Slides com Exercícios Condução

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 1
TRANSMISSÃO DE CALOR1 
 
“Energia em trânsito devido a uma diferença de temperatura” 
 
 
Condução: resulta da diferença de temperatura em um meio estacionário (sólido ou fluido) 
 
Convecção: resulta da diferença de temperatura entre um meio e um fluido em movimento. 
 
Radiação: energia emitida por toda matéria que se encontra a uma temperatura não nula. 
 
 
 
1 Ref. livro-texto: capítulo 1, Introdução 
 
 2
CONDUÇÃO: 
 
Transferência de energia de partículas mais energéticas para partículas menos energéticas (difusão de energia). 
 
 
Taxa de transferência de calor (W): 
 
Parede plana: 
 
 
dx
dT
Akqx −= (Fourier) 
 
 3
Fluxo de calor (taxa por unidade de área): 
dx
dT
k
A
q
q xx −==′′ 
 
Exemplo 1.1: A parede de um forno industrial é construída de tijolos refratários de 15 cm de espessura e 
condutividade térmica de 1,7 W/mK. Medições realizadas durante a operação em regime estacionário 
apresentaram temperaturas de 1400 e 1150K nas superfícies interna e externa, respectivamente. Qual é a taxa de 
perda de calor através de uma parede com 0,5 por 1,2m de lado? 
 
1) desenho esquemático 
2) identificação do(s) mecanismo(s) de transmissão de calor 
3) resolução matemática 
 
 
 
 
CONVECÇÃO: 
 
DOIS MECANISMOS 
 
DIFUSÃO + ADVECÇÃO 
 
movimento molecular aleatório movimento macroscópico do 
(condução) fluido 
 
 
 
 
 4
Classificação em função do escoamento: 
 
FORÇADA X NATURAL (LIVRE) 
 
escoamento causado por escoamento induzido por 
 meios externos forças de empuxo 
 
Exemplos: resfriamento de componentes eletrônicos sobre placas de circuito impresso. 
 
 
 
Lei do Resfriamento de Newton: o fluxo de calor por convecção é proporcional à diferença de temperatura 
entre a superfície (Ts) e o fluido (T∞). 
 
( )∞−=′′ TThq s 
 
Fluxo de calor por unidade de área Coeficiente convectivo 
(W/m2) (W/m2K) 
 
Exercício 1.13 – Você experimenta o resfriamento por convecção toda vez que coloca a mão para fora da janela 
de um veículo em movimento ou em um escoamento em água corrente. Com a superfície da sua mão a uma 
temperatura de 30oC, determine o fluxo de calor por convecção para: 
a) um veículo a 35 Km/h no ar a -5ºC (h=40 W/m2K) 
b) água a 0,2m/s a 10oC (h=900 W/m2K) 
 
 
 5
RADIAÇÃO: 
 
Emissão de energia radiante por uma superfície: 
 
Lei de Stefan-Boltzman: 4n TE σ= (W/m
2) (corpo negro) 
(σ = 5,67 x 10-8 W/m2K) 
 
Energia emitida por um corpo real 
 
 
4TE εσ= 
 
(ε = emissividade, 0 ≤ ε ≤ 1) 
 
Absorção de energia radiante por uma superfície: GGabs α= 
 
(α = absortividade, 0 ≤ α ≤ 1) 
 
Troca de radiação entre uma pequena superfície a Tsup envolvida por uma superfície isotérmica (Tviz) 
maior: 
 
A energia total disponível para ser absorvida pode ser aproximada pela energia emitida por um corpo negro a 
Tviz: 
4
vizTG σ= 
 
4
viz
4
sup
4
sup TTGTq ασ−εσ=α−εσ=′′ 
 
Corpo cinza: ε=α ⇒ ( )4viz4sup TTq −εσ=′′ 
 6
 
Ou: 
 
 
( ) ( )( )2viz2supvizsuprvizsupr TTTThTThq ++εσ=−=′′ 
 
 
 
 
 
O PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA: 
 
acsge EEEE &&&& +=+ 
(entra + produzido = sai + acumulado) 
 
 
 
Entrada e saída: fenômenos de superfície (transferência de calor por condução, convecção, radiação) 
 
Geração de energia: fenômeno volumétrico (conversão de outra forma de energia – química, elétrica, 
eletromagnética – em energia térmica 
 
Acúmulo de energia: fenômeno volumétrico (variações de energia interna, cinética e/ou potencial) 
 
 
 
 7
Transferência de Calor – Conceitos Fundamentais 
 
EXERCÍCIOS EM SALA 
 
1. (1.15) Um aquecedor elétrico encontra-se no interior de um cilindro longo de diâmetro 30mm. Quando água, a uma 
temperatura de 25oC e velocidade de 1m/s, escoa perpendicularmente ao cilindro, a potência por unidade de comprimento 
necessária para manter a superfície do cilindro a uma temperatura uniforme de 90oC é de 28 kW/m. Quando ar, também a 25oC 
mas a uma velocidade de 10m/s está escoando, a potência necessária para manter a mesma temperatura superficial é de 400 
W/m. Calcule e compare os coeficientes de transferência de calor por convecção para os escoamentos da água e do ar (água, 
h=4570 W/m2K; ar, h=65 W/m2K) 
 
 2.(1.22) O coeficiente de transferência de calor por convecção natural sobre uma chapa fina vertical aquecida, suspensa no ar 
em repouso, pode ser determinado através de observações da mudança na temperatura da chapa em função do tempo, enquanto 
ela se resfria. Supondo que a chapa seja isotérmica e que a troca por radiação com a vizinhança seja desprezível, determine o 
coeficiente de convecção da chapa para o ar no instante em que a temperatura da chapa é de 225oC e a sua taxa de variação com 
o tempo é de -0,022 K/s. A temperatura do ar ambiente é de 25oC, a chapa mede 0,3 X 0,3 m, possui massa de 3,75kg e um 
calor específico de 2770 J/kgK (h=6,4 W/m2K) 
 
3. (1.35) Uma placa de alumínio de 4 mm de espessura é montada em posição horizontal, e sua superfície inferior é bem isolada. 
Um fino revestimento especial é aplicado na superfície superior, de tal forma que ela absorve 80% de qualquer radiação solar 
incidente, com emissividade de 0,25. A densidade e o calor específico do alumínio são 2700 kg/m3 e 900 J/kgK, 
respectivamente 
a) Considere condições nas quais a placa se encontra a 25oC e sua superfície superior é repentinamente exposta ao ar ambiente 
(h = 20 W/m2K) a 20oC e a radiação solar que fornece um fluxo incidente de 900 W/m2. Qual a taxa inicial da variação de 
temperatura da placa? (0.052 oC/s) 
b) Qual será a temperatura de equilíbrio da placa quando as condições de regime estacionário forem alcançadas? (48,4 oC) 
 
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 1
CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL EM REGIME ESTACIONÁRIO1 
 
CONDUÇÃO DE CALOR SEM GERAÇÃO DE ENERGIA 
 
Parede Plana: 
x=0 x=L
fluido quente
T
oo 1
,h
1
fluido frio
T
oo2
,h
2
T
oo 1
T
s1
T
s2
 
 
Considerações: 
 
(1) condução unidimensional; 
(2) regime permanente; 
(3) sem geração interna de calor 
 
q
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
xt
T
cp &+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
ρ 
 
 
 
