Slides com Exercícios Convecção

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TRANSMISSÃO DE CALOR POR CONVECÇÃO 
 
Convecção Forçada: Escoamentos Externos
 
 
 
1 Ref. livro-texto: capítulo 7, Escoamento Externo 
TRANSMISSÃO DE CALOR POR CONVECÇÃO 
Convecção Forçada: Escoamentos Externos1 
 
 
 
1
 
 2
Correlações Empíricas: 
 
u
oo
,T
oo q
 
 
Correlações locais ou médias: 
 ( )Pr,Re,xfNu x*x = 
 
( )Pr,RefuN L= 
 
 
nm
xx
nm
L PrReCNuPrReCuN == 
 
Dois tipos genéricos de correlações 
 
a) As propriedades térmicas do fluido são estimadas na temperatura de filme 
 
��	 =	
�� +	��
2
	 
 
b) As propriedades térmicas do fluido são estimadas na temperatura do fluido não perturbado (��	). 
 
Fator de correção: (
��/
��) ou (��/��) 
 
 
 3
Escoamento Paralelo sobre placa plana 
 
Escoamento Laminar: solução de similaridade 
 
Considerações: escoamento incompressível, regime estacionário, propriedades constantes, dissipação viscosa desprezível 
 
Equações da camada limite: 
 
0
y
v
x
u
=
∂
∂
+
∂
∂
 
2
2
y
u
x
P1
y
u
v
x
u
u
∂
∂
ν+
∂
∂
ρ
−=
∂
∂
+
∂
∂ 
0
y
P
=
∂
∂ 
2
p
2
2
y
u
cy
T
y
T
v
x
T
u 





∂
∂ν
+
∂
∂
α=
∂
∂
+
∂
∂
 
 
 
Utilização da função corrente (satisfação automática da continuidade) 
 
x
v
y
u
∂
ψ∂
−≡
∂
ψ∂
≡ 
Definição de novas variáveis: 
 
x/uy ν=η ∞ ( )
∞∞ ν
ψ
=η
u/xu
f 
 
 4
 
Solução de similaridade (Blasius): 
 
( )ηφ=





δ
φ=
∞
y
u
u
 
 
 
Substituindo na equação da conservação da quantidade de movimento: 
 
2
2
3
3
d
fd
f
d
fd
2
η
+
η
 
 
Condições de contorno: ( ) 1
d
df
e00f
d
df
0
=
η
==
η ∞=η=η
 
 
Solução: 
 
xRe
x5
x/u
5
=
ν
=δ
∞
 
 
2/1
x2
x,s
x,f Re664,0
2/u
C −
∞
=
ρ
τ
= 
 
 
 
 
 
 
 5
Equação de conservação de energia (temperatura adimensional): 
 
s
s
2
2
TT
TT
*T0
d
*dT
f
2
Pr
d
*Td
−
−
≡=
η
+
η ∞
 
 
Condições de contorno: ( ) ( ) 1*Te00*T =∞= 
 
Resolução por integração numérica para diferentes valores de Pr 
 
 
Para 6,0Pr ≥ , pode-se utilizar a seguinte relação: 3/1
0
Pr332,0
d
*dT
=
η =η
 
 
 
Portanto, 6,0PrPrRe332,0
k
hx
Nu 3/12/1xx ≥=≡ 
 
 
CORRELAÇÃO LOCAL (cálculo do h local) 
 
 
6,0PrPrRe664,0
k
hL
uN 3/12/1L ≥=≡ 
 
 
 
CORRELAÇÃO MÉDIA (cálculo do h médio) 
 
 6
 
 
Para fluidos com número de Prandtl muito pequeno (metais líquidos), o desenvolvimento da camada limite térmica é muito 
mais rápido que o desenvolvimento da camada limite hidrodinâmica 
 
 
Considera-se velocidade uniforme através da CL térmica 
 
100Pe;6,0PrPe565,0
k
hx
Nu x
2/1
xx ≥≤=≡ 
 
Outras correlações empíricas estão disponíveis: 
 
Churchill e Ozoe (independente de Pr) 
 
Chilton e Colburn (escoamento turbulento) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7
Correlações Empíricas: Metodologia para cálculo 
 
1. Reconhecer a geometria do escoamento 
2. Especificar a temperatura de referência apropriada e avaliar as propriedades do fluido nesta temperatura (Pr?) 
Geralmente utiliza-se a temperatura de filme 
Se as variações de temperatura ou de propriedades do fluido forem muito extensivas, utiliza-se a temperatura do fluido (Too) 
3. Calcular o número de Reynolds (laminar ou turbulento?) 
 
