Regras de inferência

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Capítulo 2: O CÁLCULO DE PREDICADOS 
Profa. Camila P. da Costa 
 
135 
4. O Cálculo de Predicados: 
 
 
44.1 Quantificadores e Predicados...........................................................................................136 
 
4.2 Predicados e Nomes Próprios.............................................................................................139 
 
4.3 Identidade............................................................................................................................142 
L ista de exercíciosL ista de exercíciosL ista de exercíciosL ista de exercícios (25) ..................................................................143 
 
 
4.4 Regras de Formação...........................................................................................................145 
L ista de exercíciosL ista de exercíciosL ista de exercíciosL ista de exercícios (26) ..................................................................148 
 
 
4.5 Regras de Inferência no Cálculo de Predicados................................................................150 
 
4.5.1 Eliminação do Universal (EU)..............................................................................150 
4.5.2 Introdução do Universal (IU)................................................................................151 
4.5.3 Introdução do Existencial (IE)..............................................................................153 
4.5.4 Eliminação do Existencial (EE)............................................................................153 
L ista de exercíciosL ista de exercíciosL ista de exercíciosL ista de exercícios (27) ..................................................................155 
 
 
4.6 Árvore de Refutação para o Cálculo de Predicados...........................................................156 
L ista de exercíciosL ista de exercíciosL ista de exercíciosL ista de exercícios (28) ..................................................................160 
Capítulo 2: O CÁLCULO DE PREDICADOS 
Profa. Camila P. da Costa 
 
136 
 
4.1 QUANTIFICADORES E PREDICADOS 
 
Nosso objetivo é unir os conhecimentos referentes à lógica proposicional e à lógica dos 
enunciados categóricos, criando, assim, o cálculo de predicados, também conhecido 
como Lógica de Primeira Ordem, e, conseqüentemente, ampliando nosso poder de 
formalização de argumentos. 
 
Considere, por exemplo, o enunciado da forma A: 
 
Todo S é P. 
 
Usando ‘x’ como uma variável para representar objetos individuais, expressamos tal 
enunciado por: 
 
Qualquer que seja x, se x é S, então x é P. 
Qualquer que seja x, se x pertence a S, então x pertence a P. 
 
 
Pode ser escrito como: 
∀ x, se x ∈ S, então x ∈ P. 
 
Essa formulação contém um condicional. Adotamos o símbolo ∀ , que representa o 
“para todo e qualquer” “qualquer que seja”, chama-se “quantificador universal”. 
 
Em vez de escrevermos ‘x ∈ S’, escreveremos ‘Sx’. Assim: 
 
Todo S é P, se torna: 
( )PxSxx →∀ 
 
 
Abaixo a tabela de simbologia. 
 
 
O enunciado da forma E: 
 
Nenhum S é P. 
 
Pode também ser expresso nessa notação. Ele significa: 
 
Qualquer que seja x, se x é S, então x é P. 
Qualquer que seja x, se x pertence a S, então x não pertence a P. 
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137 
 
Ou seja: 
x∀ ( →Sx ~ Px ) 
Para expressar as proposições I e O, é necessário um segundo tipo de quantificador. A 
proposição I, 
Algum S é P. 
 
Poder ser expressa como: 
 
 Para pelo menos um x, x é S e x é P. 
 Para pelo menos um x, x pertence a S e x pertence a P. 
 
A qual contém uma conjunção. Adotamos o símbolo ‘ ∃ ’ para significar “para pelo 
menos um”, ou abreviadamente, “para algum”. Reescrevemos a proposição I como: 
 
 ( )PxSxx ∧∃ 
 
‘ ∃ ’ chama-se quantificador existencial. 
 
A proposição O: 
 
Algum S não é P. 
 
Nessa notação fica: 
 
 x∃ ( ∧Sx ~Px) 
 
Que significa: “Para pelo menos um x, x é S e não é P” 
 
Ou: “Existe um x tal que x é S e x não é P” 
 
 
 
Resumimos na tabela as formalizações dos enunciados. 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 1: Interpretando as letras sentenciais ‘P’, ‘V’, ‘A’, ‘S’, pelos predicados ‘é 
pimenta ’, ‘é vermelha’, ‘é ardente’ e ‘é saborosa’, respectivamente, formalize as 
seguintes sentenças. 
 
a) Todas as pimentas são vermelhas. 
 
b) Nenhuma pimenta é vermelha. 
 
c) Algumas pimentas são vermelhas. 
 
d) Algumas pimentas não são vermelhas. 
 
e) Tudo é pimenta. 
 
f) Algumas coisas são pimentas. 
 
g) Nada é pimenta. 
 
h) Qualquer coisa ou é pimenta ou é saborosa. 
 
i) Algumas coisas são vermelhas e algumas coisas não são. 
 
j) Ou qualquer coisa é pimenta ou nada é pimenta. 
 
k) Qualquer coisa ou é ou não é uma pimenta. 
 
l) Somente pimentas são ardentes. 
 
m) Algumas pimentas vermelhas são saborosas. 
 
n) Se nada é vermelho, então não existem pimentas vermelhas. 
 
