Cálculo 2

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O Cálculo pode ser dividido em duas partes: uma relacionada às derivadas ou Cálculo Diferencial e outra parte relacionada às integrais, ou Cálculo Integral. 
Integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral definida para as funções de duas variáveis. Serão utilizadas para analisar diversas situações envolvendo cálculo de áreas e volumes, determinação de grandezas físicas e outros. 
Exemplo 1:
g(x)= x + 6
f(x)= x2 –x + 6
Calcular a área limitada pelas funções acima:
1) Igualar as duas equações e encontrar os pontos de intersecção:
x +6 = x2 –x + 6 ---) x2 - x - x + 6 – 6 = 0 ---) x2 -2x = 0
x2 -2x = 0 --) x( x -2) = 0 --) X=0 X=2
2) Substituir esses valores nas equações, para obter as coordenadas xy:
g(x)= x + 6 = g(0) = 6 pontos (0,6)
f(x)= x2 –x + 6 = f(2) = 8 pontos (2,8)
3) Montar o gráfico começando pela reta que cruza os pontos, e depois fazendo uma parábola que terá como intersecção os pontos (0,6) e (2,8).
4) Há dois modos de resolver por integral, por integral definida simples ou dupla.
a) Por integral definida simples: Limite de 0 até 2 com f(x) – g(x) (Equação da parábola menos equação da reta) 
b)Por integral dupla definida: Limite de 0 até 2 e g(x) até f(x) 
Obs: o plano Z fica com o valor 1 --) 1 dydx ou somente dydx pois as funções estão nos limites.
c) Se inverter sem querer algum deles a resposta fica igual, apenas fica negativa ex: 
 Se montar dessa forma a resposta fica assim 
Ou se inverter essa:
 Se montar dessa forma a resposta fica assim
Exemplo 2:
Como calcular a área de um quadrado ou retângulo:
Eixo X temos que x=1 e x=4
Eixo Y temos que y=2
Montando as equações com base no gráfico:
x=1 x-1 
x=4 x-4
Com o eixo Y trabalharemos numericamente:
Sendo que y=2 Ele vai de 0 até 2
Logo:
 
 0 - (-6) 6
Exemplo 3:
Como calcular a área de círculo:
16 é sempre o valor do raio elevado ao quadrado: 
É necessário isolar o y, fica assim: 
Essa equação corresponde à parte superior do círculo a parte inferior corresponde a mesma equação, mas com sinal negativo: 
Então há várias formas de montar a equação:
Se usarmos o intervalo de 0 até 4 estaremos calculando apenas o primeiro quadrante, sendo necessário multiplicar por 4.
 
Se usarmos o intervalo de -4 até 4 estaremos calculando toda a parte superior, sendo necessário multiplicar por 2.
Exemplo 4:
Como calcular a área de um quadrado ou retângulo:
Calcular a área da região D delimitada por .
Isolar x: 
Localizar os pontos de intersecção: (2,1) e (5,-2), queremos os pontos em y , pois na equação isolamos o x.
OBS: Somente no “1º quadrante” ou primeiro octante, então se divide o plano Z por 4.
Raio = 4 então os limites são de -4 até 4
Isolando Z é dividido por 4 porque ele está somente no primeiro octante.
Isolando Y 
Unidades de Volume