1 Ref. livro-texto: capítulo 3, Condução Unidimensional em Regime Estacionário 
0(2) 0(1) 0(3) 
 
 2
 






∂
∂
∂
∂
=
x
T
k
x
0 
Para k constante: 0
dx
Td
dx
Td
k0
2
2
2
2
=⇒= 
Integrando: 21 CxC)x(T += 
 
Aplicação das condições de contorno: 
 
( ) 1s2211s1s TCC0CTT0T =⇒+×=⇒= 
( )
L
TT
CTLCTTLT 1s2s11s12s2s
−
=⇒+×=⇒= 
 
 
( ) 1s1s2s TxL
TT
xT +
−
= 
(variação linear de temperatura) 
 
 
( )2s1sxx TTL
kA
q
dx
dT
kAq −=⇒−= (independe de x) 
 
 
 3
Resistência Térmica: 
 
 
Resistência = potencial ou força motriz 
 taxa de transferência 
 
Condução de calor: 
kA
L
q
TT
R
x
2s1s
cond,t =
−
= 
 
Condução elétrica: 
A
L
I
EE
lRe 2s1s
σ
=
−
= (Lei de Ohm) 
 
Convecção de calor: 
hA
1
q
TT
R
x
s
conv,t =
−
= ∞ 
 
x=0 x=L
T
oo 1
,h
1
T
s1
T
s2
T
oo 2
,h
2
 1
h
1
A
 1
h
2
A
L
kA
 
 
 4
Ah
1
TT
kA
L
TT
Ah
1
TT
q
2
22s2s1s
1
1s1
x
∞∞ −=
−
=
−
= 
 
Ah
1
kA
L
Ah
1
R
R
TT
q
21
t
t
21
x ++=
−
= ∞∞ 
 
Parede Composta: 
 
T
oo 1
,h
1
T
s1
T
oo 4
,h
4
 1
h
1
A
 1
h
4
A
T
2
T
3
T
s4
T
oo1
T
oo4
L
A
k
A
A
L
C
k
C
A
k
A kC
k
B
L
A
L
C
L
B
L
B
k
B
A
 
 
TUAqx ∆= (U = coeficiente global de transmissão de calor) 
 
 
 5
4C
C
B
B
A
A
1
t
h
1
k
L
k
L
k
L
h
1
1
AR
1
U
++++
== 
 
Nova parede composta: 
T
1
T
2
k
E kG
k
F
L
E
L
G
L
F
kH
 
A transferência de calor é bidimensional, mas pode ser aproximada por: 
 
L
F
k
F
A/2
L
E
k
E
A
L
G
k
G
A
L
H
k
H
A/2
 
 
Ak
L
L
2/Ak
L
2/Ak
Ak
L
R
G
G
1
H
H
F
F
E
E
t +





++=
−
 
 
 6
 
Resistência de Contato: 
 
Interface entre dois materiais: efeito da rugosidade 
 
 
 
Como minimizar: preencher as falhas com um fluido interfacial de alta condutividade 
 
 
 
 
 7
Exemplo: Um chip de silício e um substrato de alumínio com 8 mm de espessura são separados por uma junta 
epóxi c/ 0,02 mm de espessura. O chip e o substrato possuem 10 mm de lado, e suas superfícies expostas são 
resfriadas por ar a 25oC (h=100 W/m2K). Se o chip dissipa 104 W/m2 em condições normais de operação, verificar 
se ele irá operar abaixo da temperatura permitida de 85oC. Dados (kalum=238 W/mK; Rt,c(silicio/aluminio c/ 0,02mm epoxi) = 
0,9x10-4 m2K/W) 
 1
h
L
k
 1
h
R
t,c
R
t,chipchip
aluminio8 mm
0,02 mm
ar, 25oC
ar, 25oC
 
 Considerações: 
 
(1) condução unidimensional; (2) regime permanente;sem geração interna de calor; (4) chip isotérmico (Tc) 
 
h/1k/LR
TT
h/1
TT
R
TT
R
TT
qqq
c,t
cc
2
c
1
c
21c ++
−
+
−
=
−
+
−
=′′+′′=′′ ∞∞∞∞ 
 
Tc = 75,3
oC 
 
 8
Exercícios: 
 
1) Uma casa possui uma parede composta com camadas de madeira, isolamento à base de fibra de vidro e gesso, conforme indicado na 
figura. Em um dia frio de inverno, os coeficientes de transferência de calor por convecção são he=60 W/m
2K e hi=30 W/m
2K. A 
área total da superfície da parede é de 350 m2. 
a) Para as condições dadas, determine uma expressão simbólica para a resistência térmica total da parede, incluindo os efeitos da 
convecção térmica nas superfícies interna e externa da parede. 
b) Determine a perda total de calor através da parede (4.21 KW) 
c) Se o vento soprasse violentamente, aumentando o valor de he para he=300 W/m
2K, determine o aumento percentual da perda de 
calor (0.5%) 
d) Qual é a resistência que controla o processo térmico, ao ser a mais importante na determinação da quantidade de calor que 
atravessa a parede? (a maior resistência, fibra de vidro) 
10mm 100mm 20mm
Interior
20oC
Exterior
-15oCfibra de
vidro (k
f
)
compensado de
madeira (k
m
)
gesso (k
g
)
k
g
=0,17 W/mK
k
f
=0,038W/mK
k
m
=0,12W/mk
 
 
 9
2) (3.6) Uma técnica para medir o coeficiente de transferência de calor por convecção envolve a adesão de uma das superfícies de uma 
folha metálica delgada a um material isolante e a exposição da outra superfície ao fluido escoando nas condições de interesse. 
isolamento (k)
T
b
L
folha metálica
(T
sup
)
h,T
oo
 
Ao passar uma corrente elétrica através da folha metálica, calor é dissipado uniformemente e o fluxo correspondente, P”, pode ser 
deduzido a partir da medida da voltagem e da corrente elétrica. Se a espessura da camada de isolamento térmico L e a sua 
condutividade térmica k forem conhecidas, e as temperaturas do fluido, da folha metálica e da base do isolamento (T∞, Tsup e Tb) 
forem medidas, o coeficiente de transferência de calor por convecção pode ser determinado. Considere condições para as quais T∞ = 
Tb =25
oC, P” = 2000 W/m2, L = 10 mm e k = 0,040 W/mK. 
1) Com o escoamento de água sobre a superfície, a medida da temperatura da folha fornece Tsup = 27
oC. Determine o coeficiente de 
transferência de calor por convecção (h=996 W/m2 K) 
2) Qual seria o erro percentual cometido se fosse considerado que toda a potência dissipada é transferida por convecção para a 
água? (h=1000W/m2 K – 0.4% de erro) 
3) Com o escoamento de ar sobre a superfície, a medida da temperatura da folha fornece Tsup = 125
oC. Determine o coeficiente de 
transferência de calor por convecção e comente sobre este resultado em relação ao obtido na letra (a). (h=16 W/m2 K). Avaliar o 
erro percentual cometido se fosse considerado que toda a potência dissipada é transferida por convecção para o ar (h=20W/m2 K 
– 25% de erro) 
 
 10 
Sistemas Radiais 
 
 
fluido quente
 h
1
, T
oo1
fluido frio h
2
, T
oo2
T
s2
T
s1
r
1
r
2
L
 
Considerações: 
 
(1) condução unidimensional; 
(2) regime permanente; 
(3) sem geração interna de calor; 
 
q
z
T
k
z
T
k
r
1
r
T
kr
rr
1
t
T
c
2p
&+





∂
∂
∂
∂
+





φ∂
∂
φ∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
ρ 
 
0
r
T
kr
rr
1
=





∂
∂
∂
∂
 
 
Integrando: 21 CrlnC)r(T += 
 
0(2) 
0(1) 0(3) 
 