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4.2 PREDICADOS E NOMES PRÓPRIOS 
 
Como faremos para representar elementos específicos nas categorias (predicados)? Para 
formalizarmos esse tipo de situação, costuma-se escrever o sujeito, representado por 
uma letra minúscula latina diferente de x, y, ou z (alguma letra usada geralmente para 
representar uma variável), precedido por uma letra maiúscula que representa o 
predicado; ou seja o conjunto ao qual o sujeito pertence. 
 
Por exemplo: A sentença “João é agricultor” pode ser formalizado como Aj. 
 
Onde “j” representa o sujeito específico, “João”, e “A” o predicado que caracteriza o 
conjunto “ser agricultor”. 
 
Outros exemplos: João é Alto - se A representa o predicado “ser alto”, então podemos 
representar João é Alto por Aj, se for para dizer que Pedro é alto, podemos usar Ap. 
 
Nem todos os enunciados contêm quantificadores. Existem, por exemplo, enunciados do 
tipo sujeito-predicado, os quais atribuem uma propriedade a uma pessoa ou coisa. 
Podemos interpretar as letras minúsculas do início e do meio de nosso alfabeto como 
nomes próprios para indivíduos, e adotamos a convenção, usual em lógica, de escrever o 
sujeito depois do predicado. Assim, a sentença 
 
 Jones é um ladrão. É formalizada por: Lj 
 
Onde ‘j’ é interpretada como o nome próprio ‘Jones’ e ‘L’ como o predicado ‘é ladrão’. 
 
Alguns predicados podem ser combinados com dois ou mais nomes próprios para 
formar uma sentença. Isso é verdade, por exemplo, para os verbos transitivos como 
‘bater’, ‘amar’ ou ‘diferir’, os quais exigem um sujeito e um objeto. Eles são, 
usualmente, escritos em notação lógica, na ordem predicado-sujeito-objeto. O 
enunciado 
 
 Bob ama Carla. É formalizado por Abc 
 
E a sentença 
 
 Carla ama Bob. É formalizada por Acb 
 
Verbos transitivos são uma subclasse da classe geral de predicados de relação, 
predicados que combinam dois ou mais nomes próprios para formar uma sentença.a 
seguir, temos alguns exemplos de predicados de relação: ‘é perto de’ , ‘ e mais alto do 
que’ , ‘é menos que’ , ‘é um subconjunto de’. Alguns predicados de relação exigem três 
ou mais nomes. A expressão ‘...presenteia.... para...’, exige três. Na formação de 
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sentenças que envolvem esses predicados, as letras que representam nomes são escritas 
depois da letra de predicado e na ordem em que ocorrem na sentença, a não ser que se 
especifique outra ordem. O enunciado 
 
 Carla presenteou Lulu para Bob. É formalizado por PclbUm predicado que exige somente um nome é chamado de predicado unário ou 
predicado de grau um. Um predicado de relação que exige dois nomes é chamado 
predicado binário ou predicado de grau dois; um predicado que exige três nomes é um 
predicado ternário ou predicado de grau três e assim por diante. 
 
Exemplo 2: Formalize os seguintes enunciados interpretando as letras ‘p’ e ‘j’ como 
sendo os nomes próprios ‘Pedro’ e ‘João’; ‘M’, ‘F’, ‘A’, como os predicados, ‘é 
matemático’, ’é fazendeiro’ e ’é agricultor’, e ‘T’, ’C’, ’R’. como ‘...trabalha para...’, 
’...conversa com...’ e ’...recebeu...de...’. 
 
a) João é matemático. 
 
b) João e Pedro são matemáticos. 
 
c) João é matemático ou agricultor. 
 
d) João é matemático ou agricultor, mas não é ambos. 
 
e) Se João é agricultor então ele não é matemático. 
 
f) João trabalha para Pedro. 
 
g) João conversa com todos. 
 
h) Alguém conversa sozinho. 
 
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i) Existe alguém com quem João não conversa. 
 
j) Existe alguém que conversa com João e Pedro. 
 
k) Alguém conversa com todos. 
 
 
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142 
4.3 IDENTIDADE 
 
Precisamos de um predicado que indique a igualdade, uma relação muito utilizada em 
matemática, principalmente em conjuntos numéricos. Observe que não precisamos de 
um operador, mas, sim, de um predicado que signifique “ é idêntico a”, “ é a mesma 
coisa que”, ou “ é igual a”. Esta relação, em matemática, é usualmente simbolizada por 
=. 
 