VERIFICAR A APLICABILIDADE DA CORRELAÇÃO!!!!! (Re, Pr, outros) 
 
4. Selecionar a correlação apropriada..(pode haver mais de uma correlação que seja aplicável, média ou local...) 
 
Geralmente as correlações mais recentes apresentam valores inferiores de erro experimental.... 
 
Estratégia de resolução de problemas: 
 
Utilizar as tabelas resumo de correlações para definir a correlação 
 
Verificar as informações específicas no texto. 
 
TRAZER O LIVRO TEXTO PARA A AULA!!!!!!!!!!!!!!!! 
ESTUDAR OS EXEMPLOS RESOLVIDOS 
 
RESOLVER PROBLEMAS!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 
 
 
 8
TABELA RESUMO DE CORRELAÇÕES – ESCOAMENTO EXTERNO 
 
PLACA PLANA 
 
 
 
‘ 
 
 
Observação – haverá diferença de correlações (número da equação, disponibilidade de correções) em função da edição do livro 
 
 
 9
TABELA RESUMO DE CORRELAÇÕES – ESCOAMENTO EXTERNO 
 
CILINDRO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2
TABELA RESUMO DE CORRELAÇÕES – ESCOAMENTO EXTERNO 
 
OUTRAS GEOMETRIAS 
 
 
 
 
 3
 Exercícios: 
 
 (7.9) Um aquecedor elétrico de ar é constituído por um conjunto horizontal de finas tiras 
metálicas que possuem, cada uma, 10 mm de comprimento na direção do escoamento do ar, que é 
paralelo à superfície superior das tiras. Cada tira possui 0,2 m de largura e 25 tiras são 
posicionadas lado a lado, formando uma superfície lisa e contínua sobre a qual o ar escoa a uma 
velocidade de 2 m/s. Durante a operação, cada tira é mantida a uma temperatura de 500oC, 
enquanto o ar encontra-se a 25oC. Qual é a taxa de transferência de calor por convecção na 
primeira tira? E na quinta tira? Na décima tira? Em todas as tiras? 
 
(7.57) Admita que uma pessoa possa ser aproximada por um cilindro com 0,3 m de diâmetro e 
1,8 m de altura, com uma temperatura superficial de 24oC. Calcule a perda de calor do corpo 
quando essa pessoa é submetida ao contato com uma rajada de vento a 15m/s cuja temperatura é 
de -5oC. 
 
 
 4
Escoamento através de feixes de tubos 
 
(geração de calor em caldeiras, serpentina de ar condicionado, trocadores de calor, etc.) 
 
 
 
 
 
 
Alinhado Alternado
 
 5
Propriedades são avaliadas na temperatura média do filme (média entre a temperatura média do fluido e 
temperatura da superfície sólida) ou na temperatura média do fluido, dependendo da correlação. 
 
Temperatura média do fluido: 
2
TT
T oi
+
=
 
Média de T do fluido entrando e saindo do banco de tubos!!!!
 
 
Temperatura média do filme: 
2
TT
T sf
+
=
 
ReMax baseado na velocidade máxima do fluido 
 
 
 
 
 
Alinhado Alternado
 
 6
Correlações: 
 
( )40000Re2000,10N
)60.7(7,0PrPrReC13,1
k
hD
uN
max,DL
3/1m
max,D1D
<<≥
≥=≡
 
 
 
 
 7
Correlação mais recente: Zhukaukas (7.64) 
 
Propriedades avaliadas na temperatura média do fluido, exceto Prs 
 
 
 
 8
Fator de correção disponível para NL < 10 
 
 
Com a correlação (7.60): 
(7.61) 
 
Com a correlação (7.64): 
 
(7.65) 
 
 
 
 
 9
Avaliação do calor: 
 
TAhq ∆=
 Qual o valor apropriado de ∆T?????? 
 
 
Verificação do valor de To: 
 
 
 
Exercício: (7.84) Um pré-aquecedor envolve o uso de vapor condensado a 100oC no interior de um banco de 
tubos, para aquecer o ar que entra a 1 atm e 25oC. O ar escoa a 5m/s em escoamento
cruzado sobre os tubos. 
Cada tubo possui 1 m de comprimento e um diâmetro externo de 10mm. O banco consiste em 196 tubos 
dispostos em arranjo quadrado alinhado, para o qual ST=SL=15mm. Qual a taxa de transferência total de calor 
para o ar? 
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 1
Convecção Forçada: Escoamentos Internos1 
 
• Necessidade de se estabelecer valores de referência para a velocidade e temperatura do fluido. 
 
