Prova1B Gabarito (Cópia de fabiano pablo 2013 11 24)

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Universidade Federal do Maranha˜o
Coordenac¸a˜o de Cieˆncia & Tecnologia
Primeira Avaliac¸a˜o
25 ◦ 10 ◦ 2013
Disciplina1: CD e GA T2 - Gabarito Professor: LUIS CLA´UDIO DE OLIVEIRA SILVA
Aluno(a): Matr´ıcula: −
Questa˜o 1 (20 pontos) Seja f : R −→ R uma func¸a˜o real dada por
f(x) =
{
x2, se x ≤ 2,
mx+ b, se x > 2.
Encontre os valores de m e b, para os quais f e´ diferencia´vel.
Soluc¸a˜o. Como f e´ diferencia´vel os seguintes limites laterais existem:
lim
x→2−
f(x)− f(2)
x− 2 = limx→2−
x2 − 4
x− 2 = 4
e
lim
x→2+
f(x)− f(2)
x− 2 = limx→2−
(mx+ b)− 4
x− 2 = m.
Sendo tais limites laterais iguais segue-se que m = 4. Por outro lado, como f e´ cont´ınua
devemos ter
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2+
f(x),
isto e´, 4 = 2m+ b. Logo, b = −4.
-4 -2 2 4
5
10
15
Figura 1: Gra´fico de f
1Ca´lculo Diferencial e Geometria Anal´ıtica
Questa˜o 2 Calcule os seguintes limites:
(a) (10 pontos) lim
x→+∞
x(
√
x2 + 1− 1).
Soluc¸a˜o.
lim
x→+∞
x(
√
x2 + 1− 1) = lim
x→+∞
x2
(√
1 +
1
x2
− 1
x
)
= +∞ · 1 = +∞
2
(b) (5 pontos) lim
x→4
3−√5 + x
1−√5− x .
Soluc¸a˜o.
lim
x→4
3−√5 + x
1−√5− x = limx→4
(3−√5 + x)(3 +√5 + x)(1 +√5− x)
(1−√5− x)(1 +√5− x)(3 +√5 + x)
= lim
x→4
(9− (5 + x))(1 +√5− x)
(1− (5− x))(3 +√5 + x)
= lim
x→4
(4− x)(1 +√5− x)
(−4 + x)(3 +√5 + x)
= − lim
x→4
1 +
√
5− x
3 +
√
5 + x
= −1
3
3
(c) (5 pontos) lim
x→1
[
(1− x) tan pix
2
]
.
Soluc¸a˜o. Fazendo y = 1− x temos x→ 1 se, e somente se, y → 0. E ainda,
tan
pix
2
= tan
(pi
2
− piy
2
)
=
cospiy
sin piy
Logo,
lim
x→1
[
(1− x) tan pix
2
]
= lim
y→0
y
cospiy
sin piy
= lim
y→0
cos piy
pi
sin piy
piy
=
1
pi
4
Questa˜o 3 (20 pontos) Ache a equac¸a˜o da reta tangente a` curva 3
√
xy = 14x+ y no ponto (1, 2).
Soluc¸a˜o. Elevando ao cubo cada membro da equac¸a˜o dada obtemos
xy = (14x+ y)3
Derivando implicitamente,
y + xy′ = 3(14x+ y)2(14 + y′)
Logo, para x = 1 temos y = 2 e
2 + 1 · y′ = 3(14 · 1 + 2)2(14 + y′)⇒ y′ = −827
59
Pela regra da Cadeia, Como v(t) = s′(t) = t+
4
(t+ 1)2
e a(t) = v′(t) = 1− 8
(t+ 1)3
, temos
a(t) = 0 se, e somente se,
8
(t+ 1)3
= 1, e portanto, t = 1. Nesse instante, s = 2, 5 cm e
v = 2 cm/s.
5
Questa˜o 4 (20 pontos) Uma part´ıcula move-se ao longo de uma reta, de acordo com a seguinte equac¸a˜o
de movimento:
s =
1
2
t2 +
4t
t+ 1
onde s cm e´ a distaˆncia orientada da part´ıcula ate´ a origem em t s. Se v cm/s for a
velocidade instantaˆnea em t s e a cm/s2 for a acelerac¸a˜o em t s, ache t, s e v quando
a = 0.
Soluc¸a˜o. Como v(t) = s′(t) = t+
4
(t+ 1)2
e a(t) = v′(t) = 1− 8
(t+ 1)3
, temos a(t) = 0 se,
e somente se,
8
(t+ 1)3
= 1, e portanto, t = 1. Nesse instante, s = 2, 5 cm e v = 2 cm/s.
6
Questa˜o 5 (20 pontos) A figura abaixo mostra um setor de um c´ırculo com aˆngulo central θ. Seja
A(θ) a a´rea do segmento entre a corda PR e o arco PR. Seja B(θ) a a´rea do triaˆngulo
PQR. Encontre
lim
θ→0+
A(θ)
B(θ)
Solu¸c˜ao. Seja r o raio do c´ırculo; em particular, OP = OR = r. Da figura obtemos
OQ = r cos θ e PQ = r sin θ
Com isso
B(θ) =
QR · PQ
2
=
r
2
2
(1− cos θ) sin θ
Por outro lado,
´area(4OPR) =
OR · PQ
2
=
r
2
2
sin θ
e como a ´area do setor POR ´e
r
2
2
θ, temos
A(θ) =
r
2
2
θ −
r
2
2
sin θ =
r
2
2
(θ − sin θ)
Portanto
lim
θ→0
+
A(θ)
B(θ)
= lim
θ→0
+
θ − sin θ
(1− cos θ) sin θ
=
1
3
7