renda 
 Aleatória (probabilística) = Matemática Atuarial. 
 
Onde: 
P = Valor Atual 
R = Valor dos Termos 
S = Montante 
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Professor Aldery Silveira Júnior 32 
Classificação das Rendas 
 
 
 
Postecipadas 
 
Imediatas 
 Periódicas Constantes Antecipadas 
 Temporárias Diferidas 
 Certas Não Periódicas Variáveis 
Rendas Perpétuas 
 Aleatórias 
 
Temporárias � possuem início e fim 
Perpetuas � não possui um fim, é ad perpetum 
 
Periódicas � os pagamentos ou recebimentos ocorrem em todos os períodos 
Não-periódicas � os pagamentos ou recebimentos não ocorrem em todos os períodos 
 
Constantes � o valor de todos os termos são iguais em 
Variáveis � o valor de todos os termos não são iguais 
 
Imediatas � os pagamentos ocorrem a partir do 1º período. 
Diferidas � há uma carência para o início dos pagamentos. 
 
Postecipadas � os pagamentos ocorrem no final dos períodos. 
Antecipadas � os pagamentos ocorrem no início dos períodos. 
 
 
Inicialmente, serão estudadas as Rendas constantes do Modelo Básico, que são as 
Rendas que apresentam as seguintes características: 
 
Renda � certa � temporária � periódica � constante � imediata � postecipada 
 
 
Simbologia 
 
Nas operações com Rendas (ou Anuidades) será utilizada a seguinte simbologia: 
 
R – Termos da Renda 
P – Valor Atual. 
S – Montante. 
i – Taxa de Juros. 
n – Número de Termos. 
 
Informações importantes: 
 
• As operações com Rendas utilizam juros compostos. 
• O montante de uma Renda (S) fica na “altura” do último termo. 
• O Valor Atual (P) de uma Renda corresponde à soma dos Valores Atuais de seus Termos 
 
 
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Professor Aldery Silveira Júnior 33 
5.1 – Rendas do Modelo Básico: 
 
 
 
 
P R R R R R R R ...... R 
|--------|--------|--------|---------|--------|--------|--------|--------| 
0 1 2 3 4 5 6 8 ....... n 
 
 
P = soma dos valores atuais de seu termos. 
 
( ) ( ) ( ) ( )N32 i1
R
i1
R
i1
R
i1
RP
++
+
+
+
+
= K
 
 
 
 
5.1.1 – Fórmulas 
 
1) ( )( ) 




+
−+
=
i.i1
1i1
.RP N
N
 
 
 
2) 
( )
( ) 




−+
+
=
1i1
i.i1
.PR N
N
 
3) 
( )






−+
=
i
1i1
.RS
N
 
 
 
4) ( ) 




−+
=
1i1
i
.SR N 
 
 
Obs.: estas fórmulas são válidas somente para as Rendas do Modelo Básico. 
 
 
Exercícios resolvidos: 
 
� Um determinado bem custa $ 10.000,00 à vista. Caso você queira adquirir esse bem 
a prazo, para pagamento em 24 prestações mensais e iguais, vencendo a primeira 
um mês após a compra, qual será o valor do pagamento com taxa de 3% ao mês. 
 
P = 10.000,00 
i = 3% a.m. 
n = 24 
R=? 
( )
( ) 




−+
+
=
103,01
03,0.03,0100,000.10R 24
24
 � R = 590,47 
 
� Caso você queira dispor de $ 10.000,00 daqui a seis meses, quanto deverá depositar 
mensalmente em uma instituição financeira que pague juros de 2% ao mês par que 
no ultimo deposito obtenha a quantia desejada? 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aula e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Júnior 34 
S = 10.000,00 
n = 6 
i = 2% a.m. 
R = ?. 
( ) 




−+
=
102,01
02,000,000.10R 6 � R = 1585,26 
 
 
 
Exemplos de Rendas do Modelo Básico 
 
(1) Um determinado bem esta sendo vendido por nove prestações de $ 500,00 reais, 
vencendo a primeira um mês após a compra. Considerando um taxa de 2,5% ao 
mês, determine o valor à vista desse bem. 
 
(2) Caso você efetue 24 depósitos mensais e iguais de $ 300,00 em um instituição que 
pague juros de 1,5% ao mês, quanto disporá por ocasião do ultimo deposito? 
 