Camada Limite Térmica: 
 
 
 
 
1 Ref. livro-texto: capítulo 8, Escoamento Interno 
 
 2
Se a condição da superfície sólida for mantida constante (temperatura ou fluxo de calor) ⇒ Camada Limite Térmica 
Completamente Desenvolvida 
 
Comprimento de entrada térmico: 
 
Escoamento laminar: 
 
 
Escoamento turbulento: 
 
 
 
Valores de Referência 
 
• Velocidade média (vazão em massa): srmAum ρ=& 
• Temperatura média (média de mistura) 
Baseada na energia térmica transportada pelo fluido 
 
mvsr
A
vt TcmTdAucE
sr
&& =ρ= ∫ 
v
sr
A
v
m cm
TdAuc
T sr
&
∫ρ
= 
 
 
 
 
 
 3
 
Escoamento incompressível, tubo circular, cv constante: 
 
∫=
or
0
2
0m
m uTrdr
ru
2
T 
 
Lei do Resfriamento de Newton: 
 
( )msupsup TThq −=′′ 
(Tm varia com a posição...) 
 
Balanço de Energia: 
 
• Avaliar como Tm varia ao longo da tubulação 
• Avaliar como qconv é relacionada com as diferenças de temperaturas na entrada e saída do tubo 
 
 
 
• Variações de energia cinética e potencial do fluido e transferência de calor por condução na direção axial são desprezíveis 
• Significativos: variação de energia térmica e trabalho de fluxo (Pυ) 
 
m Tm+dmTm
dq
conv
dxx
 
 4
( ) ( ) ( ) 0dx
dx
PvTcd
mPvTcmPvTcmdq mvmvmvconv =


 +++−++ &&& 
 
( )PvTcdmdq mvconv += & 
 
gás ideal ou líquidos incompressíveis [d(Pv)<<d(cvTm) e cp=cv]: 
 
mpconv dTcmdq &= 
Integrando ao longo do tubo: 
( )e,ms,mpconv TTcmq −= & 
 
mpsconv dTcmPdxqdq &=′′= 
 
( ) )38.8(TTh
cm
P
cm
Pq
dx
dT
ms
pp
sm −=
′′
=
&&
 
 
Ts > Tm ⇒ o calor é transferido da parede para o fluido ⇒ Tm aumenta com x 
 
Ts < Tm ⇒ o calor é transferido do fluido para a parede ⇒ Tm diminui com x 
 
 
 
 
 5
Fluxo de calor constante na superfície: 
 
PLqq sconv ′′= 
 
Como ⇒=′′ tetanconsqs tetanconscm
Pq
dx
dT
p
sm =
′′
=
&
 
Integrando de 0 a x: x
cm
Pq
T)x(T
p
s
e,mm
&
′′
+= 
 
Da equação 8.38, Ts também varia linearmente com x 
 
 
 
 
 6
 
Temperatura de superfície constante: 
 
Seja: T
cm
Ph
dx
Td
dx
dT
TTT
p
m
ms ∆=
∆
−=⇒−=∆
&
 
 
Separando variáveis e integrando da entrada até a saída do tubo: 
 






−=
∆
∆
∫∫
∆
∆
hdx
L
1
cm
PL
T
Td L
0p
T
T
s
e
&
 
 
( )a42.8h
cm
PL
TT
TT
ln
pe,ms
s,ms
&
−=








−
−
 
 
 
Se a integração fosse feita até um ponto x da tubulação: 
 
( )tetanconsTh
cm
Px
TT
TT
ln s
pe,ms
s,ms
&
−=








−
−
 
 
(A diferença de temperatura entre a superfície (Ts) e o fluido (Tm) decresce exponencialmente com x) 
 
 
Voltando à equação do balanço de energia: 
 
( ) ( ) ( )[ ] ( )seps,mse,mspe,ms,mpconv TTcmTTTTcmTTcmq ∆−∆=−−−=−= &&& 
 
 7
( )se
conv
p TT
q
cm
∆−∆
=& 
Substituindo o valor de pcm& obtido da equação 8.42a: 
( )
( )se
es
conv TTT/Tln
hPL
q ∆−∆
∆∆
−= 
 
lmsconv TAhq ∆= 
 
( )es
es
lm T/Tln
TT
T
∆∆
∆−∆
=∆ 
 
(média logarítmica da diferença de temperatura) 
 
 
 
 8
E se conhecermos somente a temperatura do fluido externo escoando sobre a tubulação? 
 
 
Substitui-se Ts por T∞ e h por U (coeficiente global - resistências) 
 
lmsconv TAUq ∆= 
 
 
 
 
Correlações Empíricas: Seções 8.4 a 8.7 (págs. 337 – 348) 
T
m,e
T
m,s
m,h
i
 
 9
 
 
 10 
 
Intensificação da Transferência de Calor (aumentar h): 
 
• Induzir turbulência 
 
 
 
 
 11 
 
• Introduzir aletas 
 
 
 
• Cuidado com o aumento na queda de pressão!!! 
 
