Espaços Métricos - Gentil Lopes

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ESPAC¸OS ME´TRICOS
(COMENTADO)
20
08
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Curva de Peano (S)
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Cubo Hiper-Ma´gico
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− Topologia Qua^ntica
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0, 999 . . . =
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x
→
sf(x) ↑
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x→0
x = 1
0, 3333 . . . = 0
0, 4999 . . . = 0
− O Milagre!: conexo por caminhos
1
1
.0
9
.2
0
0
8
Teorema (Gentil/15.08.2008). Se 0, 999 . . . e´ um nu´mero enta˜o 1 = 0.
Gentil Lopes da Silva
ESPAC¸OS ME´TRICOS
(COMENTADO)
Gentil Lopes da Silva
28 de agosto de 2009
Aos servos cabe mentir;
aos livres, dizer a verdade.
Apoloˆnio.
- Vejam que eu na˜o me afadiguei so´ para mim;
mas para todos aqueles que procuram
a instruc¸a˜o.
Eclesiastico 33 : 18
As mais belas orac¸o˜es
e os mais belos sacrif´ıcios
agradam menos a Divindade
que uma alma virtuosa que
se esforc¸a por assemelhar-se
a Ela.
So´crates.
A demonstrac¸a˜o e´ um ı´dolo aos pe´s do qual os matema´ticos se torturam a eles
pro´prios.
Sir Arthur Eddington
Prefa´cio
Este livro pretende estabelecer uma ponte entre o aluno e textos outros, de
leitura mais a´rida, por assim dizer.
Acreditamos - por va´rias razo˜es - que o aluno de matema´tica deva ter a`
sua disposic¸a˜o mais que um livro da disciplina que esteja aprendendo. E´ dentro
deste contexto que situa-se esta obra, ou seja: nela o aluno tera´ mais uma opc¸a˜o
para auxilia´-lo no seu aprendizado.
Embora seja lugar-comum que figuras na˜o devam interferir na maior parte
das demonstrac¸o˜es da Ana´lise − no que estamos de acordo − na˜o hesitamos
em usa´-las onde achamos que o entendimento do aluno poderia ser facilitado.
O´bviamente que o peso maior e´ dado a` lo´gica que e´ quem valida uma demons-
trac¸a˜o. Por oportuno, se em Ana´lise uma imagem na˜o vale mais que 1000
palavras; vale, pelo ao menos, umas 200.
Via de regra o que se faz em um prefa´cio e´ discorrer sobre o conteu´do da
obra. Nos dispensamos deste of´ıcio em raza˜o de que o leitor, se assim o de-
sejar, pode apreciar o conteu´do deste livro a partir do suma´rio, dado logo a
seguir. Aproveito este prefa´cio para fazer algumas elucubrac¸o˜es a respeito da
Matema´tica em si, as quais julgo de alguma importaˆncia.
Pensamos que uma raza˜o apenas e´ suficiente para justificar o aprendizado
da matema´tica, em um n´ıvel mais avanc¸ado: sua beleza intr´ınseca.
Um belo teorema matema´tico situa-se no mesmo n´ıvel de uma bela obra de arte.
A uma certa altura a Matema´tica confunde-se com a Arte
Assim como na˜o tem sentido chegar-se em frente a uma obra de arte e per-
guntar para o que ela serve, ta˜o pouco faz sentido priorizar a aplicac¸a˜o de um
belo teorema.
Um outro s´ımile: na˜o se pergunta a um compositor para o que serve a sua
mu´sica.
Aos utilitaristas, diremos que a matema´tica serve para o deleite espiritual de
quantos a cultivam seriamente. Frente a esta aplicac¸a˜o as demais empalidecem.
Embora, devo confessar, mesmo sem colocar poss´ıveis aplicac¸o˜es num primeiro
plano, na˜o raro tenho tropec¸ado nas mesmas.
Acreditamos que neste esta´gio de aprendizado o aluno deva desenvolver a
percepc¸a˜o (sensibilidade) para contemplar a beleza-arte da matema´tica. Nestas
alturas, a meu ver, aplicac¸o˜es caem para um segundo ou terceiro plano − na˜o e´
o que deve interessar a um matema´tico puro, embora o seja a um “impuro”.
Este livro na˜o conte´m lista de exerc´ıcios, por duas razo˜es. Primeira: no livro
existem bastante exerc´ıcios resolvidos (exemplos). Segunda: Por experieˆncia
sabemos que o aluno que estuda, pela primeira vez, disciplinas como Ana´lise e
Topologia ainda na˜o tem maturidade suficiente para resolver exerc´ıcios destas
disciplinas. Por outro lado acreditamos que o aprendizado do aluno se processa
como o aprendizado das crianc¸as: por imitac¸a˜o (observac¸a˜o) dos “adultos”.
Sendo assim o que temos feito, quando ministramos espac¸os me´tricos adotando
este livro − e aqui vai uma sugesta˜o aos professores que, por ventura, o adotarem
− e´ sugerir aos alunos que estudem atentamente os exerc´ıcios resolvidos (exem-
plos). Na avaliac¸a˜o constam estes exerc´ıcios ou ligeira variac¸a˜o dos mesmos.
Percebi uma interessante analogia entre o Universo da mu´sica e o Univeros
da cieˆncia, a qual gostaria de compartilhar com o leitor: Sabe-se que na mu´sica
alguns nascem, ou melhor, teˆm o dom de inte´rpretes (sa˜o excelentes inte´rpretes)
mas na˜o sa˜o compositores. E rec´ıprocamente, outros ha´ que teˆm o dom da com-
posic¸a˜o mas na˜o o de inte´rprete; ambos sa˜o importantes para o universo musical.
Na Cieˆncia, em particular na Matema´tica, acontece algo semelhante: ha´ uma
espe´cie de geˆnios que sa˜o os inte´rpretes, mas que na˜o compo˜em, isto e´, na˜o pro-
duzem nada de significativo (estes sa˜o a maioria) e ha´ “geˆnios”, embora na˜o
geˆnios, os quais sa˜o “compositores” na Cieˆncia. Estes “geˆnios” embora, algumas
vezes, na˜o sejam geˆnios (na acepc¸a˜o que se atribui a esta palavra) e´ desnecessa´rio
enfatizar que sa˜o ta˜o (ou mais) importantes que os geˆnios.
Tenho por certo que Einstein, por exemplo, foi um “geˆnio” embora na˜o
tenha sido um geˆnio∗.
Evidentemente que na Cieˆncia, como na mu´sica, ha´ os que sa˜o geˆnios e ao
mesmo tempo “geˆnios”, como por exemplo: Newton, Poincare´, Gauss, Euler,
Gallois, etc.
Quanto a este ponto de vista, descobrir que na˜o estou so´, vejam:
“. . . A seu modo, Glasshow pode ser um extravagante ‘revoluciona´rio anar-
quista’, mas a forma pela qual chega a`s suas ide´ias fa´-lo avanc¸ar constantemente
com novos conceitos, muitos deles loucos e imposs´ıveis, mas outros sa˜o avanc¸os
genu´ınos em f´ısica. Certamente que conta com a ajuda de outros para separar as
ide´ias ma´s, na˜o obstante possui um instinto criativo que muitos na˜o possuem.
Em f´ısica teo´rica ser simplesmente brilhante na˜o e´ suficiente. Deve-se ser capaz
de gerar novas ide´ias, algumas bizarras, que sa˜o essenciais para o processo de
descoberta cient´ıfica.” Do livro “Para Ale´m de Eintein” de Michio Kaku/Jennifer Trainer.
Da mesma forma digo que na matema´tica na˜o e´ suficiente ser brilhante:
na˜o se deve olvidar o instinto criativo. Em resumo estou reinvidicando maior
atenc¸a˜o aos “compositores” a exemplo do que tem ocorrido aos inte´rpretes.
Este livro foi escrito usando o processador de texto LATEX2ε.
Seremos gratos por cr´ıticas e/ou sugesto˜es:
www.dmat.ufrr.br/∼gentil ∨ gentil.silva@gmail.com
Minha gratida˜o maior ao bom Deus, por ter me concedido gestar e dar a` luz
este trabalho. Isto e´, assentar este tijolinho em sua magnaˆnima obra.
Gentil Lopes da Silva.
Boa Vista − RR, setembro de 2008.
∗Basta lembrar que Einstein foi reprovado nos exames de admissa˜o a` Escola Polite´cnica de
Zurich.
Ou enta˜o, para se certificar de nossa afirmativa, leia o dia´logo “sobre a natureza da ver-
dade”, ocorrido em 1930 entre Einstein e o poeta indu Rabindranath Tagore. No nosso
entendimento as concepc¸o˜es do poeta, no referido dia´logo, foram geniais - ao contra´rio das de
Einstein, algumas das quais ate´ pueris.
ADENDO Boa Vista-RR/30.05.2010
Foram feitas duas tentativas de publicac¸a˜o do presente livro. Na primeira
o submetir a` editora aqui mesmo da universidade (ufrr), apo´s alguns meses
conversei com o diretor da editora e numa conversa informal ele me disse que
o livro havia sido submetido a dois especialistas da a`rea (referees) e que ate´
aquele momento apenas um havia emitido seu parecer, por sinal favora´vel, e
que, ademais, a editora estava correndo atra´s de recursos.
Algum tempo depois a editora trocou de diretore o novo me informou que
a editora na˜o tinha recursos pro´prios e que dependia de captac¸a˜o de recursos
externos.
Desisti da empreitada e decidi enviar o livro a uma outra editora. Escolhi a
editora da UNB (universidade de Bras´ılia). Aproximadamente um ano depois
recebi uma carta com o parecer de um referee (a´rbitro).
O livro na˜o foi aceito para publicac¸a˜o. Vou citar os to´picos mais relevantes
do parecer, tidos como prejudiciais a` obra como um todo, e vou me permiti o
direito de comenta´-los (uma espe´cie de re´plica):
Abrangeˆncia:
O material abrange os to´picos fundamentais que geralmente sa˜o abordados
num curso de um semestre dessa disciplina e inclui um (longo) cap´ıtulo de “Pre´-
Requisitos”, este com cerca de 70 pa´ginas; o autor explora com certo exagero,
um grande nu´mero de exemplos a cada conceito introduzido.
- Comenta´rio: De fato, o longo cap´ıtulo de pre´-requisitos foi uma tentativa
minha de tornar a obra auto-suficiente. Numerei-o como cap´ıtulo 0 e o tenho
como um cap´ıtulo apenas de consulta (e refereˆncias) tanto e´ que quando ministro
essa disciplina inicio pelo cap´ıtulo 1, de espac¸os me´tricos.
No meu entendimento um grande nu´mero de exemplos so´ na˜o e´ bom para a
editora∗ mas certamente e´ bom para os alunos.
Qualidade do Conteu´do e Organizac¸a˜o Lo´gica:
Em diversos pontos do texto o autor mistura aspectos de seu pro´prio entendi-
mento filoso´fico e religioso com a mate´ria espec´ıfica deste to´pico da matema´tica.
Em outros, insere textos de palestras elementares, proferidas pelo mesmo em sua
instituic¸a˜o de origem, ale´m de tecer inu´meros comenta´rios pouco apropriados e
ate´ mesmo controversos;
- Comenta´rio: A raza˜o pela qual a maioria das obras dida´ticas de matema´tica
sa˜o re´plicas quase perfeitas umas das outras e´ que grande parte dos autores sa˜o
apenas inte´rpretes na matema´tica, poucos sa˜o os compositores. Na matema´tica
me considero, ale´m de inte´rprete, compositor; com efeito, o meu livro encontra-
se eivado de novidades, composic¸o˜es minhas. O fato de algue´m conseguir unir
matema´tica com filosofia e espiritualidade eu, sinceramente, na˜o vejo como um
defeito, mas como uma excepcional qualidade. Digo espiritualidade e na˜o re-
ligia˜o, como o meu a´rbitro se refere acima, fac¸o uma distinc¸a˜o entre ambas. No
que diz respeito a mim, creio em Deus e em que a esseˆncia do homem (como
de resto de todos os seres vivos) e´ espiritual e na˜o material, na˜o obstante, na˜o
possuo nenhuma religia˜o, muito pelo contra´rio, de uma dada perspectiva, sou
contra as religio˜es institu´ıdas; portanto, reitero, aqui misturo topologia com
filosofia, f´ısica quaˆntica e espiritualidade (na˜o religia˜o). Ademais, e´ verdade que
utilizo a matema´tica para perscrustar o universo da espiritualidade.
∗Pois o livro torna-se volumoso e, consequentemente, encarece os custos de produc¸a˜o.