Assim, podemos representar a sentença “Márcio não é João” por 
 
m ≠ j 
 
onde m representa Márcio e j representa o João. 
 
Desse modo, se representamos Camila com a letra “c” e Mila com a letra “m” à 
sentença “Camila é Mila” poderia ser formalizada da seguinte maneira: c=m, indicando 
que são a mesma pessoa. 
 
Em lógica a aplicação do predicado identidade é bem geral, considerando as letras 
nominais a e b na fórmula “a = b”, elas podem denotar qualquer tipo de objeto, que são 
idênticos. Note que = não é um operador. 
 
Dados, então, os termos a e b (indivíduos, constantes ou variáveis), escrevemos a sua 
igualdade por “a=b” e sua negação por “a≠b”. Assim, fica evidenciado que a expressão 
“a=b” é uma proposição. 
 
Exemplo 3: A identidade serve, também, para dar embasamento para que possamos 
afirmar e representar algumas sentenças. 
 
 Formalize os seguintes enunciados, interpretando as letras de acordo com os 
enunciados. 
 
 
a) Ninguém além de Pedro é professor de matemática. 
 
___________________________________ 
R: Pedro é professor de matemática e não existe x, onde x é diferente de Pedro e x é 
professor de matemática. Desta forma, estamos representando que Pedro é professor de 
matemática, e não existe ninguém diferente de Pedro que seja professor de matemática. 
 
_________________________________ 
R: Pedro é professor de matemática e qualquer que seja o x, se esse x é professor de 
matemática então x é idêntico a Pedro. 
 
b) O pedreiro Cezar caiu do andaime. 
 
_________________________________ 
R: Empregamos a constante p para representamos “o pedreiro Cezar” o símbolo de 
predicado C para “x caiu do andaime”. Temos, como resultado, a fórmula Cp. Note 
que se pode pensar de uma outra forma - como você faria? 
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c) Amélia é mais bonita que todas as mulheres. (Usando a para Amélia, M para ser 
mulher e B com o predicado binário ser mais bonita que) 
 
_________________________________ 
 
d) O inventor da pólvora nasceu na China. (I para o predicado x é inventor dá pólvora e 
C para o predicado x nasceu na China) 
 
_________________________________ 
 
L ista de exercíciosL ista de exercíciosL ista de exercíciosL ista de exercícios (25)(25)(25)(25) : 
 
1. Formalize as seguintes sentenças no cálculo de predicados com identidade usando a 
interpretação dada a seguir: 
 
Símbolos / 
Nomes 
Interpretação Predicado unário Predicado binário 
p Pedro M – ... é professor de 
matemática 
G - ... gosta de... 
 j João I – .... é inteligente A - ... anda de ... 
u Universidade Q - ... é melhor que ... 
(como professor) 
m Mercedes T - ...trabalha na... 
 
 
a) Pedro não é João. 
b) Existe algo. 
c) Existe João. 
d) Somente João anda de Mercedes. 
e) Pedro é o melhor professor de matemática. 
f) Todos os professores de matemática, exceto Pedro, são inteligentes. 
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144 
g) Se Pedro é João, então João anda de Mercedes. 
h) Existe, no máximo, uma coisa. 
i) Existe, exatamente, uma coisa. 
j) Existem, pelo menos, duas coisas. 
k) Pedro é o único professor de matemática da universidade. 
l) Existem, exatamente, duas coisas. 
m) Existe, exatamente, um professor que trabalha na Universidade. 
n) Existem, pelo menos, dois trabalhadores na Universidade. 
o) Existem, no máximo, dois trabalhadores na Universidade. 
p) Existem, exatamente, dois trabalhadores na Universidade. 
q) Se Pedro não é João, então existe alguém que não é João. 
 
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145 
4.4 REGRAS DE FORMAÇÃO 
 
Da mesma forma que no cálculo proposicional, no cálculo de predicatos também 
usamos símbolos lógicos e não lógicos para representar as proposições. 
Os símbolos lógicos estão representados na Tabela 1 abaixo com sua respectiva 
classificação. 
 
SÍMBOLOS LÓGICOS 
 
 
 
Operadores lógicos 
 
~ - representa o “não” lógico 
∧ - representa o “e” lógico 
∨ - representa o “ou” lógico 
→ - representa o “condicional” lógico 
↔ - representa o “bicondicional” lógico 
 
 
Quantificadores 
 
∀ - representa o quantificador universal 
 ∃ - representa o quantificador existencial 
 
 
Parênteses 
 
( - abrir parênteses 
) - fechar parênteses 
 
Tabela 1: Tabela dos operadores lógicos 
 
Os símbolos não lógicos são representados na Tabela 2, com sua respectiva 
classificação e função: 
 
