PROVA ON LINE AV1 PAULO NOV 2016.doc RESOLUÇÃO DE CÁLCULO II

Prévia do material em texto

Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com 
 
AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 1 
 
PROVA AV1 – ESTÁCIO EAD – ENGENHARIA CIVIL 
 1a Questão (Ref.: 175126) Pontos: 1,0 / 1,0 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por 
r(t) = t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
 3t2 i + 2t j 
 0 
 - 3t2 i + 2t j 
 t2 i + 2 j 
 
 2t j 
Solução: 
 
 
 
         
3 2
2
22
r t t i t j t 1
Derivando :
dr
v t
dt
Assim :
v t 3t i 2t j
Susbtituindo t 1:
v t 3t i 2t j v 1 3 1 i v 1 3i 22 1 j j
  

 

      
 
COMENTÁRIO: Não tem alternativa correta, mas foi considerada certa a alternativa com a expressão 
da velocidade em função do tempo 
  2v t 3t i 2t j 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com 
 
AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 2 
 
 2a Questão (Ref.: 175096) Pontos: 0,0 / 1,0 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1 
 x=1+t ; y=2+5t 
 x= t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
Solução: 
   
        
 
 
 
r t 1 t, 2 5t, 1 6t
Sabemos que :
r t x t , y t , z t
Comparando :
x t 1 t
y t 2 5t
z t 1 6t
    

  

 

  
 
COMENTÁRIO: Questão simples, apenas comparar as coordenadas do vetor dado. A curva descrita é 
uma reta no espaço 3 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com 
 
AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 3 
 
 3a Questão (Ref.: 52895) Pontos: 1,0 / 1,0 
Calcule o limite de: 
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y) 
 
 -12 
 5 
 - 11 
 11 
 12 
 
Solução: 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
2 3 3 2
x,y 1,2
2 3 3 2 2 3 3 2
x,y 1,2 x,y 1,2 x,y 1,2 x,y 1,2 x,y 1,2
2 3 3 2 2 3 3 2
x,y 1,2 x,y 1,2 x,y 1,2 x,y 1,2
lim x y x y 3x 2y
Sabemos que :
lim x y x y 3x 2y lim x y lim x y lim 3x lim 2y
Fazendo x 1e y 2 :
lim x y x y 3x 2y lim x y lim x y lim 3x

    
   
  
      
 
     
   
 
   
 
   
 
x,y 1,2
2 3 3 2 2 3 3 2
x,y 1,2
2 3 3 2
x,y 1,2
lim 2y
lim x y x y 3x 2y 1 2 1 2 3 1 2 2 1 8 1 4 3 1 2 2
lim x y x y 3x 2y 8 4




                  
     3 4 
   
 2 3 3 2
x,y 1,2
lim x y x y8 3x 2y 113 11

     
 
COMENTÁRIO: Questão simples relativa ao limite de uma função de duas variáveis. As regras 
estudadas no Cálculo de função de uma variável são aplicadas sem quaisquer alterações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com 
 
AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 4 
 
 4a Questão (Ref.: 51733) Pontos: 1,0 / 1,0 
Encontrando Primitivas. 
Seja ∫((cost)i + 3t2)j dt, 
qual a resposta correta? 
 
 (cost)i - sentj + 3tk 
 (sent)i + t³j 
 (cost)i + 3tj 
 (cost)i - 3tj 
 -(sent)i -3tj 
 
 
Solução: 
   
   
2 2
2
cos t i 3t j dt cos t idt 3 t jdt
Integrando :
cos t i 3t j dt sen t i 3
   
 
   
 
  

3t
3
      3 2 3cos t i 3tj c se j dt sen t i t jn t t c ci j    
 
   
 
COMENTÁRIO: Questão relativamente simples de integração de função vetorial; lembrando que as 
técnicas de integração das funções de uma variável são aplicadas às funções vetoriais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com 
 
AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 5 
 
 5a Questão (Ref.: 51703) Pontos: 1,0 / 1,0 
Encontrando Derivadas. 
Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk? 
 