E se não houver uma correlação apropriada? CFD!!!!!! 
 
 
 12 
Problemas: 
 
(8.22) Óleo de motor escoa a uma taxa de 0,02 kg/s através de um tubo de 3 mm de diâmetro e 30m de comprimento. A 
temperatura de entrada do óleo é 60oC enquanto a temperatura da parede é mantida a 100oC por meio da condensação de vapor 
na sua superfície externa. Estime o coeficiente médio de transferência de calor para o escoamento interno do óleo e determine a 
temperatura de saída do óleo. 
 
 (8.58) Considere um tubo metálico, de parede fina, 1m de comprimento e 3mm de diâmetro interno. 0,015kg/s de água entram 
no tubo a uma temperatura de 97oC (Tm,e). Calcule o valor da temperatura de saída da água, se a superfície do tubo for mantida a 
27oC. Recalcule esta temperatura, considerando a aplicação de uma camada de 1mm de espessura de um isolante (k=0,05 
W/mK) sobre a tubulação em contato com ar a 27oC (h=5 W/m2K). 
 
Um tubo metálico horizontal (8 cm de diâmetro e 10 m de comprimento), encontra-se imerso em água a 20 oC (h=2000 
W/m2K). Calcule o calor total dissipado, sabendo que água superaquecida a 120oC escoa no interior do deste tubo a uma vazão 
de 0,5kg/s. 
 
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 1
TRANSMISSÃO DE CALOR POR CONVECÇÃO1 
Convecção Livre 
 
 
 
Decorrente da atuação de uma força de corpo sobre um fluido no qual existem gradientes de massa específica 
(geralmente decorrente de um gradiente de temperatura) 
 
 
Força de empuxo 
 
 
Movimento do fluido 
 
 
 
1
 Ref. livro-texto: capítulo 9, Convecção Livre 
 
 2
Considerações Físicas: 
 
• Na prática a força de corpo é normalmente a gravitacional 
 
• A presença de um gradiente de massa específica do fluido em um campo gravitacional não garante a 
existência de correntes de convecção livre 
 
 
T
1
T
2
> ρ
< ρ
instável
T
2
 > T
1
 => ρ
2
 < ρ
1
T
1
T
2
< ρ
> ρ
estável
T
2
 < T
1
 => ρ
2
 > ρ
1 
 
 
 
 3
Classificação: 
 
• Ausência de superfície limitante: pluma, jato flutuante 
 
 
 
 
 
 4
• Presença de superfície limitante: placa, cavidade, etc. 
 
 
 
Placa plana vertical aquecida 
U
oo
U
oo
x
T
s
T
oo
y
g
u(y)
 
 
 5
Equações: 
 
Escoamento laminar, bidimensional, propriedades constantes, incompressível???? 
 
 
Princípio da conservação da quantidade de movimento: 
 
Direção x (direção do escoamento): 
 
2
2
x
u
g
x
P1
y
u
v
x
u
u
∂
∂
ν+−
∂
∂
ρ
−=
∂
∂
+
∂
∂
Gradiente de pressão: 
2
2
x
u
g
y
u
v
x
u
ug
x
P
∂
∂
ν+





ρ
ρ−ρ
=
∂
∂
+
∂
∂
⇒ρ−=
∂
∂ ∞
∞ 
 
 Forças de empuxo 
 
Se as variações em massa específica são decorrentes de variações em temperatura: 
 
( )
ρ
ρ−ρ
=−β⇒





−
ρ−ρ
ρ
−=





∆
ρ∆
ρ
−≈





∂
ρ∂
ρ
−=β ∞∞
∞
∞ TT
TT
1
T
1
T
1
P
 
 
Gás Ideal: 
T
1
RT
P1
T
1
2
P
=
ρ
=





∂
ρ∂
ρ
−=β 
 
 6
 
Portanto: 
 
Continuidade: 0
y
v
x
u
=
∂
∂
+
∂
∂
 
Momentum: ( )
2
2
y
u
TTg
y
u
v
x
u
u
∂
∂
ν+−β=
∂
∂
+
∂
∂
∞ 
Energia: 
2
2
y
T
y
T
v
x
T
u
∂
∂
α=
∂
∂
+
∂
∂
 
 
 
