Prova de Reposição

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Universidade Federal do Maranha˜o
Bacharelado em Cieˆncia & Tecnologia
Prova de Reposic¸a˜o
07 ⋅ 07 ⋅ 2014
Disciplina : Ca´lculo Diferencial e Geometria Anal´ıtica Professor:
Aluno(a): Matr´ıcula:
Prova 1
[Q1] (a) (10 pontos) Verifique se u⃗ = (1,−1,3)
e´ paralelo a reta
r ∶ x − 1−2 = y2 = z + 5−6 .
(b) (10 pontos) Verifique se o vetor u⃗ =(−1,2,3) e´ paralelo ao plano
pi ∶ 4x − 6y + z − 3 = 0.
[Q2] (20 pontos) Calcule os aˆngulos α e β for-
mado pelos vetores u⃗ e v⃗, e pelos vetores
u⃗ e w⃗ respectivamente.
(a) (10 pontos) Determine o valor de a
para que os vetores u⃗ = (a,0,3) e
v⃗ = (1, a,3) sejam ortogonais;
(b) (10 pontos) Obtenha um vetor u⃗ or-
togonal ao vetor v⃗ = (1,1,0), e tal
que ∥u⃗∥ = √2 e a medida em graus
do aˆngulo formado entre u⃗ e v⃗ e´ igual
a 45.
[Q3] Responda e justifique cada um dos itens
abaixo:
(a) (10 pontos) Se os vetores u⃗ e v⃗, sa˜o
ortogonais, enta˜o e´ va´lida a igual-
dade ∥u⃗ + v⃗∥ = ∥u⃗∥ + ∥v⃗∥;
(b) (10 pontos) A desigualdade
−1 ≤ u⃗.v⃗∥u⃗∥∥v⃗∥ ≤ 1
e´ va´lida para quaisquer vetores ∥u⃗∥
e ∥v⃗∥?
[Q4] (20 pontos) A medida em graus do aˆngulo
formado entre os vetores u⃗ e v⃗ e´ igual a 45.
Ale´m disso, ∥u⃗∥ =√5 e ∥v⃗∥ = 1. Sendo as-
sim, calcule a medida em graus do aˆngulo
formado entre os vetores u⃗ + v⃗ e u⃗ − v⃗.
[Q5] (20 pontos) A medida do aˆngulo entre u⃗ e
v⃗ e´ dada em graus por 30. Ale´m disso, as
normas de u⃗ e v⃗ sa˜o respectivamente 2 e 3.
Sendo assim, calcule ∥u⃗ × v⃗∥, e interprete
geometricamente.
Prova 2
[Q1] Calcule os limites abaixo:
(a) (10 pontos) lim
x→1 x
2 − x
x − 1 .
(b) (10 pontos) lim
x→0 xsinx .
[Q2] Responda e justifique cada um dos itens
abaixo:
(a) (10 pontos) A expressa˜o:
4x2 + 4y2 − 16x + 20y + 25 = 0
representa uma coˆnica?
(b) (10 pontos) Dado que
f(x) = (1 + 1
2x
)3x,
calcule
lim
x→∞ f(x).
[Q3] (20 pontos) Classifique a superf´ıcie
4x2 + y2 − z2 + 12x − 2y + 4z = 12
[Q4] (20 pontos) Classifique a superf´ıcie
2x2 + 4y2 + z2 − 8y − z + 61
4
= 0.
[Q5] (20 pontos) Seja f(x) = etanx. Estime o
limite de f(x) quando x aproxima-se de
pi
2
.
Prova 3
[Q1] (20 pontos) Pode-se afirmar que
f(x) = ∣x∣
possui derivada em x = 0?
[Q2] (20 pontos) Justifique a resposta dada ao
ı´tem anterior.
(a) (10 pontos) Seja f(x) = x2 e g(x) =
sinx. Calcule f ′(g(x));
(b) (10 pontos) Usando os dados da
questa˜o anterior, calcule, g′(f(x)).
[Q3] Sendo f(x) = ex
x
. Calcule f ′(x) e f ′′(x).
(a) (10 pontos) Determine os pontos
cr´ıticos de f(x) = x3 − x.
(b) (10 pontos) Usando a func¸a˜o da
questa˜o anterior, esboce o seu
gra´fico.
[Q4] (20 pontos) Verifique que as func¸o˜es
abaixo sa˜o soluc¸o˜es das equac¸o˜es diferen-
ciais indicadas:
(a) y = sinx
x
, xy′ + y = cosx
(b) y = Ce−2x + 1
3
ex, y′ + 2y = ex
[Q5] (20 pontos) Seja f(x) = cosx. Determine
uma expressa˜o para f (n)(x).
2