 11 
Aplicação das condições de contorno: 
 
( ) 2111s1s1 CrlnCTTrrT +=⇒== 
( ) 2212s2s2 CrlnCTTrrT +=⇒== 
 
( )
( ) 2s221
2s1s T
r
r
ln
r/rln
TT
rT +




−
= 
 
(variação logarítmica de temperatura) 
 
( ) [ ] ( )
r
C
rL2kCrlnC
dr
d
rL2k
dr
dT
kAq 121r π−=+π−=−= 
 
( ) ( )2s1s
12
2s1s
21
r TT)r/rln(
kL2
TT
)r/rln(
kL2
q −
π
=−
π
−= 
 
 
kL2
)r/rln(
R 12cond,t π
= 
 
 
 
 
 12 
Sistema Composto: 
r
1
r
4
r
3
r
2
A CB
 h
4
 ,T
oo4
 
 
( ) ( ) ( )
Lr2h
1
Lk2
r/rln
Lk2
r/rln
Lk2
r/rln
Lr2h
1
TT
q
44C
34
B
23
A
12
11
41
r
π
+
π
+
π
+
π
+
π
−
= ∞∞ 
 
Isolamento térmico 
 
Existe uma espessura ótima que minimize as perdas? 
 aumento de espessura ⇒ aumenta a resistência à condução 
 diminui a resistência à convecção 
 
r
i
r T
oo
T
i
 
Exemplo: tubo interno de cobre, isolante (k=0,055 W/mK), exterior: ar (h=5W/m2K) 
 
 13 
Considerações: 
 
(1) condução unidimensional;
(2) regime permanente; 
(3) sem geração interna de calor; 
(4) resistência térmica na parede do tubo de cobre é desprezível; 
(5) isolamento tem propriedades constantes. 
 
( )
rL2h
1
kL2
rln
kL2
rln
rL2h
1
kL2
r/rln
R iitot π
+
π
−
π
=
π
+
π
= 
 
Espessura ótima: maximiza o valor de Rtot 
 
h/kr0
Lr2h
1
krL2
1
dr
dR
otimo2
tot =⇒=
π
−
π
= 
 
( ) 0h/kL2
1
Lr2h
2
Lkr2
1
dr
Rd
23322
tot
2
>
π
=
π
+
π
= 
 
Raio crítico: h/krcrit = 
 
A espessura do isolante deve garantir um raio superior ao valor crítico!!! 
 
 
 14 
Esfera Oca 
 
q
r qr+dr
dr
T
s2
T
s1
r
2r
1
 
 
Lei de Fourier: ( )
dr
dT
r4k
dr
dT
kAq 2π−=−= 
Balanço de energia: drrr qq += (qr é constante!!!) 
 
Integrando: 
∫∫ −=π
2s
1s
2
1
T
T
r
r
2
r kdT
r
dr
4
q
 
( ) ( )
21
2s1s
r2s1s
21
r
r/1r/1
TTk4
qTTk
r
1
r
1
4
q
−
−π
=⇒−−=





−
π
− 
 






−
π
=
21
cond,t r
1
r
1
k4
1
R 
 
 
 
 15 
 
3) (3.39) Um tubo de aço inoxidável (AISI 304) utilizado para transportar produtos farmacêuticos resfriados tem diâmetro interno de 
36 mm e espessura da parede de 2 mm. As temperaturas dos produtos farmacêuticos e do ar ambiente são de 6oC e 23oC, 
respectivamente, enquanto os coeficientes convectivos correspondentes às superfícies interna e externa são de 400 W/m2K e 6 
W/m2K, respectivamente. 
a) Qual o ganho de calor por unidade de comprimento do tubo? (12.6 W/m) 
b) Qual o ganho de calor por unidade de comprimento do tubo se uma camada de isolamento de silicato de cálcio com 10mm de 
espessura (kis=0,050 W/mK) for aplicada ao tubo? (7.7 W/m) 
 
 
4) (3.57) Uma esfera oca de alumínio (k=237 W/mK), com um aquecedor elétrico em seu centro, é utilizada em testes para determinar 
a condutividade térmica de materiais isolantes. Os raios interno e externo da esfera são 0,15 e 0,18m, respectivamente, e o teste é 
feito em condições de regime estacionário com a superfície interna do alumínio mantida a 250oC. Para um teste em particular, uma 
casca esférica de isolamento de 0,12 m de espessura é fundida na superfície externa de uma esfera. O sistema encontra-se em um 
ambiente no qual a temperatura do ar é de 20oC e o coeficiente de convecção na superfície externa do isolamento é de 30 W/m2K. Se 
são dissipados 80W pelo aquecedor em condições de regime estacionário, qual a condutividade térmica do isolamento? (k=0.06 
W/mK) 
 
modulo3_calorParte2.pdf
 
 1
CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL EM REGIME ESTACIONÁRIO1 
 
CONDUÇÃO DE CALOR COM GERAÇÃO DE ENERGIA 
 
 
 
V/RIqRIE el
2
el
2
g == && 
Parede Plana 
T
s1
T
s2
x=-L x=L
fluido quente
T
oo 1
,h
1
fluido frio
T
oo2
,h
2
x
 
 
 
 
1 Ref. livro-texto: capítulo 3, Condução Unidimensional em Regime Estacionário 
 
 2
Considerações: 
 
(1) condução unidimensional; 
(2) regime permanente; 
(3) geração uniforme de energia térmica (q& constante ao longo de todo o volume) 
(4) condutividade térmica constante 
 
q
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
xt
T
cp &+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
ρ 
 
 
 
q
x
T
k
x
0 &+





∂
∂
∂
∂
= 
 
21
2
12
2
CxCx
k2
q
TCx
k
q
dx
dT
0
k
q
dx
Td
++−=⇒+−=⇒=+
&&&
 
 
Aplicação das condições de contorno: 
 
( ) ( ) 2s1s TLTeTLT ==− 
 
 
( )
2
TT
L
x
2
TT
L
x
1
k2
Lq
xT 1s2s1s2s
2
22 +
+
−
+







−=
&
 
0(2) 0(1) 
 
 3
 
Se as superfícies (1) e (2) são mantidas à mesma temperatura (Ts) 
 
( ) s2
22
T
L
x
1
k2
Lq
xT +







−=
&
 
(máxima para x=0) 
 
O que acontece com dT/dx em x=0? 
 
SIMETRIA.....dT/dx=0!!! 
 
Avaliação da temperatura da superfície: 
 
( )∞
=
−=− TTh
dx
dT
k s
Lx
 
k
Lq
L
x2
k2
Lq
dx
dT
Lx
2
2
Lx
&&
−=




 −
=
==
 
 
( )
h
Lq
TTTTh
k
Lq
k ss
&&
+=⇒−=




−− ∞∞ 
 
 
Posso calcular Ts a partir de T∞ !!! 
 