Quanto a inserir textos de palestras “elementares”, de fato fiz uso da topolo-
gia dos espac¸os me´tricos para contribuir com uma questa˜o bastante (ha´ se´culos)
controversa na matema´tica, qual seja: como se deve interpretar a igualdade:
0, 999 . . . = 1
Leio no livro de um renomado matema´tico o seguinte:
“E, conquanto as ideias e o pensamento matema´ticos estejam em constante
evoluc¸a˜o [. . .] a maioria dos problemas ba´sicos fundamentais nunca desaparece.”
(Gregory Chaitin/METAMAT!)
O meu a´rbitro na˜o atinou com este pequeno detalhe na matema´tica. Com
efeito, o problema das representac¸o˜es decimais, como na igualdade acima, e´ um
de tais problemas ba´sicos fundamentais que tem dado dor de cabec¸a a muitos
matema´ticos, inclusive no que diz respeito a interpretac¸o˜es equivocadas sobre
as mesmas, como logramos demonstrar aqui. Por outro lado, e talvez mais
importante ainda, muitas construc¸o˜es sofisticadas na matema´tica, a exemplo
da curva de Peano, dependem de tais representac¸o˜es dos nu´meros reais. Por
exemplo aqui - pelo fato de havermos desvendado esta “questa˜o ba´sica” - cons-
truimos uma versa˜o mais simples da curva de Peano bem como obtivemos uma
outra transformac¸a˜o, ine´dita e ta˜o esdru´xula quanto a de Peano: construimos a
“volta” da curva de Peano.
Quanto a “comenta´rios pouco apropriados” talvez o a´rbitro esteja se referindo
ao fato de eu ter afirmado que ate´ hoje os matema´ticos claudicam (tropec¸am) no
conceito de nu´mero, em poucas palavras: muitos na˜o teˆm nitidez do que de fato
seja um nu´mero (tanto e´ que alguns o tomam como um “conceito primitivo”,
o que na˜o acho necessa´rio). Com efeito, fac¸o esta afirmativa em um Resumo
que encontra-se a partir da pa´gina 227, o leitor leia e julgue por si mesmo se
tenho ou na˜o raza˜o. Por sinal publiquei este artigo (“Palestra”) ha´ mais de
ano em minha home-page e ha´ va´rios meses no site Somatema´tica e, ate´ hoje,
na˜o recebi nenhuma contestac¸a˜o; pelo contra´rio, recebi um email entusiasmado
de um leitor me dando conta de que leu, entendeu e concorda com tudo o que
escrevi sobre o tema.
Ademais, vejo uma incoereˆncia na afirmativa do referee: se discorro sobre
um tema elementar (conteu´do de minha Palestra - pg. 227) como posso fazer
afirmativas controversas? Digo, ele, como a´rbitro, na˜o teria capacidade de de-
cidir se o que falo tem ou na˜o fundamento? Em matema´tica, no que de fato e´
elementar, na˜o cabe controve´rsias, do contra´rio na˜o seria elementar.
Continuando:
Quanto a` abordagem dos conteu´dos de Espac¸os Me´tricos em s´ı, ha´ um exagero de
exemplos seguindo cada conceito apresentado, em detrimento de um tratamento
mais conciso dos pontos centrais do tema.
- Comenta´rio: De fato, ele tem raza˜o, exagerei no nu´mero de exemplos.
Quando decidi escrever este livro um dos objetivos que mentalizei e´ que o mesmo
servisse tambe´m ao estudante auto-didata; digo, a`quele que, por ventura, de-
cidisse estudar (so´zinho) o assunto com antecedeˆncia - para suavizar seu apren-
dizado a posteriori (digo, com o professor), da´ı eu ter exagerado no nu´mero de
exemplos.
Outros Aspectos Negativos:
1. O autor apresenta todo um cap´ıtulo, com cerca de 70 pa´ginas, a t´ıtulo de
“Pre´-Requisitos”, em que sa˜o inclu´ıdos to´picos de Lo´gica, Teoria dos Conjuntos,
Ca´lculo, Ana´lise e A´lgebra Linear. Com todos esses pre´-requisitos, causa estran-
heza a afirmac¸a˜o do autor: “. . . Por experieˆncia sabemos que o aluno que estuda,
pela primeira vez, disciplinas como Ana´lise e Topologia ainda na˜o tem maturi-
dade suficiente para resolver exerc´ıcios destas disciplinas. . . ”(cf. Prefa´cio).
- Comenta´rio: Esqueci de dizer que escrevi este Cap´ıtulo 0 apenas para even-
tuais consultas e refereˆncias, tanto e´ que ja´ inicio a mate´ria pelo Cap´ıtulo 1; com
isso creio que continua sendo verdadeiro o que afirmo a respeito da imaturidade
dos alunos em resolver questo˜es de demonstrac¸o˜es (prove que, mostre que, etc.);
tambe´m por isso exagero no nu´mero de exerc´ıcios resolvidos (exemplos) e pec¸o
apenas que os alunos os estudem atentamente procurando entendeˆ-los 100%,
creio que por essa via o aprendizado possa ocorrer sem grandes traumas - como
ocorre amiu´de.
2. No contexto do tema, o autor explora conceitos tais como “Topologia Quaˆntica”
e “Propriedades Topolo´gicas” sem sequer introduzir o conceito geral de “Espac¸o
Topolo´gico”.
- Comenta´rio: Este “aspecto negativo” assinalado pelo referee na˜o pro-
cede. De fato, podemos falar de “Propriedades Topolo´gicas” apenas dentro
do contexto dos espac¸os me´tricos, sem necessidade de adentrarmos no conceito
geral de “Espac¸o Topolo´gico”, tanto isso e´ verdade que e´ assim mesmo que
procede o Prof. Elon Lages em seu livro [5] (pg. 38); o mesmo se da´ no que
diz respeito a` “Topologia Quaˆntica”, por sinal esse conceito foi criado por mim
mesmo - me sinto muito a` vontade para falar sobre o mesmo.
Senhor referee, desta forma o senhor perde credibilidade!
3. Por fim, cabe observar queo autor utiliza cerca de 600 pa´ginas, usando fonte
pequena e um nu´mero excessivo de figuras, para explorar assuntos que usual-
mente podem ser adequadamente abordados num texto de 250 a 300 pa´ginas.
Bras´ılia, 05 de maio de 2009.
- Comenta´rio: Quando escrevo um livro confesso que a minha maior preo-
cupac¸a˜o na˜o e´ com o nu´mero de pa´ginas, mas sim em torna´-lo dida´tico, pensando
em um aluno auto-didata ate´.
Por exemplo, quanto a`s demonstrac¸o˜es matema´ticas, existem autores que
preferem as mais curtas e elegantes, esquecendo que a demonstrac¸a˜o mais curta
nem sempre e´ a mais dida´tica e compreens´ıvel ao aluno. Ademais, uma demons-
trac¸a˜o compacta na˜o raro esconde (camufla) a interrelac¸a˜o dos conceitos en-
volvidos, muitas vezes na˜o mostra como as ide´ias esta˜o interconectadas (im-
brincadas); assim e´ que, por exemplo, uma demonstrac¸a˜o de apenas treˆs linhas
em livros congeˆneres, aqui deliberadamente a fazemos ate´ em uma pa´gina inteira
- dando eˆnfase a` articulac¸a˜o dos conceitos envolvidos;
Quando o a´rbitro coloca “um nu´mero excessivo de figuras ” como um aspecto
negativo em uma obra, com toda certeza ele desconhece o n´ıvel com que a
maioria dos alunos chega na maioria de nossas universidades. Se ele e´ professor
e´ poss´ıvel que o seja apenas da po´s-graduac¸a˜o.
Disciplinas tais como A´lgebra Linear, Estruturas Alge´bricas, Ana´lise e Topolo-
gia sa˜o abstratas - os alunos, oriundos dos falidos (capengas) ensinos fundamen-
tal e me´dio, na˜o raro adentram a`s universidades sem ao menos saberem fazer
contas quanto mais terem condic¸o˜es de pensar abstratamente, da´ı que em min-
has aulas, a toda exposic¸a˜o de um tema abstrato∗ procuro fazer corresponder
∗Em matema´tica o que e´ “abstrato” ou na˜o e´ discut´ıvel, acontece que para a maioria dos
alunos quase tudo em matema´tica e´ abstrato, quem e´ professor destas disciplinas sabe disso.
uma figura, digo-lhes: “Observem . . . quem na˜o conseguir alcanc¸ar com a mente
(racioc´ınio) procure ao menos enxergar com os olhos f´ısicos, ja´ e´ alguma coisa”.
Existe um ditado que diz que uma imagem vale mais que mil palavras, isto e´
ainda mais verdadeiro quando se trata de ensinar matema´tica abstrata a nossos
alunos.
Por oportuno, tenho em ma˜os um livro de matema´tica de um professor da
UNB (publicado pela Editora da UNB), por t´ıtulo “Introduc¸a˜o a` a´lgebra linear”,
esse livro tem 156 pa´ginas, a primeira figura aparece na pg. de nu´mero 98 (isto
e´, bem depois da metade do livro), no livro todo constam apenas 5 figuras.
Na minha opinia˜o escrever um livro fino e com poucas figuras e´ muito fa´cil (e
ate´ mais coˆmodo) agora se vai resultar em um livro dida´tico a´ı e´ outra histo´ria.
Por exemplo, analisei detidamente o livro citado acima e, sinceramente, na˜o
achei que tenha ficado nenhum um pouco dida´tico. Poucos exemplos, chega-se
ao absurdo de se definir espac¸os vetoriais e na˜o se mostra um u´nico exemplo de
espac¸o vetorial!
Nota: E´ bem verdade que o autor, apo´s a definic¸a˜o desses entes, exibe
apenas dois exemplos, entretanto na˜o prova, segundo a definic¸a˜o dada, que
realmente trata-se de tais objetos; ou pelo ao menos menciona ao aluno a neces-
sidade de tal prova (da´ı na˜o considero como exemplos). Ademais, a qualidade
da editorac¸a˜o eletroˆnica dessa obra deixa muito a desejar.
O que muitos autores de livros dida´ticos de matema´tica para graduac¸a˜o
ainda na˜o se deram conta (e, por conseguinte as editoras) e´ que o pu´blico que
eles tem emmente quando escrevem seus livros deixou de existir ha´ muito tempo!
Estou falando da vergonhosa situac¸a˜o na qual se encontram os ensinos fun-
damental e me´dio em nosso Pa´ıs, o que se reflete de imediato no preparo da
clientela das universidades brasileiras. Para citar apenas um exemplo, an pas-
sant, quando ingressei na universidade em 1981 ja´ sabia derivar e integrar -
ja´ resolvia problemas de ma´ximos e mı´nimos, bem como calculava volumes de
so´lidos de revoluc¸a˜o∗, hoje os alunos adentram a` universidade com dificuldades
(tropec¸ando) na matema´tica do ensino fundamental . . . pasme´m!
Conclusa˜o: O referee em questa˜o so´ viu defeitos em minha obra, na sua
carta ele na˜o cita um u´nico eventual ponto positivo. Creio que, com um pouco
de boa vontade, podemos encontrar alguns. Por exemplo: exploro aqui uma
me´trica (“me´trica divina”), a qual na˜o se encontra em nenhum outro livro sobre
espac¸os me´tricos (dos que eu conhec¸o, claro), a qual me permitiu descobrir toda
uma se´rie de exemplos interessantes (“patolo´gicos”)† e ine´ditos, me dando en-
sejo inclusive de relacionar Topologia com F´ısica quaˆntica. Ademais, essa mesma
me´trica me permitiu colocar um ponto final em um assunto bastante controverso
(pouco compreendido) na matema´tica, qual seja, se 0, 999 . . . e´ ou na˜o igual a
1. Aqui mostramos, ate´ prova em contra´rio, que ate´ mesmo matema´ticos profis-
sionais estiveram equivocados quanto ao significado (interpretac¸a˜o) da igualdade
0, 999 . . . = 1. Esse, certamente, foi um dos “comenta´rios pouco apropriados”
que contribuiu negativamente para uma apreciac¸a˜o sobre meu livro.
Em 1890 o matema´tico italiano Giuseppe Peano (1858−1932) causou grande
estupefac¸a˜o na comunidade matema´tica ao construir sua famosa Curva (que
∗Estudei Ca´lculo - para prestar o vestibular - pelo vol. 8 de os “Fundamentos de
Matema´tica Elementar”, colec¸a˜o muito conhecida para o ensino me´dio (de antigamente).
