Lista de Exercícios - Funções 2

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Matema´tica A - 1o semestre de 2009
Lista de Exerc´ıcios 1
Departamento de Matema´tica - ICEx - UFMG
Marcelo de Oliveira Terra Cunha
Resolva atentamente cada exerc´ıcio. De prefereˆncia reflita ainda sobre “por
que o Marcelo quer que eu resolva esse exerc´ıcio? Quais conceitos esse exerc´ıcio
aborda?”
1. Calcule a a´rea do retaˆngulo de dimenso˜es 370 e
7
48 .
2. Considere o penta´gono ABCDE de lados AB = 76 , BC =
√
12, CD = 2120 ,
DE =
√
27 e EA =
√
5.
a) Calcule o per´ımetro deste penta´gono;
b) Coloque os lados em ordem crescente.
3. Obtenha contra-exemplos para mostrar que as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o
falsas:
a)
a
b
+
c
d
=
a+ c
b+ d
para quaisquer nu´meros reais a, b, c e d, com b 6= 0,
d 6= 0 e b+ d 6= 0;
b)
√
a+ b =
√
a+
√
b, para todo real na˜o negativo a e b;
c)
√
a2 = a para todo real a;
4. Descreva o conjunto dos nu´meros reais que satisfazem cada uma das
relac¸o˜es abaixo e represente-os na reta real:
a) |x− 3| = 2;
b) |x− 3| < 2;
c) |x− 3| > 2.
5. Determine todas as ra´ızes reais de cada uma das equac¸o˜es:
a) (2x− 3) (4x2 − 9) (x2 + 9) = 0;
b) x3 − 5x2 + 6x = 0;
c)
(
x2 − 4x+ 3)2 = 1;
d) x (x− 7)2 = 50x.
6. Determine a para que a distaˆncia entre os pontos P = (a, 3) e Q = (5, 6)
seja igual a 4.
7. Agora vamos buscar uma iterpretac¸a˜o geome´trica para o exerc´ıcio 6:
a) Que figura fica caracterizada pelos pontos da forma P = (a, 3)?
1
b) Que figura fica caracterizada pelos pontos cuja distaˆncia a Q = (5, 6)
e´ igual a 4?
c) Qual o significado geome´trico do exerc´ıcio 6?
8. Determine os pontos pontos sobre a reta y = 2x − 3 cujas distaˆncias ao
ponto P = (4, 5) sejam iguais a 7
√
5
2 . Interprete geometricamente esse
exerc´ıcio.
9. Suponha que um colega seu exibe a seguinte soluc¸a˜o para a equac¸a˜o
x
(
x2 − 3x) = −2x:
x
(
x2 − 3x) = −2x⇒ x2 − 3x = −2⇒ x = 1 ou x = 2.
O que voceˆ diria a ele?
10. Resolva as desigualdades
a) −2x2 + 10x− 12 < 0;
b) −4x+ 7 > 0;
c)
√
2− x
x2 − 2x− 3 ≤ 0;
d)
2x
(
x2 − 1)− 2x2x
(x2 − 1)2 ≥ 0;
e) x >
√
x2;
f)
−2x
x+ 1
≥ 4x+ 3
x+ 2
.
11. Simplifique a expressa˜o 4log2 7 + log2
(
87
)
ate´ obter um nu´mero inteiro.
12. Determine os valores das constantes a, b e c para que a equac¸a˜o
8ax
2+bx+c = 43x+5 25x
2−x+8 seja va´lida para todo nu´mero real x.
13. Sabendo que pi2 < x < pi, calcule
√
1− sen2x.
14. Resolva as equac¸o˜es:
a) 3x + 3−x = 1;
b) 5x − 5−x = 3.
2