Parâmetros adimensionais: 
∞
∞
−
−
=====
TT
TT
*T
u
v
*v
u
u
*u
L
y
*y
L
x
*x
soo
 
 
Continuidade: 0
*y
*v
*x
*u
=
∂
∂
+
∂
∂
 
Momentum: 
( )
2
2
L
2
o
s
*y
*u
Re
1
u
LTTg
*y
*u
*v
*x
*u
*u
∂
∂
+
−β
=
∂
∂
+
∂
∂ ∞ 
Energia: 
2
2
L *y
*T
PrRe
1
*y
*T
*v
*x
*T
*u
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
 
 
 
Número de Grashof: 
( ) ( )
2
3
s
2
o
2
o
s
L
LTTgLu
u
LTTg
Gr
ν
−β
=





ν
−β
= ∞∞ 
 
 7
(razão entre a força de empuxo e a força viscosa atuando no fluido) 
 
 





>>
≈
<<
desprezadaserpodeforçadaconvecção1
forçadaelivreconvecçãodecombinadosefeitos1
desprezadaserpodelivreconvecção1
Re
Gr
2
L
L 
 
 
Solução de similaridade para convecção laminar livre sobre uma placa vertical 
 
( )Prg
4
Gr
k
hx
Nu
4/1
x
x 




== 
 
( )Prg
4
Gr
3
4
k
Lh
uN
4/1
L
L 




== 
 
( )
( )
∞≤≤
++
= Pr0
Pr238,1Pr221,1609,0
Pr75,0
Prg
4/12/1
2/1
 (fig. 9.4) 
 
 
 
 8
Efeitos da Turbulência: 
 
As instabilidades hidrodinâmicas (decorrentes da instabilidade térmica) podem levar ao alcance do regime turbulento 
 
Para placas verticais, a transição ocorre quando 
 
( ) 93s
c,xc,x 10
xTTg
PrGrRa ≈
να
−β
== ∞ 
 
Correlações Empíricas: 
 
( )
να
−β
== ∞
3
s
L
n
LL
LTTg
RaqueemCRauN 
 
Em geral: ( )arminla4/1n = 
 ( )turbulento3/1n = 
 
Resumo das correlações: tabela 9.2 
 
Convecção livre no interior de canais de placas paralelas: 
 
 
Ler itens 9.7 e 9.8 e exemplos resolvidos (correlações empíricas) 
 
 
 
 
 
 
 9
 
 
 10 
 
 
 
 11 
Exercícios 
 
1.(9.10) Determine o coeficiente médio de transferência de calor por convecção para paredes verticais 
com 2,5m de altura de uma residência, tendo temperaturas respectivas do ar interior e da superfície da 
parede de (a) 20oC e 10oC e (b) 27oC e 37oC. 
 
2. (9.96) Uma janela vertical de painel duplo, que possui 1m em um lado e tem um espaço de 25mm 
preenchido com ar atmosférico, separa o ar ambiente em repouso a 20oC de um ar ambiente a -20oC. A 
troca de radiação entre os painéis da janela, bem como entre cada painel e sua vizinhança, pode ser 
desprezada. 
a) Desprezando a resistência térmica associada com a transferência de calor por condução através de 
cada painel, determine a temperatura correspondente de cada painel e a taxa de transferência de calor 
através da janela. 
b) Verifique a validade de se desprezar a resistência condutiva dos painéis, se cada um possui 6mm de 
espessura. 
 
 
 12 
Convecção combinada livre e forçada: 
 
1
Re
Gr
2
L
L ≈ (convecção mista) 
 
• Afetada pela direção da força de empuxo em relação à direção do escoamento 
• Escoamento paralelo (+) 
Ex: escoamento na direção ascendente sobre uma placa plana vertical aquecida 
• Escoamento oposto (-) 
Ex: escoamento na direção descendente sobre uma placa plana vertical aquecida 
• Escoamento transversal ou perpendicular (+) 
Ex: escoamento horizontal sobre uma placa plana horizontal aquecida, cilindro ou esfera 
 
n
N
n
F
n NuNuNu ±= 
 
(sinal decorrente do efeito de um fenômeno com relação ao outro) 
 
Boa correlação: n=3 (geral) 
escoamento horizontal sobre uma placa plana horizontal aquecida: n=3,5 
escoamento horizontal sobre cilindro ou esfera: n=4 
 
 13 
 
3. (9.110) Um tubo horizontal de 100mm de diâmetro passando óleo quente no seu interior é utilizado no 
projeto de um aquecedor de água industrial. Com base numa taxa de escoamento de água típica, a 
velocidade sobre o tubo é 0,5 m/s. O óleo quente mantém a superfície externa a 85oC e a temperatura da 
água é 37oC. Investigue o efeito da direção do escoamento na taxa de calor (W/m) para escoamentos (a) 
horizontal, (b) descendente e (c) ascendente. 
 
