Prova 2 GA Gabarito

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Universidade Federal do Maranha˜o
Coordenac¸a˜o de Cieˆncia & Tecnologia
Terceira Avaliac¸a˜o
 ○  ○ 
Disciplina1: CD e GA T3 Professor: JOSE´ ANTOˆNIO PIRES FERREIRA MARA˜O
Aluno(a): Matr´ıcula: −
Questa˜o 1 (a) (10 pontos) Mostre que se (#«u , #«v ) e´ LI enta˜o (#«u + #«v , #«u − #«v ) e´ LI.
Soluc¸a˜o. Sejam a, b ∈ R tais que
a(#«u + #«v ) + b(#«u − #«v ) = #«
Isto implica que (a + b)#«u + (a − b)#«v = #« , e como (#«u , #«v ) e´ LI, devemos ter a + b = 
e a − b = , de modo que a = b = , como quer´ıamos provar.
(b) (10 pontos) Verifique se existe um valor que m de modo que os vetores #«u = (, , ),
#«v = (m − , ,m − ) e #«w = (m + ,m − , ) sejam linearmente independentes.
Soluc¸a˜o. Como
det
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
  
m −   m − 
m +  m −  
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = det [
 m − 
m −   ] − det [m −  m − m +   ] + det [m −  m +  m − ]
= (−m + m) − (−m + m) + (m − m)= m − m= m(m − )
Para que os vetores #«u , #«v , e #«w sejam linearmente independentes, o determinante acima
deve ser diferente de , e portanto, m ≠  e m ≠ .
1Ca´lculo Diferencial e Geometria Anal´ıtica
Questa˜o 2 (20 pontos) Sendo ABCD um tetraedro de lado unita´rio, calcule ∥# «AB ∧ # «AC∥. [Denotamos
por #«u ∧ #«v o produto vetorial de #«u e #«v ]
Soluc¸a˜o. Como o tetraedro ABCD tem lado unita´rio, a face ABC e´ um triaˆngulo equila´tero,
com ∥# «AB∥ = ∥# «AC∥ = , de modo que o aˆngulo entre os vetores # «AB e # «AC e´ ○. Portanto,
∥# «AB ∧ # «AC∥ = ∥# «AB∥ ⋅ ∥# «AC∥ sin○ = √

2
Questa˜o 3 (20 pontos) Calcule m para que a reta r ∶ x − 
m
= y

= z
m
seja transversal ao plano pi ∶
x +my + z = .
Soluc¸a˜o. Note que a reta r passa pelo ponto (, , ) e tem #«u = (m,,m) como vetor
diretor. E ainda, #«v = (,m,) e´ um vetor normal ao plano pi. Para que a reta r seja
transversal ao plano pi, o vetor #«u na˜o deve ser paralelo ao plano pi, e portanto devemos
ter #«u ⋅ #«v ≠ . Como #«u ⋅ #«v = m, devemos ter m ≠ .
Questa˜o 4 (20 pontos) Escreva a equac¸a˜o reduzida da hipe´rbole com focos em (±, ) e ass´ıntotas
y = ±x .
Soluc¸a˜o. Sejam F = (−, ) e F = (, ) os focos da hipe´rbole. Se FF = c (distaˆncia
focal) enta˜o c = . Por outro lado, as ass´ıntotas sa˜o as retas y = ±x/ de modo que
b/a = / onde a + b = c. Com isso, (b) + b =  de onde segue-se que b =  e
a = b = . Logo, a equac¸a˜o reduzida da hipe´rbole dada e´
x


−
y


= 
3
Questa˜o 5 (20 pontos) Identifique e represente graficamente a superf´ıcie expressa pela equac¸a˜o y  +
z −  = , para − ≤ x ≤ .
Soluc¸a˜o. Primeiro note que esta superf´ıcie S e´ sime´trica em relac¸a˜o aos planos coordena-
dos. Isto por porque o primeiro membro na˜o se altera se substituirmos x por −x , y por −y
e z por −z . E ainda, a intersec¸a˜o de S com um plano x = x, com − ≤ x ≤ , e´ a elipse
y 

+ z = , x = x
Estas considerac¸o˜es nos permitem esboc¸ar um desenho de S (cilindro el´ıptico).
0
5
-2
-1
0
1
2-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
4