 
 
 4
 
Exemplo: 
água
h=1000W/m 2k
T=30oC
(A) (B)
T
0
T
2
T
1
 
 
Dados: mm50Lm/W10x5,1qmK/W75k A
36
AA === & 
 mm20L0qmK/W150k BBB === & 
 
Objetivo: avaliar T0 e T1 
 
 
a) Cálculo de T2: 
BAA LLxsaiLxentra
qq +== = 
( ) C105
h
Lq
TTTThLqq oAA22AA0xentra =+=⇒−=+ ∞∞=
&
& 
 
 
 
 
 
 5
 
b) Cálculo de T1: 
 
q
A
L
A
.
T
oo
T
1 T
2 
C115T
R
TT
Lq
h
1
k
L
R o1
t
1
AA
B
B
t =⇒
−
=+= ∞& 
 
 
c) Cálculo de T0 (temperatura máxima para problema com simetria) 
 
C140TT
k2
Lq
T o01
2
0 =⇒+=
&
 
 
 
 6
(3.73) Seja a condução térmica unidimensional em uma parede plana composta. Suas superfícies 
externas estão expostas a um fluido a 25oC com um coeficiente de transferência de calor por convecção 
de 1000 W/m2K. Na parede intermediária B há geração uniforme de calor (qB) enquanto não existe 
geração nas paredes A e C (qA = qC = 0). As temperaturas nas interfaces são de T1=261
oC e T2=211
oC. 
Supondo resistência de contato desprezível nas interfaces, determine a taxa volumétrica de geração de 
calor ( Bq& ) e a condutividade térmica kB. ( )Km/W4,15k;m/W4002q 2B
3
B ========& 
 
30 mm 60mm 20mm
B
k
A
 = 25 W/mK
A C
k
C
 = 50 W/mKT1 T2
 
 
 
 7
Uma barra retangular de combustível sólido nuclear de 30 mm de espessura (2L) é recoberta por um 
revestimento de aço de 3mm de espessura, conforme mostrado na figura a seguir. O combustível 
apresenta geração uniforme de calor, a uma taxa de 2,5 x107 W/m3. O revestimento interno de aço é 
isolado, e o revestimento externo está exposto a um fluido de resfriamento a 150oC (h=20000 W/m2K). 
As condutividades térmicas do combustível e do aço são iguais a 60 e 15 W/mK, respectivamente. 
Avalie as temperaturas interna (Ti) e externa (Te) do revestimento de aço em contato com o fluido. 
Obtenha uma expressão para a variação da temperatura ao longo de x no interior do combustível. Qual 
o ponto de temperatura mais elevada no combustível e qual o valor desta temperatura? 
 
x
L
aço
combustível
fluido
T
i
T
e
 
 
 
 
 8
Sistemas radiais com geração interna: 
fluido frio h, T
oo
r
0
L
T
s
 
 
Equação de condução de calor: 
k
q
dr
dT
r
dr
d
r
1
0
&
+




= 
Integrando: 1
2 Cr
k2
q
dr
dT
r +−=
&
 
Integrando novamente: 21
2 CrlnCr
k4
q
T ++−=
&
 
Condições de contorno: 
 
Condição de simetria: 0C1 = 
2
0s20s rk4
q
TCrremTT
&
+=⇒== 
 
 
 
 9
( ) s2
0
22
0 T
r
r
1
k4
rq
rT +







−−=
&
 
Correlacionar Ts e T∞ (balanço de energia na superfície) 
 
( ) ( )( )∞−π=π TTLr2hLrq s020& 
 
h2
rq
TT 0s
&
+= ∞ 
 
 
 
(3.95) Resíduos radioativos (krr= 20W/mK) são armazenados em um tanque esférico de aço inoxidável 
(kai=15W/mK) de raios interno e externo iguais a 0,5 e 0,6m, respectivamente. Calor é gerado 
volumetricamente no interior dos resíduos a uma taxa uniforme 510====q& W/m3 e a superfície externa do 
tanque encontra-se exposta a uma corrente de água a 25oC (h=1000 W/m2K). 
a) Encontre o valor da temperatura da parede externa do tanque em regime estacionário (36.6 oC) 
b) Encontre o valor da superfície interna do tanque em regime estacionário (129.4 oC) 
c) Partindo da equação geral de condução de calor, obtenha uma expressão para a distribuição de 
temperatura nos resíduos radioativos em função do raio. Qual o valor da temperatura em r=0? (337,7 
oC) 
 
 10 
2) A superfície exposta (x=0) de uma parede plana com condutividade térmica k encontra-se sujeita a 
radiação de microondas que causa um aquecimento volumétrico que varia conforme 





 −=
L
x
qq ex 1&& 
onde eq& (W/m
3) é uma constante. A fronteira em x=L está perfeitamente isolada, enquanto a superfície 
exposta é mantida a uma temperatura constante Te. Determine a distribuição de temperatura T(x) em 
termos de x,L, eq& e Te. Resposta: e2
3
e TLxx
L3
x
k2
q
)x(T ++++







++++−−−−====
&
 
 
modulo3_calorParte3.pdf
 
 1
 TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFÍCIES ESTENDIDAS 
 
 
fluido h, T
oo
T
s
A
 
Como aumentar a transferência de calor entre a superfície e o fluido? 
( )∞−= TThAq s 
 
aumentar a área!!! 
 
 
 
aleta 
 
 2
Aleta: superfície estendida (alta condutividade, pequena espessura) 
aleta
 
 
Aleta plana: fixada a uma parede plana 
 
Seção reta uniforme X Seção reta não uniforme 
 
espessura, t
largura, w 
Aleta anular: fixada circunferencialmente a um cilindro 
 
 
 
 1
 
 
 
 
 2
Aleta piniforme: área de seção reta circular 
 
dx
q
x+dxq
x
dA
sup
A
sr
(x)
 
 
Balanço de energia: convdxxx dqqq += + 
 
( )
dx
dT
xkAq srx −= 
 
dx
dx
dT
kA
dx
d
dx
dT
kAdx
dx
dq
qq srsr
x
xdxx 


−+−=+=+ 
 
 
( )∞−= TThdAdq supconv 
 
( ) 0TThdAdx
dx
dT
kA
dx
d
supsr =−+


− ∞ 
 
 
 
 3
Considerando k constante: 
 
( ) 0TT
dx
dA
k
h
dx
dx
dT
A
dx
d sup
sr =−−



∞ 
 
 
( ) 0TT
dx
dA
k
h
dx
dA
dx
dT
dx
Td
A supsr
2
2
sr =−−+ ∞ 
 
 
equação genérica para condução de calor unidimensional em uma superfície estendida 
 
 
 4
Aletas com área de seção reta uniforme 
 
t
L
T
b
w
x
T
oo
, h
 
 
wtAsr = (constante) 0dx/dAsr = 
 
PxAsup = (P=perímetro da aleta) Pdx/dAsup = 
 
( )wt2P += 
 
( ) ( ) 0TTm
dx
Td
0TT
A
P
k
h
dx
Td 2
2
2
sr
2
2
=−−⇒=−− ∞∞ 
 
Seja ∞−=θ TT ⇒ 0m
dx
d 2
2
2
=θ−
θ
 
 
( ) mx2mx1 eCeCx −+=θ 
 
 
 
 5
Condições de contorno: 
 
( ) bb TT0 θ=−=θ ∞ 
 
( )( ) ( )Lh
dx
d
kTLThA
dx
dT
kA
Lx
sr
Lx
sr θ=
θ
−⇒−=−
=
∞
=
 
 
 
Resolvendo para C1 e C2: 
 
( )[ ] ( ) ( )[ ]
[ ] ( ) [ ]mLsenhmk/hmLcosh
xLmsenhmk/hxLmcosh
b +
−+−
=
θ
θ
 
 
 
Calor total transferido pela aleta: 
 
( ) sup
A0x
sr
0x
sr dAxhdx
d
kA
dx
dT
kAq
a
∫ θ=
θ
−=−=
==
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6
Outras condições de contorno: 
 
⇒ Perda de calor por convecção na extremidade da aleta é desprezível 
 
0
dx
d
Lx
=
θ
=
 
⇒ Aleta muito longa 
 
∞→→θ L0L 
 
 
 7
Exemplo: bastão circular de cobre (k=398 W/mK) exposto ao ambiente (ar, 25oC, h=100 W/m2K) 
 
5 mm
100oC
 
 
Qual o comprimento para que o bastão possa ser considerado infinito? 
 