 (sent - tcost)i + (sentcost)j - k 
 t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k 
 (tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k 
 (cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1 
 (cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k 
Solução: 
     
         
         
r t t cos t i tsen t j tk
Derivando :
Regra do Produto : f uv f' u'v v'u
r ' t co
r ' t cos t tsen t i sen t t c
s t sen t t i sen t cos t
os
t j
j k
k
t
       
   
            
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com 
 
AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 6 
 
 6a Questão (Ref.: 52316) Pontos: 1,0 / 1,0 
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela 
funções vetoriais: 
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k 
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
Podemos concluir que 
a) as aeronaves não colidem. 
 b) as aeronaves colidem no instante t=2 
c) as aeronaves colidem no instante t=5 
d) as aeronaves colidem no instante t=3 
e) as trajetórias não se interceptam 
 
 (b) 
 (e) 
 (d) 
 (c) 
 (a) 
 
Solução: 
         
         
 
 
 
2 2 2
1 2
2 2 2
1 2
2 2
2 2
2 2
r t 10i t j 8t 15 k e r t 7t t i 6t 5 j t k
Igualando as :
r t r t 10i t j 8t 15 k 7t t i 6t 5 j t k
Assim :
i : 10 7t t t 7t 10 0 1
j : t 6t 5 t 6t 5 0 2
k : 8t 15 t t 8t 15 0 3
        

         
     
     
     
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com 
 
AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 7 
 
 
 
 
2
22
1 1
2 2
Resolvendo aequação 1 :
t 7t 10 0
a 1 b 7 c 10
b 4ac 7 4 1 10 49 40 9 9
Assim :
7 3 4
t s s 2 s t 2 s7 9b 7 3 2 2t
2a 2 1 2 7 3 10
t s s 5 s t 5 s
2 2
  
   
            
 
          
    
      

 
 
 
 
2
22
1 1
2 2
Resolvendo aequação 2 :
t 6t 5 0
a 1 b 6 c 5
b 4ac 6 4 1 5 36 20 16 16
Assim :
6 4 2
t s s 1s t 1s6 16b 6 4 2 2t
2a 2 1 2 6 4 10
t s s 5 s t 5 s
2 2
  
   
            
 
          
    
      

 
 
 
 
2
22
1 1
2 2
Resolvendo aequação 3 :
t 8t 15 0
a 1 b 8 c 15
b 4ac 8 4 1 15 64 60 4 4
Assim :
8 2 6
t s s 3 s t 3 s8 4b 8 2 2 2t
2a 2 1 2 8 2 10
t s s 5 s t 5 s
2 2
  
   
            
 
          
    
      

 
Como houve um tempo comum às três equações, t = 5 s, concluímos que as aeronaves colidem neste 
instante. 
Comentário: Questão sem muitas dificuldades. Dá um pouco de trabalho para resolvê-la, porém, os 
cálculos envolvidos são elementares. 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone:(62) 3095-4964 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com 
 
AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 8 
 
 7a Questão (Ref.: 43927) Pontos: 0,0 / 1,0 
Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
 
 z=8x-12y+18 
 z=-8x+12y-18 
 z=8x - 10y -30 
 z=-8x+12y -14 
 z=-8x+10y-10 
Solução: 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
   
2 2
0 0 0 0
0 0 0
22
z f x,y 3xy 10x P 1, 2, 2
Equação do Plano Tangente à Superfície z f x,y :
f x ,y f x ,y
z z x x y y
x y
f 1,2 f 1,2
z 2 x 1 y 2
x y
Assim :
f x,y f 1,2 f 1,2
3y 20x 3 2 20 1 12 20 8 8
x x x
e
f x,y f 1,2
6xy 6
y y
  

 
    
 
 
    
 
  
             
  
 
  
 
 
 
 
 
         
f 1,2
1 2 12 12
y
Substituindo :
f 1,2 f 1,2
z 2 x 1 y 2 z 2 8 x 1 12 y 2
x y
Assim :
z 2 6x 8 12y 24 z 2 6x 12y 16 z 8x 12y 16 2 z 8x 12y 14

    

 
           
 
                       
Comentário: Questão simples de aplicação das derivadas parciais. 
 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com 
 
AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 9 
 
Seja r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k o vetor posição de uma partícula que se move 
ao longo de uma curva lisa no plano. 
Considere as afirmações. Assinale (V) para as verdadeiras e (F) para as 
falsas: 
1) ( ) Quando uma partícula se move durante um intervalo de tempo I, as 
coordenadas da partícula são x(t),y(t),z(t). Os 
pontos P(x(t),y(t),z(t)) formam uma curva que é a trajetória da partícula. 
 2) ( ) A velocidade é a derivada da posição,isto é: 
 v(t) =r'(t) = dr(t)dt 
3) ( ) O módulo da velocidade ou a magnitude da velocidade é igual a 
 |v(t)|= (dx(t)dt)2+(dy(t)dt)2+(dz(t)dt)2. 
4) ( ) A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja 
a(t) = v'(t)= dv(t)dt 
5) ( ) O vetor unitário ou versor v(t)|v(t)| é a direção do movimento no 
instante t. 
6) ( ) r(t)é lisa se for contínua e nunca 0. 
 