 SÍMBOLOS NÃO-LÓGICOS 
Definição Símbolos Função 
Letras nominais Letras minúsculas de “a” a 
“t” 
Utilizadas para representar 
elementos específicos 
Variáveis Letras minúsculas de “u” a 
“z” 
Utilizadas para representar 
elementos genéricos 
Letras predicativas Letras maiúsculas Utilizadas para representar 
a classe que compõem o 
enunciado categórico 
Tabela 2: Tabela dos operadores não lógicos 
 
No cálculo de predicados, chamamos de fórmula qualquer seqüência de 
símbolos lógicos e não lógicos. Quando temos apenas uma letra predicativa, estamos 
diante de uma fórmula atômica do cálculo proposicional. Caso tenhamos uma letra 
predicativa, seguida de uma ou mais letras nominais estamos diante de uma fórmula 
atômica do cálculo de predicados. 
Uma fórmula atômica é formada por uma letra predicativa (A, B, C, D...) 
seguida de zero ou mais letras nominais (a, b, c, d...). Assim, se falarmos, “Ronaldinho 
joga futebol”, podemos fazer sua representação simbólica por: Jr 
 
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146 
Onde o J representa a letra predicativa que simboliza o termo “jogar futebol” e r 
representa o nome próprio “Ronaldinho”. 
 
Esta representação Jr é uma fórmula atômica na qual temos r como 
“Ronaldinho” e J como “joga futebol”. 
 
Da mesma forma para a identidade, temos a=b, uma fórmula atômica, assim 
como, a≠b é a negação da fórmula atômica a=b. 
 
Assim como no cálculo proposicional, o conceito de fórmula bem formada (fbf) 
para o cálculo de predicados é estabelecido pelas seguintesregras de formação. 
 
1.Toda fórmula atômica é uma fbf. 
 
2. Se φ é uma fbf, então ~φ também é. 
 
3. Se φ e ψ são fbf’s, então: (φ ∧ ψ), (φ ∨ ψ), (φ → ψ), (φ ↔ ψ) também são 
fbf’s. 
 
4. Se φ é uma fbf, contendo uma letra nominal α então qualquer fórmula da 
forma ∀ β φβ/α ou ∃β φβ/α é uma fbf, onde φβ/α é o resultado da substituição de 
uma ou mais ocorrências da letra nominal α pela variável β, que não ocorra em 
φ. 
 
5. O resultado de se escrever ‘=’ entre um par de letras nominais é uma fbf 
atômica. 
 
Observe que as regras 2 e 3, são as mesmas do cálculo proposicional, mas agora foram 
introduzidas 2 novas regras, a regra (4) e a (5). A regra (4) permite que possamos 
construir fórmulas quantificadas universal e existencial e a regra (5) nos permite dizer 
se uma letra nominal ‘a’ é igual ou diferente de uma letra nominal ‘b’. 
 
Exemplos: 
Observe que usamos φ para representar uma fbf qualquer. Como exemplo, em Cab, que 
poderia representar a sentença: 
 
“Alberto cuida de Berenice”. 
 
Assim, na regra onde se enuncia ∀ β φβ/α , usando Cab, como representante de φ 
e x como representante da variável β, ter-se-ia ∀ xCx/α. 
Assim, neste caso, está-se sugerindo substituir a letra β, como por exemplo, a 
letra nominal “a” em Cab e fica ∀ xCxb. Podendo ser interpretado que: 
 
“Qualquer pessoa cuida de Berenice”. 
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147 
Exemplo 4: Determine se as seguintes fórmulas são fbf’s. 
 
a) ∀ x∀ xCxx 
 
 
R: Pela regra (1), por exemplo, Caa é fbf, pois é uma fórmula atômica. 
Pela regra (4), ∀ xCxa é fbf, pela substituição da ocorrência da primeira letra nominal 
“a” pela variável “x”, a qual foi introduzido o quantificador universal. 
Finalmente, ∀ x∀ xCxx não é uma fbf, pois foi introduzido um segundo quantificador 
universal, referente a variável x. 
Não é possível que quantificadores com a mesma variável justaponham-se, por isso não 
se pode introduzir um segundo quantificador para a variável x. 
Portanto, ∀ x∀ xCxx não é fbf. 
 
b) ~ ∃ x(Cxx ∧ Fx) 
 
 
R: Caa e Fa são fbf’s pela regra (1), pela regra (3) temos que Caa ∧ Fa são fbf’s. 
Pela regra (4), podemos introduzir o quantificador existencial, logo ∃ x(Cxx ∧ Fx) é fbf. 
Pela regra (2), ~ ∃ x(Cxx ∧ Fx) é fbf. 
 
c) ( ∀ xAx) ∧ ( ∃ yFy) 
 