Bastão infinito: bsra hPkAMq θ== 
 
Considerando aleta adiabática: ( )mLtghMqa = 
 
( )
( )
18,14
4/105398
105100
kA
hP
m
23
3
sr
2 =
××π×
××π×
==
−
−
 
 
1% erro: ( ) m19,0L65,2mL99,0mLtgh =⇒=⇒≥ 
 
5% erro: ( ) m13,0L83,1mL95,0mLtgh =⇒=⇒≥ 
 
 
 8
Desempenho da aleta 
 
 
Efetividade: taxa de transmissão de calor com a aleta 
 taxa de transmissão de calor sem a aleta 
 
bb,sr
a
a hA
q
θ
=ε 
 
 área da base da aleta 
 
εa deve ser o maior possível!!! 
 
Em geral, só se justifica o uso de aletas se εa ≥ 2 
 
Exemplo: aleta de seção uniforme com comprimento infinito 
 
srbsr
bsr
bb,sr
a hA
Pk
hA
hPkA
hA
M
=
θ
θ
=
θ
=ε 
 
Resistência térmica: 
a
b
a,t q
R
θ
= 
 
a,t
b,t
a R
R
=ε razão entre resistências térmicas 
 
 9
Eficiência da aleta ( )aη 
 
Se toda a superfície da aleta se encontrasse à temperatura da base (Tb), o calor dissipado seria máximo.... 
 
ba
a
max
a
a hA
q
q
q
θ
==η 
 
Exemplo: aleta plana com seção reta uniforme e extremidade adiabática 
( ) ( )
mL
mLtanh
hPL
mLtanhM
b
a =θ
=η 
 
Estimativas precisas para aproximação de aletas adiabáticas: 
 
2/tLLc += (seção retangular) 
4/DLLc += (piniforme) 
 
Aletas com área de seção reta não uniforme 
 
Incluir a variação de Asr com x ou r 
 
 
 10 
 
 
 11 
 
 
 
 12 
Aproximação por métodos gráficos 
 
 
 
 
 13 
 
 
 
 
 14 
Bastões circulares de cobre (k=398 W/mK), com diâmetro D=1mm e comprimento L=25mm, são usados 
para aumentar a transferência de calor em uma superfície que é mantida a 100oC. Uma extremidade do 
bastão é presa a essa superfície e a outra extremidade é mantida a 0oC. Ar, que escoa entre as superfícies 
(e sobre os bastões), também se encontra a 0oC (h=100 W/m2K). 
Qual é a taxa de transferência de calor por convecção entre um único bastão de cobre e o ar? 
Qual a taxa total de transferência de calor dissipada de uma seção da superfície a 100oC de 1m por 1m. 
Os bastões encontram-se posicionados com uma distância entre centros de 4mm. 
 
 15 
Eficiência global da superfície: Desempenho de um conjunto de aletas 
 
 
 
 
L
t
S
superfície primária (A
b,
 T
b
)
 
 
qmax: toda a superfície da aleta e a base estão a Tb 
 
 
 2
bt
t
max
t
g hA
q
q
q
θ
==η 
 
bat ANAA += 
 
bbbaat hAhANq
θ+θη= 
 
( )ataabt NAAANhq −+ηθ= 
 
( ) ba
t
a
tt 1A
NA
1hAq θ





η−−= 
 
( )a
t
a
g 1A
NA
1 η−−=η 
 
 
tgt
b
g,t hA
1
q
R
η
=
θ
= 
 
 
 3
Devido ao grande número de componentes nos chips dos pc´s atuais, sorvedouros de calor aletados são 
usados com freqüência para manter os chips a uma temperatura de operação aceitável. Dois projetos de 
sorvedouros aletados devem ser analisados, ambos com a área da base (sem aletas) de dimensões de 
53mm X 57 mm. As aletas possuem seção reta quadrada e são fabricadas em uma liga de alumínio que 
possui condutividade de 175 W/mK. Ar para o resfriamento pode ser suprido a 25oC, e a temperatura 
máxima permissível para o chip é de 75oC. Outras características do projeto e das condições operacionais 
são apresentadas na tabela. 
 
Projeto Dimensões das Aletas Número 
de aletas 
na matriz 
h (W/m2K) 
 Seção reta 
w X w (mm) 
Comprimento 
(mm) 
 
A 3 X 3 30 6 X 9 125 
B 1 X 1 7 14 X 17 375 
 
Determine o melhor arranjo de aletas. Na sua análise, calcule a taxa de transferência de calor e a 
eficiência de uma única aleta, bem como a taxa total de transferência de calor e a eficiência global do 
conjunto de aletas. 
 
 4
Projeto A: o calor total dissipado é 114W 
Projeto B: o calor total dissipado é 160W – corresponde ao melhor arranjo 
 
1) Uma parede de um aquecedor elétrico blindado é feita de uma placa de cobre (k=400 W/mK), 160 mm 
x 160mm de largura e 5 mm de espessura. Para aumentar o calor transferido através da placa, 400 
aletas de cobre em forma de pinos, cada uma com 4 mm de diâmetro e 20 mm de comprimento, são 
integralmente fixadas nas duas superfícies da placa (200 em cada lado). Ar quente na blindagem está a 
uma temperatura de 65ºC, e a circulação natural fornece um coeficiente de convecção médio de 5 
W/m2K, na superfície interior da placa. Um escoamento forçado de ar ambiente a 20ºC desenvolve um 
coeficiente de convecção médio de 100 W/m2K na face externa da placa. 
a) Estime a taxa de transferência de calor através da placa (Dicas: monte o circuito térmico do 
problema; avalie as resistências térmicas de cada conjunto de aletas). (q = 16,2 W) 
b) Considerando o mesmo coeficiente de convecção sem aletas, determine a elevação do calor 
removido fornecido pelos pinos (194% - a taxa de transferência de calor sem os pinos é 5,5W) 
 
modulo4_calor.pdf
 1
CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSIENTE 
 
Método da Capacitância Global 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: metal quente repentinamente colocado em um recipiente com líquido frio 
 
 
 
 2
T
i
T
oo T(t)
 
 
alta condutividade térmica: a resistência à condução no interior do sólido pode ser desprezada!!! 
 
Balanço de Energia: 
 . . . . 
Ee + Eg = Eac + Es 
 
( ) 0TThA
dt
dT
Vc supp =−+ρ ∞ 
 
∞∞ −≡θ−≡θ TTTT ii 
 
θ−=
θρ
dt
d
hA
Vc
sup
p
 
 
 
 
 
 
 
 3
Separando e integrando: 
∫−=
θ
θ
∫
ρ θ
θ
t
0sup
p
dt
d
hA
Vc
i
 
 
















ρ
−=
θ
θ
=
θ
θρ
t
Vc
hA
expoutln
hA
Vc
p
sup
i
i
sup
p
 
 
Constante de tempo: ttp
sup
t CRVc
hA
1
=ρ×=τ 
 
Total de energia transferida: ∫ θ=∫=
t
0
sup
t
0
dthAqdtQ 
 












τ
−−θρ=
t
ip
t
exp1VcQ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4
Validade do Método da Capacitância Global 
 
L
x
T
s1
T
s2
h,T
oo
 
 
 
Regime estacionário: balanço de energia na superfície: 
 
( ) ( )∞−=− TThATT
L
kA
2s2s1s 
 
( )Biotden
k
hL
R
R
hA/1
kA/L
TT
TT o
conv
cond
2s
2s1s ===
−
−
∞
 
 
Quando Biot (Bi) é pequeno: 
 
• 2s1s TT − é pequeno: a distribuição de temperatura ao longo do sólido é praticamente constante 
 
• ∞−TT 2s é grande: a resistência térmica à convecção é muito maior do que a resistência térmica à condução. 
 