 1) (V) 2)(V) 3) (F) 4) (V) 5)(V) 6) (F) 
 1) (V) 2)(F) 3) (V) 4) (V) 5) (V) 6) (F) 
 1) (V) 2)(F) 3) (F) 4)(V) 5) (F) 6) (V) 
 1) (V) 2)(F) 3) (V) 4)(V) 5) (V) 6) (V) 
 1) (V) 2)(V) 3) (V) 4)(V) 5) (V) 6) (F) 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
1) ( V ) Quando uma partícula se move durante um intervalo de tempo I, as coordenadas da partícula 
são x(t),y(t),z(t). Os pontos P(x(t),y(t),z(t)) formam uma curva que é a trajetória da partícula. 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com 
 
AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 10 
 
2) (V) A velocidade é a derivada da posição, isto é: 
   
 dr t
v t r ' t
dt
 
 
3) (F) O módulo da velocidade ou a magnitude da velocidade é igual a 
 
 
     
2 2 2
dx t dy t dz t
v t
dt dt dt
     
       
     
     
 
       
 
     
 
     
2 2 2
Dado o vetor posição :
r t x t i y t j z t k
O vetor velocidade é :
dx t dy t dz t
v t i j k
dt dt dt
O módulo do vetor velocidade é dado por :
dx t dy t dz t
v t
dt dt dt
  
  
     
       
     
     
 
4) (V) A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja: 
   
 dv t
a t v ' t
dt
 
 
 
5) (V) O vetor unitário ou versor  
 
v t
v t
 é a direção do movimento no instante t. 
6) (F) 
 r t
 é lisa se for contínua e nunca 0. 
Comentário: O gabarito desta questão está errado 
 
 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com 
 
AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 11 
 
 9a Questão (Ref.: 54255) Pontos: 1,0 / 1,0 
Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da soma: 2
2
2
d x
x
dt
 
? 
 
 cos2(wt) 
 -wsen(wt) 
 0 
 w2sen(wt)cos(wt) 
 w2 
 
Solução: 
 
 
 
     
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2 2 2
2
d x
Se x cos t , então x ?
dt
Derivando :
dx
sen t
dt
Derivando :
d x
cos t
dt
Assim :
d x
x cos t x cos t cos t 0
dt
d x
x 0
dt
    
  
  
               
 
Comentário: Questão envolvendo derivação simples. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com 
 
AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 12 
 
 10a Questão (Ref.: 56428) Pontos: 0,0 / 1,0 
 Considere w=f(x, y, z) uma função de três variáveis que tem derivadas 
parciais contínuas 
w
x


, 
w
y


 e 
w
z


 em algum intervalo e x, y e z são 
funções de outra variável t. Então 
dw w dx w dy w dz
dt x dt y dt z dt
  
     
  
 
Diz-se que 
dw
dt
 é a derivada total de w com relação a t e representa a 
taxa de variação de w à medida que t varia. 
Supondo 
2 2 2 t t 2tw x 3y 5z onde x e , y e , z e     
, calcule 
dw
dt
, 
sendo t = 0. 
 
 20 
 12 
 10 
 8 
 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com 
 
AFONSO CARIOCA – WAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Página 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
           
2 2 2 t t 2t
t 0
t 0
2t 0
t t 2t
t t 2 t
w x 3y 5z onde x e , y e , z e
Substituindo t 0 :
x e e 1 x 1
y e e 1 y 1
z e e 1 z 1
Assim :
dw w dx w dy w dz
dt x dt y dt z dt
Derivando :
dw
2x e 6y e 10z 2e
dt
Assim :
dw
2xe 6ye 20zr
dt
Subs

 


     

    
    
    
  
     
  
       
  
     t t 2 t 0 0 0
tituindo x y z 1e t 0 :
dw dw
2xe 6ye 20zr 2 1 e 6 1 e 20 1 r
dt dt
Assim :
dw
2 6 20 28
dt
dw
28
dt

   
      
    
 
Comentário: Questão deve ser anulada porque o gabarito está incorreto.