4. Uma placa vertical quadrada de circuito elétrico com 15 cm de altura deve apresentar temperatura 
máxima de 75ºC quando exposta ao ar ambiente a 25ºC. Sabendo que a placa é isotérmica, determinar o 
valor máximo de potência elétrica dissipado pela mesma, considerando as seguintes situações: 
a) Corrente de ar não forçada (convecção livre) 
b) Resfriamento com uma corrente descendente de ar a uma velocidade de 0,5m/s. 
c) Resfriamento com uma corrente horizontal de ar a uma velocidade de 0,5m/s. 
 
 
modulo9_calor.pdf
 
 1
TROCADORES DE CALOR1 
 
Classificação por tipo de construção: 
 
Tubos concêntricos: 
 
 
 
 
1 Ref. livro-texto: capítulo 11, Trocadores de Calor 
 
 
 2
 Casco e tubos: 
 
 
 
 3
 
 
 
 
 4
Chicanas: indução de turbulência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5
Compactos (arranjos densos de tubos aletados ou placas): 
 
 
 
 6
 
 
 
 
 
 
 7
 
Classificação por arranjo do escoamento: 
 
Tubos concêntricos ou casco e tubo com um passe nos tubos e casco: 
 
Correntes paralelas, contrárias ou cruzadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8
 
Casco e tubo: número de passes nos tubos e no casco: 
 
 
 
 
 9
Não misturado vs. misturado 
 
 
 
 
 10 
Coeficiente Global de Transferência de Calor: 
 
tR
T
TUAq
∆
=∆= 
hhcc AU
1
AU
1
UA
1
== (Ac e Ah são diferentes!!!) 
 
( ) ( ) ( ) ( )hoho
"
h,f
w
co
"
c,f
co hA
1
A
R
R
A
R
hA
1
UA
1
η
+
η
++
η
+
η
= 
 
Rw: resistência à condução na parede (geralmente pode ser desprezada) 
 
ηηηηo: eficiência
global da parede aletada 
 
R”f,c: fator de incrustação 
 
Trocadores de calor tubulares não aletados: 
 
( ) ( )
( )
( ) ( )e
"
e,f
e
i
i
"
i,f
i A
R
hA
1
kL2
D/Deln
A
R
hA
1
UA
1
++
π
++= 
 
 
 
 11 
Análise de Trocadores de Calor: 
 
Método DTML: 
 
 
( ) ( )e,cs,ccs,he,hh iimiimq −=−= && 
 
Sem mudança de fase e valor constante de calor específico para ambos os fluidos: 
 
( ) ( )e,cs,cc,pcs,he,hh,ph TTcmTTcmq −=−= && 
 
Relacionar a taxa de calor transferido com a diferença de temperatura entre os fluidos 
 
mTUAq ∆= 
 
 média apropriada 
 
 
 
 12 
Considerações: 
• Trocador de calor isolado da vizinhança 
• Condução axial desprezível 
• ∆∆∆∆Ec e ∆∆∆∆Ep desprezíveis 
• Cp´s constantes 
• U constante 
Balanço de energia: 
 
TdAUdTcmdTcmdq ccchhh ∆==−= && 
 
ch TTT −=∆ (diferença local de temperatura) 






+−=−−=−=∆
cchhcchh
ch cm
1
cm
1
dq
cm
dq
cm
dq
dTdTTd
&&&&
 
 






+∆−=∆
cchh cm
1
cm
1
TdAUTd
&&
 
 
dA
cm
1
cm
1
U
T
Td
cchh






+−=
∆
∆
&&
 
Integrando: 
 
 13 
∫





+−=∫
∆
∆∆
∆
dA
cm
1
cm
1
U
T
Td
cchh
T
T
2
1
&&
 
 
A
q
TT
q
TT
UA
cm
1
cm
1
U
T
T
ln e,cs,cs,he,h
cchh1
2





 −
+
−
−=





+−=





∆
∆
&&
 
 
[ ]e,cs,cs,he,h
1
2 TTTT
q
UA
T
T
ln −+−−=





∆
∆ 
 
Trocador operando com correntes paralelas: 
 
 
e,ce,h1,c1,h1 TTTTT −=−=∆ 
s,cs,h2,c2,h2 TTTTT −=−=∆ 
 
 
 14 
[ ] ( )[ ]s,cs,he,ce,he,cs,cs,he,h
1
2 TTTT
q
UA
TTTT
q
UA
T
T
ln −−−−=−+−−=





∆
∆ 
[ ]21
1
2 TT
q
UA
T
T
ln ∆−∆−=





∆
∆ 
 
( )12
12
T/Tln
TT
UAq
∆∆
∆−∆
= 
 
e,ce,h1,c1,h1 TTTTT −=−=∆ 
s,cs,h2,c2,h2 TTTTT −=−=∆ 
 
(eq. 11.16 está incorreta no livro texto, 5ª edição...) 
 