 5
Regime transiente: 
 
T
i
T
oo
Bi<<1
T
i
T
oo
Bi=1
T
i
T
oo
Bi>>1
 
 
1,0
k
hL
Bi c <= 
 
Lc: comprimento característico (razão entre o volume do sólido e sua área superficial 
 
parede
2L
L
c
=L
r
o
cilindro
L
c
=r
o
/2
esfera
r
o
L
c
=r
o
/3
 
 
 
 6
Voltando à equação da temperatura pelo método da capacitância global: 
 
















ρ
−=
















ρ
−=
θ
θ
t
Lc
h
expt
Vc
hA
exp
cpp
sup
i
 
 
 
( )[ ]BiFoexp
L
t
Biexpt
Lc
k
k
hL
exp
2
c
2
cp
c
i
−=















 α
−=
















ρ
−=
θ
θ
 
 
 
Número de Fourier (Fo) = 
2
cL
tα
 
 
Se Bi < 0,1 ⇒ pode-se utilizar o método da capacitância global 
 
 7
Análise Geral Via Capacitância Global 
 
A
sup,c,r
q"
rad
q"
conv
h,T
oo
E
g
,∆E
ac
A
sup,h
q"
sup
 
 
Balanço de Energia 
 
( )
t
T
VcAqqEAq prcradconvgh ∂
∂
+′′+′′=+′′ ρ,sup,sup,sup & 
 
( )[ ]
t
T
VcAqTThEAq prcradgh ∂
∂
+′′+−−+′′ ∞ ρ,sup,sup,sup & 
 
Se a radiação for desprezada e h não varia com o tempo, a solução desta equação é: 
 
( ) [ ])exp(1)exp( at
a
b
atTTTT i −−+−−=− ∞∞ 
 
p
c
Vc
hA
a
ρ
sup,= 
p
gh
Vc
EAq
b
ρ
&+′′
= sup,sup 
 
 8
Exercícios 
 
1. A placa da base de um ferro de passar roupas com uma espessura de 7mm é feita de uma liga de alumínio 
(ρ=2800 kg/m3; cp=900 J/kg; k=180 W/mK). Um aquecedor de resistência elétrica é colocado no interior do 
ferro, enquanto a superfície externa é exposta ao ar ambiente a 25
o
C. As áreas interna e externa da superfície 
são iguais a 0,04 m
2
. Se um fluxo de calor aproximadamente uniforme de q”=1,25x10
4
 W/m
2
 for aplicado à 
superfície interna da base da placa e se o coeficiente de convecção na superfície externa for h=10 W/m
2
K, 
estime o tempo necessário para a placa alcançar a temperatura de 135
o
C. 
 
2. Estime o tempo necessário para cozinhar uma salsicha de cachorro quente em água fervente. Considere que a 
salsicha esteja inicialmente a 6
o
C, que o coeficiente de transferência de calor por convecção seja de 100 
W/m
2
K e que a temperatura final na sua linha de centro seja de 80
o
C. Trate a salsicha como se ela fosse um 
longo cilindro com 20 mm de diâmetro, possuindo as seguintes propriedades termofísicas: ρ=880 kg/m3, 
c=3350 J/kgK e k=0,52
W/mK. 
 
3. Eixos cilíndricos de carbono AISI 1010 (c=685 J/kgK; ρ=7832 kg/m3; k=39,2 W/mK) de 0,1m de diâmetro 
são submetidos a tratamento térmico em um forno a gás, cujos gases estão a 1200K e fornecem um 
coeficiente de convecção de 100 W/m
2
K. Se os eixos entram no forno a 300K, quanto tempo devem 
permanecer no forno para atingirem a temperatura de linha de centro de 800K? 
 9
Efeitos Espaciais 
 
Sem geração interna, k constante: 
2
2
p
x
T
k
t
T
c
∂
∂
=
∂
∂
ρ 
 
2L
h,T
oo
h,T
oo
x
T(0)=T
i
 
Condição Inicial: iT)0,x(T = 
 
Condições de Contorno: 
0xem0
x
T
==
∂
∂
 
( ) LxemTTh
x
T
k =−=
∂
∂
− ∞ 
 
( )L,T,T,h,k,,t,xTT i ∞α= 
 
 
 
 10 
Adimensionalização: 
 
L
x
x
TT
TT *
ii
* =
−
−
=
θ
θ
=θ
∞
∞ 
 
Na equação: 
( )( )
( )
( )








∂
θ∂−
∂
∂
=







∂
+θ−∂
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂ ∞∞∞
*
*
i
*
*
i
2
2
xL
TT
xLx
TTT
xx
T
xx
T
 
 
( )
( )
( )
2*
*2
2
i
*
*
*
i
xL
TT
xLxL
TT
∂
θ∂−
=







∂
θ∂
∂
∂−
= ∞∞ 
 
( )[ ] ( )
t
TTTTT
tt
T *
i
*
i ∂
θ∂
−=+θ−
∂
∂
=
∂
∂
∞∞∞
 
Substituindo na equação: 
 
( ) ( )
t
TT
xL
TT *i
2*
*2
2
i
∂
θ∂
α
−
=
∂
θ∂− ∞∞ 
( ) ( ) FoL/ttL/
1
x
*
2
**
22*
*2
∂
θ∂
=
α∂
θ∂
=
∂
θ∂
α
=
∂
θ∂
 
 
 
 
 
 11 
Fox
*
2*
*2
∂
θ∂
=
∂
θ∂
 
 
Condição Inicial: 0Foem1
* ==θ 
 
Condições de Contorno: 
1xemBi
x
0xem0
x
**
*
*
*
*
*
=θ−=
∂
θ∂
==
∂
θ∂
 
 
( ) ( )Bi,Fo,xL,T,T,h,k,,t,xTT ***i θ=θα= ∞ 
 
 
 12 
Parede Plana com Convecção: 
 
a) Solução Exata: 
+L
h,T
oo
h,T
oo
x
-L
 
 
( ) ( )*n2n
1n
n
* xcosFoexpC ζζ−=θ ∑
∞
=
 
 
( )nn
n
n
2sen2
sen4
C
ζ+ζ
ζ
= 
nζ são as raízes positivas de Bitg nn =ζζ 
 
As quatro primeiras raízes são fornecidas no Apêndice B3 (Incropera) 
 
b) Solução aproximada: 2,0Fo > ⇒ Truncar a série no primeiro termo!!! 
 