†Por exemplo, com um de tais exemplos mostramos que o Prof. Elon equivocou-se ao
afirmar em seu livro, [5], que “espac¸o conexo por caminhos, e´ um conceito provido de mais
significado intuitivo do que o conceito geral de espac¸o conexo”.
cobre toda a superf´ıcie de um quadrado); no presente trabalho, simplificamos
a construc¸a˜o dessa curva (tal como consta em [5]) e, o que e´ melhor, construi-
mos tambe´m um outro objeto (“monstro”) matema´tico que pode ser visto como
“complementar” a` curva de Peano. Se, com tudo isso (e mais ainda), o referee
so´ viu defeitos em minha obra gostaria de lembra´-lo que e´ muito raro um livro
de matema´tica que traga alguma contribuic¸a˜o (relevante).
Por oportuno, neste preciso momento lembrei de que o meu primeiro livro
publicado (no ano de 2000, ver [6]) ja´ vem com algumas contribuic¸o˜es a` matema´-
tica (Por exemplo, destaco uma fo´rmula fechada para a soma de poteˆncias
dos primeiros naturais, que nenhum matema´tico - deste e de se´culos anteri-
ores - havia conseguido), por sinal esse livro mereceu elogios de um renomado
matema´tico brasileiro (por coincideˆncia um topo´logo); na˜o obstante ele tenha
emitido seu parecer (observo que de livre e expontaˆnea vontade, digo, sem eu
ter solicitado) sobre esse meu primeiro livro, vou me permitir transcrever seu
parecer (ja´ que o autor de ambos os livros e´ o mesmo), ei-lo:
O enderec¸o gentil@dmat.ufrr.br foi recusado.
Gostaria que ele recebesse esse e-mail. De fato, gostei muito do livro.
Um Abrac¸o, Ubiratan
Original Message
From: Ubiratan D,Ambro´sio <ubi@usp.br>
To: Gentil Lopes da Silva
Sent: Saturday, November 06, 2004 10:46 AM
Subject: Obrigado pelo livro
Caro Gentil
Muito obrigado pelo livro que voceˆ mandou pelo Chateau. Esta´ muito bom,
interessante e cheio de provocac¸o˜es. Da´ oportunidade para os estudantes se
iniciarem em pesquisas. Voceˆ fala que o livro destina-se a alunos de 2o e 3o
graus. Eu diria que e´ tambe´m para a po´s. Aritme´tica continua sendo grande
fonte de problemas de pesquisa que podem ser trabalhados com relativamente
pouco da complicada linguagem, notac¸o˜es e resultados que caracterizam muitas
a´reas da matema´tica. Sa˜o formulac¸o˜es simples que podem ser trabalhados com
pouca te´cnica, exigindo imaginac¸a˜o e criatividade. Vou recomendar aos meus
alunos. Mas tive um problema. Nos sites das livrarias, o livro na˜o existe. E nem
esta´ no site da Thesaurus.Recomendar um livro implica dizer como adquirir.
O que voceˆ diz? Siga em frente com suas ide´ias. As suas reflexo˜es iniciais, a
sua escolha de ep´ıgrafes, e a pro´pria capa, sa˜o uma grande contribuic¸a˜o para
um novo pensar na urgente renovac¸a˜o da educac¸a˜o em todos os n´ıveis. A sua
trajeto´ria desde seus estudos, lecionando em condic¸o˜es preca´rias, e com as difi-
culdades para publicar o livro e´ um exemplo, muit´ıssimo frequente, do processo
(certamente intencional) de desencorajar o florescimento dos criativos, e abrir o
espac¸o para os executores de ide´ias de outros.
Uma curiosidade: voceˆ sabia que o E´douard Lucas, que voceˆ cita na pa´gina 393,
e´ quem fez a revisa˜o te´cnica para a publicac¸a˜o po´stuma do livro “Me´langes de
Calcul Inte´gral”, de Joaquim Gomes de Souza, o Souzinha, em 1882? O livro
havia sido recusado por inu´meras editoras enquanto ele estava vivo.
Muito obrigado. Um abrac¸o, Ubiratan
Nota: Como o Prof. Ubiratan na˜o estava conseguindo acessar o meu antigo
enderec¸o eletroˆnico (gentil@dmat.ufrr.br) ele enviou o email a um seu ex-aluno
(saudoso Chateaubriand), colega meu, que me repassou.
Leio em uma obra de um eminente matema´tico:
Finalmente, permita-me tambe´m dizer que a histo´ria das ide´ias e´, penso
eu, o melhor meio de aprender matema´tica. Sempre detestei os compeˆndios.
Sempre detestei livros cheios de fo´rmulas, livros secos, opinio˜es descoradas, sem
personalidade! Os livros que eu amava eram livros em que transparece a
personalidade do autor, livros com montes de palavras, explicac¸o˜es e
ide´ias, na˜o so´ de fo´rmulas e equac¸o˜es!(Gregory Chaitin/METAMAT!)(Grifo nosso)
Penso que o presente livro cumpre os requisitos em destaque. Com efeito,
na˜o apenas em meus livros como tambe´m em meus artigos deixo transparecer
algo de minha personalidade e, nesta, deliberei cultivar uma pequena nesga de
iconoclastia - tanto na plataforma intelectual quanto na espiritual.
Nota: O´bviamente que seria um direito meu revisar o livro seguindo todas as
orientac¸o˜es (cr´ıticas) do referee e submeteˆ-lo novamente a` Editora da UNB (ou
a uma outra qualquer), decidi na˜o fazeˆ-lo pois teria que mudar toda a filosofia
do trabalho - ja´ me dou por satisfeito apenas por disponibiliza´-lo em minha
home-page.
Ja´ disse alhures que vejo e trabalho a matema´tica como uma obra de arte,
isto e´, considero meu livro uma obra de arte. Assim como na˜o teria o menor
sentido algue´m chegar em frente a um compositor de determinada mu´sica e
da´ palpites para que ele a alterasse (em pontos essenciais); ou, digamos, a um
artista pla´stico para que ele alterasse (em pontos essenciais) uma obra sua,
ta˜o pouco vejo sentido algue´m, por exemplo, me sugerir que eu na˜o misture
matema´tica com filosofia ou espiritualidade, na˜o tem cabimento!
Garimpando Pe´rolas
“Um exame superficial da matema´tica pode dar uma impressa˜o de que ela e´ o resul-
tado de esforc¸os individuais separados de muitos cientistas espalhados por continentes e
e´pocas diversas. No entanto, a lo´gica interna de seu desenvolvimento nos lembra muito
mais o trabalho de um u´nico intelecto, desenvolvendo o seu pensamento sistema´tico e
consistentemente, usando a variedade das individualidades humanas somente como um
meio. Assemelha-se a uma orquestra executando uma sinfonia composta por algue´m.
Um tema passa de um instrumento a outro, e quando chegou a hora de um dos par-
ticipantes abandonar o tema, ele e´ substitu´ıdo por outro, que o executa com precisa˜o
irrepreens´ıvel...”
I.R. Shafarevich
“Nenhuma produc¸a˜o de ordem superior, nenhuma invenc¸a˜o jamais procedeu do homem,
mas emanou de uma fonte ultraterrena. Portanto, o homem deveria considera´-la um
dom inspirado do Alto e aceita´-la com gratida˜o e venerac¸a˜o. Nestas circunstaˆncias,
o homem e´ somente o instrumento de uma Poteˆncia Superior, semelhante a um vaso
julgado digno de receber um conteu´do divino”.
Goethe
“A obtenc¸a˜o de um resultado novo em pesquisa e´, para o cientista, uma fonte de in-
tenso prazer, ligado intimamente ao instinto de criac¸a˜o e eternidade, pois, independen-
temente da importaˆncia da contribuic¸a˜o no contexto da cieˆncia, ou de sua utilizac¸a˜o,
representa algo acrescentado ao conhecimento humano que marca sua existeˆncia na
terra”.
Pierre Curie (F´ısico)
“O que me solicita profundamente na vida e´ poder colaborar numa obra, numa Re-
alidade, mais dura´vel do que eu: e´ nesse esp´ırito e nessa perspectiva que procuro
aperfeic¸oar-me e dominar um pouco mais as coisas”.
Teilhard de Chardin
“Sois de tal modo levados a vos tomar por tipos do Universo, que credes sempre que
fora do vosso mundo na˜o ha´ mais nada. Pareceis verdadeiramente com esses selvagens
que nunca sa´ıram de sua ilha e creˆem que o mundo na˜o vai mais longe”.
O Livro dos Me´diuns
“Eu penso que seria uma aproximac¸a˜o relativamente boa da verdade (que e´ de-
masiadamente complexa para permitir qualquer coisa melhor que uma aproximac¸a˜o)
dizer que as ide´ias matema´ticas teˆm a sua origem em situac¸o˜es emp´ıricas. . .Mas, uma
vez concebidas, elas adquirem uma identidade e crescimento pro´prios governados quase
que inteiramente por motivac¸o˜es este´ticas. . . ”.
J. Von Newmann (1903− 1957)
“A matema´tica e´ um campo demasiadamente a´rduo e ino´spito para agradar a`queles
a quem na˜o oferece grandes recompensas. Recompensas que sa˜o da mesma ı´ndole que
as do artista.
. . . Acrescenta ainda que e´ no ato de criar que o matema´tico encontra sua culminaˆncia
e que ‘nenhuma quantidade de trabalho ou correc¸a˜o te´cnica pode substituir este mo-
mento de criac¸a˜o na vida de um matema´tico, poeta ou mu´sico’ ”.
Norbert Wiener
“. . . que o meu pensamento quis aproximar-se dos problemas do esp´ırito pela via
de uma diversa experimentac¸a˜o de cara´ter abstrato, especulativo, resultante das con-
cluso˜es de processos lo´gicos da mais moderna f´ısico-matema´tica”.
Pietro Ubaldi/Ascenso˜es Humanas
“E´ uma experieˆncia como nenhuma outra que eu possa descrever, a melhor coisa
que pode acontecer a um cientista, compreender que alguma coisa que ocorreu em
sua mente corresponde exatamente a alguma coisa que aconteceu na natureza. E´
surpreendente, todas as vezes que ocorre. Ficamos espantados com o fato de que um
construto de nossa pro´pria mente possa realmente materializar-se no mundo real que
existe la´ fora. Um grande choque, e uma alegria muito grande”.
Leo Kadanoff
“Apenas aqueles que pensam por metades se tornam ateus, aqueles que se apro-
fundam em seus pensamentos e veˆem as maravilhosas relac¸o˜es entre as leis universais
reconhecem um poder criador”.
Max Planck
“Um conceito e´ um estado vibrato´rio individualizado e delicad´ıssimo que, uma
vez perdido, na˜o mais se acha nem com a lo´gica e muito menos com a vontade, na˜o
retornando sena˜o quando excitado por uma conexa˜o de ide´ias, isto e´, por uma nova
passagem pro´xima num estado vibrato´rio afim”.
Pietro Ubaldi/As Nou´res
“Na˜o sabemos sena˜o em raza˜o da nossa faculdade de recepc¸a˜o”. Pita´goras
“Tenho agarrado pela garganta as inferiores leis biolo´gicas da animalidade, para
estrangula´-las e supera´-las. Tenho vivido minhas afirmac¸o˜es como realizac¸a˜o biolo´gica
antes de formula´-las em palavras”.
Pietro Ubaldi/As Nou´res
“A fusa˜o entre fe´ e cieˆncia, ta˜o auspiciada, ja´ se completou em meu esp´ırito: visa˜o
u´nica na substaˆncia e de uma a outra eu passo unicamente por uma mudanc¸a de
perspectiva visual ou de focalizac¸a˜o de meus centros ps´ıquicos ”. Pietro Ubaldi/As
Nou´res
“Na˜o se pode imaginar que tenacidade de resisteˆncia, que massa de ine´rcia representa
o homem me´dio, justamente o que impo˜e as normas da vida social”.
Pietro Ubaldi/As Nou´res
“Um teorema possui vida em abundaˆncia: nasce, cresce, reproduz-se e . . . na˜o morre”.
Gentil
“O fenoˆmeno baseia-se na sintonizac¸a˜o ps´ıquicae a mente do observador, se na˜o afasta
com suas emanac¸o˜es um objeto do microsco´pio, nem influencia um fenoˆmeno f´ısico
ou qu´ımico, pode paralisar, todavia, o funcionamento de um fenoˆmeno psiqu´ıco. O
fenoˆmeno tem suas defesas e se retira em face da ameac¸a a` sua vitalidade e, enta˜o, a
cieˆncia na˜o consegue a observac¸a˜o, e sim, a destruic¸a˜o”.