R: Aa e Fb são fbf’s pela regra (1). 
Pela regra (4), temos que ∀ xAx e ∃ yFy são fbf’s, e pela regra (3), (∀ xAx) ∧ ( ∃ yFy) 
é uma fbf. Os parênteses não são necessários; logo, não é uma fbf devido aos 
parênteses externos. 
 
d) ~∀ x (Mx → ~ ∃ yCxy) 
 
R: Ma e Cab são fbf’s pela regra (1), pela regra (4) ∃ yCay é fbf, pela regra (2) 
~ ∃ yCay é fbf. Pela regra (3) Ma→ ~ ∃ yCay é fbf e pela regra (4) ∀ x(Mx→~ ∃ yCxy) é 
uma fbf. Portanto, pela regra (2), ~ ∀ x(Mx→~ ∃ yCxy) é uma fbf. 
 
Alguns exemplos de fórmulas que não são fbf´s merecem uma atenção especial, veja os 
comentários: 
 
1. ∀ xAxz - falta um quantificador para a variável z. Neste caso, a letra z, como não 
tem nenhuma referência, é tratada como se fosse uma variável. 
 
2. (Ac) - os parênteses são desnecessários. 
 
3. ∃ x(Ax ∧ Gz) - falta um quantificador para a variável z em G, mesmo do item 1. 
 
4. ∀ x(Ax) - parênteses desnecessários. 
 
5. (∀ xAx) - parênteses desnecessários. 
 
4. ∀ x ∃ yAx - a ocorrência do quantificador, juntamente com a variável y, exige que y 
ocorra na fórmula (pela regra 4). 
 
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148 
7. ∃ x ∃ x (Ax → Bx) - quantificadores com a mesma variável não podem se justapor 
pela regra (4). 
 
8. ~(a=b) - parênteses desnecessários. 
 
 
Equivalências 
Fxx ~~ ∀ ⇔ xFx∃ 
xFx∀~ ⇔ Fxx ~∃ 
Fxx ~∀ ⇔ xFx∃~ 
xFx∀ ⇔ Fxx ~~ ∃ 
 
 
 
L ista de exercícios L ista de exercícios L ista de exercícios L ista de exercícios (26)(26)(26)(26): 
 
1) Formalize os seguintes enunciados. 
 
 
a) Existe alguém que trabalha e é professor de biologia. 
 
 
b) Alberto trabalha e existe uma disciplina que ele é professor. 
 
 
c) Existe alguém que trabalha e para qualquer disciplina ele é professor. 
 
 
 
2. Determine se as seguintes fórmulas são fbf’s e quais não são. Explique sua resposta. 
 
a) (Fa) 
b) Fab 
c) Fab → Ga 
d) ~Fxy 
e) ∀ x~Fxy 
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149 
f) ~ ∃ x(~Fx ∧ ∀ zGzx) 
g) ∀ xLzx 
h) ( ∃ zFz ∧ Gx) 
i) ∀ x(Fx) 
j) ∀ x∀ y((Fx ∧ Gy)→Hxy) 
k) ( ∀ xFx) 
. 
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150 
4.5 REGRAS DE INFERÊNCIA NO CÁLCULO DE PREDICADOS 
 
Para desenvolvermos demonstrações das formas de argumentos compostas por 
enunciados categóricos, utilizamos as regras do cálculo proposicional, adicionado de 
seis regras direcionadas ao cálculo de predicados, identificadas pelos seguintes nomes (e 
símbolos entre parênteses): 
 
(1) Introdução do universal (IU); 
(2) Eliminação do universal (EU); 
(3) Introdução do existencial (IE); 
(4) Eliminação do existencial (EE); 
(5) Introdução da identidade (I=); 
(6) Eliminação da identidade (E=). 
 
Exemplo 1: Prove a forma de argumento: Qc v ∃ xQx, ∃ xQx →~ ∃ xSx ├ ~Qc→ ~ ∃ xSx 
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
 
4.5.1 ELIMINAÇÃO DO UNIVERSAL (EU) 
 
Esta regra consiste em “dado que um fato acontece para qualquer coisa, então valha 
para um elemento específico”. 
 
Vamos a regra: 
 
Dada uma fbf quantificada universalmente, ∀ βφ, podemos inferir uma fbf, da forma 
φα/β, a qual resulta de se substituir todas as ocorrências da variável β em φ pela letra 
nominal α. 
 
Exemplo 2: Tomando as letras predicativas “A” e ”L”, como sendo “... é astro”, “... tem 
luz própria”, e a letra nominal “s” para “sol”, formalize e prove o seguinte argumento: 
 
Todos os astros têm luz própria, o sol é um astro, portanto o sol tem luz própria. 
 