 
 
5.1.2 – Exercícios sobre Rendas do Modelo Básico 
 
1) Um bem custa $ 15.000,00 à vista. Caso a aquisição desse bem seja feita a prazo, para 
pagamento em 6 prestações mensais e iguais, a uma taxa de 1,5% a.m., qual será o 
valor das parcelas? 
R: R = $ 2.632,87 
 
2) Quanto deverei depositar mensalmente para que, ao final de 3 anos, disponha de 
$ 50.000,00, considerando que a instituição financeira pague juros de 0,5% a.m.? 
R: R = $ 1.271,09 
 
3) Lílian comprou um carro para ser pago em 60 prestações de $ 550,00, com taxa de 
1,0% a.m., qual o valor à vista do carro? 
R: P = $ 24.725,27 
 
4) Qual o valor das parcelas de um bem que custa $ 25.000,00 à vista e que será vendido 
em 12 pagamentos iguais e mensais, cuja taxa de juros é de 1,5% a.m.? 
R: R = $ 2.291,99 
 
5) Se efetuo um empréstimo de $ 3.500,00, à taxa de juros de 2% a.m., para ser liquidado 
em 8 pagamentos mensais e iguais, qual será o valor das prestações? 
R: R = $ 477,80 
 
6) Ivan pretende levantar um empréstimo de $ 15.000,00. Se a taxa de juros de mercado 
for 3,5% a.m. e o mesmo deseja pagá-lo em 24 parcelas mensais e iguais, qual será o 
valor das prestações? 
R: R = $ 934,10 
 
7) Danilo decidiu fazer uma viagem daqui 1 ano e meio e, para tanto, deseja dispor de 
$ 10.000,00 na data da viagem. Para tanto, pretende efetuar depósitos mensais e iguais 
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Professor Aldery Silveira Júnior 35 
numa instituição financeira que paga juros de 1% a.m. Qual será o valor dos depósitos 
para que, por ocasião do 18º depósito o mesmo disponha da importância desejada? 
 R: R = $ 509,82 
 
8) Um carro é vendido em 36 parcelas mensais e iguais de $ 599,00. Sabendo que a taxa 
utilizada 1,5% a.m., qual é valor do carro à vista? 
 R: P = $ 16.568,75 
 
9) Fernando depositará mensalmente $ 450,00, durante 6 meses, em um banco que paga 
juros de 3% a.m. Qual o montante que poderá ser sacado por Fernando por ocasião do 
último depósito? 
R: S = $ 2.910,78 
 
10) Quanto terei que depositar, mensalmente, em uma instituição que paga juros de 2,5% 
a.m. para que, ao final de 8 meses, eu possua $ 10.000,00? 
R: R = $ 1.144,67 
 
11) Ana comprou uma casa de $ 80.000,00 financiada em 36 prestações mensais e iguais. 
Calcule o valor das prestações, considerando uma taxa de 1,5% a.m? 
R: R = $ 2.892,19 
 
12) Comprei um carro financiado em 24 prestações mensais de $ 800,00. Qual o seu valor à 
vista, sabendo que foi usada uma taxa de 2% a.m? 
R: P = $ 15.131,14 
 
13) Roberto precisou fazer uma cirurgia que custava $ 3.000,00 à vista. Para pagá-la, fez 
um empréstimo desse valor, a uma taxa de 0,5% a.m., para quitá-lo em 12 parcelas 
mensais e iguais. Qual o valor das parcelas? 
R: R = $ 258,20 
 
14) Um computador custa, atualmente, $ 3.500,00. Paulo decide comprá-lo, e financia o 
objeto desejado em 10 prestações iguais e mensais, sendo que a 1ª parcela deverá ser 
paga daqui a 1 mês. Sabendo que a taxa de juro é de 5,5% a.m., quanto Paulo terá que 
desembolsar mensalmente? 
 R: R = $ 464,34 
 
15) Getulio se propôs a fazer uma poupança para viajar após sua formatura. Para tanto, 
efetuou 18 meses depósitos mensais e iguais de $ 200,00 em uma caderneta de 
poupança que paga juros de 0,5% a.m. Qual a importância disponível por ocasião do 
último depósito? 
 R: $ 3.757,16 
 
16) Quanto uma pessoa deve depositar mensalmente durante 15 meses num fundo de 
investimentos que rende 1,8% a.m., para que no instante do último depósito tenha um 
montante de $ 60.000,00? 
R: R = $ 3.519,95 
 
17) Marta efetuou 12 depósitos bimestrais