Pietro Ubaldi/As Nou´res
“Para poder avanc¸ar na investigac¸a˜o cient´ıfica e ver no ı´ntimo das coisas, e´ indis-
pensa´vel a sutilizac¸a˜o do instrumento de pesquisa - a conscieˆncia”.
Pietro Ubaldi/As Nou´res
“Como na cieˆncia, tambe´m nas religio˜es, a investigac¸a˜o deveria ser livre, na˜o fechada
e condenada”. Pietro Ubaldi/A Descida dos Ideais
“O homem e´ o art´ıfice de seu destino: tem que arrostar o esforc¸o de criar a si mesmo”.
Pietro Ubaldi/A Grande S´ıntese
Suma´rio
1 PRE´-REQUISITOS 17
1.1 Elementos de Lo´gica & Demonstrac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.1 Operac¸o˜es Lo´gicas sobre Proposic¸o˜es . . . . . . . . . . . . 18
1.1.2 Te´cnicas (Engenharia) de Demonstrac¸a˜o . . . . . . . . . . 22
1.1.3 Func¸o˜es Proposicionais/Quantificadores . . . . . . . . . . 29
1.2 Conjuntos, Func¸o˜es e Famı´lia de conjuntos . . . . . . . . . . . . . 35
1.3 To´picos em Ana´lise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.3.1 Teoremas e Definic¸o˜es da Ana´lise Real . . . . . . . . . . . 56
1.3.2 Supremo e I´nfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.3.3 A Propriedade de Completeza . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.4 Espac¸os vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.4.1 Norma/Espac¸os Vetoriais Normados . . . . . . . . . . . . 72
1.4.2 Espac¸os Vetoriais com Produto Interno . . . . . . . . . . 75
⊲ Apeˆndice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2 ESPAC¸OS ME´TRICOS 83
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.2 Medindo distaˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.3 Definic¸a˜o de espac¸os me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.3.1 Exemplos de espac¸os me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.3.2 Me´tricas sobre o R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.3.3 Distaˆncia entre func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.3.4 Espac¸os de Co´digos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.4 Distaˆncia entre Ponto e Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.5 Distaˆncia entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
2.6 Conjuntos limitados − Diaˆmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
⊲ Apeˆndice: Demonstrac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3 CONSTRUC¸A˜O DE ESPAC¸OS ME´TRICOS 143
3.1 Me´tricas a Partir de Me´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.2 Subespac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.3 Me´tricas Induzidas por Normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.4 Me´tricas Induzidas por Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . 147
3.5 Me´tricas Induzidas Por Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.6 Produto de espac¸os me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
13
4 BOLAS ABERTAS 159
4.1 Definic¸a˜o e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.2 Bolas em subespac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.3 Bolas no espac¸o produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.4 Proposic¸o˜es sobre bolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.5 Ponto isolado − Espac¸os discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5 SEQU¨EˆNCIAS EM ESPAC¸OS ME´TRICOS 195
5.1 Sequ¨eˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.1.1 Subsequ¨eˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.2 Convergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.3 Sequ¨eˆncias num Espac¸o Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.4 A Me´trica Divina e o Paradoxo de Zena˜o . . . . . . . . . . . . . 216
5.5 Sequ¨eˆncias em Espac¸os Vetoriais Normados . . . . . . . . . . . . 243
5.5.1 Sequ¨eˆncias em
(
R, µ
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.5.2 Sequ¨eˆncias em Espac¸os Normados Quaisquer . . . . . . . 244
6 A TOPOLOGIA DOS ESPAC¸OS ME´TRICOS 251
6.1 Ponto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
6.2 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
6.3 Ponto fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.4 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
6.5 Ponto aderente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
6.6 Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
6.7 Ponto de acumulac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
⊲ Apeˆndice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
� Representac¸o˜s bina´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
� Topologia quaˆntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
7 FUNC¸O˜ES CONT´ıNUAS 303
7.1 Isometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
7.2 Propriedades das aplicac¸o˜es cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . 337
7.3 Continuidade Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
7.4 Homeomorfismos − Espac¸os Homeomorfos . . . . . . . . . . . . . 360
7.5 Me´tricas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
7.5.1 Normas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
⊲ Apeˆndice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
� Limites em espac¸os me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
8 ESPAC¸OS ME´TRICOS CONEXOS 395
8.1 Definic¸a˜o e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
8.2 Conexos em
(
R, µ
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
8.3 Conexidade por caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
8.4 Sec¸a˜o de Milagres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
8.5 Componentes Conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
⊲ Apeˆndice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
� Topologia quaˆntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
� Supercordas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
� Nosso universo e fenoˆmenos na˜o-locais . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
9 ESPAC¸OS ME´TRICOS COMPLETOS 447
9.1 Sequ¨eˆncias de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
9.2 Espac¸os me´tricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
9.3 Espac¸os de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
9.4 Espac¸os de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
9.5 Completamento de Espac¸os Me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . 477
9.6 Espac¸os topologicamente completos . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
9.7 Teorema do Ponto Fixo de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
⊲ Apeˆndice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
10 ESPAC¸OS ME´TRICOS COMPACTOS 501
10.1 Cobertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
10.2 Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
10.2.1 Caracterizac¸a˜o de Compacidade . . . . . . . . . . . . . . 516
10.3 Produto Cartesiano de Conjuntos Compactos . . . . . . . 519
10.3.1 Compactos no Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
10.4 Distaˆncia Entre Conjuntos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . 521
10.5 Nu´mero de Lebesgue Para Coberturas . . . . . . . . . . . . . . . 524
10.6 Espac¸os Localmente Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
10.7 Representac¸o˜esDecimais e Curva de Peano
(O Mito das Ambigu¨idades nas Representac¸o˜es Decimais) . . . . . . . 529
10.7.1 A curva de Peano e o quadrado hiper-ma´gico . . . . . . . 536
10.8 O quadrado hiper-ma´gico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
10.9 A curva de Peano no cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
10.10 O cubo hiper-ma´gico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
⊲ Apeˆndice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
� Produtos cartesianos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
Resumo das Me´tricas
Conjunto
Me´trica
(S´ımbolo)
Definic¸a˜o Pa´g.
R
Usual
µ
µ(x, y)=|x−y| 87
M
“zero-um”
δ
δ(x, y)=
{
1, se e so´ se x 6=y;
0, se e so´ se x=y.
88
[ 0, 1 [ Divina (quaˆntica)
k
k(x, y)=min
{
|x−y|, 1−|x−y|
}
89
R2
Usual (Euclidiana)
D
1
D
1
(x, y)=
√
(x
1
− y
1
)2 +(x
2
− y
2
)2 95
Da Soma
D
2
D
2
(x, y)=|x
1
− y
1
|+ |x
2
− y
2
| 95
Do Ma´ximo
D
3
D
3
(x, y)=max{ |x
1
− y
1
|, |x
2
− y
2
| } 96
M
m×n (R)
Euclidiana
D
1
D
1
(A,B)=
√
(a
11
−b
11
)2+···+(amn−bmn )2 99
Da Soma
D
2
D
2
(A,B)=|a
11
−b
11
|+···+ |amn−bmn |
99
Do Ma´ximo
D
3
D
3
(A,B)=max
{
|a
11
−b
11
|, ... ,|amn−bmn |
}
99
C[ a, b ]
Da Integral
Γ
Γ(f, g)=
R b
a
|f(x)−g(x)|dx 101
Do Ma´ximo
Υ
Υ(f, g)=max{ |f(x)−g(x)| : x∈ [ a, b ]} 102
B(X,R) Do Sup
Ψ
Ψ(f, g)=sup{ |f(x)−g(x)| : x∈X} 106
SN
Hamming
σ
σ(x, y)=nu´mero de posic¸o˜es em que x e y
diferem entre si.
110
roˆ
ρ
ρ(x, y)=|PNn=1 2n−1·(xn−yn)| 113
tau
τ
τ(x, y)=maior posic¸a˜o em que x e y
diferem entre si.
114
S∞
ni
ν ν(x, y)=
P∞
n=1
|xn−yn |
2
n 115
M1×M2
D1 D1(x, y)=
q
d2
1
(x
1
, y
1
) + d2
2
(x
2
, y
2
) 151
D2
D
2
(x, y)=d
1
(x
1
, y
1
)+ d
2
(x
2
, y
2
) 151
D
3 D3(x, y)=max {d1(x1 , y1); d2(x2 , y2 )} 151
16
Capı´tulo 1
PRE´-REQUISITOS
“Eu disse: Vo´s sois deuses,
e vo´s outros sois todos fi-
lhos do Alt´ıssimo.”
(Sl 82 : 6)
Introduc¸a˜o:
O objetivo deste cap´ıtulo e´ estabelecer alguns resultados que sera˜o utilizados
nos demais cap´ıtulos do livro.
1.1 Elementos de Lo´gica & Demonstrac¸o˜es
Nesta secc¸a˜o recordaremos, de modo resumido, alguns conceitos da Lo´gica
Matema´tica. De in´ıcio tecemos algumas considerac¸o˜es sobre alguns s´ımbolos,
objetivando transferi-los da Lo´gica para o contexto da Matema´tica. Posterior-
mente estabeleceremos algumas te´cnicas de demonstrac¸o˜es matema´ticas.
Proposic¸a˜o:
Chamamos conceito primitivo aquele conceito que aceitamos sem definic¸a˜o.
E´ o que acontece, por exemplo, com o conceito de proposic¸a˜o. Portanto, na˜o
o definiremos. Na˜o obstante, nada impede que conhec¸amos suas qualidades,
tendo em conta que proposic¸a˜o e´ uma sentenc¸a declarativa, afirmativa e que
deve exprimir um pensamento de sentido completo; via de regra sendo escrita
na linguagem usual ou na forma simbo´lica. Por exemplo, sa˜o proposic¸o˜es:
1) sen
π
2
= 1.
2) π < 2
√
2.
3) Todo quadrado e´ um retaˆngulo.
4) Todo retaˆngulo e´ um quadrado.
17
Dizemos que o valor lo´gico de uma proposic¸a˜o e´ a verdade (V ) se a proposic¸a˜o
e´ verdadeira; e´ a falsidade (F ) se a proposic¸a˜o e´ falsa.
Por exemplo, para as proposic¸o˜es anteriores,temos
1) V 2) F 3) V 4) F
1.1.1 Operac¸o˜es Lo´gicas sobre Proposic¸o˜es
Faremos um resumo das operac¸o˜es do ca´lculo proposicional tambe´m chamadas
operac¸o˜es lo´gicas. Os principais operadores (conectivos) lo´gicos sa˜o os seguintes:
∨ Disjunc¸a˜o (“ou”)
∧ Conjunc¸a˜o (“e”)
¯ Negac¸a˜o
−→ Condicional (“se...enta˜o”)
←→ Bicondicional (“se e somente se”)
cujas tabelas-verdade sa˜o dadas a seguir (estas tabelas definem os respectivos
operadores):
p q p∨q
V V V
V F V
F V V
F F F
p q p∧q
V V V
V F F
F V F
F F F
p p¯
V F
F V
p q p−→ q
V V V
V F F
F V V
F F V
p q p←→ q
V V V
V F F
F V F
F F V
p p¯ q p¯∨q
V F V V
V F F F
F V V V
F V F V
Acrescentamos a tabela-verdade da proposic¸a˜o p¯∨q a qual nos sera´ de grande
utilidade.
Vamos agora enunciar uma relac¸a˜o entre proposic¸o˜es, que se distingue dos
operadores, porque na˜o cria nova proposic¸a˜o.
Definic¸a˜o 1 (Implicac¸a˜o Lo´gica). Diz-se que uma proposic¸a˜o p implica logi-
camente ou apenas implica uma proposic¸a˜o q, se e somente se, na tabela de
p e q, na˜o ocorre V F em nenhuma linha, com V na coluna de p e F na coluna
de q.
Exemplo: Da tabela a seguir inferimos que a proposic¸a˜o q na˜o implica na
proposic¸a˜o p ∧ q, ao passo que a proposic¸a˜o p ∧ q implica na proposic¸a˜o q.
p q p∧q
V V V
V F F
F V F
F F F
q
V
F
V
F
18
Indica-se que a proposic¸a˜o p implica a proposic¸a˜o q com a notac¸a˜o: p =⇒ q.