Argumento: _____________________________ 
 
Prova: 
1 
2 
3 
4 
 
 
 
Capítulo 2: O CÁLCULO DE PREDICADOS 
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151 
Exemplo 3: ∀ x(Qx→Sx) ├ Qa→Sa 
 
Prova: 
1 
2 
 
Exemplo 4: Prove a seguinte forma de argumento: ∀ x(Ax v Bx), ∀ x~Ax ├ Bc 
 
Prova: 
1 
2 
3 
4 
5 
 
Exemplo 5: Prove a seguinte forma de argumento: ∀ x∀ y Axy├ Aaa 
 
Prova: 
1 
2 
3 
 
4.5.2 Introdução do Universal (IU) 
 
Dada uma fbf φ contendo uma letra nominal α que não ocorre em nenhuma das 
premissas ou em qualquer hipótese vigente na linha em que φ ocorre, podemos inferir 
uma fbf da forma ∀ βφβ/α onde φβ/α é o resultado de se substituir todas as ocorrências 
da letra nominal α pela variável β. 
 
Vejamos um argumento: Todos os homens são inteligentes. 
Todos os inteligentes erram. 
Todos os homens erram. 
 
Esse argumento é de fácil verificação e aceitação como válido, sua validade pode ser 
aclarada utilizando-se um diagrama, por se tratar de um enunciado categórico. Porém, 
como faremos a sua prova utilizando as regras? Vamos primeiro formalizar o 
argumento. Sejam as letras H, I e E representando os predicados: ser homem; ser 
inteligente; que erram, respectivamente. 
 
Assim, obtemos a formalização: ∀ x(Hx → Ix), ∀ x(Ix → Ex)├ ∀ x(Hx → Ex) 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
Lembrete: Cabe observar que não se pode fazer ou haver suposições ou restrições para 
letra que foi utilizada como a ponte para se fazer a introdução do universal. 
Capítulo 2: O CÁLCULO DE PREDICADOS 
Profa. Camila P. da Costa 
 
152 
 
Exemplo 6: Tomando as letras predicativas ‘P’, ’V’, ’F’, como tendo os seguintes 
significados, ‘...é peixe’, ’...vive na aguar’, ’...tem sangue frio’, Formalize e prove o 
seguinte argumento: Todo peixe vive na água, tudo aquilo que vive na água tem sanguefrio. Portanto, todo peixe tem sangue frio. 
Resposta: A formalização correta é: _____________________________________ 
 
Prova: 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
 
 
Exemplo 7: Prove que: ∀ xPax, ∀ x∀ y(~Pxy v Qyx)├ ∀ xQxa 
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
 
 
O que não pode ? 
 
1°) 
1) Ab P 
2) ∀ xAx 1(IU) (incorreto) 
 
Não podemos utilizar a regra, pois existe uma restrição na própria premissa. 
 
 
Capítulo 2: O CÁLCULO DE PREDICADOS 
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153 
4.5.3 Introdução do Existencial (IE) 
 
Dada uma fbf φ contendo uma letra nominal α, podemos inferir uma fbf da forma 
├∃βφβ/α onde φβ/α é o resultado de se substituir uma ou mais ocorrências da letra 
nominal α pela variável β. 
 
Exemplo 8: Prove que: ∀ x(Ax→(Bx v Cx))├ ∃ x(Ax→(Bx v Cx)) 
 
Prova: 
1 
2 
3 
 
Nota: substituímos todas as ocorrências de “a” por “x”, por que isso era o que 
queríamos concluir, se na conclusão tivéssemos apenas por exemplo: ∃ x (Ax→(Ba v 
Cx)) substituiríamos apenas a primeira e a terceira ocorrência de “a” por “x”, e isso é 
válido pela regra de introdução do existencial, pois ela diz que podemos trocar a letra 
nominal pela variável uma ou mais vezes. 
 
Exemplo 9: Prove que: ∀ x(Fx Λ Gx)├ ∃ xFx Λ ∃ yGy 
 
Prova: 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
 
Discussão: A demonstração baseou-se na eliminação do quantificador universal e 
introdução do quantificador existencial, como podemos observar nas linhas 2, 4, 6. 
Primeiramente, utilizamos a letra nominal ‘a’ e, posteriormente, as variáveis x e y. 
Observe que, dependendo da conclusão que precisamos obter, utilizamos uma ou outra 
variável. 
 
4.5.4 Eliminação do Existencial (EE) 
 
Dada uma fbf quantificada existencialmente ∃βφ e uma derivação de alguma conclusão 
ψ de uma hipótese da forma φα/β (o resultado de se substituir cada ocorrência da 
variável β em φ por uma letra nominal α que não ocorra em φ), podemos descartar φα/β 
e reafirmar ψ. 
 
Restrição: A letra nominal α não pode ocorrer em ψ, nem em qualquer premissa, nem 
em qualquer hipótese vigente na linha em que EE é aplicada. 
 