 
 15 
Trocador operando com correntes contrárias: 
 
 
s,ce,h1,c1,h1 TTTTT −=−=∆ 
e,cs,h2,c2,h2 TTTTT −=−=∆ 
 
 
 
Condições especiais de operação: 
 
 
 
 16 
CORRENTES CRUZADAS E PASSES MÚLTIPLOS 
 
cc,mlml TFT ∆=∆ 
 
 
(soluções gráficas disponíveis em edições mais antigas do livro) 
 
 17 
 
 
 
 
E se somente as temperaturas de entrada forem conhecidas? 
 
MÉTODO ITERATIVO... 
 
 
NÃO SE RECOMENDA A UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DTML NESTES CASOS!!!!! 
 
 
 18 
 
Exercícios: 
 
Considere um trocador de calor de tubos concêntricos operando em correntes contrárias, de 3 m 
de comprimento e diâmetro da tubulação interna de 50 cm. Durante um ensaio de teste, após 5 
anos de utilização do equipamento, óleo de motor escoando no tubo interno (0,1kg/s) foi 
resfriado de 110 para 65oC, utilizando água a 25oC e escoando a 0,2kg/s. Calcule o coeficiente 
global de transferência de calor U. Considerando que o valor de U informado pelo fabricante era 
de 40 W/m2K, avalie se ocorreu incrustração no trocador durante o tempo de serviço. Em caso 
afirmativo, calcule o fator de incrustração. 
 
Um fluido de processo com cp de 3500J/kgK e escoando a 2 kg/s deve ser resfriado de 80 a 50
oC 
com água fria, que é fornecida a 15oC e a uma vazão de 2,5 kg/s (cp = 4184 J/kgK). Admitindo 
um coeficiente global de transferência de calor de 2000 W/m2K, calcule a área de transferência 
de calor necessária para as seguintes configurações: (a) correntes paralelas e (b) correntes 
contrárias 
 
 19 
Método da Efetividade NUT: 
 
Taxa máxima de transferência de calor: 
 
Correntes contrárias, comprimento infinito: 
 
( )e,ce,hminmax TTCq −= 
 
( )
( )
( )
( )e,ce,hmin
e,cs,cc
e,ce,hmin
s,he,hh
max TTC
TTC
TTC
TTC
q
q
−
−
=
−
−
==ε 
 
( )e,ce,hmin TTCq −ε= 
(depende somente das temperaturas de entrada...) 
 






=ε
max
min
C
C
,NUTf 
 
Número de unidades de transferência: 
minC
UA
NUT ≡ 
 
max
min
C
C
Cr = 
 
 
 
 20 
Equações para cálculo da efetividade: 
 
Tipo de escoamento Equação 
Tubos concêntricos 
 Correntes paralelas ( )[ ]
r
r
C1
C1NUTexp1
+
+−−
=ε 
 Correntes contrárias ( )[ ]
( )[ ]
1C
NUT1
NUT
1C
C1NUTexpC1
C1NUTexp1
r
r
rr
r
=
+
=ε
<
−−−
−−−
=ε
 
Casco e tubos 
 Um passe no casco (2,4,... passes 
nos tubos) 
( ){
( )[ ]
( )[ ]
1
2/12
r
2/12
r
2/12
rr1
C1NUTexp1
C1NUTexp1
C1C12
−




+−−
+−+
×
+++=ε
 
n passes no casco (2n,4n,... passes 
nos tubos) 
1
r
n
1
r1
n
1
r1 C
1
C1
1
1
C1
−








−





ε−
ε−








−





ε−
ε−
=ε 
Correntes cruzadas (passe único) 
 Ambos os fluidos não-misturados 
( ) ( )( ){ }





−−





−=ε 1NUTCexpNUT
C
1
exp1 78,0r
22,0
r 
 Cmax (misturado) 
 Cmin (não-misturado) 
( )[ ]{ }( )NUTexp1Cexp1
C
1
r
r
−−−−