Nota: Os s´ımbolos −→ e =⇒ na˜o devem ser confundidos, pois p −→ q e´ uma
proposic¸a˜o enquanto p =⇒ q na˜o e´ proposic¸a˜o. Isto e´ ana´logo ao que acontece
com o sinal + e o sinal < na Aritme´tica: 2+ 5 e´ um nu´mero e 2 < 5 na˜o e´ um
nu´mero.
A escolha do conectivo (palavra) “se p enta˜o q” para a proposic¸a˜o p −→ q, a
nosso ver, foi infeliz. De fato, isto induz a que se conclua que a proposic¸a˜o q se
deduz ou e´ uma consequ¨eˆncia da proposic¸a˜o p. Isto na˜o se da´, por exemplo:
5 e´ um nu´mero ı´mpar −→
√
2 e´ irracional,
(Se 5 e´ um nu´mero ı´mpar enta˜o
√
2 e´ irracional)
e´ uma proposic¸a˜o verdadeira (ver tabela-verdade do condicional). O´bviamente
que
√
2 ser irracional na˜o e´ consequ¨eˆncia de 5 ser um nu´mero ı´mpar.
Ao contra´rio do que acontece na Lo´gica, em Matema´tica na˜o comparece o
operador lo´gico−→, mas apenas =⇒ com os seguintes significados para p =⇒ q:
1) Se p, enta˜o q;
2) Se p for verdadeira, enta˜o q e´ verdadeira;
3) p implica q;
4) q e´ implicada por p;
5) q segue de p;
6) p e´ uma condic¸a˜o suficiente para q;
7) q e´ uma condic¸a˜o necessa´ria para p;
8) E´ imposs´ıvel termos p verdadeira e q falsa simultaˆneamente,
dentre outros significados poss´ıveis.
Neste momento temos uma importante observac¸a˜o a fazer:
Dos ı´tens 1) e 3) vemos que a matema´tica funde (confunde) os s´ımbolos −→
e =⇒. Como sempre, nestes casos, o “galho quebra” do lado do mais fraco: o
aluno que tera´ que distinguir no contexto matema´tico se o s´ımbolo =⇒ esta´ se
referindo a ele pro´prio ou ao condicional −→.
Chama-se tautologia toda proposic¸a˜o composta cuja u´ltima coluna da sua
tabela verdade encerra somente a letra V (verdade).
Proposic¸a˜o 1. A proposic¸a˜o p implica a proposic¸a˜o q (isto e´, p =⇒ q) se, e
somente se, a condicional p −→ q e´ tautolo´gica.
Prova:
p q p−→ q
V V V
V F F
F V V
F F V
(i) Se p implica q, enta˜o, na˜o ocorre que os
valores lo´gicos simultaˆneos destas duas proposic¸o˜es
sejam respectivamente V e F , e por conseguinte
na u´ltima coluna da tabela-verdade da condicional
p −→ q consta somente a letra V , logo, esta condi-
cional e´ tautolo´gica.
(ii) Rec´ıprocamente, se a condicional p −→ q e´ tautolo´gica, enta˜o na˜o ocorre
19
que os valores lo´gicos simultaˆneos das proposic¸o˜es p e q sejam respectivamente
V e F , e por conseguinte p implica q. �
Uma diferenc¸a ba´sica entre proposic¸a˜o e teorema e´ que enquanto e´ l´ıcito
se cogitar do valor lo´gico de uma proposic¸a˜o (isto e´, uma proposic¸a˜o pode ser
verdadeira ou falsa) o mesmo na˜o acontece com um teorema, que sempre e´ ver-
dadeiro. Na˜o se demonstra teoremas, mas sim proposic¸o˜es. Uma vez demons-
trada a veracidade de uma proposic¸a˜o: p −→ q, esta adquire status de teorema:
p =⇒ q.
p q p−→ q
V V V
V F F
F V V
F F V
→
Em matema´tica, para demonstrar-se avalidade
de uma proposic¸a˜o p −→ q assumimos a hipo´tese
p como sendo verdadeira. Sendo assim podemos
nos restringir a`s duas primeiras linhas da tabela
verdade do condicional −→.
Uma vez assumido p verdadeira se conseguirmos
demonstrar a veracidade de q enta˜o podemos riscar a segunda linha da tabela
verdade do condicional. Apo´s isto a proposic¸a˜o p −→ q resulta tautolo´gica e,
por conseguinte,
p =⇒ q
Isto e´, a proposic¸a˜o p −→ q tornou-se o teorema p =⇒ q.
Definic¸a˜o 2 (Equivaleˆncia Lo´gica). Diz-se que uma proposic¸a˜o p e´ logica-
mente equivalente ou apenas equivalente a uma proposic¸a˜o q, se as tabelas-
verdade destas duas proposic¸o˜es sa˜o iguais.
Indica-se que a proposic¸a˜o p e´ equivalente a proposic¸a˜o q com a notac¸a˜o:
p ⇐⇒ q
Os s´ımbolos ←→ e ⇐⇒ na˜o devem ser confundidos, pois p ←→ q e´ uma
proposic¸a˜o enquanto p⇐⇒ q na˜o e´ proposic¸a˜o.
Os argumentos arrolados anteriormente a respeito dos s´ımbolos −→ e =⇒
podem ser adaptados para os s´ımbolos ←→ e ⇐⇒.
A seguir listamos va´rias maneiras de se formular p ⇐⇒ q em palavras∗:
1) Se p, enta˜o q e rec´ıprocamente;
2) Se q, enta˜o p e rec´ıprocamente;
3) q e´ verdadeira se, somente se, p for verdadeira;
4) p implica q e rec´ıprocamente;
5) p e´ uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para q;
6) q e´ uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para p;
7) p e q sa˜o proposic¸o˜es equivalentes.
Dos ı´tens 1) e 4) acima, vemos que a matema´tica (con) funde os s´ımbolos
←→ e ⇐⇒.
∗Isto na Matema´tica, na˜o na Lo´gica.
20
Proposic¸a˜o 2. A proposic¸a˜o p e´ equivalente a` proposic¸a˜o q (isto e´, p ⇐⇒ q)
se, e somente se, a bicondicional p ←→ q e´ tautolo´gica.
Prova: (i) Se p e´ equivalente a q, enta˜o, teˆm tabelas-verdade iguais, e por
conseguinte o valor lo´gico da bicondicional p ←→ q e´ sempre V , isto e´, esta
bicondicional e´ tautolo´gica (ver tabela-verdade da bicondicional, pg. 18).
(ii) Rec´ıprocamente, se a bicondicional p ←→ q e´ tautolo´gica, enta˜o, a
u´ltima coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V , e por con-
seguinte os valores lo´gicos respectivos das proposic¸o˜es p e q sa˜o ambos V ou
ambos F , isto e´, estas duas proposic¸o˜es sa˜o equivalentes. �
Portanto, a toda equivaleˆncia lo´gica corresponde uma bicondicional tau-
tolo´gica e vice-versa.
Equivalencias Nota´veis
A seguir listamos algumas equivalencias entre proposic¸o˜es, as quais podem
ser demonstradas com o aux´ılio das respectivas tabelas-verdade.
1) ¯¯p⇐⇒ p (Dupla Negac¸a˜o)
2) Leis Idempotentes
a) p ∨ p⇐⇒ p
b) p ∧ p⇐⇒ p
3) Leis Comutativas
a) p ∨ q ⇐⇒ q ∨ p
b) p ∧ p⇐⇒ q ∧ p
4) Leis Associativas
a) p ∨ (q ∨ r)⇐⇒ (p ∨ q) ∨ r
b) p ∧ (q ∧ r)⇐⇒ (p ∧ q) ∧ r
5) Leis de De Morgan∗
a) ( p ∨ q ) ⇐⇒ p¯ ∧ q¯
b) ( p ∧ q ) ⇐⇒ p¯ ∨ q¯
6) Leis Distributivas
a) p ∧ ( q ∨ r ) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
b) p ∨ ( q ∧ r ) ⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
∗Augustus De Morgan (1806 − 1873) lecionou no University College, Londres. Foi
matema´tico e lo´gico, e contribuiu para preparar o caminho da Lo´gica matema´tica moderna.
21
Willian Verçosa
Nota
na verdade seria p^q se, e somente se q^p
1.1.2 Te´cnicas (Engenharia) de Demonstrac¸a˜o
Os problemas em matema´tica dividem-se em duas classes:
Determinac¸a˜o: calcule, encontre, ache, determine,. . .
Demonstrac¸a˜o: mostre, prove, demonstre,. . .
Costumo mesmo dizer que a matema´tica comec¸a com os problemas do se-
gundo tipo. De fato, a resoluc¸a˜o da maioria dos problemas do primeiro tipo sa˜o
algoritmicas (mecaˆnicas); enquanto os problemas do segundo tipo exigem muito
de criatividade (engenhosidade).
Um outro crite´rio que utilizo para distinguir na˜o-matema´tica (algoritmo) de
matema´tica, e´ que a na˜o-matema´tica e´ suscept´ıvel de programac¸a˜o − a exem-
plo dos poderosos softwares alge´bricos − enquanto que a matema´tica em si
(demostrac¸o˜es) na˜o.
Estou propenso a acreditar que podemos ver a maioria dos “objetos” como
consistindo de mate´ria e esp´ırito. Para contextualizar minha tese vejamos al-
guns exemplos:
1o ) Um computador consiste de hardware e software, o hardware e´ a parte
material e o software e´ o esp´ırito do computador.
2o ) Uma ce´lula e´ composta de mate´ria (e´ o que os bio´logos enxergam ao
microsco´pio) e esp´ırito (software que comanda suas atividades) que os bio´logos
na˜o enxergam ao microsco´pio.
3o ) Os nu´meros inteiros, sa˜o compostos de mate´ria:
Z = {. . . ,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
e esp´ırito, que sa˜o seus axiomas de manipulac¸a˜o da mate´ria (s´ımbolos) tais como:
comutatividade, associatividade, elemento neutro, elemento oposto, Princ´ıpio da
Boa Ordem, etc.
De igual modo, a matema´tica possui uma parte material (s´ımbolos) e uma
parte espiritual (conceitos, ide´ias), o que se estar a manipular∗ por a´ı e´ apenas
o corpo (cada´ver) da matema´tica, seu esp´ırito fica de fora.
− Para se lidar com o esp´ırito da matema´tica (viva) torna-se indispensa´vel
o conhecimento de algumas te´cnicas de demonstrac¸a˜o.
1. Proposic¸o˜es Aparentadas
p −→ q : Direta
q −→ p : Rec´ıproca
p¯ −→ q¯ : Contra´ria
q¯ −→ p¯ : Contrapositiva (contra-rec´ıproca)
∗Por a´ı a que me refiro e´ a matema´tica praticada ate´ o ensino me´dio e em algumas cadeiras
da universidade, e´ uma matema´tica mecaˆnica, morta. O fato de voceˆ manusear o controle
remoto de sua televisa˜o na˜o significa que voceˆ compreende como ele funciona. De igual modo,
muitos manipulam a matema´tica sem compreender como ela funciona, e´ uma matema´tica sem
vida, sem esp´ırito!
22
2. Equivaleˆncia Entre Proposic¸o˜es Aparentadas
2.1 A proposic¸a˜o direta equivale a` contra-rec´ıproca.
p −→ q ⇐⇒ q¯ −→ p¯
Para provar isto faremos uso da seguinte identidade:
p −→ q = p¯ ∨ q
Esta identidade pode ser obtida das respectivas tabelas-verdade.
Prova:
(i) p −→ q = p¯ ∨ q
(ii) q¯ −→ p¯ = ¯¯q ∨ p¯
= p¯ ∨ q
�
Isto significa que as proposic¸o˜es p −→ q e q¯ −→ p¯ assumem sem-
pre os mesmos valores lo´gicos; isto e´, ou sa˜o ambas verdadeiras (V )
ou sa˜o ambas falsas (F ).
Sendo assim acabamos de estabelecer nossa primeira te´cnica de
demonstrac¸a˜o indireta:
(T-1) O teorema direto equivale ao contra-rec´ıproco†
H =⇒ T ⇐⇒ T¯ =⇒ H¯
Enunciemos nossa segunda te´cnica de demonstrac¸a˜o indireta:
(T-2) Anexac¸a˜o a` hipo´tese da negac¸a˜o da tese
H =⇒ T ⇐⇒ (H ∧ T¯ ) =⇒ T
Prova: Provemos a seguinte equivaleˆncia:
p −→ q ⇐⇒ (p ∧ q¯) −→ q
De fato,
(i) p −→ q = p¯ ∨ q.
(ii) p ∧ q¯ −→ q = (p ∧ q¯) ∨ q
= ( p¯ ∨ ¯¯q ) ∨ q
= p¯ ∨ q ∨ q
= p¯ ∨ q.