( ) ( )*1211* xcosFoexpC ζζ−=θ 
 
 13 
 
 14 
 
 
Transferência total de energia: 
 
(Quantidade de energia que deixou a parede até um dado instante de tempo t) 
 
( ) ( )0EtEEEE acse −=∆=− 
 
( ) ( )( )0EtEQEs −−== 
 
( )[ ]dVTt,xTcQ ip∫ −ρ−= 
 
Definindo: [ ]∞−ρ= TTVcQ ip0 
 
( )[ ]
V
dV
TT
Tt,xT
c
c
Q
Q
i
i
p
p
0
∫
∞−
−−
ρ
ρ
= 
 
∞∞
∞
−
−
=θ−
−
−
=
θ
θ
=θ
TT
TT
1
TT
TT
i
i*
ii
* 
 
( )dV1
V
1
Q
Q *
0
∫ θ−= 
Utilizando a forma aproximada da equação para θ*: 
 
 15 
*
0
1
1
0
sen1
Q
Q
θ
ζ
ζ
−= 
 
em que ( )FoexpC 211*0 ζ−=θ 
 
(temperatura no centro da parede, x=0) 
 
 
 
Sistemas radiais com Convecção: 
 
a) Cilindro 
 
( ) ( )*1o211* rJFoexpC ζζ−=θ 
 
 
 *0θ 
 
em que 200
* r/tFoer/rr α== 
 
( )11
1
*
0
0
J
2
1
Q
Q
ζ
ζ
θ
−= 
 
 
 
 
 16 
b) Esfera 
 
( ) ( )*1*
1
2
11
*
rsen
r
1
FoexpC ζ
ζ
ζ−=θ 
 
 
 
*
0θ 
 
( ) ( )[ ]113
*
0
0
cossen
3
1
Q
Q
1
ζζ−ζ
ζ
θ
−= 
 
 
 
 
 
 17 
Exercícios 
 
1. Em tratamento térmico para têmpera de esferas de aço de rolamentos (c=500 J/kgK; ρ=7800 kg/m3; k=50 
W/Mk), é desejável elevar a temperatura da superfície por um pequeno tempo sem aquecimento significativo 
do interior da esfera. Esse tipo de aquecimento pode ser obtido imergindo subitamente a esfera em um banho 
de sal liquefeito a 1300K (h=5000 W/m
2
K). Admitir que qualquer local da esfera cuja temperatura exceda 
1000K irá ser temperado. Estime o tempo necessário para alcançar a profundidade de têmpera de 1 
milímetro em uma esfera com 20mm de diâmetro, se a sua temperatura inicial for 300K. 
 
2. Uma pedra esférica de granizo de 5 mm de diâmetro é formada em nuvens de elevada altitude a -30
o
C. Se a 
pedra começa a cair através do ar morno a 5
o
C, quanto tempo ela levará para que a superfície externa comece 
a descongelar? Qual é a temperatura no centro do granizo neste instante? Um coeficiente de transmissão de 
calor por convecção de 250 W/m
2
K pode ser considerado, e as propriedades do granizo podem ser tomadas 
como as propriedades do gelo (ρ=920kg/m3; cp=2040 J/kg; k=1,88 W/mK ). 
 
 
modulo5_calor.pdf
 
 1
TRANSMISSÃO DE CALOR POR CONVECÇÃO 
Conceitos Fundamentais 
 
Problema básico de transmissão de calor por convecção: 
 
 
 
v,T
oo
Asup, Tsup
q"
 
 
Fluxo térmico local: ( )∞−=′′ TThq sup 
 
h = coeficiente local de transferência de calor por convecção 
 
Como as condições do escoamento variam ponto a ponto na superfície, q” e h variam de ponto a ponto. 
 
 
 
 
 
 2
Taxa total de fluxo de calor: 
 
 
( ) ∫∫ ∞−=′′=
supsup A
supsup
A
sup hdATTdAqq 
 
 
Coeficiente médio de transferência de calor por convecção: 
 
( )∞−= TTAhq supsup 
 
∫=
supA
sup
sup
hdA
A
1
h 
 
Caso especial: escoamento sobre placa plana 
 
wdxdALwA supsup =⇒×= 
 
∫=
L
0
hdx
L
1
h 
 
 
 
 
 
 
 
 3
Problema: 
 
O escoamento do ar atmosférico paralelo à superfície de uma placa plana com comprimento L=3m é 
perturbado por uma série de bastões estacionários posicionados na sua trajetória. Medidas do coeficiente local 
de transferência de calor por convecção na superfície da placa foram efetuadas em laboratório para um dado 
valor de V, com ∞> TTsup . Os resultados são correlacionados por uma expressão na forma hx=0,7+13,6x-
3,4x
2
, onde hx possui unidades de W/m
2
K e x está em metros. Avalie o coeficiente médio de transferência de 
calor por convecção sobre toda a placa ( Lh ), bem como a razão LL h/h na aresta traseira (x=L) da placa 
 
 4
Problema da convecção: determinação do coeficiente convectivo 
 
 
As Camadas Limites da Convecção 
 
 
 
Fluidodinâmica 
δ(x)
U
oo
U
oo
 
 
δ = espessura da camada limite 
δ = valor de y para o qual u=0,99 ∞U 
 
 
 
 
 5
Térmica 
δ
t
(x)
U
oo
, T
oo Too
T
sup 
 
δt = espessura da camada limite térmica 
δ = valor de y para o qual 99,0
TT
TT
sup
sup =
−
−
∞
 
 
Como isto pode ser correlacionado com o coeficiente convectivo? 
 
(
)∞
=
−=
∂
∂
−=′′ TTh
y
T
kq sup
0y
fsup 
 
a velocidade do fluido é zero em y=0!!!! 
 
∞
=
−
∂
∂
−=
TT
y
T
k
h
sup
0y
f
 
 
Logo, para conhecer o valor de h eu preciso saber como a temperatura varia dentro da camada limite!!! 
 
 
 6
Regime estacionário, camada limite térmica bidimensional 
 
q
y
v
x
u
3
2
y
v
x
u
2
x
v
y
u
y
T
k
yx
T
k
xy
T
v
x
T
uc
2222
p
&+














∂
∂
+
∂
∂
−














∂
∂
+





∂
∂
+





∂
∂
+
∂
∂
µ
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=





∂
∂
+
∂
∂
ρ
 
 
Para calcular a variação de temperatura, preciso conhecer a variação do perfil de velocidade na camada limite 
 
Princípio da conservação da massa (continuidade): 
 
( ) ( )
0
y
v
x
u
=
∂
ρ∂
+
∂
ρ∂
 
 
Princípio da conservação da quantidade de movimento: 
 
Direção x: 
 
X
x
v
y
u
yy
v
x
u
3
2
x
u
2
xx
P
y
u
v
x
u
u +











∂
∂
+
∂
∂
µ
∂
∂
+


















∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
µ
∂
∂
+
∂
∂
−=





∂
∂
+
∂
∂
ρ 
 
 
 
 
 
 
 7
Direção y: 
 
Y
x
v
y
u
xy
v
x
u
3
2
y
v
2
yy
P
y
v
v
x
v
u +











∂
∂
+
∂
∂
µ
∂
∂
+


















∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
µ
∂
∂
+
∂
∂
−=





∂
∂
+
∂
∂
ρ 
 
Aproximações e condições especiais: 
 
Incompressível, propriedades físicas constantes, forças de corpo desprezíveis, sem geração de energia. 
 