=ε 
 Cmin (misturado) 
 Cmax (não-misturado) 
( ) [ ]{ }( )NUTCexp1Cexp1 r1r −−−−=ε − 
Todos os trocadores (Cr = 0) [ ]NUTexp1 −−=ε 
 
 
 
 
 21 
Equações para cálculo do NUT: 
 
Tipo de escoamento Equação 
Tubos concêntricos 
 Correntes paralelas ( )[ ]
r
r
C1
C11ln
NUT
+
+ε−−
= 
 Correntes contrárias 
1C
1
NUT
1C
1C
1
ln
1C
1
NUT
r
r
rr
=
ε−
ε
=
<





−ε
−ε
−
=
 
Casco e tubos 
 Um passe no casco (2,4,... passes 
nos tubos) 
( )
( )
( ) 2/12r
r1
2/12
r
C1
C1/2
E
1E
1E
lnC1NUT
+
+−ε
=






+
−
+−=
−
 
n passes no casco (2n,4n,... passes 
nos tubos) 
Usar as equações para um passe no 
casco com: 
n/1
r
r
1 1
1C
F
CF
1F






−ε
−ε
=
−
−
=ε 
Correntes cruzadas (passe único) 
 Cmax (misturado) 
 Cmin (não-misturado) 
( )





ε−





+−= r
r
C1ln
C
1
1lnNUT
 
 Cmin (misturado) 
 Cmax (não-misturado) 
( )[ ]11lnCln
C
1
NUT r
r
+ε−





−=
 
Todos os trocadores (Cr = 0) ( )ε−−= 1lnNUT 
 
 
 
 22 
Para trocadores com mais de um passe no casco, o valor de NUT fornecido pela equação é 
POR PASSE!!!! 
 
Não há necessidade de se utilizar as figuras
11.10 a 11.15 (soluções gráficas) 
 
Projeto de um trocador de calor 
 
Dados: 
• Temperaturas de entrada dos fluidos 
• Vazões dos fluidos 
Objetivos: 
• Selecionar o tipo e especificar o tamanho do trocador para se obter a temperatura desejada na saída 
 
 
ESTUDAR OS EXEMPLOS RESOLVIDOS!!! 
 
 
 
 23 
Exercícios: 
1. Um trocador de calor casco e tubo com um passe no casco e 20 passes nos tubos utiliza água 
quente no lado dos tubos para aquecer óleo no lado do casco. Um único tubo de cobre tem 
diâmetros interno e externo de 20 e 24 mm, respectivamente, e um comprimento de 3 m por 
passe. A água (0,2 kg/s) entra a 97oC e sai a 27oC. O óleo entra a 7 e sai a 37oC. Sabendo que o 
coeficiente convectivo para a água é de 3500 W/m2K, qual é o coeficiente médio de convecção 
para a superfície externa do tubo? Baseie seus cálculos no método de efetividade NUT. 
 
2. Um trocador casco e tubo (dois cascos, quatro passes nos tubos) é utilizado para aquecer 
10.000kg/h de água pressurizada de 35oC a 120oC com 5000 kg/h de água entrando no trocador a 
350oC. Determine a área necessária de troca de calor, sabendo que o coeficiente global de 
transferência de calor é 1500 W/m2K. 
 
 
 
 
 
 24 
3. Um radiador de um automóvel pode ser visto como trocador de calor de correntes cruzadas com 
os dois fluidos não-misturados. Água, com uma vazão de 0,05 kg/s entra no radiador a 400K. A 
água é resfriada pelo ar que entra a 0,75 kg/s e 300K. Sabendo que a área de troca de calor é de 
1,6 m2 e que o coeficiente global de troca (U) é de 200 W/m2K, calcule as temperaturas de saída 
de ambos os fluidos. 
4. Propõe-se que os gases de descarga de uma planta de geração diesel-elétrica sejam utilizados 
para gerar vapor em um trocador de calor casco e tubo com um casco e um passe no tubo. Os 
tubos de aço possuem condutividade térmica de 40 W/mK, um diâmetro interno de 50 mm e 
uma espessura de parede de 4 mm. O gás de exaustão (2 kg/s) entra no trocador a 400oC e deve 
sair a 215oC. Utiliza-se água saturada a uma pressão de 11,71 bar no casco. Considerando que 
a velocidade do gás no tubo não pode ser superior a 25m/s, visando limitar a queda de pressão, 
determine o número de tubos a ser utilizado e seu comprimento. O coeficiente global de troca 
de calor nos tubos (Ui) é 62W/m
2K. As propriedades médias do gás são: 
;/10991.4;/0457.0;/1047;/6.0 253 smmKWkkgKJcmkg p
−×==== νρ )864.0Pr =