�
†H: Hipo´tese, T : Tese, H¯: Negac¸a˜o da hipo´tese, T¯ : Negac¸a˜o da tese.
23
Willian Verçosa
Nota
Entendi! Basta examinar a tabela-verdade do condicional e compará-la com a do conectivo v (ou), ver-se-á que neste caso são iguais quando negado a proposição p.
Willian Verçosa
Nota
Por De Morgan (pág. 21)
(T-3) Reduc¸a˜o ao absurdo
H =⇒ T ⇐⇒ (H ∧ T¯ ) =⇒ f
Onde: f e´ uma proposic¸a˜o de valor lo´gico falso (e´ qualquer con-
tradic¸a˜o).
Prova: Provemos a seguinte equivaleˆncia:
p −→ q ⇐⇒ (p ∧ q¯) −→ f
De fato,
(i) p −→ q = p¯ ∨ q.
(ii) p ∧ q¯ −→ f = (p ∧ q¯) ∨ f
= (p ∧ q¯)
= p¯ ∨ ¯¯q
= p¯ ∨ q.
�
Nota: Na tabela-verdade da proposic¸a˜o p ∨ q vemos que quando o
valor lo´gico de q e´ F , prevalece o valor lo´gico de p. Estamos dizendo
que p ∨ f = p.
Resumindo: Para utilizar esta te´cnica em uma demonstrac¸a˜o, de-
vemos anexar a` Hipo´tese a negac¸a˜o da Tese e devemos exibir, ao final,
alguma contradic¸a˜o (algum absurdo).
Uma Equivalencia Nota´vel
Uma das equivaleˆncias mais utilizadas em demonstrac¸o˜es matema´ticas
e´ a que segue
(T-4) Teorema com hipo´tese composta (∧)
Se a hipo´tese de um teorema e´ formada pela conjunc¸a˜o de duas
outras, e´ va´lida a seguinte equivaleˆncia(
H
1
∧H
2
)
=⇒ T ⇐⇒ (H
1
∧ T¯ ) =⇒ H¯
2
Isto e´, junta-se a umadas hipo´teses a negac¸a˜o da tese e demonstra-
se a negac¸a˜o da outra hipo´tese.
Prova: Provemos a seguinte equivaleˆncia
p ∧ q −→ r ⇐⇒ p ∧ r¯ −→ q¯
De fato,
p ∧ q −→ r = (p ∧ q) ∨ r
= (p¯ ∨ q¯) ∨ r
= p¯ ∨ q¯ ∨ r.
24
Willian Verçosa
Nota
Por De Morgan
Por outro lado,
p ∧ r¯ −→ q¯ = (p ∧ r¯) ∨ q¯
= (p¯ ∨ ¯¯r) ∨ q¯
= p¯ ∨ r ∨ q¯.
�
Vejamos alguns exemplos de aplicac¸a˜o desta equivaleˆncia:
1o) Em teoria dos nu´meros: Se a divide b e a na˜o divide c enta˜o b na˜o divide c.
H1 : a|b
⇒ T: b 6 | c.
H
2
: a 6 | c


H
1
∧ T¯ =⇒ H¯
2
Prova: Para algum n
1
e algum n
2
inteiros, resulta
H
1
:
b
a
= n
1
=⇒ c
b
=
c
a · n
1
= n
2
T¯ :
c
b
= n
2


Observe que
c
a
= n1 · n2 ≡ H¯2
�
2o) Em Ana´lise:
Se a ≤ b e b ≤ a enta˜o a = b.
H
1
: a ≤ b
⇒ T: a = b.
H2 : b ≤ a


H1 ∧ T¯ =⇒ H¯2
Prova: Suponha a ≤ b e a 6= b, enta˜o a < b. �
3o) Em Ana´lise:
Se n ∈ N, x ∈ R, e n < x < n+ 1, enta˜o x 6∈ N.
H
1
: x > n
⇒ T: x 6∈ N.
H
2
: x < n+ 1


25
H
1
∧ T¯ =⇒ H¯
2
Prova: Se x > n e x ∈ N enta˜o x ≥ n+ 1. �
4o) Em Teologia (Unicidade de Deus)
Suponhamos que existam dois Deuses D e D′:
H
1
: D e´ Deus
⇒ T: D = D′
H
2
: D′ e´ Deus


Prova: H
1
∧ T¯ : Suponhamos que D e´ Deus e que D 6= D′. Enta˜o existe
algum atributo em D na˜o partilhado por D′, por conseguinte D′ na˜o e´
Deus, o que contraria H
2
. �
Corola´rio 1. Jesus Cristo na˜o e´ Deus.
Sugesta˜o: Quando voceˆ estudante encontrar-se frente a um teorema
tipo
H
1
∧H
2
=⇒ T
e, apo´s bater o desespero (ou antes mesmo), tente demonstrar o equivalente
H
1
∧ T¯ =⇒ H¯
2
(T-5) O seguinte teorema na˜o e´ raro em matema´tica:
H
1
⇐⇒ (H
2
=⇒ T )
E´ um teorema, tipo “se e somente se”, isto e´
H1 =⇒
(
H2 =⇒ T
)
H
1
⇐= (H
2
=⇒ T )
Enta˜o
(i) H
1
=⇒ (H
2
=⇒ T )
Observemos que a tese do teorema acima e´ um outro teorema. Isto sig-
nifica que assumindo H1 devemos demonstrar H2 =⇒ T . Isto e´, devemos
mostrar que H
2
acarreta T . Ainda,
H
1
∧H
2
=⇒ T
Esta conclusa˜o pode ser provada assim:
H
1
−→ (H
2
−→ T ) = H¯
1
∨ (H
2
−→ T )
= H¯
1
∨ (H¯
2
∨ T )
= (H
1
∧H
2
) ∨ T
= H
1
∧H
2
−→ T.
Portanto subsiste a seguinte equivaleˆncia
H
1
=⇒ (H
2
=⇒ T ) ⇐⇒ (H
1
∧H
2
=⇒ T )
26
(ii)
(
H2 =⇒ T
)
=⇒ H1
Consideremos a contrapositiva: H¯
1
=⇒ (H
2
=⇒ T ). Enta˜o,
H¯1 −→
(
H2 −→ T
)
= H¯1 −→
(
H¯2 ∨ T
)
= H¯
1
−→ H
2
∧ T¯
Portanto subsiste a seguinte equivaleˆncia(
(H
2
=⇒ T ) =⇒ H
1
)⇐⇒ (H¯
1
=⇒ H
2
∧ T¯ )
(T-6) Teorema com hipo´tese composta (∨)
Se a hipo´tese de um teorema e´ formada pela disjunc¸a˜o de duas outras,
e´ va´lida a seguinte equivaleˆncia(
H
1
∨H
2
)
=⇒ T ⇐⇒ (H
1
=⇒ T ) ∧ (H
2
=⇒ T )
Prova: Provemos a seguinte equivaleˆncia
p ∨ q −→ r ⇐⇒ (p −→ r ) ∧ (q −→ r )
De fato,
p ∨ q −→ r = (p ∨ q) ∨ r
= (p¯ ∧ q¯) ∨ r
=
(
p¯ ∨ r) ∧ (q¯ ∨ r)
=
(
p −→ r ) ∧ (q −→ r )
�
(T-7) Teorema com tese composta (∨)
Se a tese de um teorema e´ formada pela disjunc¸a˜o de duas outras, e´
va´lida a seguinte equivaleˆncia
H =⇒ (T
1
∨ T
2
) ⇐⇒ (H ∧ T¯
1
=⇒ T
2
)
Prova: Provemos a seguinte equivaleˆncia
p −→ ( q ∨ r ) ⇐⇒ ( p ∧ q¯ ) −→ r
De fato,
p −→ ( q ∨ r ) = p¯ ∨ ( q ∨ r )
= ( p¯ ∨ q ) ∨ r
= ( p ∧ q¯ ) ∨ r
= ( p ∧ q¯ ) −→ r
�
27
Vejamos um exemplo de aplicac¸a˜o desta te´cnica em espac¸os vetorias.
Proposic¸a˜o: Uma igualdade λu = 0, com λ ∈ R e u ∈ V , so´ e´ poss´ıvel se
λ = 0 ou u = 0.
Prova: Inicialmente vamos reescrever a proposic¸a˜o da seguinte forma:
H : λu = 0 ⇒


T
1
: λ = 0
ou
T
2
: u = 0
Temos,
H ∧ T¯
1
: λu = 0 e λ 6= 0.
Sendo assim existe o nu´mero real λ−1, multiplicando λu = 0 por λ−1, obtemos
λ−1 (λu ) = λ−1 0 ⇒ (λ−1 · λ )u = 0 ⇒ 1 u = 0 ⇒ u = 0
�
Resumo das Te´cnicas de Demonstrac¸~oes
( T-1 ) H ⇒ T ⇐⇒ T¯ ⇒ H¯
( T-2 ) H ⇒ T ⇐⇒ (H ∧ T¯ )⇒ T
( T-3 ) H ⇒ T ⇐⇒ (H ∧ T¯ )⇒ f (f =absurdo)
( T-4 )
(
H
1
∧H
2
)⇒ T ⇐⇒ (H
1
∧ T¯ )⇒ H¯
2
G
e
n
t
i
l
( T-5 ) H
1
⇐⇒ (H
2
⇒ T )
{
H
1
=⇒ (H
2
⇒ T ) ⇐⇒ (H
1
∧H
2
⇒ T )
H
1
⇐= (H
2
⇒ T ) ⇐⇒ ( H¯
1
⇒ H
2
∧ T¯ )
( T-6 )
(
H1 ∨H2
)⇒ T ⇐⇒ (H1 ⇒ T ) ∧ (H2 ⇒ T )
( T-7 ) H ⇒ (T
1
∨ T
2
) ⇐⇒ (H ∧ T¯
1
)⇒ T
2
( T-8 ) H ⇒ T ⇐⇒ (H ∧ T¯ )⇒ H¯
28
Dois outros recursos u´teis para a formulac¸a˜o de definic¸o˜es em matema´tica
sa˜o dados a seguir.
1.1.3 Func¸o˜es Proposicionais/Quantificadores
Consideremos as proposic¸o˜es:
p : x+ 6 < 10, V ( p ) =?
q : 2 + 6 < 10, V ( q ) = 1
A proposic¸a˜o q, como se veˆ, e´ verdadeira, ao passo que nada podemos afirmar
sobre o valor lo´gico de p : V (p) =?; que somente sera´ conhecido quando x
for substituido por um nu´mero bem determinado. Neste caso, dizemos que a
proposic¸a˜o p e´ uma func¸a˜o proposicional ( f.p. ) ou ainda, uma sentenc¸a aberta.
Na func¸a˜o proposicional
p(x) : x+ 6 < 10
o s´ımbolo x e´ chamado de varia´vel.
Chamamos conjunto universo da varia´vel ao conjunto das possibilidades que
podem substituir a varia´vel na sentenc¸a. Denotaremos este conjunto por U.
Cada elemeto de U chama-se valor da varia´vel. Algumas vezes o conjunto uni-
verso U e´ imposto pelo contexto e outras vezes pode ser escolhido livremente
pelo agente de estudo em questa˜o.
Exemplos:
1o) Consideremos a func¸a˜o proposicional p dada por
p(x) : x+ 6 < 10
Podemos escolher para o conjunto dos valores da varia´vel, por exemplo, um dos
seguintes conjuntos:
N, Z, Q, R ou {0, 2, 4, 6, . . .}
2o) Consideremos a func¸a˜o proposicional p dada por
p(x) : 1 ≤ x
2 − 1
x+ 1
< 3
Neste caso ainda temos uma certa liberdade na escolha do conjunto universo
U, sendo que em qualquer escolha na˜o deve constar o nu´mero x = −1. Por
exemplo, duas escolhas poss´ıveis sa˜o U = N e U = Z− {−1}.
Conjunto-verdade (da sentenc¸a aberta) e´ o conjunto dos valores da varia´vel
para os quais a sentenc¸a torna-se verdadeira. Denotaremos este conjunto por
V:
V =
{
x ∈ U : V (p(x)) = V }
Quantificador universal
Usaremos o s´ımbolo “ ∀ ” , chamado quantificador universal, para exprimir o
fato de que “para todo x em um dado conjunto, a proposic¸a˜o p(x) e´ verdadeira”.
Uma proposic¸a˜o do tipo “Para todo x; p(x)” e´ simbolicamente escrita como:
∀x ; p(x).