Exemplo 10: Alguém é trabalhador. Os trabalhadores têm dinheiro. Logo, alguém tem 
dinheiro. 
Capítulo 2: O CÁLCULO DE PREDICADOS 
Profa. Camila P. da Costa 
 
154 
A formalização deste argumento é: ______________________________________ 
 
Neste caso, T: x é trabalhador; D: x tem dinheiro. 
 
prova: 
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
 
Discussão: Foi indicado na linha 3, como uma hipótese, a existência do indivíduo “a”, e 
seguimos as nossas derivações. Na linha 4, usamos a regra EU normalmente e, na linha 
5, aplicamos o MP, concluindo, assim, o Da. Na linha 6, obtivemos ∃ xDx usando a 
regra IE. Com isso, na sétima linha, pudemos fechar a hipótese e concluir o que 
queríamos. Observe que isso só foi possível porque, no desenrolar das derivações, as 
quais estavam sob o escopo da hipótese, não foram feitas suposições adicionais sobre o 
indivíduo em questão, conferindo que poderíamos ter usado outro indivíduo na hipótese. 
 
Exemplo 11: Prove o argumento: ∃ x∀ yAxy├ ∀ x ∃ yAyx 
 
Prova: 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
 
Discussão: Os quantificadores da premissa eram diferentes dos empregados na 
conclusão, mas a forma era praticamente a mesma. Assim, primeiramente, eliminamos 
os quantificadores e depois introduzimos aqueles que aparecem na conclusão 
respeitando as regras de introdução e eliminação dos mesmos. 
 
 
De um modo geral, as provas de formas de argumentos contendo enunciados 
categóricos consistem, basicamente, na eliminação dos quantificadores. Ainda assim, 
devemos levar em consideração as restrições que tais regras impõem. Posteriormente, 
utilizamos as mesmas regras e estratégias do cálculo proposicional. 
Capítulo 2: O CÁLCULO DE PREDICADOS 
Profa. Camila P. da Costa 
 
155 
Para provar uma conclusão quantificada existencial ou universalmente, a estratégia é, 
primeiro, provar uma fórmula a partir da qual essa conclusão pode ser obtida por IE ou 
lU. Por exemplo, 
 
 
L ista de exercícios L ista de exercícios L ista de exercícios L ista de exercícios (27)(27)(27)(27): 
 
Lista de exercícios retirada do livro Nolt (1991). Prove os seguintes argumentos: 
 
1) ∀ x(Fx→Gx), ∃ xFx ├ ∃ xGx 
 
2) ∃ x(Fx v Gx) ├ ∃ xFx v ∃ xGx 
 
3) ∃ xFx v ∃ xGx ├ ∃ x(Fx v Gx) 
 
4) ∃ x∀ yLxy ├ ∀ x ∃ y Lyx 
 
5) ∀ x(Fx→∃ yLxy), ∃ x(Fx Λ Gx) ├ ∃ x ∃ y(Gx Λ Lxy) 
 
6) ∀ x(Fx→~ Gx) ├ ~ ∃ x(Fx Λ Gx) 
 
 
Capítulo 2: O CÁLCULO DE PREDICADOS 
Profa. Camila P. da Costa 
 
156 
4.6 ÁRVORE DE REFUTAÇÃO PARA O CÁLCULO DE PREDICADOS 
 
Para determinarmos a validade ou não, de uma forma de argumento, usamos os 
diagramas de Venn para verificar a validade e a invalidade de silogismos categóricos. 
As árvores de refutação geram somente formas de argumentos válidas. 
 
Para determinarmos a validade ou não, de uma forma de argumento, usamos as mesmas 
regras de refutação da lógica proposicional, juntamente com seis novas regras que 
contém quantificadores e o predicado de identidade, podendo algumas dessas árvores se 
utilizarem, somente, de regras do cálculo proposicional. 
 
A técnica de resolver os problemas é muito parecida porém, algumas vezes, não 
conseguimos revelar a invalidade de formas inválidas (indecibilidade). 
 
Exemplo 1: Determine se a seguinte forma de argumento é válida: 
∀ xPxv∀ xQx,~∀ xQx├∀ xPx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como todos os ramos se fecham, podemos concluir que essa forma de argumento é 
válida. 
 
Obs: Nesta forma de argumento aplicamos somente as regras do cálculo proposicional. 
Não foi preciso o uso de novas regras. 
 
 
Quantificação universal (∀ ): Se uma fbf da forma ∀ βφ aparece num ramo aberto, e 
se α é uma letra nominal que ocorre numa fbf desse ramo, então escrevemos φα/β (o 
resultado de substituir todas as ocorrências de β em φ por α) no final do ramo. Se 
nenhuma fbf contendo uma letra nominal aparece no ramo, então escolhemos uma letra 
nominal α, e escrevemos φα/β no final do ramo. Em cada caso, não marcamos ∀ βφ. 
 
