Processamento de Imagens - Filtro Laplaciano

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CARLOS EDUARDO BALDOINO 
LUCAS MARTINS SABADINI 
LUIZ FELIPE BARRO 
RAÍZA QUEIROZ E SILVA 
 
 
 
 
 
PROCESSAMENTO DE IMAGENS 
FILTRO LAPLACIANO 
 
 
 
 
Trabalho apresentado à disciplina 
Processamento de Imagens do Curso de 
Engenharia de Computação do Centro 
Universitário de Votuporanga – UNIFEV, 
ministrado pelo professor Fernando Bermejo 
Menechelli, como obtenção parcial de nota 
referente ao segundo bimestre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Votuporanga, 23 de novembro de 2016. 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
 
Figura 1 - Processo da Transformada de Laplace....................................................................... 4 
Figura 2 - Derivada de segunda ordem ....................................................................................... 5 
Figura 3 - Matriz de implementação .......................................................................................... 5 
Figura 4 - Aplicação do Filtro Laplaciano ................................................................................. 6 
Figura 5 - Resultado do Filtro Laplaciano .................................................................................. 6 
Figura 6 - Expressão do Filtro LoG ............................................................................................ 7 
Figura 7 - Representação em 2D do Filtro LoG ......................................................................... 7 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
1. TRANSFORMADA DE LAPLACE ...................................................................................... 4 
2. FILTRO LAPLACIANO ........................................................................................................ 5 
3. FILTRO LOG OU LAPLACIANO DO GAUSSIANO ......................................................... 7 
4. CONCLUSÃO ........................................................................................................................ 8 
5. REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 9 
 
4 
 
Figura 1 - Processo da Transformada de Laplace 
1. TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 
Sodré (2004), explica que o matemático Oliver Heaviside, ao estudar 
processos simples para obter soluções de Equações Diferenciais, desenvolveu um método 
de Cálculo Operacional, denominada Transformada de Laplace. 
Esse método é bem simples, sua principal função é transformar uma Equação 
Diferencial com condições iniciais (PVI: Problema com Valores Iniciais) em uma 
Equação Algébrica, objetivando uma solução do PVI de forma indireta sem necessitar 
calcular a solução geral da Equação Diferencial através de integrais e derivadas. 
Esse processo é extremamente útil em áreas como: Matemática, Computação, 
Engenharias, Física e demais ciências aplicadas. A Figura 1 ilustra o processo da 
Transformada de Laplace. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Sodré, 2004. 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Figura 2 - Derivada de segunda ordem 
Figura 3 - Matriz de implementação 
2. FILTRO LAPLACIANO 
 
 
De acordo com Guilhon (2013), o Filtro Laplaciano de uma função 
bidimensional f(x,y) é uma derivada de segunda ordem definida pela expressão (Figura 
2): 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: AZEVEDO, Eduardo; CONCI, Aura. 2009. 
 
 
A implementação desta equação na forma digital para o cenário de uma região 
3x3 pode ser definida como a matriz (Figura 3): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Guilhon, 2013. 
 
 
“A máscara percorre toda a imagem e cada pixel correspondente à posição 
central, terá seu valor alterado pela média ponderada dos pixels vizinhos. Após o cálculo 
6 
 
Figura 4 - Aplicação do Filtro Laplaciano 
Figura 5 - Resultado do Filtro Laplaciano 
do valor, este deve ser elevado ao quadrado, satisfazendo a magnitude do gradiente. ” 
(GUILHON, 2013). A Figuras 4 e 5 demonstram o resultado da aplicação do Filtro 
Laplaciano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Guilhon, 2013. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: AZEVEDO, Eduardo; CONCI, Aura. 2009 
7 
 
Figura 6 - Expressão do Filtro LoG 
Figura 7 - Representação em 2D do Filtro LoG 
3. FILTRO LOG OU LAPLACIANO DO GAUSSIANO 
 
 
Azevedo e Conci (2009) relatam que o filtro LoG (Laplacian of Gaussian) ou 
Filtro Laplaciano do Gaussiano é representado pela expressão da Figura 6. Na Figura 7 é 
mostrado sua representação na forma gráfica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: AZEVEDO, Eduardo; CONCI, Aura. 2009 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: AZEVEDO, Eduardo; CONCI, Aura. 2009 
8 
 
4. CONCLUSÃO 
 
 
A utilização dos filtros computacionais vem se tornando cada vez mais 
frequentes em várias áreas, principalmente na medicina, sendo muito eficazes na detecção 
de anomalias através do tratamento de imagens. Para tanto é necessário profundo e 
constante aperfeiçoamento das tecnologias envolvidas, implicando em investimentos nas 
pesquisas e implementações. 
O presente trabalho objetivou a pesquisa em específico dos principais 
conceitos envolvendo o Filtro Laplaciano, explanando o formalismo matemático e 
demonstrando os resultados da implementação. O principal enfoque desse filtro é o realce 
das bordas através de filtragem, eliminando o preenchimento original dos objetos 
contidos na imagem. 
 
 
9 
 
5. REFERÊNCIAS 
 
 
AZEVEDO, Eduardo; CONCI, Aura. Computação Gráfica: Teoria e Prática. 
Disponível em: <http://computacaografica.ic.uff.br/>. Acesso em 09 abr. de 2016. 
 
 
GUILHON, Raquel Jauffret. Fundamentos de Computação Gráfica. Disponível em: 
<https://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/~mgattass/fcg/trb13/RaquelGuilhon/index.html>. 
Acesso em 09 abr. de 2016. 
 
 
SODRÉ, Ulysses. Introdução às Transformadas de Laplace. Disponível em: 
<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/edo/laplace.htm>. Acesso em 09 
abr. de 2016. 
 
 
THOMÉ, Antônio. Processamento de Imagens, Tratamento da Imagem Tratamento 
da Imagem - Filtros. Disponível em: 
<http://equipe.nce.ufrj.br/thome/p_grad/nn_img/transp/c4_filtros.pdf>. Acesso em 09 
abr. de 2016.