29
Quantificador existencial
No caso de proposic¸o˜es que envolvem expresso˜es do tipo “Existe”, “Ha´ pelo
menos um”, “para ao menos um” e “Algum”, usaremos o s´ımbolo “ ∃ ”, chamado
quantificador existencial, para exprimir o fato de que para pelo ao menos um
elemento de um dado conjunto a proposic¸a˜o p(x) e´ verdadeira. Uma proposic¸a˜o
do tipo “Existe x tal que p(x)” pode ser escrita simbolicamente como: ∃x ; p(x).
Valores lo´gicos de sentenc¸as quantificadas
A sentenc¸a ∀x ; p(x) e´ verdadeira se, e somente se, o conjunto-verdade de
p(x) e o conjunto universo forem iguais, isto e´, V = U (ou se, substituindo de x
por cada um dos elementos u do conjunto universo, p(u) e´ verdadeira) e, falsa
quando V 6= U.
Na tabela a seguir damos alguns exemplos do que acabamos de definir:
∀ x ; p(x) U V V (∀ x ; p(x))
∀ x ; x2−4=0
∀ x ; x2−4=0
∀ x ; x≤ 0
∀ x ; x≤ 0
∀ x ;
√
x2=x
∀ x ;
√
x2=|x|
∀ x ; x2−1x+1 =x−1
∀ x ; x2−1x+1 =x−1
{−2, 2 }
{−2, 0, 2 }
Z
Z−
R
R
R−{−1}
N
{−2, 2 }
{−2, 2 }
Z−
Z−
R+
R
R−{−1}
N
V
F
F
V
F
V
V
V
A sentenc¸a ∃x ; p(x) e´ verdadeira se, e somente se, o conjunto-verdade
de p(x) e´ na˜o-vazio, ou seja, V 6= ∅ e, falsa quando V = ∅.
Na tabela a seguir damos alguns exemplos do que acabamos dedefinir:
∃ x ; p(x) U V V (∃ x ; p(x))
∃ x ; x2−4=0
∃ x ; x2+1=0
∃ x ; x2+1=0
∃ x ; x< 0
∃ x ; (−1)·x 6=−x
∃ x ;
√
x2 6=x
∃ x ; |x|=x
∃ x ; |x|=−x
{−2, 3 }
R
C
C
R
R
{−1,−2}
{−1, 2}
{−2 }
∅
{−i, i }
∅
∅
R
−
∗
∅
{−1}
V
F
V
F
F
V
F
V
Negac¸a˜o de sentenc¸as quantificadas
Ja´ tivemos oportunidade de assinalar a diferenc¸a entre a atividade matema´-
tica (engenhosidade) e a atividade algoritmica (mecaˆnica); pois bem, para fazer-
se matema´tica (isto e´ demonstrac¸o˜es) o que ha´ de mais importante sa˜o as
30
definic¸o˜es e, juntamente com estas, suas negac¸o˜es; da´ı a importaˆncia da negac¸a˜o
de sentenc¸as quantificadas.
Proposic¸a˜o 3 (Negac¸a˜o de ∀x ; p(x)). A seguinte equivaleˆncia e´ va´lida:
∀x ; p(x) ⇐⇒ ∃x ; p(x) (1.1)
Prova: Mostraremos que as proposic¸o˜es ∀x ; p(x) e ∃x ; p(x) sa˜o equiva-
lentes mostrando que elas concordam em seus valores lo´gicos, isto e´,
V
(
∀x ; p(x)
)
= V
(
∃x ; p(x)
)
De fato, suponha que ∀x ; p(x) e´ verdadeira. Enta˜o, ∀x ; p(x) e´ falsa e, deste
modo, existe u ∈ U de modo que
p(u) e´ falsa.
Enta˜o, para este elemento
p(u) e´ verdadeira.
Sendo assim,
∃x ; p(x) e´ verdadeira.
Suponha agora que ∀x ; p(x) e´ falsa. Enta˜o, ∀x; p(x) e´ verdadeira e, deste
modo, para todo u ∈ U, tem-se
p(u) e´ verdadeira.
Enta˜o, para todo u ∈ U, tem-se
p(u) e´ falsa.
Sendo assim,
∃x ; p(x) e´ falsa.
�
Um importante corola´rio e´ o que vem dado a seguir:
Corola´rio 2. A seguinte equivaleˆncia e´ va´lida:
∀x ; p(x) −→ q(x) ⇐⇒ ∃x ; p(x) ∧ q(x)
Prova: De fato,
∀x ; p −→ q = ∃x ; p −→ q = ∃x ; p ∨ q = ∃x ; p ∧ q.
�
Deixamos como exerc´ıcio a prova da
Proposic¸a˜o 4 (Negac¸a˜o de ∃x ; p(x)). A seguinte equivaleˆncia e´ va´lida:
∃x ; p(x) ⇐⇒ ∀x ; p(x) (1.2)
31
Valores lo´gicos de sentenc¸as quantificadas de duas varia´veis
Seja p(x, y) uma sentenc¸a aberta (ou func¸a˜o proposicional) com duas varia´veis.
Inicialmente observamos que, na˜o necessa´riamente, as varia´veis envolvidas teˆm
o mesmo conjunto universo. Na “pra´tica” e´ frequ¨ente que estes conjuntos sejam
distintos. Assim e´ que os denotaremos por: Ux e Uy.
Por exemplo, para a sentenc¸a
p(x, y) :
x2 − 1
x+ 1
+
y2 − 1
y − 1 < 0
os respectivos conjuntos universos sa˜o necessa´riamente distintos, podendo ser,
por exemplo:
Ux = R− {−1} e Uy = R− {1}.
Obs: Quando em um dado contexto citarmos apenas um conjunto universo,
significa que este e´ o mesmo para as duas varia´veis, isto e´, Ux = Uy.
a) A sentenc¸a ∀x ∀ y ; p(x, y). A sentenc¸a
∀x ∀ y ; p(x, y)
e´ verdadeira se, e somente se, para toda substituic¸a˜o de x por elementos a de
Ux e y por elementos b de Uy,
p(a, b) e´ verdadeira.
Exemplo: A sentenc¸a
∀x ∀ y ; x · y = y · x,
e´ verdadeira com os conjuntos universo Ux = N e Uy = Z; mas na˜o com os
conjuntos universo Ux = M2(N)= conjunto das matrizes quadradas de ordem
2, com elementos naturais e Uy = M2(Z)= conjunto das matrizes quadradas de
ordem 2, com elementos inteiros. Por exemplo, para
x =
[
1 0
0 2
]
, y =
[
0 −1
1 0
]
,
temos x · y 6= y · x.
Exemplo: A sentenc¸a
∀x ∀ y ; x2 < y,
com os conjuntos universo Ux = {−1, 0, 1} e Uy = { 1, 2} e´ falsa, porquanto
substituindo x por −1 e y por 1, a sentenc¸a (−1)2 < 1 resulta falsa.
b) A sentenc¸a ∃x ∃ y ; p(x, y). A sentenc¸a
∃x ∃ y ; p(x, y)
e´ verdadeira se, e somente se,
p(a, b) e´ verdadeira.
para alguma substituic¸a˜o de x por um elemento a de Ux e y por um elemento
b de Uy.
Exemplo: A sentenc¸a
∃x ∃ y ; x · y = y · x,
e´ verdadeira com os conjuntos universo Ux = M2(N) e Uy = M2(Z). Por
exemplo
x =
[
1 0
0 1
]
, y =
[
0 −1
1 0
]
,
32
sa˜o tais que x · y = y · x.
Exemplo: A sentenc¸a
∃x ∃ y ; x2 < y,
com o conjunto universo {−1, 0, 1} e´ verdadeira, porquanto substituindo x por
0 e y por 1, a sentenc¸a 02 < 1 resulta verdadeira.
Exemplo: A sentenc¸a
∃x ∃ y ; x
y
=
√
2,
com o conjunto universo Z e´ falsa.
c) A sentenc¸a ∀x ∃ y ; p(x, y). A sentenc¸a
∀x ∃ y ; p(x, y)
e´ verdadeira se, e somente se, para toda substituic¸a˜o de x por elementos a de
Ux, a sentenc¸a (de uma u´nica varia´vel)
∃ y ; p(a, y) e´ verdadeira.
Exemplo: A sentenc¸a
∀x ∃ y ; x+ y = 0
e´ verdadeira com o conjunto universo {−1, 0, 1}, porquanto
∃ y; −1 + y = 0 (V ; y = 1 )
∃ y; 0 + y = 0 (V ; y = 0 )
∃ y; 1 + y = 0 (V ; y = −1 )
Exemplo: A sentenc¸a
∀x ∃ y ; y < x
e´ falsa com o conjunto universo { 0, 1, 2}. Note que:
∃ y; y < 2 (V ; y = 0, ou 1 )
∃ y; y < 1 (V ; y = 0 )
∃ y; y < 0 (F ; V = ∅ )
d) A sentenc¸a ∃ y ∀x ; p(x, y). A sentenc¸a
∃ y ∀x ; p(x, y)
e´ verdadeira se, e somente se, a sentenc¸a (de uma u´nica varia´vel)
∀x ; p(x, b)
e´ verdadeira para alguma substituic¸a˜o de y por um elemento b do conjunto
universo Uy.
Exemplo: A sentenc¸a
∃ y ∀x ; |x|+ |y| = 1
e´ verdadeira com os conjuntos universo Uy = {−1, 0, 1} e Ux = {−i, i, −1, 1},
porquanto a sentenc¸a
∀x ; |x|+ |0| = 1
e´ verdadeira.
Exemplo: A sentenc¸a
33
∃ y ∀x ; y > x
e´ falsa com o conjunto universo {−1, 0, 1}, porquanto cada uma das sentenc¸as
∀x; −1 > x
∀x; 0 > x
∀x; 1 > x
e´ falsa.
Exemplo: A sentenc¸a
∃ y ∀x ; y ≥ x
e´ verdadeira com o conjunto universo {−1, 0, 1}. Note que:
∀x; −1 ≥ x (F ; x = 0, ou 1)
∀x; 0 ≥ x (F ; x = 1 )
∀x; 1 ≥ x (V ; y = 1 )
Negac¸a˜o de sentenc¸as quantificadas de duas varia´veis
Observe que, por definic¸a˜o,
∀x ∃ y ; p(x, y) = ∀x ; ( ∃ y ; p(x, y) )
Por conseguinte,
∀x ∃ y ; p(x, y) = ∀x ; ( ∃ y ; p(x, y) )
= ∃x ; ( ∃ y ; p(x, y) )
= ∃x∀ y ; p(x, y)
Isto e´,
∀x ∃ y ; p(x, y) = ∃x∀ y ; p(x, y)
Similarmente,
∃x ∀ y ; p(x, y) = ∃x ; ( ∀ y ; p(x, y) )
Por conseguinte,
∃x ∀ y ; p(x, y) = ∃x ; ( ∀ y ; p(x, y) )
= ∀x ; ( ∀ y ; p(x, y) )
= ∀x∃ y ; p(x, y)
Isto e´,
∃x ∀ y ; p(x, y) = ∀x∃ y ; p(x, y)
34
1.2 Conjuntos, Func¸o˜es e Famı´lia de conjuntos
O objetivo desta sec¸a˜o sera´ um breve resumo de func¸o˜es e famı´lia de conjun-
tos para futuras refereˆncias.
Conjunto, Elementos
O conceito de conjunto comparece em todos os ramos da Matema´tica. In-
tuitivamente, um conjuto e´ qualquer colec¸a˜o bem definida de objetos.
Os conjuntos sa˜o designados por letras latinas maiu´sculas:
A, B, C, . . . , X, Y, Z.
Os objetos que constituem um conjunto chamam-se elementos do conjunto e
sera˜o designados por letras latinas minu´sculas:
a, b, c, . . . , x, y, z.
A afirmac¸a˜o “p e´ elemento de A” ou, de modo equivalente, “p pertence a
A”, escreve-se
p ∈ A
A negac¸a˜o de p ∈ A escreve-se p 6∈ A.
Sa˜o duas as principais maneiras de se especificar - descrever - um dado con-
junto. A primeira consiste em enumerar (evidentemente quando isto e´ poss´ıvel)
seus elementos entre chaves e separados por v´ırgula. Por exemplo,
A = {1, 2, 3, 4, 5}
A segunda consiste em dar (sem ambigu¨idade) uma propriedade - proposic¸a˜o -
caracterizando todos os seus elementos. Por exemplo,
B = {x : x e´ uma vogal}
(leˆ-se: “B e´ o conjunto dos elementos x tais que x e´ uma vogal.”)