Não marcamos ∀ βφ, pois agora não importa quantas fbfs inferimos por ∀ . Embora 
fbfs quantificadas universalmente não sejam marcadas, suas árvores podem se fechar 
Capítulo 2: O CÁLCULO DE PREDICADOS 
Profa. Camila P. da Costa 
 
157 
(nesse caso, a inferência será válida) ou podem ir até um ponto em que a árvore não se 
fecha e nenhuma regra mais se aplica (nesse caso, a inferência é inválida). 
 
Exemplo 2: Verifique com árvore de refutação se as seguintes formas de argumento são 
válidas. 
 
a) ∀ x(Px v Qx), ~Pa├ Qa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesta árvore, utilizamos a regra da quantificação universal na linha 4. Como todo os 
ramos da árvore fecham depois da aplicação da regra da disjunção na linha 5, 
concluímos que este argumento é válido. 
 
b) ∀ x(Sx → Rx), ∀ xSx├ Ra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizamos a regra da quantificação universal nas linhas 4 e 5. Todos os ramos da árvore 
fecham depois da aplicação da regra do condicional na linha 6. Portanto, a forma de 
argumento é válida. 
 
 
 
 
 
Capítulo 2: O CÁLCULO DE PREDICADOS 
Profa. Camila P. da Costa 
 
158 
c) ∀ x (Px ↔ Qx), ~Pa ├ Qa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicamos a regra da quantificação universal na linha 4 e a do bicondicional nas linhas 
5 e 6. O primeiro ramo fechou, mas o segundo não. Assim, podemos concluir que este 
argumento não é válido. 
 
d) Pb v Qa, ∀ xPx ├ QaTemos ‘Pa’ na linha 4 e ‘Pb’ na linha 5 pela regra da quantificação universal. A partir 
desse ponto ∀ não pode ser mais aplicada, pois ela foi usada com duas letras nominais 
que ocorrem nas fbfs do ramo, e ∀ só pode ser usada para introduzir uma nova letra 
nominal se letras nominais não aparecem nas fbfs do ramo. 
 
Quantificação existencial ( ∃ ): Se uma fbf não marcada da forma ∃βφ aparece num 
ramo aberto, marcamo-la e escolhemos, então, uma letra nominal α que ainda não 
apareceu naquele ramo e escrevemos φα/β (o resultado de se substituir cada ocorrência 
de β em φ por α) no final de cada ramo aberto contendo a fbf marcada recentemente. 
 
 
 
 
Capítulo 2: O CÁLCULO DE PREDICADOS 
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159 
Exemplo 3: Verifique com arvore de refutação se a seguinte forma é Válida: 
∃ xPx, ∀ x(Px → Qx) ├ Qa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicamos a regra de quantificação do existencial na linha 4. Observe que depois de 
aplicar a quantificação do existencial marcamos a linha 1 deferentemente da aplicação 
do universal que depois de sua aplicação na linha 5 temos a linha 2 não-marcada. Todos 
os ramos foram fechados. Portanto, esta forma é válida. 
 
 
Quantificação universal negada (~∀ ): Se uma fbf não marcada da forma ~∀ βφ 
aparece num ramo aberto, marcamos e escrevemos ∃β~φ no final de cada ramo aberto 
que contém a fbf marcada recentemente. 
 
Exemplo 4: Construa uma árvore de refutação para verificar se a seguinte forma é 
válida: ~∀ xPx, ∃ x(Px ↔ Rx)├ ~Ra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicamos a regra de quantificação da quantificação negada na linha 5. Observe que, 
depois de aplicarmos a quantificação negada na linha 5, marcamos a linha 1. Na 
seqüência, aplicamos a regra do existencial e, assim, prosseguimos com a árvore. Todos 
os ramos foram fechados e, portanto, a forma é válida. 
Quantificação existencial negada (~ ∃ ): Se uma fbf não marcada da forma ~ ∃βφ 
aparece num ramo aberto, marcamos e escrevemos ∃β~φ no final de cada ramo aberto 
que contém a fbf marcada recentemente. 
Capítulo 2: O CÁLCULO DE PREDICADOS 
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160 
 
Exemplo 5: Usando árvore de refutação, verifique se a forma é válida: 
~ ∃ xPx, ∀ x(Px v Qx) ├ Qa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe as derivações e a aplicação das regras, Como fechamos todos os ramos, a 
forma é válida. 
 
 
L ista de exercícios L ista de exercícios L ista de exercícios L ista de exercícios (28)(28)(28)(28) : 
 
 Verifique a validade das seguintes formas construindo uma árvore de refutação. 
 
1) ~Pb ∧ Qa, ∀ x~Qx├ ~Qa 
 
2) ∃ x(Px v ~Qx), ∀ x(~Px → Qx)├ Pa