Simplificações das camadas limites 
 
Fluidodinâmica 
 
x
v
,
y
v
,
x
u
y
u
vu
∂
∂
∂
∂
∂
∂
>>
∂
∂
>>
 
 
Térmica 
x
T
y
T
∂
∂
>>
∂
∂
 
 
 
 8
Equações simplificadas: 
0
y
v
x
u
=
∂
∂
+
∂
∂
 
2
2
y
u
x
P1
y
u
v
x
u
u
∂
∂
ν+
∂
∂
ρ
−=
∂
∂
+
∂
∂ 
0
y
P
=
∂
∂ 
2
p
2
2
y
u
cy
T
y
T
v
x
T
u 





∂
∂ν
+
∂
∂
α=
∂
∂
+
∂
∂
 
 
 
Adimensionalização das equações: 
 
sup
sup***
TT
TT
T
U
v
v
U
u
u
−
−
===
∞∞∞
 
 
0
y
v
x
u
*
*
*
*
=
∂
∂
+
∂
∂
 
2*
*2
L
*
*
*
*
*
*
*
*
y
u
Re
1
dx
dP
y
u
v
x
u
u
∂
∂
+−=
∂
∂
+
∂
∂ 
2*
*2
L
*
*
*
*
*
*
y
T
PrRe
1
y
T
v
x
T
u
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
 
 
 
 
 9
Parâmetros Adimensionais: 
 
 
Número de Reynolds: 
µ
ρ
=
ν
= ∞∞
LULU
ReL 
 
 
ascosvisforças
inerciaisforças
L/V
L/VVL
Re
2
2
L =
µ
ρ
=
µ
ρ
= 
Número de Prandtl: 
k
c
Pr
pµ=
α
ν
= 
 
 
térmicadedifusivida
movimentodededifusivida
Pr =
α
ν
= 
 
(efetividade relativa dos transportes de quantidade de movimento e de energia) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
E daí???? Eu não queria calcular o h???? 
 
 
sup
0yf
sup
0yf
TT
y/Tk
TT
y/Tk
h
−
∂∂
=
−
∂∂
−=
∞
=
∞
=
 
 
y
T
L
TT
y
T sup
*
*
∂
∂−
=
∂
∂ ∞
 
 
0y
*
*
f
*y
T
L
k
h
=∂
∂
= 
 
Número de Nusselt: 
f0y
*
*
k
hL
y
T
Nu
*
=
∂
∂
=
=
 
 
Gradiente adimensional de temperatura na primeira camada de fluido em contato com o sólido 
Não confundir com Biot!!!! 
 
itelimcamadanaconvecçãoàaresistênci
sólidonoconduçãoàaresistênci
k
hL
Bi == 
 
 
 
 11 
( )*TfNu = 
 
( )Pr,Re,y,x,v,ufT L***** = 
( )L***** Re,dx/dP,y,xfu = 
 
( )Pr,Re,xfNu L*= 
 
 
correlações empíricas... 
 
 
 
nm
xx
nm
L PrReCNuPrReCuN == 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
Exercícios: 
 
1) Em uma aplicação específica que envolve o escoamento de ar sobre uma superfície aquecida, a distribuição de 
temperaturas na camada limite pode ser aproximada pela expressão 
 
 
onde y é a distância normal à superfície, e o no de Prandtl ( 7,0k/cPr p =µ= ) é uma propriedade adimensional do 
fluido. Se T∞ = 400K, Tsup = 300K e ν∞ /u = 5000 m
-1
, qual é o fluxo térmico na superfície? 
 
2) Um objeto, de forma irregular, possui um comprimento característico L1 = 1 m e é mantido a uma temperatura 
superficial uniforme Tsup = 400K. Quando colocado ao ar atmosférico, a uma temperatura T∞ = 300K e movendo-se 
a uma velocidade V = 100m/s, o fluxo térmico médio da superfície do objeto para o ar é de 20000 W/m
2
. Se um 
segundo objeto com a mesma forma e um comprimento característico L = 5 m for mantido a uma temperatura 
superficial Tsup = 400K e colocado ao ar atmosférico a uma temperatura T∞ = 300K , qual será o valor do 
coeficiente médio de transferência de calor por convecção se a velocidade do ar for V = 20m/s? (Resposta: 40 
W/m
2
K). 
 






ν
−−=
−
− ∞
∞
yu
Prexp1
TT
TT
sup
sup
 
 13 
3 ) Medidas experimentais do coeficiente de transferência de calor por convecção em uma barra de seção quadrada em 
meio a um escoamento perpendicular forneceram os seguintes valores: 
Km/W50h 21 = quando s/m20v1 = 
Km/W40h 22 = quando s/m15v2 = 
L = 0,5 m
ar
 
Suponha que a forma funcional do número de Nusselt seja dada pela expressão Nu=CRe
m
Pr
n
, onde m e n são 
constantes. 
1) Qual será o coeficiente de transferência de calor por convecção para uma barra similar com L=1m, quando V 
= 15 m/s? 
2) Qual será o coeficiente de transferência de calor por convecção para uma barra similar com L=1m, quando V 
= 30 m/s? 
3) Seus resultados seriam os mesmos se o lado da barra fosse usado como o seu comprimento característico em 
lugar da sua diagonal? 
 
 14 
4) A cozinha de um restaurante possui uma chapa quente de 1,22m, que é utilizada no preparo de alimentos grelhados. 
Para
resfriar o ambiente nas proximidades da chapa, foi instalado um ventilador em sua borda, soprando ar 
(k=0,03001 W/mK; ν=2,079x10-5m2/s e Pr=0,697) a 33oC e uma velocidade de 2 m/s. Considerando que a chapa se 
encontra a 120
o
C e apresenta 80cm de largura, calcule o total de calor dissipado. Considere que o escoamento de ar 
sobre a placa é laminar, e que a seguinte correlação é válida para o cálculo do número de Nusselt local: 
 
3/1
4/3
i3/12/1
xx
x
x
1PrRe332,0Nu
−













−= , em que xi se refere à porção não aquecida da superfície. Avalie a 
variação do valor do coeficiente convectivo ao final da placa se o ventilador for reposicionado a 1m da borda, em 
comparação com a situação anterior. 
 
 15 
Analogia de Reynolds: 
 
Equações da camada limite: 
2*
*2
L
*
*
*
*
*
*
*
*
y
u
Re
1
dx
dP
y
u
v
x
u
u
∂
∂
+−=
∂
∂
+
∂
∂ 
2*
*2
L
*
*
*
*
*
*
y
T
PrRe
1
y
T
v
x
T
u
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
 
 
Para 0
dx
dP
*
*
= e 1Pr = as equações são equivalentes???? 
 
Portanto, as formas funcionais das soluções também podem ser consideradas equivalentes... 
 
Nu
2
Re
C
*y
*T
Re
2
*y
*u
Re
2
C Lf
0*yL0*yL
f =⇒∂
∂
=
∂
∂
=
==
 
 
Como St
2
C
PrRe
Nu
St f =⇒= ⇐ Analogia de Reynolds 
 
Analogias modificadas de Reynolds (Chilton-Colburn): 
 
H
3/2f jPrSt
2
C
== ( )60Pr6,0 << 
 
 Fator j de Colburn para transf. Calor 
 
 
 16 
Escoamento laminar: válido para 0
*dx
*dP
= 
 
Escoamento turbulento: menor sensibilidade ao gradiente de pressão 
 
 
Problema: 
 
 
Ar atmosférico escoa em corrente paralela (u∞ = 15 m/s, T∞ = 15 
o
C) sobre um aquecedor de placa que 
deve ser mantido a uma temperatura de 140 
o
C. A área da superfície do aquecedor é de 0,25 m
2
 e o 
escoamento de ar induz uma força de arraste de 0,25 N sobre o aquecedor. Qual é a potência elétrica 
necessária para manter a temperatura da superfície prescrita?