Como mais um exemplo,
C = {x : x e´ um nu´mero natural par}
Subconjuntos
Um conjunto A e´ dito subconjunto de B, escrevendo-se
A ⊂ B ou B ⊃ A
se, e somente se, todo elemento de A e´ tambe´m elemento de B. Em S´ımbolos,
A ⊂ B ⇐⇒ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B.
Nota: A 6⊂ B quando existe um elemento em A que na˜o pertence a B.
Por exemplo, consideremos os conjuntos
A = {1, 3, 5, 7, . . .}, B = {2, 3, 5, 7, . . .}
C = {4n− 1: n ∈ N} = {3, 7, 11, . . .}
35
Willian Verçosa
Nota
Temos C ⊂ A, porquanto todo elemento de C e´ um nu´mero ı´mpar; por outro
lado B 6⊂ A, porquanto 2 ∈ B e 2 6∈ A.
Observe que, segundo a definic¸a˜o de subconjunto, o conjunto dos nu´meros
reais na˜o e´ subconjunto do conjunto dos nu´meros complexos. Isto e´,R 6⊂ C.
Isto porque os elementos de C sa˜o pares ordenados de nu´meros reais. De outro
modo: os elementos destes conjuntos sa˜o de naturezas distintas. Por exemplo,
(1, 3), (−1, 2), (3, 0) ∈ C;√
2, 3, π ∈ R.
Reiteramos: Na˜o ha´ um u´nico nu´mero real que tambe´m seja um nu´mero com-
plexo.
Igualdade de Conjuntos
Definic¸a˜o 3. Dois conjuntos A e B sa˜o iguais se, e somente se,
A ⊂ B e B ⊂ A.
Das definic¸o˜es dadas ate´ aqui decorre o seguinte
Teorema 1. Se A, B e C sa˜o conjuntos quaisquer, enta˜o
(i) A ⊂ A;
(ii) se A ⊂ B e B ⊂ A =⇒ A = B;
(iii) se A ⊂ B e B ⊂ C =⇒ A ⊂ C.
Importante!
Uma observac¸a˜o importante − e oportuna −: quando devemos mostrar que
dois conjuntos A e B sa˜o iguais, esta prova deve ser feita em duas etapas:
primeiro provamos que A ⊂ B e, para isto, devemos tomar um elemento ar-
bitra´rio em A e mostrar que este elemento tambe´m esta´ em B; segundo, prova-
mos que B ⊂ A, desta vez tomamos um elemento arbitra´rio de B e mostramos
que este elemento tambe´m esta´ em A.
Conjunto Vazio e Conjunto Universo
Para que possamos criar uma “a´lgebra” de conjuntos - o que faremos logo
mais - e´ conveniente introduzir o conceito de conjunto vazio, como sendo
o conjunto desprovido de qualquer elemento. Este conjunto e´ denotado pelo
s´ımbolo ∅.
Em toda aplicac¸a˜o da Teoria dos Conjuntos, todos os elementos e subcon-
juntos em considerac¸a˜o esta˜o em um conjunto fixo. Este conjunto fixo chama-se
conjunto universo, e designa´-lo-emos pela letra U .
Amiude, a soluc¸a˜o de um problema depende do conjunto universo fixado.
Por exemplo, para conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o 3x = 2, temos:
Se U = N ⇒ S = ∅
Se U = Z ⇒ S = ∅
Se U = Q ⇒ S = {2/3}
Se U = R ⇒ S = {2/3}
36
Para conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o 2x3 − x2 + 2x− 1 = 0, temos:
Se U = N ⇒ S = ∅
Se U = Z ⇒ S = ∅
Se U = Q ⇒ S = {1/2}
Se U = R ⇒ S = {1/2}
Se U = C ⇒ S = {− i, i, 1/2}
Operac¸o˜es com conjuntos
Introduziremos agora alguns me´todos de construc¸a˜o de novos conjuntos, a
partir de conjuntos dados.
Definic¸a˜o 4 (Unia˜o). Sejam A e B subconjuntos de um dado conjunto U . A
unia˜o de A com B e´ o subconjunto de U , indicado por A∪B, assim determinado:
A ∪B = {x ∈ U : x ∈ A ou x ∈ B}
A operac¸a˜o de unia˜o goza das seguintes propriedades:
N A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪C (associativa)
N A ∪B = B ∪A (comutativa)
N A ∪ ∅ = A (elemento neutro)
N A ∪ U = U (Identidade)
N A ∪A = A (Idempoteˆncia)
Definic¸a˜o 5 (Intersecc¸a˜o). Sejam A e B subconjuntos de um dado conjunto U .
A intersecc¸a˜o de A com B e´ o subconjunto de U , indicado por A ∩ B, assim
determinado:
A ∩B = {x ∈ U : x ∈ A e x ∈ B}
A operac¸a˜o de intersecc¸a˜o goza das seguintes propriedades:
N A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C (associativa)
N A ∩B = B ∩A (comutativa)
N A ∩ ∅ = ∅ (absorc¸a˜o)
N A ∩ U = A (Identidade)
N A ∩A = A (Idempoteˆncia)
As operac¸o˜es de unia˜o e intersecc¸a˜o esta˜o relacionadas atrave´s das pro-
priedades distributivas:
N A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩C)
N A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪C)
Definic¸a˜o 6 (Complementac¸a˜o). Para cada subconjunto A ⊂ U , indica-se por
∁
A
U e chama-se complementar de A em relac¸a˜o a U , o seguinte subconjunto
de U :
∁
A
U =
{
x ∈ U : x 6∈ A}
Nota: Quando, em um determinado contexto, o conjunto U estiver fixado,
a notac¸a˜o ∁
A
U sera´ simplificada para A
c.
37
Definic¸a˜o 7 (Diferenc¸a). Sejam A e B subconjuntos de um dado conjunto U .
A diferenc¸a entre A e B e´ o subconjunto de U , indicado por A − B, assim
determinado:
A−B = {x ∈ U : x ∈ A e x 6∈ B}
E´ fa´cil comprovar a seguinte identidade
A−B = A ∩Bc
A seguir relacionamos algumas propriedades envolvendo as operac¸o˜es de com-
plementac¸a˜o e diferenc¸a (para subconjuntos de um dado conjunto U):
N ∅c = U e U c = ∅
N
(
Ac
)c
= A
N A ∩Ac = ∅ e A ∪Ac = U
N
(
A ∪B)c = Ac ∩Bc ; (A ∩B)c = Ac ∪Bc
N A ∩ (B − C) = (A ∩B)− (A ∩ C)
N Se A ⊂ B, enta˜o ∁AB = Ac ∩B.
Proposic¸a˜o 5. Os conjuntos A ∩B e A−B sa˜o disjuntos e
A = (A ∩B) ∪ (A−B)
Prova: Suponhamos que exista x ∈ A ∩ B e x ∈ A − B. A primeira asserc¸a˜o
nos diz que x ∈ A e x ∈ B, o que contradiz a segunda. Logo, os conjuntos sa˜o
disjuntos.
(⊂) Inicialmente mostremos que (ver Importante, pg. 36)
A ⊂ (A ∩B) ∪ (A−B)
De fato, Seja x ∈ A, enta˜o ou x ∈ B ou x 6∈ B. No primeiro caso, x ∈ A e
x ∈ B sendo assim x ∈ A ∩ B. No segundo caso, x ∈ A e x 6∈ B sendo assim
x ∈ A−B. Em qualquer dos casos temos nossa tese comprovada.
(⊂) Resta mostrar que
(A ∩B) ∪ (A−B) ⊂ A
De fato, seja y ∈ (A ∩B) ∪ (A−B), enta˜o ou y ∈ A ∩B ou y ∈ A−B. Em
qualquer dos casos temos nossa tese comprovada. �
Proposic¸a˜o 6. Se A, B e C sa˜o conjuntos quaisquer, enta˜o
A− (B ∩ C) = (A−B) ∪ (A− C)
A− (B ∪ C) = (A−B) ∩ (A− C)
Prova: Provaremos a primeira identidade, deixando a segunda como exerc´ıcio.
(⊂) Inicialmente mostremos que
A− (B ∩ C) ⊂ (A−B) ∪ (A− C)
38
De fato, seja x ∈ A− (B ∩C), enta˜o x ∈ A e x 6∈ B ∩C; logo x ∈ A e x 6∈ B
ou x 6∈ C, por conseguinte x ∈ A − B ou x ∈ A − C. Em qualquer dos casos
temos nossa tese comprovada.
(⊂) Resta mostrar que
(A−B) ∪ (A− C) ⊂ A− (B ∩ C)
De fato, seja y ∈ (A − B) ∪ (A − C), enta˜o ou y ∈ A − B ou y ∈ A − C.
Sendo assim y ∈ A e y 6∈ B ou y ∈ A e y 6∈ C; logo y ∈ A e y 6∈ B ∩ C, do que
decorre nossa tese. �
Produto Cartesiano de Conjuntos
Daremos agora mais um me´todo de construc¸a˜o de conjuntos, a partir de
conjuntos dados: O produto cartesiano∗.
Definic¸a˜o 8 (Produto Cartesiano). Sejam A e B dois conjuntos na˜o vazios. O
produto (cartesiano) de A e B, denotado por A × B, e´ o conjunto de todos os
pares ordenados (a, b), com a ∈ A e b ∈ B, isto e´:
A×B = { (a, b) : a ∈ A e b ∈ B }
Nota: Esta definic¸a˜o e´ um tanto informal, ja´ que na˜o definimos a priori o
que vem a ser um “par ordenado”. A propriedade fundamental destes entes e´ a
que segue:
(a, b) = (c, d) ⇐⇒ a = c e b = d.
O produto de um conjunto A por si pro´prio, isto e´, A×A, representa-se por
A2. Por exemplo,
R× R = R2 = { (a, b) : a ∈ R e b ∈ R}
R
R
(0,0)
r(a,b)
a
b
-
6
O produto de treˆs conjuntos A, B e C - na˜o vazios - se define como
A×B × C = (A×B)× C
=
{
(a, b, c) : a ∈ A, b ∈ B e c ∈ C }
O produto de n conjuntos A
1
, A
2
, . . . , A
n
e´ definido, por induc¸a˜o, como
segue:
A
1
×A
2
× · · · ×A
n
=
(
A
1
×A
2
× · · · ×A
n−1
)×A
n
=
{
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) : x
1
∈ A
1
, . . . , x
n
∈ A
n
}
∗Rene´ Descartes (1596 − 1650), criador da geometria anal´ıtica, foi um nobre franceˆs, sol-
dado, matema´tico, e um dos maiores filo´sofos de todos os tempos.
39
Sejam E1 , E2 , . . . , En conjuntos quaisquer. Para cada ı´ndice i (1 ≤ i ≤ n)
sejam A
i
e B
i
subconjuntos quaisquer de E
i
. Colocamos, por definic¸a˜o:
A
1
×A
2
× · · · ×A
n
= ∅ ⇐⇒ ∃ i ∈ {1, 2, . . . , n} : A
i
= ∅.
Se A
i
6= ∅ (i = 1, 2, . . . , n), deixamos como exerc´ıcio ao leitor mostrar que
(i) A
1
× · · · ×A
n
⊂ B
1
× . . .×B
n
⇐⇒ A
1
⊂ B
1
, . . . , A
n
⊂ B
n
.
(ii)
(
A1 × · · · ×An
) ∩ (B1 × . . .×Bn) = (A1 ∩B1)× · · · × (An ∩Bn).
Func¸o˜es/Aplicac¸o˜es/Transformac¸o˜es
O conceito de func¸a˜o e´ de fundamental importaˆncia uma vez que comparece -
impl´ıcita ou expl´ıcitamente - em todos os ramos da cieˆncia. Pra´ticamente todas
as equac¸o˜es alge´bricas que comparecem na F´ısica, Biologia, Qu´ımica, Economia,
Eletricidade, etc.; podem ser estudadas dentro do contexto de func¸o˜es. Por
exemplo:
1. Na F´ısica
(i) PV = NRT
(ii) S = S
0
+ v
0
t+ 12 t
2
(iii) m =
m
0r
1−
(
v
c
)2
(iv) E = mc2
2. Na Eletricidade
(i) R = ρ
ℓ
πr2
(ii) f
0
=
1
2π
√
LC
3. Em Comunicac¸a˜o
f(t) =


0, t < 0;
A
(
1− e−t/RC) , 0 < t < τ ;
A
(
1− e−τ/RC) e−(t−τ)/RC