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ESTRUTURA ALGÉBRICA
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PROVA DISCURSIVA REGULAR - ESTRUTURA ALGÉBRICA PROTOCOLO: 201611091131483D4C8F8PAULO DE ARAUJO SILVA - RU: 1131483 Nota: 100 Disciplina(s): Estrutura Algébrica Data de início: 09/11/2016 19:54 Prazo máximo entrega: 09/11/2016 21:09 Data de entrega: 23/11/2016 09:00 Questão 1/3 - Estrutura Algébrica Considere os polinômios Determine os valores de e de para que a divisão de por seja exata? Resposta: Questão 2/3 - Estrutura Algébrica Considere os anéis Dizemos que a função é um homomorfismo quando as duas propriedades abaixo são satisfeitas: (i) (ii) para todos Mostre que a função definida por é um homomorfismo, onde " 4 � 4 � � �4� �`!`# 4 � �4 � � �4à �� � � " 4 # 4 Efetuando a divisão de por obtemos como quociente o polinômio dado por e resto Para que a divisão seja exata, devemos impor que Disto, teremos Portanto, " 4 # 4 - 4 � à 4 � � � . 4 � �� � 4� �à � � . 4 � �� �� � � �`F`�à � � �� � � Ã�`F`� � �� � � Ã�`F`� � �� � � ø `F` � Ç � � " � �¥ � " �� � � " � Ç " � " � ø � � " � �" � � � À �� " � � � ø ¥ � Ç � " 4 � 4à � 4 Ç 5 � 4� 5� �`F`4�5 � 4� 5� 45� Resposta: Questão 3/3 - Estrutura Algébrica Seja um anel. Um subconjunto não vazio é chamado subanel de quando as duas propriedades abaixo são satisfeitas: (i) se então (ii) se então O subconjunto é um subanel do anel das funções Justifique sua resposta. Resposta: Vamos verificar que é homomorfismo. Dados temos (i) Por outro lado, pela definição da operação , obtemos Logo, (ii) Observamos também que Além disso, pela definição da operação , temos Com isso, Portanto, seguem dos itens (i) e (ii) que é um homomorfismo. " � � À � " �� � � �� �à �� Ç " � Ç " � � �à � Ç �à � � �à � � �à � � � � �à �à �� " �� � � " � Ç " � � " �� � ��à �� � " � �" � � �à � � �à � � �à � � �à � � �à � �à � � ��à �� " �� � " � �" � � " � � ø � ä � � � � À � �à � À �� � � À � � ø � À �� � � \" À � � � � `" � � �^ � � � Considere Então, Observamos que o que mostra que Logo, a condição (i) não é satisfeita e não é subanel do anel das funções " # À �� " � � �`F`# � � �� " à # � � " � à # � � � à � � � " à # Á �� � � � � �
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